VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12 Phương trình mặt cầu cơ bản

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Tổng hợp bài tập trắc nghiệm Toán học 12 Chuyên đề Phương trình mặt cầu trong không gian cơ bản, giúp học sinh luyện tập và củng cố hiệu quả kiến thức lớp 12. Tài liệu đính kèm đáp án chi tiết, phù hợp để ôn thi THPT Quốc gia.

Nhận biết Thông hiểu

Bài kiểm tra này bao gồm 46 câu
Điểm số bài kiểm tra: 46 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm phương trình tiếp diện của (S) tại một điểm
Cho mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2}+ z^{2} = 14$ . Mặt cầu $(S)$ cắt trục $Oz$ tại $A$ và $B$ $(z_{A} < 0)$ . Phương trình nào sau đây là phương trình tiếp diện của $(S)$ tại $B$ :
- A.
  $2x - y - 3z + 9 = 0.$
- B.
  $x - 2y - z - 3 = 0.$
- C.
  $x - 2y + z + 3 = 0.$
- D.
  $2x - y - 3z - 9 = 0.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu (S) có tâm $I(2; - 1;0)$

Vì $A \in Oz \Rightarrow A\left( 0;0;z_{A} \right)$ $(z_{A} < 0)$

$A \in (S) \Rightarrow (0 - 2)^{2} + (0 + 1)^{2} + {z_{A}}^{2} = 14$

$\Rightarrow {z_{A}}^{2} = 9 \Rightarrow z_{A} = - 3$

Nên mặt cầu $(S)$ cắt trục $Oz$ tại $A(0;0; - 3)$ và $B(0;0;3)$

Gọi $(\alpha)$ là tiếp diện của mặt cầu $(S)$ tại $B$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $B(0;0;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{IB} = ( - 2;1;3)$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha):2x - y - 3z + 9 = 0.$
Câu 2: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm $I( - 1;2; - 3)$ và đi qua điểm $A(2;0;0)$ có phương trình:
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 22.$
- B.
  $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 22.$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22.$
- D.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 11.$
Hướng dẫn:
Ta có : $\overrightarrow{IA} = (3; - 2;3) \Rightarrow IA = \sqrt{22}$ .

Vậy $(S):(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 22$ .
Câu 3: Nhận biết
Tìm phương trình mặt cầu
Phương trình mặt trình mặt cầu có đường kính $AB$ với $A(1;3;2),\ B(3;5;0)$ là:
- A.
  $(x + 2)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 1)^{2} = 3.$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} = 2.$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} = 3.$
- D.
  $(x + 2)^{2} + (y + 4)^{2} + (z + 1)^{2} = 2.$
Hướng dẫn:
Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là $I(2;4;1)$ , $AB = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + ( - 2)^{2}} = 2\sqrt{3}$

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I(2;4;1)$ , bán kính $R = \frac{AB}{2} = \sqrt{3}$

Vậy phương trình của mặt cầu là: $(x -2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 1)^{2} = 3.$
Câu 4: Nhận biết
Tìm tâm mặt cầu
Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$ có tâm là:
- A.
  $I(4; - 1;0).$
- B.
  $I( - 4;1;0).$
- C.
  $I(8; - 2;0).$
- D.
  $I( - 8;2;0).$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ , có tâm $I(a;b;c)$ , bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2y + 1 = 0$ có tâm là $I(4; - 1;0).$
Câu 5: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3 và tâm là giao điểm của ba trục toạ độ?
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x = 0.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6z = 0.$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6y = 0.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu tâm $O(0;0;0)$ và bán kính R = 3 có phương trình: $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9.$
Câu 6: Nhận biết
Xác định số phương trình mặt cầu
Cho các phương trình sau: $(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1;$ $x^{2} + (2y - 1)^{2} + z^{2} = 4;$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 1 = 0;$ $(2x + 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + 4z^{2} = 16.$

Số phương trình là phương trình mặt cầu là:
- A.
  1.
- B.
  2.
- C.
  3.
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Ta có: $(2x + 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + 4z^{2} = 16$ $\Leftrightarrow \left(x + \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + z^{2}= 4$

$(x - 1)^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ là phương trình của một mặt cầu.

Có tất cả 3 phương trình mặt cầu
Câu 7: Nhận biết
Xác định đường kính của mặt cầu
Cho các điểm $A(2;1; - 1)$ và $B(1;0;1)$ . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oy có đường kính là:
- A.
  $4\sqrt{2}.$
- B.
  $2\sqrt{6}.$
- C.
  $2\sqrt{2}.$
- D.
  $\sqrt{6}.$
Hướng dẫn:

Gọi $I(0;t;0)$ trên Oy vì $IA = IB \Rightarrow t = 2 \Rightarrow I(0;2;0)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt{6} \Rightarrow$ đường kính bằng $2\sqrt{6}$ .
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( 3;\sqrt{3}; - 7 \right)$ và tiếp xúc trục tung là:
- A.
  $(x - 3)^{2} + \left( y - \sqrt{3} \right)^{2} + (z + 7)^{2} = 12.$
- B.
  $(x - 3)^{2} + \left( y - \sqrt{3} \right)^{2} + (z + 7)^{2} = 61.$
- C.
  $(x + 3)^{2} + \left( y + \sqrt{3} \right)^{2} + (z - 7)^{2} = 58.$
- D.
  $(x - 3)^{2} + \left( y - \sqrt{3}\right)^{2} + (z + 7)^{2} = 58.$
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu của $I\left( 3;\sqrt{3}; - 7 \right)$ trên Oy

$\Rightarrow H\left( 0;\sqrt{3};0 \right) \Rightarrow R = IH = \sqrt{58}$

Vậy phương trình mặt cầu là: $(x - 3)^{2}+ \left( y - \sqrt{3} \right)^{2} + (z + 7)^{2} = 58.$
Câu 9: Nhận biết
Tính đường kính mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A(1;2;1)$ và $B(0 ;1 ; 1)$ . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục hoành có đường kính là:
- A.
  $\sqrt{6}.$
- B.
  $12.$
- C.
  $2\sqrt{6}.$
- D.
  $2\sqrt{5}.$
Hướng dẫn:
Gọi $I(t;0;0)$ trên Ox. Vì $IA = IB \Rightarrow t = 2 \Rightarrow I(2;0;0)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt{6} \Rightarrow$ đường kính bằng $2\sqrt{6}$
Câu 10: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 56.$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 4.$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 16.$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ , bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy): $z = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxy) \right)$

$\Leftrightarrow R = \frac{|6|}{1} = 6$ .

Vậy $(S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.$
Câu 11: Nhận biết
Chọn phương trình mặt cầu thích hợp
Mặt cầu có phương trình nào sau đây có tâm là $I( - 1;1;0)\ ?$
- A.
  $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x.$
- B.
  $2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1 - 2xy.$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y = 0.$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 1 = 0.$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ , có tâm $I(a;b;c)$ , bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Vậy phương trình mặt cầu thích hợp là: $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 1 = 0.$
Câu 12: Nhận biết
Xác định đường kính mặt cầu
Đường kính của mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 4$ bằng:
- A.
  2.
- B.
  16.
- C.
  8.
- D.
  4.
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có bán kính $R = 2$ suy ra đường kính có độ dài: $2R = 4.$

Đường kính của mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = 4$ bằng: 4.
Câu 13: Nhận biết
Tìm tọa độ tâm mặt cầu (S)
Mặt cầu $(S):(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x$ có tâm là:
- A.
  $I(4;0;0).$
- B.
  $I( - 2;0;0).$
- C.
  $I( - 4;0;0).$
- D.
  $I(2;0;0).$
Hướng dẫn:
Biến đổi $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 1 = 0$ .

Vậy mặt cầu có tâm $I( - 2;0;0).$
Câu 14: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt cầu thích hợp
Phương trình mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ nào sau đây tiếp xúc với trục Ox:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 52.$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 20.$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 56.$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 40.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ , bán kính R và tiếp xúc trục Ox $\Leftrightarrow R = d(I;Ox)$

$\Leftrightarrow R = \sqrt{y_{I}^{2} + z_{I}^{2}} = \sqrt{52}$ .

Vậy $(S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 52.$

Lưu ý : Học sinh hoàn toàn có thể sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải quyết.
Câu 15: Nhận biết
Xác định tọa độ điểm thuộc mặt cầu
Mặt cầu $(S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 10y + 3z + 1 = 0$ đi qua điểm có tọa độ nào sau đây?
- A.
  $(4; - 1;0).$
- B.
  $( - 1;3; - 1).$
- C.
  $(3; - 2; - 4).$
- D.
  $(2;1;9).$
Hướng dẫn:
Lần lượt thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt cầu. Tọa độ điểm nào thỏa mãn phương trình thì điểm đó thuộc mặt cầu.

Kiểm tra đáp án thu được kết quả là: điểm $(4; - 1;0).$ thuộc mặt cầu đã cho.
Câu 16: Thông hiểu
Tính bán kính của mặt cầu (S)
Cho các điểm $A( - 2;4;1)$ và $B(2;0;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 2}$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. Bán kính mặt cầu (S) bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{873}}{4}.$
- B.
  $\frac{\sqrt{1169}}{4}.$
- C.
  $\frac{1169}{16}.$
- D.
  $\frac{\sqrt{967}}{2}.$
Hướng dẫn:
Gọi $I(1 + 2t; - 2 - t;3 - 2t)$ trên d vì $IA = IB \Rightarrow t = \frac{- 11}{4} \Rightarrow IA = \frac{\sqrt{1169}}{4}.$
Câu 17: Thông hiểu
Tìm tâm mặt cầu
Cho các điểm $A(1;3;0)$ và $B(2;1;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z}{1}$ . Mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm của $(S)$ là:
- A.
  $( - 4;1; - 2).$
- B.
  $(6;6;3).$
- C.
  $(8;7;4).$
- D.
  $(4;5;2).$
Hướng dẫn:
Gọi $I(2t;3 + t;t)$ trên d vì $IA = IB \Rightarrow t = 4 \Rightarrow I(8;7;4).$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
Cho ba điểm $A(6; - 2;3)$ , $B(0;1;6)$ , $C(2;0; - 1)$ , $D(4;1;0)$ . Khi đó mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ có phương trình là:
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 6z - 3 = 0.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + y - 3z - 3 = 0.$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - y + 3z - 3 = 0.$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 6z - 3 = 0.$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix} A(6; - 2;3) \in (S) \\ B(0;1;6) \in (S) \\ C(2;0; - 1) \in (S) \\ D(4;1;0) \in (S) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 49 - 12A + 4B - 6C + D = 0(1) \\ 37 - 2B - 12C + D = 0(2) \\ 5 - 4A + 2C + D = 0(3) \\ 17 - 8A - 2B + D = 0(4) \\ \end{matrix} \right.$

Lấy $(1) - (2)$ ; $(2) - (3)$ ; $(3) - (4)$ ta được hệ:

$\left\{ \begin{matrix} - 12A + 6B + 6C = - 12 \\ 4A - 2B - 14C = - 32 \\ 4A + 2B + 2C = 12 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 2 \\ B = - 1 \Rightarrow \\ C = 3 \\ \end{matrix} \right.\ D = - 3$

Vậy phương trình măt cầu là: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x + 2y - 6z - 3 = 0$ .

Lưu ý : Ở bài này máy tính Casio giúp chúng ta giải nhanh chóng hệ phương trình bậc nhất ba ấn được tạo ra để tìm các hệ số của phương trình mặt cầu tổng quát. (Ta cũng có thể dùng máy tính cầm tay thay trực tiếp tọa độ các điểm vào từng đáp án và tìm ra đáp án đúng)
Câu 19: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho điểm $A(1; - 2;3)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{- 1}$ . Phương trình mặt cầu tâm $A$ , tiếp xúc với $d$ là:
- A.
  $(x–1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z–3)^{2} = \sqrt{50}.$
- B.
  $(x–1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z–3)^{2} = 5.$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 50.$
- D.
  $(x–1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z–3)^{2} = 50.$
Hướng dẫn:
Ta có:

$d(A,d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{BA},\overrightarrow{a} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a} \right|} = \frac{\sqrt{4 + 196 + 100}}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = 5\sqrt{2}$ .

Trong đó $B( - 1;2; - 3) \in d$

Phương trình mặt cầu tâm $A(1; - 2;3)$ , bán kính $R = 5\sqrt{2}$ là

$(S):(x–1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z–3)^{2} = 50$ .
Câu 20: Thông hiểu
Tìm tọa độ tâm mặt cầu (S)
Cho các điểm $A(1;1;3)$ và $B(2;2;0)$ và đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{1}$ . Mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm $(S)$ là:
- A.
  $\left( \frac{5}{6};\frac{7}{6};\frac{25}{6} \right).$
- B.
  $\left( \frac{- 11}{6};\frac{23}{6};\frac{7}{6} \right).$
- C.
  $\left( \frac{5}{6};\frac{7}{6};\frac{23}{6} \right).$
- D.
  $\left( \frac{1}{6};\frac{9}{6};\frac{19}{6} \right).$
Hướng dẫn:
Gọi $I(t;2 - t;3 + t)$ trên d vì $IA = IB \Rightarrow t = - \frac{11}{6} \Rightarrow I\left( \frac{- 11}{6};\frac{23}{6};\frac{7}{6} \right).$
Câu 21: Nhận biết
Xác định phương trình mặt cầu
Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?
- A.
  $x^{2} + y^{2} - z^{2} + 2x - y + 1 = 0.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x = 0.$
- C.
  $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} - 1.$
- D.
  $2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1.$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có hai dạng là:

(1) $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ ;

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Từ đó ta xác định được phương trình mặt cầu cần tìm là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x = 0.$
Câu 22: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?
- A.
  $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 6.$
- B.
  $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 3 - 6x.$
- C.
  $(x - 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 6.$
- D.
  $(2x - 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + (2z + 1)^{2} = 6.$
Gợi ý:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có hai dạng là:

(1) $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ ;

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Hướng dẫn:
Phương trình ở các đáp án $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2} = 6$ , $(2x - 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + (2z + 1)^{2} = 6$ , $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 3 - 6x$ đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Ví dụ:

$(2x - 1)^{2} + (2y - 1)^{2} + (2z + 1)^{2} = 6$

$\Leftrightarrow \left( x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( z + \frac{1}{2} \right)^{2} = \frac{3}{2}.$

$(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 3 - 6x$ $\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} + 6x - 3 = 0.$
Câu 23: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu
Cho hai mặt phẳng $(P\ \ ):2x + 3y - z + 2 = 0,$ $(Q):2x - y - z + 2 = 0$ . Phương trình mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ tại điểm $A\ (1; - 1;1\ )$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(Q)$ là:
- A.
  $(S):(x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} + (z + 3)^{2} = 14.$
- B.
  $(S):(x - 3)^{2} + (y - 7)^{2} + (z + 3)^{2} = 56.$
- C.
  $(S):(x + 3)^{2} + (y + 7)^{2} + (z - 3)^{2} = 56.$
- D.
  $(S):(x + 3)^{2} + (y + 7)^{2} + (z - 3)^{2} = 14.$
Hướng dẫn:
Gọi $d$ đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ , ta có: $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - 1 + 3t \\ z = 1 - t \\ \end{matrix} \right.$

Tâm $I \in d \Rightarrow I(\ 1 + 2t; - 1 + 3t;1 - t\ )$ .

$I \in (Q) \Rightarrow 2(1 + 2t) - ( - 1 + 3t) - (1 - t) + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow I( - 3; - 7;3)$

Bán kính mặt cầu là $R = IA = 2\sqrt{14}$ .

Phương trình mặt cầu $(S):(x + 3)^{2} + (y + 7)^{2} + (z - 3)^{2} = 56$ .
Câu 24: Nhận biết
Tìm điểm không nằm trên mặt cầu
Cho mặt cầu $(S):\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 = 0$ và 4 điểm $M(1;2;0),\ N(0;1;0),\ P(1;1;1)$ , $Q(1; - 1;2)$ . Trong bốn điểm đó, có bao nhiêu điểm không nằm trên mặt cầu $(S)$ ?
- A.
  1 điểm.
- B.
  3 điểm.
- C.
  4 điểm.
- D.
  2 điểm.
Hướng dẫn:
Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào phương trình mặt cầu $(S)$ , ta thấy chỉ có tọa độ điểm Q thỏa mãn.
Câu 25: Nhận biết
Tính độ dài vecto
Gọi I là tâm mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 4$ . Độ dài $\left| \overrightarrow{OI} \right|$ ( $O$ là gốc tọa độ) bằng:
- A.
  $\sqrt{2}$ `
- B.
  4.
- C.
  1.
- D.
  2.
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;2) \Rightarrow \overrightarrow{OI} = (0;0;2) \Rightarrow \left| \overrightarrow{OI} \right| = 2.$
Câu 26: Thông hiểu
Viết phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( - \sqrt{6}; - \sqrt{3};\sqrt{2} - 1 \right)$ và tiếp xúc trục Oz là:
- A.
  $\left( x + \sqrt{6} \right)^{2} + \left( y + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( z - \sqrt{2} - 1 \right)^{2} = 3.$
- B.
  $\left( x + \sqrt{6} \right)^{2} + \left( y + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( z - \sqrt{2} - 1 \right)^{2} = 9.$
- C.
  $\left( x + \sqrt{6} \right)^{2} + \left( y + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( z - \sqrt{2} + 1 \right)^{2} = 9.$
- D.
  $\left( x + \sqrt{6} \right)^{2} + \left( y + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( z - \sqrt{2} + 1 \right)^{2} = 3.$
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu của $I\left( - \sqrt{6}; - \sqrt{3};\sqrt{2} - 1 \right)$ trên Oz

$\Rightarrow H\left( 0;0;\sqrt{2} - 1 \right) \Rightarrow R = IH = 3$ .

Vậy phương trình mặt cầu là: $\left( x + \sqrt{6} \right)^{2} + \left( y + \sqrt{3} \right)^{2} + \left( z - \sqrt{2} + 1 \right)^{2} = 9.$
Câu 27: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Cho ba điểm $A(2;0;1),B(1;0;0),C(1;1;1)$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $A,B,C$ và có tâm thuộc mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x + 2z + 1 = 0.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z + 1 = 0.$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - x - 2y + 1 = 0.$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 2y + 1 = 0.$
Hướng dẫn:
Phương mặt cầu $(S)$ có dạng: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0$ , ta có :

$\left\{ \begin{matrix} A(2;0;1) \in (S) \\ B(1;0;0) \in (S) \\ C(1;1;1) \in (S) \\ I \in (P) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 4A - 2C + D = - 5\ \ \ \ \ (1) \\ - 2A + D = - 1\ \ \ \ \ \ \ (2) \\ - 2A - 2B - 2C + D = - 3\ \ \ \ \ (3) \\ A + B + C = 2\ \ \ \ \ \ (4) \\ \end{matrix} \right.$

Lấy $(1) - (2)$ ; $(2) - (3)$ ; kết hợp (4) ta được hệ:

$\left\{ \begin{matrix} - 2A - 2C = - 4 \\ 2B + 2C = 2 \\ A + B + C = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} A = 1 \\ B = 0 \Rightarrow \\ C = 1 \\ \end{matrix} \right.\ D = 1$

Vậy phương trình mặt cầu là : $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 2z + 1 = 0$ .

Lưu ý : Ở câu này nếu nhanh trí chúng ta có thể sử dụng máy tính cầm tay thay ngay tọa độ tâm của các mặt cầu ở 4 đáp án trên vào phương trình mặt phẳng $(P)$ để loại ngay được các đáp án có tọa độ tâm không thuộc mặt phẳng $(P)$
Câu 28: Nhận biết
Xác định tâm và bán kính mặt cầu
Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x +1 = 0$ có tọa độ tâm và bán kính R là:
- A.
  $I( - 2;0;0),\ R = \sqrt{3}.$
- B.
  $I(0;2;0),\ R = \sqrt{3}.$
- C.
  $I(2;0;0),\ R = \sqrt{3}.$
- D.
  $I(2;0;0),\ R = 3.$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ , có tâm $I(a;b;c)$ , bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ .

Mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x +1 = 0$ có tọa độ tâm và bán kính R là: $I(2;0;0),\ R = \sqrt{3}.$
Câu 29: Thông hiểu
Tính bán kính mặt cầu
Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm $M(1;0;1),\ N(1;0;0),\ P(2;1;0)$ và $Q(1;1;1)$ bằng:
- A.
  $\frac{3}{2}.$
- B.
  1.
- C.
  $\sqrt{3}.$
- D.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}.$
Hướng dẫn:
Gọi phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Do $(S)$ đi qua bốn điểm M, N, P, Q nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} - 2a - 2c + d = - 2 \\ - 2a + d = - 1 \\ - 4a - 2b + d = - 5 \\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = \dfrac{3}{2} \\ b = \dfrac{1}{2} \\ c = \dfrac{1}{2} \\ d = 2 \\ \end{matrix} \right.$ .

Vậy $R = \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} - 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$
Câu 30: Nhận biết
Tìm tâm mặt cầu
Mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 9$ có tâm là:
- A.
  $I( - 1; - 2;0).$
- B.
  $I( - 1;2;0).$
- C.
  $I(1;2;0).$
- D.
  $I(1; - 2;0).$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có dạng $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ có tâm $I(a;b;c)$ , bán kính $R.$

Mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 9$ có tâm là $I\left( {1; - 2;0} \right).$
Câu 31: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Cho 4 điểm $A(3; - 2; - 2),\ B(3;2;0),\ C(0;2;1)$ và $D( - 1;1;2)$ . Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng $(BCD)$ có phương trình là:
- A.
  $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = \sqrt{14}.$
- B.
  $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 14.$
- C.
  $(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = \sqrt{14}.$
- D.
  $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14.$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(BCD)$ đi qua $B(3;2;0)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right\rbrack = (1;2;3)$

$\Rightarrow (BCD):x + 2y + 3z - 7 = 0$

Vì mặt cầu $(S)$ có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $(BCD)$ nên bán kính

$R = d\left( A,(BCD) \right) = \frac{\left| 3 + 2.( - 2) + 3.( - 2) - 7 \right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}} = \sqrt{14}$ .

Vậy phương trình mặt cầu $(S):(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 2)^{2} = 14.$
Câu 32: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu có tâm $I( - 1;2; - 3)$ , bán kính $R = 3$ là:
- A.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 3.$
- B.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 3.$
- C.
  $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 9.$
- D.
  $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu có tâm $I( - 1;2; - 3)$ , bán kính $R = 3$ có phương trình: $(x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 9.$
Câu 33: Thông hiểu
Xác định tâm mặt cầu
Nếu mặt cầu $(S)$ đi qua bốn điểm $M(2;2;2),\ N(4;0;2),\ P(4;2;0)$ và $Q(4;2;2)$ thì tâm $I$ của $(S)$ có toạ độ là:
- A.
  $( - 1; - 1;0).$
- B.
  $(1;2;1).$
- C.
  $(1;1;1).$
- D.
  $(3;1;1).$
Hướng dẫn:
Gọi phương trình mặt cầu (S) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ , $\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \right)$ .

Do $M(2;2;2) \in (S) \Leftrightarrow$ $- 4a - 4b - 4c + d = - 12$ (1)

$N(4;0;2) \in (S) \Leftrightarrow - 8a - 4c + d = - 20$ (2)

$P(4;2;0) \in (S) \Leftrightarrow - 8a - 4b + d = - 20$ (3)

$Q(4;2;2) \in (S) \Leftrightarrow - 8a - 4b - 4c + d = - 24$ (4)

Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta có $a = 1,\ b = 2,\ c = 1,\ d = - 8$ , suy ra mặt cầu (S) có tâm $I(1;2;1)$
Câu 34: Nhận biết
Chọn đáp án thích hợp
Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt cầu?
- A.
  $2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 1 = 0.$
- C.
  $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x.$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x = 0.$
Gợi ý:
Phương trình mặt cầu $(S)$ có hai dạng là:

(1) $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ ;

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ .

Từ đây ta có dấu hiệu nhận biết nhanh chóng, hoặc thực hiện phép biến đổi đưa phương trình cho trước về một trong hai dạng trên.

Hướng dẫn:
Ở các đáp án $2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1$ , $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 2y + 1 = 0$ , $(x + y)^{2} = 2xy - z^{2} + 1 - 4x$ đều thỏa mãn điều kiện phương trình mặt cầu. Tuy nhiên ở đáp án $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x = 0.$ thì phương trình: $2x^{2} + 2y^{2} = (x + y)^{2} - z^{2} + 2x - 1 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2xy - 2x + 1 = 0$ không đúng dạng phương trình mặt cầu.
Câu 35: Thông hiểu
Xác định tọa độ tâm mặt cầu
Cho các điểm $A(0;1;3)$ và $B(2;2;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 3}{- 2}$ . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d thì tọa độ tâm là:
- A.
  $\left( \frac{3}{2};\frac{3}{2};2 \right).$
- B.
  $\left(\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right).$
- C.
  $\left( \frac{13}{10};\frac{17}{10};\frac{12}{5} \right).$
- D.
  $\left(\frac{6}{5};\frac{9}{5};\frac{13}{5} \right).$
Hướng dẫn:
Gọi $I(1 + t;2 - t;3 - 2t)$ trên d vì $IA = IB \Rightarrow t = \frac{3}{10} \Rightarrow I\left( \frac{13}{10};\frac{17}{10};\frac{12}{5} \right).$
Câu 36: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) có phương trình:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 36.$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 56.$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 4.$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 16.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ , bán kính R và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz): $y = 0 \Leftrightarrow R = d\left( I;(Oxz) \right)$

$\Leftrightarrow R = \frac{|4|}{1} = 4$ .

Vậy $(S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 16.$
Câu 37: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt cầu
Cho mặt phẳng $(P):2x + 3y + z - 2 = 0$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm I thuộc trục Oz, bán kính bằng $\frac{2}{\sqrt{14}}$ và tiếp xúc mặt phẳng (P) có phương trình:
- A. $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{2}{7}$ hoặc $x^{2} + y^{2} + (z - 4)^{2} = \frac{2}{7}.$
- B. $x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = \frac{2}{7}$ hoặc $x^{2} + y^{2} + (z + 2)^{2} = \frac{2}{7}.$
- C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{2}{7}$ hoặc $x^{2} + y^{2} + (z - 1)^{2} = \frac{2}{7}.$
- D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{2}{7}$ hoặc $x^{2} + y^{2} + (z - 4)^{2} = \frac{2}{7}.$
Hướng dẫn:
Vì tâm $I \in Oz \Rightarrow I(0;0;z)$

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ tiếp xúc với mặt phẳng

$(P) \Leftrightarrow d\left( I,(\beta) \right) = R \Leftrightarrow \frac{|2.0 + 3.0 + 1.z - 2|}{\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{14}}$

$\Leftrightarrow |z - 2| = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} z = 0 \Rightarrow I(0;0;0) \\ z = 4 \Rightarrow I(0;0;4) \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình mặt cầu . $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{2}{7}$ hoặc $(S):x^{2} + y^{2} + (z - 4)^{2} = \frac{2}{7}.$
Câu 38: Nhận biết
Tính đường kính mặt cầu
Cho các điểm $A(1;3;1)$ và $B(3;2;2)$ . Mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz có đường kính là:
- A.
  $2\sqrt{6}.$
- B.
  $2\sqrt{10}.$
- C.
  $\sqrt{14}.$
- D.
  $2\sqrt{14}.$
Hướng dẫn:
Gọi $I(0;0;t)$ trên Oz vì $IA = IB \Rightarrow t = 3 \Rightarrow I(0;0;3)$

$\Rightarrow R = IA = \sqrt{14} \Rightarrow$ đường kính là: $2\sqrt{14}$ .
Câu 39: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho điểm $I(0;0;3)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 + t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right.\ .$ Phương trình mặt cầu (S) có tâm $I$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $A,\ B$ sao cho tam giác $IAB$ vuông là:
- A.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{2}{3}.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{3}{2}.$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{8}{3}.$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{4}{3}.$
Hướng dẫn:
Gọi $H( - 1 + t;2t;2 + t) \in d$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$ $\Rightarrow \overrightarrow{IH} = ( - 1 + t;2t; - 1 + t)$

Ta có vectơ chỉ phương của $d$ : $\overrightarrow{a_{d}} = (1;2;1)$ và $IH\bot d$

$\Rightarrow \overrightarrow{IH}.\overrightarrow{a_{d}} = 0 \Leftrightarrow - 1 + t + 4t - 1 + t = 0 \Leftrightarrow - 2 + 6t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( - \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3} \right)$

$\Rightarrow IH = \sqrt{\left( \frac{2}{3} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3} \right)^{2} + \left( \frac{2}{3} \right)^{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Vì tam giác $IAB$ vuông tại $I$ và $IA = IB = R$ . Suy ra tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$ , do đó bán kính:

$R = IA = ABcos45^{0} = 2IH.\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}IH = \sqrt{2}.\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Vậy phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + (z - 3)^{2} = \frac{8}{3}$ .
Câu 40: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu có tâm $I(3;6; - 4)$ và cắt trục Oz tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng $6\sqrt{5}$ là:
- A.
  $(x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 4)^{2} = 49.$
- B.
  $(x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 4)^{2} = 36.$
- C.
  $(x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 4)^{2} = 45.$
- D.
  $(x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 4)^{2} = 54.$
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu của $I(3;6; - 4)$ trên Oz

$\Rightarrow H(0;0; - 4) \Rightarrow IH = d(I;Ox) = \sqrt{45}$

$S_{\Delta AIB} = \frac{IH.AB}{2} \Rightarrow AB = \frac{2S_{\Delta AIB}}{IH} = 4$

$\Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 49$

Vậy phương trình mặt cầu là: $(x - 3)^{2} + (y - 6)^{2} + (z + 4)^{2} = 49.$
Câu 41: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( \sqrt{5};3;9 \right)$ và tiếp xúc trục hoành là:
- A.
  $\left( x + \sqrt{5} \right)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 9)^{2} = 90.$
- B.
  $\left( x - \sqrt{5} \right)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 9)^{2} = 90.$
- C.
  $\left( x + \sqrt{5} \right)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 9)^{2} = 86.$
- D.
  $\left( x - \sqrt{5} \right)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 9)^{2} = 14.$
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu của $I\left( \sqrt{5};3;9 \right)$ trên Ox

$\Rightarrow H\left( \sqrt{5};0;0 \right) \Rightarrow R = IH = \sqrt{90}$

Vậy phương trình mặt cầu là: $\left( x - \sqrt{5} \right)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 9)^{2} = 90.$
Câu 42: Nhận biết
Viết phương trình mặt cầu
Mặt cầu $(S)$ tâm $I(3; - 3;1)$ và đi qua $A(5; - 2;1)$ có phương trình:
- A.
  $(x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 5.$
- B.
  $(x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} + (z - 1)^{2} = \sqrt{5}.$
- C.
  $(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 1)^{2} = \sqrt{5}.$
- D.
  $(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 5.$
Hướng dẫn:
Bán kính mặt cầu là: $R = IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{5}$

Vậy phương trình của mặt cầu là: $(S):(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} + (z - 1)^{2} = 5$ .
Câu 43: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt cầu tương ứng
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ tiếp xúc với trục Oz có phương trình:
- A.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 20.$
- B.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 56.$
- C.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 52.$
- D.
  $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 40.$
Hướng dẫn:
Mặt cầu tâm $I(2;4;6)$ , bán kính R và tiếp xúc trục Ox $\Leftrightarrow R = d(I;Oz)$

$\Leftrightarrow R = \sqrt{x_{I}^{2} + y_{I}^{2}} = \sqrt{20}$ .

Vậy $(S):(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 6)^{2} = 20.$

Lưu ý : Học sinh hoàn toàn có thể sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải quyết.
Câu 44: Nhận biết
Tính bán kính mặt cầu
Mặt cầu $(S):$ $3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} - 6x + 12y + 2 = 0$ có bán kính bằng:
- A.
  $\frac{\sqrt{7}}{3}$ .
- B.
  $\frac{\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{7}}}{\mathbf{3}}$ .
- C.
  $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .
- D.
  $\sqrt{\frac{13}{3}}$ .
Hướng dẫn:
Biến đổi $3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} - 6x + 12y + 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4y + \frac{2}{3} = 0$ có tâm $I(1; - 2;0)$ , bán kính $R = \sqrt{\frac{13}{3}}$ .
Câu 45: Nhận biết
Tìm phương trình mặt cầu
Cho hai điểm $A(1;0; - 3)$ và $B(3;2;1)$ . Phương trình mặt cầu đường kính AB là:
- A.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z = 0.$
- B.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x - 2y + 2z = 0.$
- C.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - y + z - 6 = 0.$
- D.
  $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z + 6 = 0.$
Hướng dẫn:
Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;2;4) \Rightarrow AB = 2\sqrt{6}$ . Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm AB nên $I(2;1; - 1)$ , bán kính $R = \frac{AB}{2} = \sqrt{6}$ .

Vậy đáp án cần tìm là: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 2y + 2z = 0.$ .
Câu 46: Thông hiểu
Tìm điểm thuộc mặt cầu (S)
Mặt cầu (S) có tâm $I(2;1; -1)$ và cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu (S):
- A.
  $(2;1;1).$
- B.
  $(1;0;0).$
- C.
  $(2;1;0).$
- D.
  $(2;0;0).$
Hướng dẫn:
Gọi H là hình chiếu của $I(2;1; -1)$ trên Ox $\Rightarrow H(2;0;0) \Rightarrow IH = d(I,\ Ox) = \sqrt{2}$

$\Rightarrow R^{2} = IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2} = 4$

Vậy phương trình mặt cầu là : $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 1)^{2} = 4$

$\Rightarrow (2;1;1) \in (S).$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Bọ Cạp

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập Toán 12 Phương trình mặt cầu cơ bản

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

C. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập Toán 12 Phương trình mặt cầu cơ bản

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đổi điểm làm bài

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

C. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI