Chuyên đề Toán 12 Biểu diễn tọa độ các phép toán vectơ
Bài tập Toán 12 Biểu diễn tọa độ các phép toán vectơ Có đáp án
Trong chương trình Toán 12, chuyên đề về biểu diễn tọa độ các phép toán vectơ đóng vai trò quan trọng giúp học sinh nắm chắc kiến thức nền tảng của hình học giải tích. Đây là một trong những nội dung thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia môn Toán, đòi hỏi sự chính xác trong công thức và kỹ năng vận dụng linh hoạt. Bài viết này sẽ hệ thống lý thuyết, công thức trọng tâm và các dạng bài tập điển hình, hỗ trợ bạn học nhanh – nhớ lâu – làm bài hiệu quả.
A. Đề bài trắc nghiệm biểu diễn tọa độ các phép toán vectơ
Câu 1: Trong không gian 
\(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y
+ 1}{1} = \frac{z - 1}{2}\) và điểm \(M(1\ ;2\ ;\ - 3)\). Gọi \(M_{1}\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\). Độ dài đoạn thẳng \(OM_{1}\) bằng:
A. \(2\sqrt{2}\) B. \(\sqrt{6}\) C. \(3\) D. \(2\)
Câu 2: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(3;1; - 2)\), \(B(2; - 3;5)\). Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA
= 2MB\), tọa độ điểm \(M\) là:
A. \(M\left( \frac{7}{3};\frac{-
5}{3};\frac{8}{3} \right)\) B. \(M(4;5; - 9)\)
C. \(M\left( \frac{3}{2}; - 5;\frac{17}{2}
\right)\) D. \(M(1; - 7;12)\)
Câu 3: Trong không gian \((oxyz)\) cho \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i}
- 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k},\) điểm \(B(3; - 4;1)\) và điểm \(C(2;0; - 1).\) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là;
A. \((1; - 2;3).\) B. \(( - 2;2; - 1).\) C. \((2; - 2;1).\) D. \(( - 1;2; - 3).\)
Câu 4: Trong không gian vói hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hình thang cân \(ABCD\) có hai đáy \(AB\), \(CD\) thỏa mãn \(CD = 2AB\) và diện tích bằng \(27\), đỉnh \(A( -
1; - 1;0)\), phương trình đường thẳng chứa cạnh \(CD\) là\(\frac{x
- 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}\) . Tìm tọa độ điểm \(D\) biết \(x_{B} > x_{A}\).
A. \(D( - 2; - 5;1)\) B. \(D( - 3; - 5;1)\) C. \(D(2; -5;1)\) D. \(D(3; - 5;1)\)
Câu 5: Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{i}
- 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}\), điểm \(B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1)\) và điểm \(C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)\). Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là:
A. \((1\ ;\ - 2\ ;\ 3)\) B. \(( - 2\ ;\ 2\ ;\ - 1)\) C. \((2\ ;\ - 2\ ;\ 1)\) D. \(( - 1\ ;\ 2\ ;\ - 3)\)
Câu 6: Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{i} -
2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}\), điểm \(B(3\ ;\ - 4\ ;\ 1)\) \(C(2\ ;\ 0\ ;\ - 1)\)và điểm \(D(a\ ;\ b\ ;\ c)\) sao cho \(B\) là trọng tâm tam giác \(ACD\). Khi đó \(P
= a + b + c\) bằng:
A. 1 B. -3 C. -1 D. 3
Câu 7: Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) biết \(A(1;0;1)\), \(B(2;1;2)\), \(D(1; - 1;1)\), \(C'(4;5; - 5)\). Tọa độ của điểm \(A'\) là:
A. \(A'(4;6; - 5)\) B. \(A'( - 3;4; - 1)\) C. \(A'(3;5; - 6)\) D. \(A'(3;5;6)\)
Câu 8: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(2 ; - 2 ; 1)\), \(B(0 ;1; 2)\). Tọa độ điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \((Oxy)\) sao cho ba điểm \(A\), \(B\), \(M\) thẳng hàng là:
A. \(M(4\ ;\ - 5\ ;\ 0)\) B. \(M(2\ ;\ - 3\ ;\ 0)\) C. \(M(0 ; 0 ; 1)\) D. \(M(4 ; 5 ; 0)\)
Câu 9: Trong không gian \(Oxyz\), vectơ \(\overrightarrow{u}\) vuông góc với hai vectơ \(\overrightarrow{a} = (1\ ;\ 1\
;\ 1)\) và \(\overrightarrow{b} = (1\ ;
- 1\ ;3)\); đồng thời \(\overrightarrow{u}\) tạo với tia \(Oz\) một góc tù và độ dài vectơ \(\overrightarrow{u}\) bằng 3. Tìm vectơ \(\overrightarrow{u}\).
A. \(\left( \sqrt{6}\ ;\ -
\frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2} \right)\) B. \(\left( \sqrt{6}\ ;\
\frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ - \frac{\sqrt{6}}{2} \right)\)
C. \(\left( - \sqrt{6}\ ;\
\frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2} \right)\) D. \(\left( - \sqrt{6}\ ;\ -
\frac{\sqrt{6}}{2}\ ;\ \frac{\sqrt{6}}{2} \right)\)
Câu 10: Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm\(A(3\ ;\ 5\ ;\ - 1)\), \(B(7\ ;\ x\ ;\ 1)\)và \(C(9\ ;\ 2\ ;\ y)\). Để \(A\), \(B\), \(C\) thẳng hàng thì giá trị \(x + y\) bằng:
A. 5 B. 6 C. 4 D. 7
Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A( - 2;3;4),B(8; - 5;6)\). Hình chiếu vuông góc của trung điểm I của đoạn AB trên mặt phẳng \((Oyz)\) là điểm nào dưới đây?
A. \(N(3; - 1;5)\) B. \(M(0; - 1;5)\) C. \(Q(0;0;5)\) D. \(P(3;0;0)\)
Câu 12: Trong không gian \(Oxyz\) cho ba điểm \(A( - 1\ ;\ 1\ ;\ 2)\), \(B(0\ ;\ 1\ ;\ - 1)\), \(C(x + 2;y; - 2)\) thẳng hàng. Tổng \(x + y\) bằng:
A. \(\frac{7}{3}\) B. \(- \frac{8}{3}\) C. \(- \frac{2}{3}\) D. \(- \frac{1}{3}\)
Câu 13: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(H(2;1;1)\). Gọi các điểm \(A,\ B,\ C\) lần lượt ở trên các trục tọa độ \(Ox,\ Oy,\ Oz\) sao cho \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Khi đó hoành độ điểm \(A\) là:
A. -3 B. -5 C. 3 D. 5
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), biết \(\left| \overrightarrow{u} \right| = 2\); \(\left| \overrightarrow{v} \right| =
1\) và góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{u}\)và \(\overrightarrow{v}\) bằng \(\frac{2\pi}{3}\). Tìm \(k\) để vectơ \(\overrightarrow{p} = k\overrightarrow{u} +
\overrightarrow{v}\) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{q} = \overrightarrow{u} -
\overrightarrow{v}\).
A. \(k = \frac{2}{5}\) B. \(k = \frac{5}{2}\) C. \(k = 2\) D. \(k = - \frac{2}{5}\)
Câu 15: Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(A( - 1;\ 2;\ 0)\), \(B(3;\ 1;\ 0)\), \(C(0;\ 2;\ 1)\) và \(D(1;\ 2;\ 2)\). Trong đó có ba điểm thẳng hàng là:
A. \(A\), \(C\), \(D\). B. \(A\), \(B\), \(D\). C. \(B\), \(C\), \(D\). D. \(A\), \(B\), \(C\).
Câu 16: Trong không gian tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;0;0)\), \(B(5;0;0)\). Gọi \((H)\) là tập hợp các điểm \(M\) trong không gian thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} =
0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \((H)\) là một đường tròn có bán kính bằng \(4\).
B. \((H)\) là một mặt cầu có bán kính bằng \(4\).
C. \((H)\) là một đường tròn có bán kính bằng \(2\).
D. \((H)\) là một mặt cầu có bán kính bằng \(2\)
B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm
|
1 - B |
2 - A |
3 – C |
4 - A |
5 - C |
6 - A |
7 - C |
8 - A |
9 – A |
|
10 - A |
11 - B |
12 - C |
13 - C |
14 - A |
15 - A |
16 - D |
17 - A |
18 – A |
|
19 - A |
20 - D |
21 - A |
22 - A |
23 - B |
24 - B |
25 - C |
26 - B |
27 – C |
|
28 - C |
29 - B |
30 - D |
31 - A |
32 - B |
33 - B |
34 - B |
|
|
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Cách 1: Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{
\begin{matrix}
x = 3 + 2t \\
y = - 1 + t \\
z = 1 + 2t
\end{matrix} \right.\).
Một vtcp của \(d\) là \(\overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)\).
Gọi \((\alpha)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(M(1\ ;2\ ;\ - 3)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\). Khi đó \((\alpha)\) có vtpt là \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} = (2\ ;\
1\ ;\ 2)\).
Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\): \(2(x - 1) + 1(y - 2) + 2(z + 3) = 0\) \(\Leftrightarrow 2x + y + 2z + 2 =
0\).
\(M_{1}\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\) nên \(M_{1}\) là giao điểm của \(d\) và \((\alpha)\).
Xét hệ phương trình: \(\left\{
\begin{matrix}
x = 3 + 2t\ \ \ \ \ (1) \\
y = - 1 + t\ \ \ \ \ (2) \\
z = 1 + 2t\ \ \ \ \ \ (3) \\
2x + y + 2z + 2 = 0\ (4)
\end{matrix} \right.\)
Thay \((1),(2),(3)\) vào \((4)\) ta được: \(2(3 + 2t) - 1 + t + 2(1 + 2t) + 2 = 0
\Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Suy ra \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = - 2 \\
z = - 1
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ -
1)\).
Độ dài đoạn thẳng \(OM_{1}\) là: \(OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -
1)^{2}} = \sqrt{6}\).
Cách 2: Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(\left\{
\begin{matrix}
x = 3 + 2t \\
y = - 1 + t \\
z = 1 + 2t
\end{matrix} \right.\).
Một vtcp của \(d\) là \(\overrightarrow{u} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)\).
\(M_{1} \in d \Rightarrow M_{1}(3 + 2t\
;\ - 1 + t\ ;\ 1 + 2t)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{MM_{1}} = (2
+ 2t\ ;\ - 3 + t\ ;\ 4 + 2t)\).
Ta có \(\overrightarrow{MM_{1}}\bot\overrightarrow{u}
\Leftrightarrow \overrightarrow{MM_{1}}.\overrightarrow{u} = 0
\Leftrightarrow 4 + 4t - 3 + t + 8 + 4t = 0 \Leftrightarrow t = -
1\).
Suy ra \(M_{1}(1\ ;\ - 2\ ;\ -
1)\)
Độ dài đoạn thẳng \(OM_{1}\) là: \(OM_{1} = \sqrt{1^{2} + ( - 2)^{2} + ( -
1)^{2}} = \sqrt{6}\).
Câu 2:
Gọi \(M(x;\ y;\ z)\).
Vì điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(MA
= 2MB \Rightarrow \overrightarrow{AM} =
2\overrightarrow{MB}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = \frac{7}{3} \\
y = - \frac{5}{3} \\
z = \frac{8}{3}
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow M\left( \frac{7}{3}; -
\frac{5}{3};\frac{8}{3} \right)\)
Vậy \(M\left( \frac{7}{3};\frac{-
5}{3};\frac{8}{3} \right)\).
Câu 3:
Ta có \(\overrightarrow{OA} =
\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} = >
A(1; - 2;3).\)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ta có
\(\left\{ \begin{matrix}
x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{1 + 3 + 2}{3} = 2 \\
y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{- 2 - 4 + 0}{3} = - 2 \\
z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \frac{3 + 1 - 1}{3} = 1
\end{matrix} \right.\).
Vậy \(G(2; - 2;1).\)
Câu 4:
Hình vẽ minh họa
Gọi điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên đường thẳng \(CD\).
Khi đó \(H(2 + 2t; - 1 + 2t;3 + t) \Rightarrow \overrightarrow{AH} = (3 + 2t;2t;3 + t)\) .
Đường thẳng \(CD\)có vtcp là: \(\overrightarrow{u}(2;2;1)\).
Ta có:
\(\overrightarrow{AH}\bot\overrightarrow{u}
\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u} = 0\) \(\Rightarrow 2(3 + 2t) + 2.2t + 3 + t = 0\)
\(\Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H(0; -
3;2) \Rightarrow AH = 3\).
Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và song song với \(CD \Rightarrow\) Phương trình \(AB\) là: \(\frac{x
+ 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}\)
\(B \in AB \Rightarrow B( - 1 + 2a; - 1 +
2a;a)\)
\(\Rightarrow AB = 3|a|
\Rightarrow CD = 6|a|\)
Theo bài ra ta có: \(S_{ABCD} = \frac{AB +
CD}{2}.AH\)
\(\Leftrightarrow \frac{3|a| + 6|a|}{2}.3 =
27\) \(\Leftrightarrow |a| = 2
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = 2 \\
a = - 2
\end{matrix} \right.\)
Với \(a = - 2 \Rightarrow B( - 5; - 5; -
2)\) .
Với \(a = 2 \Rightarrow B(3;3; -
2)\)
Ta có: \(\overrightarrow{DH} =
\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \Rightarrow D( - 2; - 5;1)\)
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
------------------------------------------------------------------
Như vậy, chuyên đề Toán 12 biểu diễn tọa độ các phép toán vectơ không chỉ giúp bạn làm chủ kỹ năng giải toán hình học giải tích mà còn rèn luyện tư duy logic, tính toán chính xác. Hy vọng nội dung trên sẽ là tài liệu hữu ích trong quá trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán, giúp bạn tự tin xử lý mọi dạng bài liên quan đến vectơ và đạt kết quả cao trong kỳ thi quan trọng sắp tới.
