Tính nhanh cực trị hàm trị tuyệt đối

Công thức tính nhanh cực trị hàm trị tuyệt đối môn Toán lớp 12 vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

A. Cực trị của hàm trị tuyệt đối |f(x)|

Lưu ý:

• Giao điểm không đổi dấu của f(x) với trục Ox là những điểm mà tại đó y = f(x) cắt trục Ox và hàm số y = f(x) không đổi dấu khi đi qua đó.
• Giao điểm đổi dấu của f(x) với trục Ox là những điểm mà tại đó y = f(x) cắt trục Ox và hàm số y = f(x) đổi dấu khi đi qua điểm đó.

Ví dụ. Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị cắt trục $Ox$ tại ba điểm phân biệt. Hỏi số cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Vì đồ thị hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt nên hàm số có 2 điểm cực trị giả sử đồ thị của hàm số đó như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là $2$

Số nghiệm bội lẻ của phương trình là $3$

Khi đó số điểm cực trị của hàm số $y=|f(x)|$ là 2 + 3 = 5.

Ví dụ. Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số $g(x)=|f(x)-2|$ ?

Hướng dẫn giải

Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=|f(x)-2|=m+n$

Với m là số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)-2\Rightarrow m=2$

n là số nghiệm bội lẻ của phương trình $f(x)=2\Rightarrow n=3$

Suy ra số điểm cực trị của hàm số $g(x)=|f(x)-2|=2+3=5$

B. Cực trị của hàm trị tuyệt đối f(|x|)

Lưu ý: Nếu y = f(x) là hàm hằng trong một khoảng [0; a) (a > 0 tùy ý thuộc tập số thực); hoặc f(x) không xác định tại x = 0 thì công thức trên ta không cộng với 1.

Ví dụ. Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x+1)(x^2-1)(x-3{)}^3;\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. Hỏi hàm số $y=f\left(|x|\right)$ có bao nhiêu cực trị?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=1\\ x=3\end{array}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy số điểm cực trị dương của hàm số $y=f(x)$ là 2 nên số điểm cực trị của hàm số $y=f\left(|x|\right)$ là 5 điểm.

Ví dụ. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

Xác định số điểm cực trị của hàm số $y=f(|x+2|)$?

Hướng dẫn giải

Tịnh tiến hàm số $y=f(x)$ sang trái hai đơn vị ta được hàm số $y=f(x+2)$

Đồ thị hàm số $y=f(|x+2|)$ có được gồm hai phần.

Phần 1 là phần đồ thị $y=f(x+2)$ nằm phía bên phải $Oy$.

Phần 2 là phần đồ thị đối xứng qua $Oy$.

Khi đó đồ thị hàm số sẽ có một điểm cực trị.

C. Cực trị của hàm số k₁f(ax + b)+k₂

Số điểm cực trị của hàm số f(x) = Số điểm cực trị của hàm số k₁f(ax + b)+k₂