260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học
260 bài toán phương trình và hệ phương trình có lời giải
Nhằm giúp các bạn học sinh ôn thi tốt môn toán để thi vào các trường đại học, cao đẳng, VnDoc.com xin giới thiệu tuyển tập 260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học. Các bài toán về phương trình và hệ phương trình này bao gồm các bài toán về phương trình và hệ phương trình, có lời giải kèm theo, giúp các bạn tự ôn luyện một cách dễ dàng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây nhé.
VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết 260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết được tổng hợp gồm có 260 bài toán về hệ phương trình trong các đề thi. Bài tập có lời giải chi tiết kèm theo. Qua bài viết bạn đọc có thể luyện tập được giải phương trình, giải hệ phương trình, giải bất phương trình, tìm ẩn số để phương trình có nghiệm... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây nhé.
Các bài toán về hệ phương trình phổ biến
Bài 1: Giải phương trình: 
\(\sqrt{2x + 3} +
\sqrt{x + 1} = 3x + 2\sqrt{2x^{2} + 5x + 3} - 16\).
Hướng dẫn:
Đặt \(t = \sqrt{2x + 3} +
\sqrt{x + 1}\) > 0. (2) ⇔ \(x =
3\)
Bài 2: Giải bất phương trình: \(\frac{2^{1- x} - 2^{x} + 1}{2^{x} - 1} \geq \ 0\)
Hướng dẫn: \(0 < x \leq 1\)
Bài 3: Giải phương trình: \(\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(x + 3) +
\frac{1}{4}\log_{4}(x - 1)^{8} = 3\log_{8}(4x)\).
Hướng dẫn: (1) ⇔ \((x + 3)|x - 1| =
4x\) ⇔ x = 3; x =\(- 3 +
2\sqrt{3}\)
Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x \(\in \left\lbrack 0;\ \ 1 + \sqrt{3}
\right\rbrack\)
\(m\left( \sqrt{x^{2} - 2x + 2} + 1 \right)
+ x(2 - x) \leq 0\) (2)
Hướng dẫn:
Đặt \(t = \sqrt{x^2- 2x + 2}\) (2) ⇔ \(m \leq \frac{t^{2} - 2}{t + 1}(1 \leq
t \leq 2)\), do \(x \in \lbrack 0;1 +\sqrt{3}\rbrack\)
Khảo sát \(g(t) = \frac{t^{2} - 2}{t +
1}\) với 1 ≤ t ≤ 2. \(g'(t) =
\frac{t^{2} + 2t + 2}{(t + 1)^{2}} > 0\).
Vậy g tăng trên đoạn [1,2].
Do đó, yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow\) Bất phương trình \(m \leq \frac{t^{2} - 2}{t + 1}\) có nghiệm t ∈ [1,2] \(\Leftrightarrow m \leq \underset{t
\in \lbrack 1;2\rbrack}{\max g(t)} = g(2) = \frac{2}{3}\)
Bài 5 : Giải hệ phương trình : \(\left\{
\begin{matrix}
x^{4} - 4x^{2} + y^{2} - 6y + 9 = 0 \\
x^{2}y + x^{2} + 2y - 22 = 0 \\
\end{matrix} \right.\) (2)
Hướng dẫn
Ta có từ phương trình (2) ⇔ \(\left\{ \begin{matrix}
(x^{2} - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4 \\
(x^{2} - 2 + 4)(y - 3 + 3) + x^2 - 2 - 20 = 0 \\
\end{matrix} \right.\).
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
x^2 - 2 = u \\
y - 3 = v \\
\end{matrix} \right.\)
Khi đó (2) ⇔ \(\left\{ \begin{matrix}
u^{2} + v^{2} = 4 \\
u.v + 4(u + v) = 8 \\
\end{matrix} \right.\) ⇔ \(\left\{
\begin{matrix}
u = 2 \\
v = 0 \\
\end{matrix} \right.\) hoặc \(\left\{
\begin{matrix}
u = 0 \\
v = 2 \\
\end{matrix} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = 3 \\
\end{matrix} \right.\);\(\left\{
\begin{matrix}
x = - 2 \\
y = 3 \\
\end{matrix} \right.\);\(\left\{
\begin{matrix}
x = \sqrt{2} \\
y = 5 \\
\end{matrix} \right.\);\(\left\{
\begin{matrix}
x = - \sqrt{2} \\
y = 5 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 6 : 1) Giải phương trình: \(5.3^{2x - 1} -7.3^{x - 1} + \sqrt{1 - 6.3^{x} + 9^{x + 1}} = 0\) (1)
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
\(\left\{ \begin{matrix}
log_{\sqrt{3}}(x + 1) - log_{\sqrt{3}}(x - 1) > log_{3}4\ \ \ \ \ \
(a) \\
log_{2}(x^{2} - 2x + 5) - m.log_{(x^{2} - 2x + 5)}2 = 5\ \ \ \ (b) \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn
1) Đặt \(t = {3^x} > 0\). (1) ⇔ \(5t^{2} - 7t + 3|3t - 1| = 0\) ⇒ \(x = \log_{3}\frac{3}{5};\ \ x = -\log_{3}5\)
2) \(\left\{ \begin{matrix}
\log_{\sqrt{3}}(x + 1) - \log_{\sqrt{3}}(x - 1) > \log_{3}4(a) \\
\log_{2}(x^{2} - 2x + 5) - m\log_{(x^{2} - 2x + 5)}2 = 5(b) \\
\end{matrix} \right.\)
Giải (a) ⇔ 1 < x < 3.
Xét (b): Đặt \(t = \log_{2}(x^{2} - 2x +5)\).
Từ x ∈ (1; 3) ⇒ t ∈ (2; 3).
(b) ⇔ \(t^{2} - 5t = m\). Xét hàm \(f(t) = t^2- 5t\), từ BBT ⇒ \(m \in \left( - \frac{25}{4}; - 6
\right)\)
Bài 7 : Giải hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
8x^{3}y^{3} + 27 = 18y^{3} \\
4x^{2}y + 6x = y^{2}\ \ \ \ \ \\
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn
Ta có : \(\left\{ \begin{matrix}
8x^{3}y^{3} + 27 = 18y^{3} \\
4x^{2}y + 6x = y^{2} \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(2x)^{3} + \left( \dfrac{3}{y} \right)^{3} = 18 \\
2x.\dfrac{3}{y}\left( 2x + \dfrac{3}{y} \right) = 3 \\
\end{matrix} \right.\).
Đặt a = 2x; b = \(\frac{3}{y}\) khi đó hệ (2)\(\Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
a + b = 3 \\
ab = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Hệ đã cho có nghiệm: \(\left( \frac{3 -
\sqrt{5}}{4};\frac{6}{3 + \sqrt{5}} \right),\left( \frac{3 +
\sqrt{5}}{4};\frac{6}{3 - \sqrt{5}} \right)\)
Bài 8 : Giải bất phương trình sau trên tập số thực: \(\frac{1}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 - x}} \leq
\frac{1}{\sqrt{5 - 2x}}\) (1).
Hướng dẫn
Với \(- 2 \leq x < \frac{1}{2}\): \(\sqrt{x + 2} - \sqrt{3 - x} < 0,\sqrt{5 -
2x} > 0\), nên (1) luôn đúng
Với \(\frac{1}{2} < x <
\frac{5}{2}\) khi đó \((1)
\Leftrightarrow \sqrt{x + 2} - \sqrt{3 - x} \geq \sqrt{5 - 2x}
\Leftrightarrow 2 \leq x < \frac{5}{2}\)
Tập nghiệm của (1) là \(S = \left\lbrack -2;\frac{1}{2} \right) \cup \left\lbrack 2;\frac{5}{2}\right)\).
Bài 9: Giải hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
x^2 + 1 + y(y + x) = 4y \\
(x^2 + 1)(y + x - 2) = y \\
\end{matrix} \right.\ ;\left( x;y\mathbb{\in R} \right)\).
Hướng dẫn
Ta có: (2) ⇔ \(\left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} + 1}{y} + y + x - 2 = 2 \\
\frac{x^{2} + 1}{y}(y + x - 2) = 1 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} + 1}{y} = 1 \\
y + x - 2 = 1 \\
\end{matrix} \right.\)⇔ \(\left\{
\begin{matrix}
x = 1 \\
y = 2 \\
\end{matrix} \right.\) hoặc \(\left\{
\begin{matrix}
x = - 2 \\
y = 5 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 10: Giải bất phương trình: \(\sqrt{log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} - 3} >
\sqrt{5}(log_{4}x^{2} - 3)\)
Hướng dẫn
BPT ⇔ \(\sqrt{log_{2}^{2}x - log_{2}x^{2} -
3} > \sqrt{5}(log_{2}x - 3)\ \ \ \ \ \ (1)\)
Đặt t = log2x khi đó \((1) \Leftrightarrow \sqrt{t^{2} - 2t - 3} >
\sqrt{5}(t - 3)\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(t - 3)(t + 1)}> \sqrt{5}(t - 3)\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
t \leq - 1 \\
\left\{ \begin{matrix}
t > 3 \\
(t + 1)(t - 3) > 5(t - 3)^{2} \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
t \leq - 1 \\
3 < t < 4 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
log_{2}x \leq - 1 \\
3 < log_{2}x < 4 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
0 < x \leq \frac{1}{2} \\
8 < x < 16 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 11 : Giải phương trình: \(\log^2(x^{2}+ 1) + (x^{2} - 5)log(x^2 + 1) - 5x^{2} = 0\)
Hướng dẫn
Đặt \(\log(x^2 + 1) = y\) khi đó \(PT \Leftrightarrow y^{2} + (x^{2} - 5)y -
5x^2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
y = 5 \\
y = - x^{2} \\
\end{matrix} \right.\)
Nghiệm: \(x = \pm \sqrt{99999};x =
0\)
Bài 12 : Giải phương trình: \(8^{x} + 1 =
2\ \sqrt[3]{2^{x + 1} - 1}\)
Hướng dẫn
Đặt \(2^{x} = u > 0;\sqrt[3]{2^{x + 1} -1} = v\).
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u^{3} + 1 = 2v \\
v^{3} + 1 = 2u \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u^{3} + 1 = 2v \\
(u - v)(u^{2} + uv + v^{2} + 2) = 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u = v > 0 \\
u^{3} - 2u + 1 = 0 \\
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = log_{2}\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\
\end{matrix} \right.\)
Bài 13: Tìm m để hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2}y - x^{2} + y = 2 \\
m\left( x^{2} + y \right) - x^{2}y = 4 \\
\end{matrix} \right.\) có ba nghiệm phân biệt
Hướng dẫn
Hệ phương trình tương đương \(\left\{
\begin{matrix}
(m - 1)x^{4} + 2(m - 3)x^{2} + 2m - 4 = 0\ \ \ \ (1) \\
y = \frac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} \\
\end{matrix} \right.\).
Khi m = 1: Hệ PT ⇔ \(\left\{ \begin{matrix}
2x^{2} + 1 = 0 \\
y = \dfrac{x^{2} + 2}{x^{2} + 1} \\
\end{matrix} \right.\ (VN)\)
Khi m ≠ 1. Đặt t = x2 , \(t \geq
0\). Xét \(f(t) = (m - 1)t^{2} + 2(m -
3)t + 2m - 4 = 0\ \ \ \ \ \ (2)\)
Hệ PT có 3 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có ba nghiệm x phân biệt
(2) có một nghiệm t = 0 và 1 nghiệm t > 0 ⇔ \(\left\{ \begin{matrix}f(0) = 0 \\S = \dfrac{2(m - 3)}{1 - m} > 0 \\\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow m = 2\).
Bài 14 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{matrix}
\sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 \\
x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 1 - 3m \\
\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn
Đặt \(u = \sqrt{x},\ v = \sqrt{y}\ \ (u\geq 0,\ \ v \geq 0)\).
Hệ PT ⇔ \(\left\{ \begin{matrix}
u + v = 1 \\
u^{3} + v^{3} = 1 - 3m \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u + v = 1 \\
uv = m \\
\end{matrix} \right.\).
ĐS: \(0 \leq m \leq
\frac{1}{4}\).
Bài 15. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: \(x(x - 1) + 4(x - 1)\sqrt{\frac{x}{x - 1}} =m\)
Hướng dẫn
Đặt \(t = (x - 1)\sqrt{\frac{x}{x -
1}}\). phương trình có nghiệm khi \(t^{2} + 4t-m = 0\) có nghiệm, suy ra \(m \geq -
4\).
Bài 16 : Giải phương trình: 3x.2x = 3x + 2x + 1.
Hướng dẫn
Nhận xét; x = \(\pm\)1 là các nghiệm của phương trình
Phương trình tương đương \(\Leftrightarrow
3^{x} = \frac{2x + 1}{2x - 1}\).
Dựa vào tính đơn điệu ⇒ phương trình chỉ có các nghiệm x = ± 1.
Bài 17 : Giải hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} + y^{2} - xy = 3(a) \\
\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} = 4(b) \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn
Phương trình (b) tương đương
\(x^{2} + y^{2} + 2\sqrt{(x^{2} +
1).(y^{2} + 1)} = 14\)
\(\Leftrightarrow xy + 2\sqrt{(xy)^{2} + xy
+ 4} = 11\) (c)
Đặt xy = p khi đó phương trình (c) tương đương \(\Leftrightarrow 2\sqrt{p^{2} + p + 4} = 11 -p\) \(\Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
p \leq 11 \\
3p^{2} + 26p - 105 = 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
p = 3 \\
p = \frac{- 35}{3} \\
\end{matrix} \right.\)
Phương trình \((a) \Leftrightarrow (x +
y)^{2} = 3xy + 3\)
Với p = xy = \(- \frac{35}{3}\) (loại)
Với p = xy = 3 ⇒ \(x + y = \pm2\sqrt{3}\)
TH1:
Với \(\left\{ \begin{matrix}
xy = 3 \\
x + y = 2\sqrt{3} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow x = y = \sqrt{3}\)
TH2: Với \(\left\{ \begin{matrix}
xy = 3 \\
x + y = - 2\sqrt{3} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow x = y = - \sqrt{3}\)
Vậy hệ có hai nghiệm là: \(\left(
\sqrt{3};\sqrt{3} \right),\ \ \ \left( - \sqrt{3}; - \sqrt{3}
\right)\)
Bài 18: Giải bất phương trình: \(\log_{2}(4x^{2} - 4x + 1) - 2x > 2 - (x +
2)\log_{\frac{1}{2}}\left( \frac{1}{2} - x \right)\)
Hướng dẫn
Bất phương trình tương đương
\(x\left\lbrack log_{2}(1 - 2x) + 1\right\rbrack < 0\) với \(\left( x
< \frac{1}{2} \right)\) \(\Leftrightarrow \frac{1}{4} < x <\frac{1}{2}\) hoặc x < 0
Bài 19: Giải hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} + 1 + y(x + y) = 4y \\
(x^{2} + 1)(x + y - 2) = y \\
\end{matrix} \right.\) (x, y \(\in \mathbb{R}\)).
Hướng dẫn
Nếu y = 0 không phải là nghiệm.
Hệ PT ⇔ \(\left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} + 1}{y} + x + y - 2 = 2 \\
\frac{x^{2} + 1}{y}(x + y - 2) = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Đặt \(u = \frac{x^{2} + 1}{y},v = x + y -
2\).
Ta có hệ \(\left\{ \begin{matrix}
u + v = 2 \\
uv = 1 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow u = v = 1\) ⇔ \(\left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} + 1}{y} = 1 \\
x + y - 2 = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Nghiệm của hệ phương trinh đã cho là (1; 2), (–2; 5).
Bài 20 : Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: \(ln(mx) = 2ln(x + 1)\)
Hướng dẫn
1) ĐKXĐ: \(x > - 1,mx > 0\). Như vậy trước hết phải có \(m \neq
0\).
Khi đó, phương trình ⇔ \(mx = (x + 1)^{2}
\Leftrightarrow x^{2} + (2 - m)x + 1 = 0\) (1)
Phương trình này có: \(\Delta = m^{2} -
4m\).
Với \(m \in (0;4)\) ⇒ ∆ < 0 ⇒ (1) vô nghiệm.
Với \(m = 0\), (1) có nghiệm duy nhất \(x = - 1\)< 0 ⇒ loại.
Với \(m = 4\), (1) có nghiệm duy nhất x = 1 thoả mãn điều kiện xác định nên PT đã cho có nghiệm duy nhất.
Với \(m < 0\), ĐKXĐ trở thành \(- 1 < x < 0\).
Khi đó \(\Delta > 0\) nên (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1},x_{2}\ \ \ \left(x_{1} < x_{2} \right)\).
Mặt khác, \(f( - 1) = m < 0,f(0) = 1
> 0\) nên \(x_{1} < - 1 <
x_{2} < 0\), tức là chỉ có \(x_{2}\) là nghiệm của phương trình đã cho.
Như vậy, các giá trị \(m < 0\) thoả điều kiện bài toán.
Với \(m > 4\). Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > 0 và (1) cũng có hai nghiệm phân biệt \(x_{1},x_{2}\ \ \ \left( x_{1} < x_{2}
\right)\).
Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương nên các giá trị \(m > 4\)cũng bị loại.
Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: \(m \in ( - \infty;0) \cup \left\{ 4
\right\}\).
Bài 21: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix}x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1 \\\sqrt{x + y} = x^{2} - y\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} + \dfrac{2xy}{x + y} = 1\ \ \ \ (1) \\\sqrt{x + y} = x^{2} - y\ \ \ \ \ (2)\end{matrix} \right.\).
Điều kiện: \(x + y > 0\).
(1) ⇔ \((x + y)^{2} - 1 - 2xy\left( 1 -
\frac{1}{x + y} \right) = 0\)
⇔ \((x + y - 1)(x^{2} + y^{2} + x + y) =
0\)
⇔ \(x + y - 1 = 0\) (vì \(x + y > 0\) nên \(x^{2} + y^{2} + x + y > 0\))
Thay \(x = 1 - y\) vào (2) ta được: \(1 = x^{2} - (1 - x)\)
⇔ \(x^{2} + x - 2 = 0\) ⇔ \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1\ \ \ (y = 0) \\
x = - 2\ \ (y = 3)
\end{matrix} \right.\)
Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3).
Bài 22: Giải hệ phương trình:\(2\sqrt[3]{3x
- 2} + 3\sqrt{6 - 5x} - 8 = 0\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x \leq \frac{6}{5}\). Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
u = \sqrt[3]{3x - 2} \\
v = \sqrt{6 - 5x}
\end{matrix} \right.\) ⇒ \(\left\{
\begin{matrix}
u^{3} = 3x - 2 \\
v^{2} = 6 - 5x
\end{matrix} \right.\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
2u + 3v = 8 \\
5u^{3} + 3v^{2} = 8
\end{matrix} \right.\).
Giải hệ này ta được \(\left\{
\begin{matrix}
u = - 2 \\
v = 4
\end{matrix} \right.\) ⇒ \(\left\{
\begin{matrix}
3x - 2 = - 2 \\
6 - 5x = 16
\end{matrix} \right.\) ⇔ \(x = -
2\).
Thử lại, ta thấy \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm \(x = -
2\).
Bài 23. Giải hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
2y^{2} - x^{2} = 1 \\
2x^{3} - y^{3} = 2y - x
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(2x^{3} - y^{3} = \left( 2y^{2} -
x^{2} \right)(2y - x)\)\(\Leftrightarrow x^{3} + 2x^{2}y +
2xy^{2} - 5y^{3} = 0\)
Khi \(y = 0\) thì hệ phương trình vô nghiệm.
Khi \(y \neq 0\), chia 2 vế cho \(y^{3} \neq 0\) ta được: \(\left( \frac{x}{y} \right)^{3} + 2\left(
\frac{x}{y} \right)^{2} + 2\left( \frac{x}{y} \right) - 5 =
0\)
Đặt \(t = \frac{x}{y}\), ta có : \(t^{3} + 2t^{2} + 2t - 5 = 0 \Leftrightarrow
t = 1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y = x \\
y^{2} = 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = y = 1,x = y = -
1\)
Bài 24. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix}
2y - x = m \\
y + \sqrt{xy} = 1
\end{matrix} \right.\)có nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải
Ta có : \(\left\{ \begin{matrix}
2y - x = m(1) \\
y + \sqrt{xy} = 1(2)
\end{matrix} \right.\).
Từ (1) ⇒ \(x = 2y - m\), nên (2) ⇔ \(\sqrt{2y^{2} - my} = 1 - y\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y \leq 1 \\
m = y - \frac{1}{y} + 2
\end{matrix} \right.\) (vì y ≠ 0)
Xét \(f(y) = y - \frac{1}{y} + 2
\Rightarrow f'(y) = 1 + \frac{1}{y^{2}} > 0\)
Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận được hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m > 2\).
Bài 25: Giải hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
3\left( x^{3} - y^{3} \right) = 4xy \\
x^{2}y^{2} = 9
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Ta có : \(x^{2}y^{2} = 9 \Leftrightarrow xy
= \pm 3\).
Khi: \(xy = 3\), ta có: \(x^{3} - y^{3} = 4\) và \(x^{3}.\left( - y^{3} \right) = - 27\)
Suy ra: \(x^{3};\left( - y^{3}
\right)\) là các nghiệm của phương trình: \(X^{2} - 4X - 27 = 0 \Leftrightarrow X = 2 \pm
\sqrt{31}\)
Vậy nghiệm của Hệ PT là:
\(x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{31}},y = -
\sqrt[3]{2 - \sqrt{31}}\) hoặc \(x =
\sqrt[3]{2 - \sqrt{31}},y = - \sqrt[3]{2 + \sqrt{31}}\).
Khi: \(xy = - 3\), ta có: \(x^{3} - y^{3} = - 4\) và \(x^{3}.\left( - y^{3} \right) = 27\)
Suy ra: \(x^{3};\left( - y^{3}
\right)\) là nghiệm của phương trình: \(X^{2} + 4X + 27 = 0\) (phương trình vô nghiệm)
Bài 26: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{x^{2} + y^{2} - 1} + 2\dfrac{y}{x} = 1 \\x^{2} + y^{2} + 4\dfrac{x}{y} = 22\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(x \neq 0,y \neq 0,x^{2} +
y^{2} - 1 \neq 0\)
Đặt \(u = x^{2} + y^{2} - 1;v =
\frac{x}{y}\).
Hệ phương trình trở thành: \(\left\{\begin{matrix}\dfrac{3}{u} + \dfrac{2}{v} = 1 \\u + 1 + 4v = 22\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{3}{u} + \dfrac{2}{v} = 1(1) \\u = 21 - 4v(2)\end{matrix} \right.\)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(\frac{3}{21 -
4v} + \frac{2}{v} = 1\)\(\Leftrightarrow 2v^{2} - 13v + 21 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}v = 3 \\v = \dfrac{7}{2}\end{matrix} \right.\)
Nếu v = 3 thì u = 9, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + y^{2} - 1 = 9 \\
\frac{x}{y} = 3
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + y^{2} = 10 \\
x = 3y
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x = 3 \\
y = 1
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x = - 3 \\
y = - 1
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\)
Nếu \(v = \frac{7}{2}\) thì u = 7, ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} - 1 = 7 \\\dfrac{x}{y} = \dfrac{7}{2}\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x^{2} + y^{2} = 8 \\x = \dfrac{7}{2}y\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = 4\sqrt {\dfrac{2}{{53}}} } \\
{x = 14\sqrt {\dfrac{2}{{53}}} }
\end{array}} \right.} \\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{y = - 4\sqrt {\dfrac{2}{{53}}} } \\
{x = - 14\sqrt {\dfrac{2}{{53}}} }
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\)
So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của hệ phương trình.
Bài 27: Giải hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
\sqrt{3}(x - y) = 2\sqrt{xy} \\
2x - y^{2} = 8
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
\sqrt{3}(x - y) = 2\sqrt{xy}(1) \\
2x - y^{2} = 8(2)
\end{matrix} \right.\).
Điều kiện xác định: \(x.y \geq 0\ \ ;\ x
\geq y\)
Ta có: (1) ⇔ \(\ \ 3(x - y)^{2} = 4xy\\)
\(\Leftrightarrow \ \ (3x - y)(x - 3y) = 0
\Leftrightarrow x = 3y\) hay \(x =
\frac{y}{3}\)
Với \(x = 3y\), thế vào (2) ta được: \(y^{2} - 6y + 8 = 0\ \ \Leftrightarrow \ y =
2\ \ ;\ y = 4\)
⇒ Hệ có nghiệm \(\left\{ \begin{matrix}
x = 6 \\
y = 2
\end{matrix} \right.\ \ \ ;\ \ \left\{ \begin{matrix}
x = 12 \\
y = 4
\end{matrix} \right.\)
Với \(x = \frac{y}{3}\), thế vào (2) ta được: \(3y^{2} - 2y + 24 = 0\) Vô nghiệm.
Kết luận: hệ phương trình có 2 nghiệm là: \(\left\{ \begin{matrix}
x = 6 \\
y = 2
\end{matrix} \right.\ \ \ ;\ \ \left\{ \begin{matrix}
x = 12 \\
y = 4
\end{matrix} \right.\)
Bài 28. Giải hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
x^{2} + y^{2} + xy + 1 = 4y \\
y(x + y)^{2} = 2x^{2} + 7y + 2
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Từ hệ PT ⇒ \(y \neq 0\). Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + y^{2} + xy + 1 = 4y \\
y(x + y)^{2} = 2x^{2} + 7y + 2
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} + 1}{y} + x + y = 4 \\
(x + y)^{2} - 2\frac{x^{2} + 1}{y} = 7
\end{matrix} \right.\ .\)
Đặt \(u = \frac{x^{2} + 1}{y},\ \ v = x +
y\) ta có hệ:
\(\left\{ \begin{matrix}
u + v = 4 \\
v^{2} - 2u = 7
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
u = 4 - v \\
v^{2} + 2v - 15 = 0
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
v = 3,\ \ u = 1 \\
v = - 5,\ \ u = 9
\end{matrix} \right.\)
Với \(v = 3,\ \ u = 1\) ta có hệ:
\(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 1 = y \\
x + y = 3
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 1 = y \\
y = 3 - x
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + x - 2 = 0 \\
y = 3 - x
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1,y = 2 \\
x = - 2,y = 5
\end{matrix} \right.\).
Với \(v = - 5,\ \ u = 9\) ta có hệ: \(\left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 1 = 9y \\
x + y = - 5
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 1 = 9y \\
y = - 5 - x
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + 9x + 46 = 0 \\
y = - 5 - x
\end{matrix} \right.\), hệ này vô nghiệm.
Kết luận: Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: \((1;\ \ 2),\ \ ( - 2;\ \ 5)\).
Tài liệu còn dài mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo chi tiết!
-----------------------------------------------------------
Hy vọng rằng 260 bài toán phương trình và hệ phương trình trong ôn thi đại học sẽ trở thành người bạn đồng hành đắc lực cho các bạn học sinh đang bước vào giai đoạn ôn luyện nước rút cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán. Với hệ thống bài tập được tuyển chọn kỹ lưỡng, bao quát đầy đủ các dạng toán trọng tâm từ cơ bản đến nâng cao, tài liệu này không chỉ giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình mà còn nâng cao khả năng tư duy logic và phản xạ toán học.
Đừng quên rằng, việc luyện tập thường xuyên và đúng hướng là chìa khóa để chinh phục điểm số cao trong kỳ thi. Nếu bạn cảm thấy bộ tài liệu này hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè, hoặc lưu lại để tiện tham khảo trong quá trình học tập.
👉 Tải ngay tài liệu miễn phí tại đây để bắt đầu hành trình luyện tập hiệu quả hơn!
Chúc các bạn học tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới!
