VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12 Tương giao đồ thị hàm số Vận dụng cao

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Bài toán tương giao đồ thị hàm số Nâng cao. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 33 câu
Điểm số bài kiểm tra: 33 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
Cho đồ thị hàm số $f(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{f'\left( x_{1} \right)} + \frac{1}{f'\left( x_{2} \right)} + \frac{1}{f'\left( x_{3} \right)}.$
- A.
  $P = 3 + 2b + c$ .
- B.
  $P = \frac{1}{2b} + \frac{1}{c}$ .
- C.
  $P = b + c + d$ .
- D.
  $P = 0$ .
Hướng dẫn:
Vì $x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình bậc ba $f(x) = 0$

$\Rightarrow f(x) = \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight)\left( x - x_{3} ight)$

Ta có $f'(x) = \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{2} ight) + \left( x - x_{2} ight)\left( x - x_{3} ight) + \left( x - x_{1} ight)\left( x - x_{3} ight)$ .

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} f'\left( x_{1} ight) = \left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight) \\ f'\left( x_{2} ight) = \left( x_{2} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight) \\ f'\left( x_{3} ight) = \left( x_{3} - x_{1} ight)\left( x_{3} - x_{2} ight) \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $P = \frac{1}{\left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight)} + \frac{1}{\left( x_{2} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{1} ight)} + \frac{1}{\left( x_{3} - x_{1} ight)\left( x_{3} - x_{2} ight)}.$

$= \frac{\left( x_{2} - x_{3} ight) - \left( x_{1} - x_{3} ight) + \left( x_{1} - x_{2} ight)}{\left( x_{1} - x_{2} ight)\left( x_{1} - x_{3} ight)\left( x_{2} - x_{3} ight)} = 0$ .
Câu 2: Vận dụng
Xác định các giá trị thực tham số m
Cho hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 2m$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số thực $m$ để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?
- A.
  $0$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $2$ .
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{3} - 3mx^{2} + 2m = 0$ $(*)$

Phương trình $ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0$ có ba nghiệm lập thành cấp số cộng

$\overset{}{ightarrow}$ Phương trình có một nghiệm $x_{0} = - \frac{b}{3a}$ .

Suy ra phương trình $(*)$ có một nghiệm $x = m.$

Thay $x = m$ vào phương trình $(*)$ , ta được $m^{3} - 3m\ .\ m^{2} + 2m = 0 \Leftrightarrow - 2m^{3} + 2m = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \pm 1 \\ m = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Thử lại:

Với $m = 1$ , ta được $x^{3} - 3x^{2} + 2 = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 - \sqrt{3} \\ x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$ .

Do đó $m = 1$ thỏa mãn.

Với $m = - 1$ , ta được $x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 + \sqrt{3} \\ x = - 1 \\ x = - 1 - \sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$ .

Do đó $m = - 1$ thỏa mãn.

Với $m = 0$ , ta được $x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Do đó $m = 0$ không thỏa mãn.

Vậy $m = \pm 1$ là hai giá trị cần tìm.
Câu 3: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Có bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số $y = \frac{x}{1 - x}$ cắt đường thẳng $y = x - m$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $OA$ và $OB$ bằng $60^{0}$ ( với $O$ là gốc tọa độ)?
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $0$
- D.
  $1$
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{x}{1 - x} = x - m \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x eq 1 \\ x^{2} - mx + m = 0\ \ \ \ \ \ (*) \\ \end{matrix} ight.$

Để có hia điểm phân biệt $A,B$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác $1$

$\left\{ \begin{matrix} 1 - m + m eq 0 \\ m^{2} - 4m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 4 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biết $x_{1}$ , $x_{2}$ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m \\ x_{1}x_{2} = m \\ \end{matrix} ight.$

Giả sử $A\left( x_{1};x_{1} - m ight),B\left( x_{2};x_{2} - m ight)$ , suy ra: $\overrightarrow{OA}\left( x_{1};x_{1} - m ight),\overrightarrow{OB}\left( x_{2};x_{2} - m ight)$

Theo giả thiết góc giữa hai đường thẳng $OA$ và $OB$ bằng $60^{0}$ suy ra:

$\cos\left( \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} ight) = cos60^{0}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| x_{1}x_{2} + \left( x_{1} - m ight)\left( x_{2} - m ight) ight|}{\sqrt{x_{1}^{2} + \left( x_{1} - m ight)^{2}}\sqrt{x_{2}^{2} + \left( x_{2} - m ight)^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 2x_{1}x_{2}- m\left( x_{1} + x_{2} ight) + m^{2}ight|}{\sqrt{x_{1}^{2}x_{2}^{2} + \left( x_{1}x_{2} - mx_{2}ight)^2 + x_{1}^{2}\left( x_{1}x_{2} - m ight)^{2} + \left\lbrack\left( x_{1} - m ight)\left( x_{2} - m ight) ightbrack^{2}}} =\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\left| 2m - m^{2} + m^{2} ight|}{\sqrt{m^{2} + \left( m - mx_{2} ight)^{2} + \left( m - mx_{1} ight)^{2} + \left\lbrack x_{1}x_{2} - m\left( x_{1} + x_{2} ight) + m^{2} ightbrack^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{|2m|}{\sqrt{m^{2} + \left( m - mx_{2} ight)^{2} + \left( m - mx_{1} ight)^{2} + \left\lbrack m - m^{2} + m^{2} ightbrack^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{2 + \left( 1 - x_{2} ight)^{2} + \left( 1 - x_{1} ight)^{2}}} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2 + \left( 1 - x_{2} ight)^{2} + \left( 1 - x_{1} ight)^{2} = 16$

$\Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) = 12$

$\Leftrightarrow m^{2} - 4m - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 6 \\ m = - 2 \\ \end{matrix} ight.$
Câu 4: Thông hiểu
Tìm m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = \frac{3x - 2m}{mx + 1}$ với $m$ là tham số. Biết rằng với mọi $m eq 0,$ đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng $d:y = 3x - 3m$ tại hai điểm phân biệt $A$ , $B.$ Tích tất cả các giá trị của $m$ tìm được để đường thẳng $d$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $C,D$ sao cho diện tích $\Delta OAB$ bằng 2 lần diện tích $\Delta OCD$ bằng
- A.
  $- \frac{4}{9}$ .
- B.
  $- 4$ .
- C.
  $0$ .
- D.
  $- 1$ .
Hướng dẫn:
Với $m eq 0$ , xét phương trình $\frac{3x - 2m}{mx + 1} = 3x - 3m$

$\Leftrightarrow 3x^{2} - 3mx - 1 = 0$ . (*)

Gọi tọa độ các giao điểm của $d$ với đồ thị hàm số đã cho là: $A\left( x_{1};3x_{1} - 3m ight)$ , $B\left( x_{2};3x_{2} - 3m ight)$ .

Tọa độ các điểm $C$ , $D$ là $C(m;0)$ và $D(0; - 3m)$ .

Gọi $h = d_{(O,d)}$ thì $h$ là chiều cao của các tam giác $OAB$ và $OC D$ .

Theo giả thiết: $S_{\bigtriangleup OAB} = 2S_{\bigtriangleup OCD}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB.h = 2.\frac{1}{2}CD.h$

$\Leftrightarrow AB = 2CD \Leftrightarrow AB^{2} = 4CD^{2}$

$\Leftrightarrow \left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} + \left\lbrack 3\left( x_{1} - x_{2} ight) ightbrack^{2} = 4\left\lbrack m^{2} + ( - 3m)^{2} ightbrack$

$\Leftrightarrow 10\left( x_{1} - x_{2} ight)^{2} = 40m^{2} \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 4x_{1}x_{2} = 4m^{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} + \frac{4}{3} = 4m^{2} \Leftrightarrow m^{2} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow m = \pm \frac{2}{3}$ .

Vậy tích các giá trị của $m$ là $- \frac{4}{9}$ .
Câu 5: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2x^{2}$ tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là $0,1,m,n$ . Tính $S = m^{2} + n^{2}$ .
- A.
  $S = 1$ .
- B.
  $S = 3$ .
- C.
  $S = 2$ .
- D.
  $S = 0$ .
Hướng dẫn:
Gọi phương trình đường thẳng là $d:y = ax + b.$

Theo đề ta có $0,1,m,n$ là các nghiệm của phương trình: $x^{4} - 2x^{2} - ax - b = 0$ (1).

Vì x=0 ,x=1 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có: $\left\{ \begin{matrix} b = 0 \\ a + b = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Khi đó phương trình (1) trở thành: $x^{4} - 2x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x(x - 1)(x^{2} + x - 1) = 0$ .

Dễ thấy m,n là nghiệm của phương trình: $x^{2} + x - 1 = 0$ .

$S = m^{2} + n^{2} = (m + n)^{2} - 2mn = ( - 1)^{2} + 2 = 3$ .
Câu 6: Vận dụng
Tính giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu
Cho hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y = x - m$ , với $m$ là tham số thực. Biết rằng đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho điểm $G(2; - 2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ ( $O$ là gốc toạ độ). Giá trị của $m$ bằng
- A.
  $3$ .
- B.
  $5$ .
- C.
  $6$ .
- D.
  $- 9$ .
Hướng dẫn:
Hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1}$ có $y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} < 0$ , $\forall x \in D$ và đường thẳng $d:y = x - m$ có hệ số $a = 1 > 0$ nên $d$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A\left( x_{A};\ y_{A} ight)$ và $B\left( x_{B};\ y_{B} ight)$ với mọi giá trị của tham số $m$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ là: $\frac{x + 3}{x + 1} = x - m$

$\Leftrightarrow x^{2} - mx - m - 3 = 0\ \ \ \ (x eq - 1)$ .

Suy ra $x_{A}$ , $x_{B}$ là 2 nghiệm của phương trình $x^{2} - mx - m - 3 = 0$ .

Theo định lí Viet, ta có $x_{A} + x_{B} = m$ .

Mặt khác, $G(2; - 2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ nên $x_{A} + x_{B} + x_{O} = 3x_{G}$

$\Leftrightarrow x_{A} + x_{B} = 6$ $\Leftrightarrow m = 6$ .

Vậy $m = 6$ thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu 7: Vận dụng
Tìm các số thực dương m theo yêu cầu bài toán
Cho hàm số $y = x^{4} - 3x^{2} - 2$ . Tìm số thực dương $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại $2$ điểm phân biệt $A$ , $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$ , trong đó $O$ là gốc tọa độ.
- A.
  $m = \frac{3}{2}$ .
- B.
  $m = 2$ .
- C.
  $m = 1$ .
- D.
  $m = 3$ .
Hướng dẫn:
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

$x^{4} - 3x^{2} - 2 = m \Leftrightarrow x^{4} - 3x^{2} - 2 - m = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$ .

Vì $m > 0 \Leftrightarrow - 2 - m < 0$ hay phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

$x^{2} = \frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2} \Rightarrow x_{1} = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2}}$ và $x_{2} = - \sqrt{\frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2}}$ .

Khi đó: $A\left( x_{1};m ight)$ , $B\left( x_{2};m ight)$ .

Ta có tam giác $OAB$ vuông tại $O$ , trong đó $O$ là gốc tọa độ $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = 0 \Leftrightarrow x_{1}.x_{2} + m^{2} = 0$ .

$\Leftrightarrow \frac{3 + \sqrt{4m + 17}}{2} = m^{2}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m^{2} - 3 \geq 0 \\ 4m^{4} - 12m^{2} - 4m - 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{m > 0}{\leftrightarrow}m = 2$ .

Vậy $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Câu 8: Vận dụng
Chọn phát biểu đúng
Cho hàm số $y = x^{3} + 3mx^{2} - m^{3}$ có đồ thị $\left( C_{m} \right)$ và đường thẳng $d:y = m^{2}x + 2m^{3}$ . Biết rằng $m_{1},\ m_{2}\ \left( m_{1} > m_{2} \right)$ là hai giá trị thực của $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C_{m} \right)$ tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},\ \ x_{2},\ \ x_{3}$ thỏa mãn ${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + \ {x_{3}}^{4} = 83$ . Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị $m_{1},\ \ m_{2}$ ?
- A.
  $m_{1} - m_{2} = 0$ .
- B.
  $m_{1} + m_{2} = 0$ .
- C.
  ${m_{2}}^{2} + 2m_{1} > 4$ .
- D.
  ${m_{1}}^{2} + 2m_{2} > 4$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C_{m} ight)$

$x^{3} + 3mx^{2} - m^{3} = m^{2}x + 2m^{3}$

$\Leftrightarrow x^{3} + 3mx^{2} - m^{2}x - 3m^{3} = 0$

$\Leftrightarrow \left( x^{3} - m^{2}x ight) + \left( 3mx^{2} - 3m^{3} ight) = 0$

$\begin{matrix} \Leftrightarrow x\left( x^{2} - m^{2} ight) + 3m\left( x^{2} - m^{2} ight) = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 3m)\left( x^{2} - m^{2} ight) = 0 \\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3m \\ x = m \\ x = - m \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix}$

Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $\left( C_{m} ight)$ tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ $\Leftrightarrow m eq 0$ .

Khi đó, ${x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + \ {x_{3}}^{4} = 83 \Leftrightarrow m^{4} + ( - m)^{4} + ( - 3m)^{4} = 83$

$\Leftrightarrow 83m^{4} = 83 \Leftrightarrow m = \pm 1$

Vậy $m_{1} = 1,\ m_{2} = - 1$ hay $m_{1} + m_{2} = 0$ .
Câu 9: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = (m + 1)x^{4} - 2(2m - 3)x^{2} + 6m + 5$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có các hoành độ thỏa mãn $x_{\ ^{1}} < x_{\ ^{2}} < x_{\ ^{3}} < 1 < x_{\ ^{4}}.$
- A.
  $m \in \left( - 1;\frac{- 5}{6} ight)$ .
- B.
  $m \in ( - 3;1)$ .
- C.
  $m \in ( - 3; - 1)$ .
- D.
  $m \in ( - 4; - 1)$ .
Hướng dẫn:
C1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

$(m + 1)x^{4} - 2(2m - 3)x^{2} + 6m + 5 = 0(1)$

Đặt $t = x^{2} \geq 0$ pt trở thành $(m + 1)t^{2} - 2(2m - 3)t + 6m + 5 = 0(2)$

$g(t) = (m + 1)t^{2} - 2(2m - 3)t + 6m + 5$

Để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Hay $\left\{ \begin{matrix} m + 1 eq 0 \\ \Delta' > 0 \\ t_{1}.t_{2} > 0 \\ t_{1} + t_{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq - 1 \\ (2m - 3)^{2} - (m + 1)(6m + 5) > 0 \\ \frac{6m + 5}{m + 1} > 0 \\ \frac{2m - 3}{m + 1} > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq - 1 \\ \frac{- 23 - \sqrt{561}}{4} < m < \frac{- 23 + \sqrt{561}}{4} \\ m < - 1 \vee m > - \frac{5}{6} \\ m < - 1 \vee m > \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.\ (*)$

Để pt (1) có 4 nghiệm thỏa mãn $x_{\ ^{1}} < x_{\ ^{2}} < x_{\ ^{3}} < 1 < x_{\ ^{4}}$

thì pt (2) phải có 2 nghiệm thỏa $0 < t_{\ ^{1}} < 1 < t_{\ ^{2}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t_{1} - 1 < 0 \\ t_{2} - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left( t_{1} - 1 ight)\left( t_{2} - 1 ight) < 0 \Leftrightarrow t_{1}t_{2} - \left( t_{1} + t_{2} ight) + 1 < 0$

$\Leftrightarrow \frac{6m + 5}{m + 1} - \frac{2(2m - 3)}{m + 1} + 1 < 0$ $\Leftrightarrow \frac{3m + 12}{m + 1} < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < - 1$

Kết hợp với (*) ta có $m \in ( - 4; - 1)$ thỏa yêu cầu bài toán.

C2:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

$(m + 1)x^{4} - 2(2m - 3)x^{2} + 6m + 5 = 0(1)$

Đặt $t = x^{2} \geq 0$ pt trở thành $(m + 1)t^{2} - 2(2m - 3)t + 6m + 5 = 0(2)$

Để pt (1) có 4 nghiệm thỏa mãn $x_{\ ^{1}} < x_{\ ^{2}} < x_{\ ^{3}} < 1 < x_{\ ^{4}}$

thì pt (2) phải có 2 nghiệm thỏa $0 < t_{\ ^{1}} < 1 < t_{\ ^{2}}$

Phương trình (2) $\Leftrightarrow m = \frac{- t^{2} - 6t - 5}{t^{2} - 4t + 6}$ (biểu thức $t^{2} - 4t + 6 eq 0,\forall t$ )

Xét hàm số $f(t) = \frac{- t^{2} - 6t - 5}{t^{2} - 4t + 6}$ , với $t \in (0; + \infty)$

Ta có $f(t)$ liên tục trên $(0; + \infty)$ và có

$f'(t) = \frac{10t^{2} - 2t - 56}{\left( t^{2} - 4t + 6 ight)^{2}}$

$f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = \frac{1 - \sqrt{561}}{10} < 0 \\ t = \frac{1 + \sqrt{561}}{10} > 1 \\ \end{matrix} ight.$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $f(t) = \frac{- t^{2} - 6t - 5}{t^{2} - 4t + 6}$ tại hai giao điểm có hoàng độ thỏa $0 < t_{\ ^{1}} < 1 < t_{\ ^{2}}$ khi $- 4 < m < - 1$ .
Câu 10: Vận dụng cao
Tính giá trị f(0)
Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị đi qua điểm $A(1;1),B(2;4),C(3;9)$ . Các đường thẳng $AB,AC,BC$ lại cắt đồ thị lần lượt tại các điểm $M,N,P$ ( $M$ khác $A$ và $B$ , $N$ khác $A$ và $C$ , $P$ khác $B$ và $C$ . Biết rằng tổng các hoành độ của $M,N,P$ bằng 5, giá trị của $f(0)$ là
- A.
  6.
- B.
  18.
- C.
  $- 6$ .
- D.
  $- 18$ .
Hướng dẫn:
Từ giả thuyết bài toán ta giả sử

$f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2}$ ( $a eq 0$ )

Ta có: $AB:y = 3x - 2$ , $AC:y = 4x - 3$ , $BC:y = 5x - 6$ .

Khi đó:

Hoành độ của $M$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + {x_{M}}^{2} = 3x_{M} - 2$

$\Leftrightarrow a\left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight)\left( x_{M} - 3 ight) + \left( x_{M} - 1 ight)\left( x_{M} - 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{M} - 3 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{M} = 3 - \frac{1}{a}$ .

Hoành độ của $N$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + {x_{N}}^{2} = 4x_{N} - 3$

$\Leftrightarrow a\left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 2 ight)\left( x_{N} - 3 ight) + \left( x_{N} - 1 ight)\left( x_{N} - 3 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{N} - 2 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{N} = 2 - \frac{1}{a}$ .

Hoành độ của $P$ là nghiệm của phương trình:

$a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + {x_{P}}^{2} = 5x_{P} - 6$

$\Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight)\left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) + \left( x_{P} - 2 ight)\left( x_{P} - 3 ight) = 0$

$\Leftrightarrow a\left( x_{P} - 1 ight) + 1 = 0 \Leftrightarrow x_{P} = 1 - \frac{1}{a}$ .

Từ giả thuyết ta có; $x_{M} + x_{N} + x_{P} = 5 \Leftrightarrow 6 - \frac{3}{a} = 5 \Leftrightarrow a = 3$ .

Do đó: $f(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x - 3) + x^{2}$

$f(0) = - 18$ .
Câu 11: Vận dụng
Tìm giá trị lớn nhất của tham số m
Giá trị lớn nhất của $m$ để đường thẳng $(d):y = x - m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2(m - 2)x^{2} + (8 - 5m)x + m - 5$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ thỏa mãn điều kiện $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 20$ là
- A.
  $- \frac{3}{2}$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $1$ .
Hướng dẫn:
Hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

$x^{3} + 2(m - 2)x^{2} + (8 - 5m)x + m - 5 = x - m + 1$

$\Leftrightarrow (x - 2)\left\lbrack x^{2} + (2m - 2)x - m + 3 ightbrack = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{3} = 2 \\ x^{2} + (2m - 2)x - m + 3 = 0(1) \\ \end{matrix} ight.$ .

Đường thẳng $(d)$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1};x_{2}$ khác 2 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = (m - 1)^{2} + (m - 3) > 0 \\ 4 + (2m - 2).2 - m + 3 eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m eq - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.$ (2).

Khi đó, $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - (2m - 2) \\ x_{1}x_{2} = - m + 3 \\ \end{matrix} ight.$ .

Theo giả thiết $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 20 \Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 2x_{1}x_{2} + x_{3}^{2} = 20$

$\Leftrightarrow (2m - 2)^{2} + 2(m - 3) + 4 = 20$

$\Leftrightarrow 2m^{2} - 3m - 9 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 3 \\ m = - \frac{3}{2} \\ \end{matrix} ight.$ (thỏa mãn (2)).

Vậy giá trị lớn nhất của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $3$ .
Câu 12: Vận dụng
Tìm m để AB đạt giá trị nhỏ nhất
Tìm $m$ để đường thẳng $y = 2x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1}$ tại hai điểm $A,\ B$ sao cho độ dài $AB$ là nhỏ nhất.
- A.
  $2$ .
- B.
  $1$ .
- C.
  $- 1$ .
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Gọi hàm số $y = \frac{x + 3}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$ và đường thẳng $y = 2x + m$ có đồ thị là $(d).$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(d)$ : $\frac{x + 3}{x + 1} = 2x + m,\ \ \forall x eq - 1.$

$\Leftrightarrow x + 3 = 2x^{2} + 2x + mx + m\ \ \ \Leftrightarrow 2x^{2} + (m + 1)x + m - 3 = 0,\ \ \forall x eq 1\ \ \ \ (1)$

Để $(d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm $A,B\ \ \Leftrightarrow$ Phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $- 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ g( - 1) eq 0 \\ \end{matrix} ight.$ với $g(x) = 2x^{2} + (m + 1)x + m - 3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)^{2} - 4.2.(m - 3) > 0 \\ - 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 25 > 0,\ \ \forall m.$

Giả sử hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(d)$ là $x_{1},x_{2}$ .

Khi đó $A\left( x_{1};2x_{1} + m ight)B\left( x_{2};2x_{2} + m ight)$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có $x_{1} + x_{2} = - \frac{m + 1}{2};\ \ \ x_{1}x_{2} = \frac{m - 3}{2}$

Ta có $AB = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2} + \left( 2x_{2} - 2x_{1} ight)^{2}}$ $= \sqrt{5\left( x_{1} - x_{2} ight)^{2}} = \sqrt{5\left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 20x_{1}x_{2}}$

$AB = \sqrt{5.\left( \frac{m + 1}{2} ight)^{2} - 20.\frac{m - 3}{2}}$

$= \sqrt{\frac{5m^{2} + 10m + 5 - 40m + 120}{4}}$

$= \frac{\sqrt{5(m - 3)^{2} + 80}}{2} \geq 2\sqrt{5}.$

Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $m = 3.$

Vậy $m = 3$ thì độ dài $AB$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $2\sqrt{5}.$
Câu 13: Vận dụng
Xác định tham số m theo yêu cầu
Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{4} - 4x^{2} + 3 + m = 0$ có 4 nghiệm phân biệt là
- A.
  $( - 3\ ;1)$ .
- B.
  $(2\ ;4)$ .
- C.
  $( - 3\ ;0)$ .
- D.
  $( - 1\ ;3)$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $x^{4} - 4x^{2} + 3 + m = 0 \Leftrightarrow - x^{4} + 4x^{2} - 3 = m$ .

Xét hàm số $y = - x^{4} + 4x^{2} - 3$ , khi đó:

$y' = - 4x^{3} + 8x;y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \pm \sqrt{2} \\ x = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Suy ra $y_{CD} = 1;\ y_{CT} = - 3$ .

Vậy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì: $- 3 < m < 1 \Rightarrow m \in ( - 3\ ;1)$ .
Câu 14: Vận dụng
Tính giá trị biểu thức
Cho hàm số $y = \frac{3x + 2}{x + 2},(C)$ và đường thẳng $d:y = ax + 2b - 4$ . Đường thẳng d cắt ( C ) tại A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, khi đó $T = a + b$ bằng
- A.
  $T = \frac{7}{2}$ .
- B.
  $T = \frac{5}{2}$ .
- C.
  $T = 2$ .
- D.
  $T = 4$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ: $\frac{3x + 2}{x + 2} = ax + 2b - 4\ ;\ x eq - 2.$

$\Leftrightarrow ax^{2} + (2a + 2b - 7)x - 10 = 0\ (*).$

Đường thẳng d cắt ( C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 0 \\ (2a + 2b - 7)^{2} - 4a(4b - 10) > 0 \\ 4 eq 0\ \\ \end{matrix} ight.\ \ (2*)$

Gọi $A\left( x_{1};ax_{1} + 2b - 4 ight);\ B\left( x_{2};ax_{2} + 2b - 4 ight)$ .

Do A, B đối xứng nhau qua gốc O nên $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 0 \\ 4b - 8 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 0 \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$

Theo Viét của phương trình (*) ta có $x_{1} + x_{2} = \frac{7 - 2a - 2b}{a}.$

$\Rightarrow \frac{7 - 2a - 2b}{a} = 0 \Leftrightarrow 7 - 2a - 2b = 0 \Rightarrow a = \frac{3}{2}.$

Thay $\left\{ \begin{matrix} a = \frac{3}{2} \\ b = 2 \\ \end{matrix} ight.$ vào điều kiện (2*) tháy thỏa mãn.

Vậy $a + b = \frac{7}{2}.$
Câu 15: Vận dụng cao
Tính giá trị của biểu thức
Cho hàm số $y = x^{4} + 2mx^{2} + m$ (với $m$ là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng $y = - 3$ tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn $2$ còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn $1$ , là khoảng $(a;b)$ (với $a,b\mathbb{\in Q}$ , $a$ , $b$ là phân số tối giản). Khi đó, $15ab$ nhận giá trị nào sau đây?
- A.
  $- 95$ .
- B.
  $63$ .
- C.
  $95$ .
- D.
  $- 63$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ giao điểm $x^{4} + 2mx^{2} + m = - 3$ .

Đặt $x^{2} = t$ , $t \geq 0$ . Khi đó phương trình trở thành $t^{2} + 2mt + m + 3 = 0$ $(1)$

và đặt $f(t) = t^{2} + 2mt + m + 3$ .

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y = - 3$ tại $4$ điểm phân biệt thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm thỏa mãn $0 < t_{1} < t_{2}$ và khi đó hoành độ bốn giao điểm là $- \sqrt{t_{2}} < - \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{1}} < \sqrt{t_{2}}$ .

Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{t_{2}} > 2 \\ \sqrt{t_{1}} < 1 \\ \end{matrix} ight.$ hay $0 < t_{1} < 1 < 4 < t_{2}$ .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} f(0) > 0 \\ f(1) < 0 \\ f(4) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 3 > 0 \\ 3m + 4 < 0 \\ 9m + 19 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 < m < - \frac{19}{9}$ .

Vậy $a = - 3$ , $b = - \frac{19}{9}$ nên $15ab = 95$ .
Câu 16: Vận dụng
Tìm m tham số m thỏa mãn yêu cầu
Tất cả giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{3} + \left( m^{2} - 2 \right)x + 2m^{2} + 4$ cắt các trục tọa độ $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ bằng 8 là
- A.
  $m = \pm \sqrt{2}$ .
- B.
  $m = \pm \sqrt{3}$ .
- C.
  $m = \pm 1$ .
- D.
  $m = \pm 2$ .
Hướng dẫn:
Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là $B\left( 0\ ;\ 2m^{2} + 4 ight)$

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:

$x^{3} + \left( m^{2} - 2 ight)x + 2m^{2} + 4 = 0$ $\Leftrightarrow (x + 2)\left( x^{2} - 2x + m^{2} + 2 ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ (x - 1)^{2} + m^{2} + 1 = 0\ \ \ \ (vn) \\ \end{matrix} ight.$

Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là $A( - 2;0)$ .

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.2.\left( 2m^{2} + 4 ight) = 8 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}.$
Câu 17: Thông hiểu
Xác định các giá trị nguyên của tham số m
Cho hàm số $f(x) = (x - 1).(x - 2)...(x - 2023).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $\lbrack - 2023\ ;\ 2023brack$ để phương trình $f'(x) = m.f(x)$ có 2023 nghiệm phân biệt?
- A.
  2022.
- B.
  2023.
- C.
  4046.
- D.
  4040.
Hướng dẫn:
Ta có nhận xét: khi $f(x) = 0$ thì phương trình $f'(x) = m.f(x)$ vô nghiệm.

Do đó: $f'(x) = m.f(x) \Leftrightarrow m = \frac{f'(x)}{f(x)}.$

Xét hàm số $g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3} + \ldots + \frac{1}{x - 2023}$ .

Ta có

$g'(x) = \frac{- 1}{(x - 1)^{2}} + \frac{- 1}{(x - 2)^{2}} + \frac{- 1}{(x - 3)^{2}}$ $+ \ldots + \frac{- 1}{(x - 2023)^{2}} < 0,\forall x\mathbb{\in R}\backslash\left\{ 1;2;3...;2023 ight\}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, phương trình $f'(x) = m.f(x)$ có 2023 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m > 0$ hoặc $m < 0$ .

Kết hợp với điều kiện $m$ là số nguyên thuộc $\lbrack - 2023\ ;\ 2023brack$ nên

$m \in \left\{ n\mathbb{\in Z}| - 2023 \leq n \leq 2023,\ n eq 0 ight\}.$

Vậy có tất cả 4046 giá trị $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 18: Vận dụng cao
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hai hàm số $y = \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1}$ và $y = |x + 2| - x + m$

( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $\left( C_{1} \right)$ và $\left( C_{2} \right)$ . Tập hợp tất cả các giá trị của $m$ để $\left( C_{1} \right)$ và $\left( C_{2} \right)$ cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là
- A.
  $( - \infty;2brack$ .
- B.
  $\lbrack 2; + \infty)$ .
- C.
  $(2; + \infty)$ .
- D.
  $( - \infty;2)$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình $\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} = |x + 2| - x + m$

$\Leftrightarrow \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} - |x + 2| + x = m$ (1)

Hàm số $p(x) = \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} - |x + 2| + x$ .

$= \left\{ \begin{matrix} \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1} - 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ \ x \geq - 2 \\ \frac{x - 3}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{x - 1}{x} + \frac{x}{x + 1}\ + 2x + 2\ \ \ \ khi\ x < - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có

$p'(x) = \left\{ \begin{matrix}\frac{1}{(x - 2)^{2}} + \frac{1}{(x - 1)^{2}} + \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{(x + 1)^{2}} > 0,\forall x \in ( - 2; +\infty)\backslash\left\{ - 1;0;1;2 ight\} \\\frac{1}{(x - 2)^{2}} + \frac{1}{(x - 1)^{2}} + \frac{1}{x^{2}} +\frac{1}{(x + 1)^2} + 2 > 0,\forall x < - 2 \\\end{matrix} ight.$

nên hàm số $y = p(x)$ đồng biến trên mỗi khoảng $( - \infty; - 1)$ , $( - 1;0)$ , $(0;1)$ , $(1;2)$ , $(2; + \infty)$ .

Mặt khác ta có $\lim_{x ightarrow + \infty}p(x) = 2$ và $\lim_{x ightarrow - \infty}p(x) = - \infty$ .

Bảng biến thiên hàm số $y = g(x)$ :

Do đó để $\left( C_{1} ight)$ và $\left( C_{2} ight)$ cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = p(x)$ tại 4 điểm phân biệt $\Leftrightarrow m \geq 2$ .
Câu 19: Vận dụng cao
Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt
Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để phương trình $\left| x^{4} - 2x^{2} - 3 \right| = 2m - 1$ có đúng $6$ nghiệm thực phân biệt.
- A.
  $1 < m < \frac{3}{2}$ .
- B.
  $4 < m < 5$ .
- C.
  $2 < m < \frac{5}{2}$ .
- D.
  $3 < m < 4$ .
Hướng dẫn:
Xét $g(x) = x^{4} - 2x^{2} - 3$ có tập xác định: $D\mathbb{= R}$

$g'(x) = 4x^{3} - 4x$

$g'(x) = 0 \Leftrightarrow 4x^{3} - 4x = 0$ . $\Leftrightarrow 4x\left( x^{2} - 1 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Đồ thị hàm số $f(x) = \left| x^{4} - 2x^{2} - 3 ight|$ là:

Để phương trình $\left| x^{4} - 2x^{2} - 3 ight| = 2m - 1$ có đúng $6$ nghiệm thực phân biệt.

$\Leftrightarrow 3 < 2m - 1 < 4$ $\Leftrightarrow 4 < 2m < 5 \Leftrightarrow 2 < m < \frac{5}{2}$
Câu 20: Vận dụng cao
Tìm tất cả các giá trị tham số m
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hai hàm số $y = \left( 2x^{2} + 1 \right)\sqrt{x - 1}$ và $y = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m$ cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt?
- A.
  $( - \infty;2brack$ .
- B.
  $( - \infty;0)$ .
- C.
  $( - \infty;1brack$ .
- D.
  $( - \infty;1)$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m(*)$

Điều kiện: $\left\{ \begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x eq \frac{4}{3} \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 1 \\ x eq \frac{4}{3} \\ x eq 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $(*) \Leftrightarrow \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11 = m$

Xét hàm số $f(x) = \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11$ trên $\lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}$

Nhận thấy, hàm số $f(x)$ liên tục trên các khoảng $\left\lbrack 1;\frac{4}{3} ight),\ \left( \frac{4}{3};2 ight),\ (2\ ; + \infty)$

Ta có, $f'(x) = \left( \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1} - \frac{11}{3x - 4} + \frac{1}{2 - x} - 11 ight)^{'}$

$= 4x\sqrt{x - 1} + \left( 2x^{2} + 1 ight)\frac{1}{2\sqrt{x - 1}} + \frac{33}{(3x - 4)^{2}} + \frac{1}{(2 - x)^{2}}$

$= \frac{10x^{2} - 8x + 1}{2\sqrt{x - 1}} + \frac{33}{(3x - 4)^{2}} + \frac{1}{(2 - x)^{2}} > 0$ với $\forall x \in \lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}$

Suy ra, hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\lbrack 1;\ + \infty)\backslash\left\{ \frac{4}{3};\ 2 ight\}$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số $y = \left( 2x^{2} + 1 ight)\sqrt{x - 1}$ và $y = \frac{11}{3x - 4} - \frac{1}{2 - x} + 11 + m$ cắt nhau tại $2$ điểm phân biệt khi $m \in ( - \infty;1)$ .
Câu 21: Thông hiểu
Tìm các giá trị nguyên của tham số m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $y = - mx + m$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} + mx^{2} + m$ tại $3$ điểm phân biêt có hoành độ $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ thỏa mãn $- 1 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < 3$ ?.
- A.
  $6$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $5$ .
Hướng dẫn:
Ta có: $(d)\ y = - mx + m$ , $(C)\ y = x^{3} + mx^{2} + m$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(C)$ : $x^{3} + mx^{2} + mx = 0\ \ \ (1)$ .

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} + mx + m = 0\ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $x_{1},\ x_{2}$ là $2$ nghiệm của phương trình $(2)$ , $x_{3} = 0$ .

$(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (2)$ có $2$ nghiệm $x_{1},\ x_{2}$ phân biệt và khác $0$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0,\ \Delta = m^{2} - 4m \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in ( - \infty;0) \cup (4; + \infty)$ .

$(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt $x_{1},\ x_{2},\ x_{3}$ thỏa $- 1 < x_{1} + x_{2} + x_{3} < 3$ , với $x_{1} + x_{2} = - m$ , $x_{3} = 0$ .

$\Leftrightarrow - 1 < - m < 3$

$\Leftrightarrow - 3 < m < 1$ , mà $m \in ( - \infty;0) \cup (4; + \infty)$ , $m\mathbb{\in Z}$

$\Rightarrow m \in \left\{ - 2; - 1 ight\}$ . Vậy có $2$ giá trị $m$ .
Câu 22: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hai hàm số $y = x^{2} + x - 1$ và $y = x^{3} + 2x^{2} + mx - 3$ . Giá trị của tham số $m$ để đồ thị của hai hàm số có $3$ giao điểm phân biệt và $3$ giao điểm đó nằm trên đường tròn bán kính bằng $3$ thuộc vào khoảng nào dưới đây?
- A.
  $( - 2;\ 0)$ .
- B.
  $(0;\ + \infty)$ .
- C.
  $( - \infty;\ - 4)$ .
- D.
  $( - 4;\ - 2)$ .
Hướng dẫn:
Giả sử $m$ là số thực thỏa mãn bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị là

$x^{2} + x - 1 = x^{3} + 2x^{2} + mx - 3 \Leftrightarrow x^{3} + x^{2} + (m - 1)x - 2 = 0\ \ \ \ \ (1).$

Gọi $M\left( x_{0};\ y_{0} ight)$ là một trong $3$ giao điểm. Ta có

$\left\{ \begin{matrix} y_{0} = x_{0}^{2} + x_{0} - 1 \\ x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + (m - 1)x_{0} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y_{0}^{2} = x_{0}^{4} + 2x_{0}^{3} - x_{0}^{2} - 2x_{0} + 1(2) \\ x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + (m - 1)x_{0} - 2 = 0(3) \\ \end{matrix} ight.$ .

Từ $(2)$ và $(3)$ suy ra

$y_{0}^{2} = \left( x_{0} + 1 ight)\left\lbrack x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + (m - 1)x_{0} - 2 ightbrack$ $+ ( - m - 1)x_{0}^{2} - (m - 1)x_{0} + 3$

$= ( - m - 1)x_{0}^{2} - (m - 1)x_{0} + 3$

Hay $y_{0}^{2} + x_{0}^{2} = - mx_{0}^{2} - (m - 1)x_{0} + 3$

$= - m\left( y_{0} - x_{0} + 1 ight) - (m - 1)x_{0} + 3$ .

Rút gọn ta được $x_{0}^{2} + y_{0}^{2} - x_{0} + my_{0} + m - 3 = 0(4)$ .

Đây là phương trình đường tròn khi $\left( - \frac{1}{2} ight)^{2} + \left( \frac{m}{2} ight)^{2} - m + 3 > 0\ \ \ \ \ (*)$ .

Với điều kiện $(*)$ thì $M\left( x_{0};y_{0} ight)$ thuộc đường tròn có bán kính $R = \sqrt{\left( - \frac{1}{2} ight)^{2} + \left( \frac{m}{2} ight)^{2} - m + 3}$ .

Theo đề bài $R = 3 \Leftrightarrow \frac{m^{2} + 1}{4} - m + 3 = 9 \Leftrightarrow m^{2} - 4m - 23 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 2 + 3\sqrt{3} \\ m = 2 - 3\sqrt{3} \\ \end{matrix} ight.$ .

Thử lại.

Với $m = 2 + 3\sqrt{3}$ thì phương trình $(1)$ có $1$ nghiệm. Do đó, $m = 2 + 3\sqrt{3}$ không thỏa mãn.

Với $m = 2 - 3\sqrt{3}$ thì phương trình $(1)$ có $3$ nghiệm và cũng thỏa mãn $(*)$ .

Vậy giá trị $m$ cần tìm là $m = 2 - 3\sqrt{3} \in ( - 4;\ - 2)$ .
Câu 23: Vận dụng
Xác định các giá trị nguyên tham số m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn $1$ .
- A.
  $5$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $7$ .
- D.
  $8$ .
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm $x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4 = 0(*)$

Đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x + 4$ cắt rục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn $1$ $\Leftrightarrow$ (*) có đúng hai nghiệm lớn hơn $1$ .

$(*) \Leftrightarrow x^{4} - 4x^{3} + 8x+ 4 = (2 - m)x^{2}$

$\Leftrightarrow 2 - m = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}$

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của $(C):y = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}\ \ (x > 1)$ với đường thẳng $y = 2 - m$ song song với trục hoành.

Xét hàm số $y = x^{2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{x^{2}}\ \ (x > 1)$ .

$y' = 2x - 4 - \frac{8}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}} = \frac{2x^{4} - 4x^{3} - 8x - 8}{x^{2}}$ .

Cho $y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 - \sqrt{3}\ \ (L) \\ x = 1 + \sqrt{3}\ \ (t/m) \\ \end{matrix} ight.$ .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt $\Leftrightarrow 0 < 2 - m < 9 \Leftrightarrow - 7 < m < 2$ .

Vì $m$ nguyên nên $m \in \left\{ - 6,\ - 5,...,\ 1 ight\}$ .

Vậy có $8$ giá trị nguyên của $m$ thỏa bài toán.
Câu 24: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Tập tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{4} - 2mx^{2} + (2m - 1) = 0$ có 4 nghiệm thực phân biệt là
- A.
  $(1; + \infty)$ .
- B.
  $\left( \frac{1}{2}; + \infty ight)$ .
- C.
  $\mathbb{R}$ .
- D.
  $\left( \frac{1}{2}; + \infty ight)\backslash\left\{ 1 ight\}.$
Hướng dẫn:
Xét phương trình: $x^{4} - 2mx^{2} + (2m - 1) = 0$ .

Đặt $x^{2} = t(t \geq 0)$ .

Phương trình đã cho trở thành $t^{2} - 2mt + (2m - 1) = 0(*)$ .

Để phương trình ban đầu có bốn nghiệm thực phân biệt thì phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt dương

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta^{'} > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 2m + 1 > 0 \\ 2m > 0 \\ 2m - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \forall m eq 1 \\ m > 0 \\ m > \frac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \frac{1}{2} \\ m eq 1 \\ \end{matrix} ight.$

hay $m \in \left( \frac{1}{2}; + \infty ight)\backslash\left\{ 1 ight\}$ .
Câu 25: Thông hiểu
Tính tổng các phần tử tập S
Cho hàm số $y = \frac{x}{x - 1}\ \ (C)$ và đường thẳng $\ d:y = - x + m$ . Gọi $S$ là tập các số thực $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A\ ,\ B$ sao cho tam giác $OAB$ ( $O$ là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $2\sqrt{2}$ . Tổng các phần tử của $S$ bằng
- A.
  $3$ .
- B.
  $0$ .
- C.
  $8$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình $\frac{x}{x - 1} = - x + m,\ \$ (điều kiện $x eq 1$ ).

Phương trình tương đương $x^{2} - mx + m = 0$ $(1)$ .

Đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x eq 1$ điều kiện cần và đủ là $m < 0 \vee m > 4$ .

Khi đó hai giao điểm là $A(x_{1}; - x_{1} + m)$ ; $B(x_{2}; - x_{2} + m)$ .

Ta có $\left\{ \begin{matrix} OA = \sqrt{m^{2} - 2m};OB = \sqrt{m^{2} - 2m} \\ AB = \sqrt{2(m^{2} - 4m)};d(O,d) = \frac{|m|}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} ight.$ ;.

$S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2}.AB.d(O,d)$ $= \frac{1}{2}.\frac{|m|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2(m^{2} - 4m)} = \frac{OA.OB.AB}{4R}$ .

Suy ra $\frac{1}{2}.\frac{|m|}{\sqrt{2}}\sqrt{2(m^{2} - 4m)} = \frac{(m^{2} - 2m).\sqrt{2(m^{2} - 4m)}}{4.2\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m = 4|m| \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0(l) \\ m = 6(n) \\ m = - 2(n) \\ \end{matrix} ight.$ .

Vậy tổng các phần từ của $S$ bằng $4$ .
Câu 26: Thông hiểu
Xác định số tập con của tập S
Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^{4} + x^{3} - 5x^{2} - x + m$ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có các hoành độ là $x_{1},\ \ x_{2},\ \ x_{3},\ \ x_{4}$ thỏa mãn $\left( x_{1}^{2} + 1 \right)\left( x_{2}^{2} + 1 \right)\left( x_{3}^{2} + 1 \right)\left( x_{4}^{2} + 1 \right) \geq 68$ .Tập $S$ có bao nhiêu tập con ?
- A.
  $8$ .
- B.
  $32$ .
- C.
  $16$ .
- D.
  $4$ .
Hướng dẫn:
Xét hàm $h(x) = x^{4} + x^{3} - 5x^{2} - x + m,$

$TXD:\mathbb{R},h'(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 10x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \approx - 1,9 \\ x \approx 1.3 \\ x \approx - 0.09 \\ \end{matrix} ight.$

Có BBT

Dựa vào BBT YCBT $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 0.05 > 0 \\ m - 4.69 < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 0.05 < m < 4.69$

Khi đó

$y(x) = (x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})(x - x_{4})$

$\Rightarrow y( - x) = ( - x - x_{1})( - x - x_{2})( - x - x_{3})( - x - x_{4})$

$\Rightarrow y(x).y( - x) = (x^{2} - x_{1}^{2})(x^{2} - x_{2}^{2})(x^{2} - x_{3}^{2})(x^{2} - x_{4}^{2})$

$\Rightarrow y(i).y( - i) = (x_{1}^{2} + 1)(x_{2}^{2} + 1)(x_{3}^{2} + 1)(x_{4}^{2} + 1)$

$\Rightarrow (x_{1}^{2} + 1)(x_{2}^{2} + 1)(x_{3}^{2} + 1)(x_{4}^{2} + 1)$

$= \left( i^{4} + i^{3} - 5i^{2} + m ight)\left( i^{4} - i^{3} - 5i^{2} + m ight)$

$= (6 + m - 2i)(6 + m + 2i) = (6 + m)^{2} + 4 \geq 68$

$\Leftrightarrow - 14 \leq m \leq 2$

Kết hợp trên ta có $S = \left\{ 0;1;2 ight\}$ . Vậy số tập con của $S$ là $2^{3} = 8$ .
Câu 27: Vận dụng
Tìm các giá trị thực tham số m thỏa mãn điều kiện
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y = mx - m + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + x + 2$ tại ba điểm $A,B,C$ phân biệt sao $AB = BC$
- A.
  $m\mathbb{\in R}$
- B.
  $m \in ( - \infty;0) \cup \lbrack 4; + \infty)$
- C.
  $m \in ( - 2; + \infty)$
- D.
  $m \in \left( - \frac{5}{4}; + \infty ight)$
Hướng dẫn:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: $x^{3} - 3x^{2} + x + 2 = mx - m + 1 \Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + x - mx + m + 1 = 0\ \ \ \ (1)$

$\Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - 2x - m - 1 ight) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x^{2} - 2x - m - 1 = 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình $x^{2} - 2x - m - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 + m + 1 > 0 \\ 1 - 2 - m - 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > - 2 \\ m eq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m > - 2$ .

Với $m > - 2$ thì phương trình $(1)$ có ba nghiệm phân biệt là $1,x_{1},x_{2}$ ( $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của $x^{2} - 2x - m - 1 = 0$ ).

Mà $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 1$ suy ra điểm có hoành độ $x = 1$ luôn là trung điểm của hai điểm còn lại nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn $AB = BC$

Vậy $m > - 2$
Câu 28: Vận dụng
Tính độ dài ngắn nhất của AB
Gọi $A$ và $B$ là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số $y = \frac{x}{x - 2}$ . Khi đó độ dài đoạn $AB$ ngắn nhất bằng
- A.
  $4\sqrt{2}$ .
- B.
  $2\sqrt{2}$ .
- C.
  $4$ .
- D.
  $2\sqrt{2}$ .
Hướng dẫn:

Hàm số $y = \frac{x}{x - 2}$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ.

Gọi $A\left( a;\frac{a}{a - 2} ight)$ và $B\left( b;\frac{b}{b - 2} ight)$ là hai điểm thuộc hai nhánh của $(C)$ $(a < 2 < b)$ .

Ta có: $\overrightarrow{AB} = \left( b - a;\frac{b}{b - 2} - \frac{a}{a - 2} ight) = \left( b - a;\frac{b - a}{(b - 2)(2 - a)} ight)$ .

Áp dụng BĐT Côsi ta có: $(b - 2)(2 - a)\leq \frac{(b - a)^{2}}{4}$ .

Suy ra: $AB^{2} = (b - a)^{2} + \frac{(b - a)^{2}}{\left\lbrack (b - 2)(2 - a) ightbrack^{2}}$ $\geq (b - a)^{2} + \frac{64}{(b - a)^{2}} \geq 16$

$\Rightarrow AB \geq 4$ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a = 2 - \sqrt{2}$ và $b = 2 + \sqrt{2}$ .

Vậy $AB_{\min} = 4$ .
Câu 29: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Tính tổng tất cả các giá trị của $m$ biết đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2mx^{2} + (m + 3)x + 4$ và đường thẳng $y = x + 4$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A(0\ ;\ 4)$ , $B$ , $C$ sao cho diện tích tam giác $IBC$ bằng $8\sqrt{2}$ với $I(1\ ;\ 3)$ .
- A.
  $5$ .
- B.
  $3$ .
- C.
  $1$ .
- D.
  $8$ .
Hướng dẫn:
+) Gọi đồ thị hàm số $y = x^{3} + 2mx^{2} + (m + 3)x + 4$ là $\left( C_{m} ight)$ và đồ thị hàm số $y = x + 4$ là $(d)$ .

+) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( C_{m} ight)$ và $(d)$ là

$x^{3} + 2mx^{2} + (m + 3)x + 4 = x + 4$

$\Leftrightarrow x^{3} + 2mx^{2} + (m + 2)x = 0\ (*)$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} + 2mx + m + 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

+) Gọi $g(x) = x^{2} + 2mx + m + 2$ .

+) $(d)$ cắt $\left( C_{m} ight)$ tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $(*)$ có ba nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow$ phương trình $g(x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {\Delta'}_{g} > 0 \\ g(0) eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - m - 2 > 0 \\ m + 2 eq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m < - 1 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ \ \\ m eq - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \ \ \ (a)$

+) $x = 0$ là hoành độ điểm $A$ , hoành độ điểm $B$ , $C$ là hai nghiệm $x_{1}$ , $x_{2}$ của phương trình $g(x) = 0$

+) $BC^{2} = \left( x_{2} - x_{1} ight)^{2} + \left\lbrack \left( x_{2} + 4 ight) - \left( x_{1} + 4 ight) ightbrack^{2}$

$= 2\left( x_{2} - x_{1} ight)^{2}$ (do $B$ , $C$ thuộc đường thẳng $(d)$

$= 2\left\lbrack \left( x_{2} + x_{1} ight)^{2} - 4x_{1}x_{2} ightbrack = 8\left( m^{2} - m - 2 ight)$

+) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ dưới dạng $x - y + 4 = 0$ , ta có

$d\left( I,(d) ight) = \frac{|1 - 3 + 4|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ .

+) $S_{IBC} = 8\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}BC.d\left( I,(d) ight) = 8\sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}BC^{2}.\left\lbrack d\left( I,(d) ight) ightbrack^{2} = 128$

$\Leftrightarrow \frac{1}{4}8\left( m^{2} - m - 2 ight).2 = 128$

$\Leftrightarrow m^{2} - m - 34 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \frac{1 + \sqrt{137}}{2} \\ m = \frac{1 - \sqrt{137}}{2} \\ \end{matrix} ight.$ (thỏa điều kiện $(a)$ )

+) Vậy tổng tất cả các giá trị $m$ là $1$ .
Câu 30: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = x^{4} - 2x^{2}$ có đồ thị $(C)$ , có bao nhiêu đường thẳng $d$ có đúng 3 điểm chung với đồ thị $(C)$ và các điểm chung có hoành độ $x_{1},x_{2},x_{3}$ thỏa mãn $\ {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1$ .
- A.
  $1$ .
- B.
  $2$ .
- C.
  $3$ .
- D.
  $0$ .
Hướng dẫn:
Vì đường thẳng $d$ cắt đồ thị hàm số $(C)$ tại 3 điểm phân biệt nên đường thẳng $d$ là đường thẳng có hệ số góc dạng $y = ax + b$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ là: $x^{4} - 2x^{2} = ax + b$ .

Mà phương trình là phương trình bậc 4 nên phương trình muốn có 3 nghiệm phân biệt thì trong đó sẽ có 1 nghiệm kép gọi là $x_{1}$ , hai nghiệm còn lại là $x_{2},x_{3}$ .

Suy ra đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ , không mất tính tổng quát giả sử đường thẳng $d$ tiếp xúc với đồ thị hàm số $(C)$ tại $x_{1}$ .

Gọi $d$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_{1}$ , $d$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_{2},x_{3}( eq x_{1})$ thỏa mãn ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1$ .

Ta có: $d:y = (4{x_{1}}^{3} - 4x_{1})(x - x_{1}) + {x_{1}}^{4} - 2{x_{1}}^{2}$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ là:

$x^{4} - 2x^{2} = (4{x_{1}}^{3} - 4x_{1})(x - x_{1}) + {x_{1}}^{4} - 2{x_{1}}^{2}(1)$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow (1)$ có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1$ .

$(1) \Leftrightarrow (x - x_{1})^{2}(x^{2} + 2x_{1}x + 3{x_{1}}^{2} - 2) = 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x = x_{1} \\ f(x) = x^{2} + 2x_{1}x + 3{x_{1}}^{2} - 2 = 0 \\ \end{matrix} ight.$

Để phương trình $(1)$ có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn ${x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = - 1$ thì phương trình $f(x) = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_{2},x_{3}$ khác $x_{1}$ và thỏa mãn định lí Vi – ét:

$\left\{ \begin{matrix} x_{2} + x_{3} = - 2x_{1} \\ x_{2}.x_{3} = 3{x_{1}}^{2} - 2 \\ \end{matrix} ight.$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \Delta' = {x_{1}}^{2} - 3{x_{1}}^{2} + 2 > 0 \\ {x_{1}}^{2} + 2{x_{1}}^{2} + 3{x_{1}}^{2} - 2 eq 0 \\ {x_{1}}^{3} + (x_{2} + x_{3})^{3} - 3x_{2}x_{3}(x_{2} + x_{3}) = - 1 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < x_{1} < 1 \\ 3{x_{1}}^{2} - 1 eq 0 \\ {x_{1}}^{3} + ( - 2x_{1})^{3} - 3(3{x_{1}}^{2} - 2).( - 2x_{1}) = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow x_{1} = \frac{- 11 + \sqrt{165}}{22}$ .

Vậy có đúng 1 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 31: Vận dụng cao
Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số $y = \frac{x}{1 - x}\ \ \ \ \ (C)$ và điểm $A( - 1;1).$ Tìm $m$ để đường thẳng $d:\ \ y = mx - m - 1$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ sao cho $AM^{2} + AN^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
- A.
  $m = - 1$ .
- B.
  $m = 0$ .
- C.
  $m = - 2$ .
- D.
  $m = - \frac{2}{3}$
Hướng dẫn:
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d$ là: $\frac{x}{1 - x} = mx - m - 1$ (đk: $x eq 1$ )

$\begin{matrix} \Rightarrow x = (1 - x)(mx - m - 1) \\ \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - mx^{2} + mx + x \\ \Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + m + 1 = 0\ \ (*) \\ \end{matrix}$

Để $(C)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $M,N$ thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ \Delta' = m^{2} - m(m + 1) = - m > 0 \\ m - 2m + m + 1 eq 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow m < 0$

Giả sử $M\left( x_{1};y_{1} ight),N\left( x_{2};y_{2} ight)$ .

Theo hệ thức viét : $x_{1} + x_{2} = 2;\ \ x_{1}x_{2} = \frac{m + 1}{m}$

$\Rightarrow y_{1} + y_{2} = m\left( x_{1} + x_{2} ight) - 2m - 2 = 2m - 2m - 2 = - 2$

và $y_{1}.y_{2} = \left( mx_{1} - m - 1 ight)\left( mx_{2} - m - 1 ight)$

$= m^{2}x_{1}x_{2} - m(m + 1)\left( x_{1} + x_{2} ight) + (m + 1)^{2}$

$= m(m + 1) - 2m(m + 1) + (m + 1)^{2} = m+ 1$

Ta có:

$AM^{2} + AN^{2} = \left( x_{1} + 1 ight)^{2} + \left( y_{1} - 1 ight)^{2} + \left( x_{2} + 1 ight)^{2} + \left( y_{2} - 1 ight)^{2}$

$= \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1} + 1 ight)\left( x_{2} + 1 ight) + \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1} - 1 ight)\left( y_{2} - 1 ight)$

$= \left( x_{1} + x_{2} + 2 ight)^{2} - 2\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 ight)$ $+ \left( y_{1} + y_{2} - 2 ight)^{2} - 2\left( y_{1}y_{2} - \left( y_{1} + y_{2} ight) + 1 ight)$

$= (2 + 2)^{2} - 2\left( \frac{m + 1}{m} + 2 + 1 ight)$ $+ ( - 2 - 2)^{2} - 2\left( m + 1 - ( - 2) + 1 ight)$

$= 18 - 2\left( \frac{m + 1}{m} ight) - 2m = 18 - 2 - 2.\frac{1}{m} - 2m$

$= 16 + 2.\left\lbrack \frac{1}{- m} + ( - m) ightbrack \geq 16 + 2.2 = 20$ (Áp dụng BĐT Côsi)

Suy ra: $AM^{2} + AN^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $20$ khi $\frac{1}{- m} = - m \Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $m = - 1$ (vì $m < 0$ ).
Câu 32: Thông hiểu
Xác định khoảng chứa giá trị k theo yêu cầu
Giá trị $k$ thỏa mãn đường thẳng $d:y = kx + k$ cắt đồ thị $(H):y = \frac{x - 4}{2x - 2}$ tại hai điểm phân biệt $A\ ,\ B$ cùng cách đều đường thẳng $y = 0$ . Khi đó $k$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
- A.
  $(1\ ;\ 2)$ .
- B.
  $(0\ ;\ 1)$ .
- C.
  $( - 1\ ;\ 0)$ .
- D.
  $( - 2\ ;\ - 1)$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ các giao điểm: $kx + k = \frac{x - 4}{2x - 2}$ (điều kiện: $x eq 1$ ).

$\Rightarrow 2kx^{2} - x - 2k + 4 = 0\ \ \ (1)$ .

Đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(H)$ tại hai điểm phân biệt $A\ ,\ B$ khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k eq 0 \\ 2k - 1 - 2k + 4 eq 0 \\ 1 - 4.2k.(4 - 2k) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k eq 0 \\ 16k^{2} - 32k + 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k eq 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} k > \frac{4 + \sqrt{15}}{4} \\ k < \frac{4 - \sqrt{5}}{4} \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.$

Gọi $x_{1}\ ,\ x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình $(1)$ , ta có: $A\left( x_{1}\ ;\ kx_{1} + k ight)\ ,\ B\left( x_{2}\ ;\ kx_{2} + k ight)$ .

Do $A\ ,\ B$ cách đều đường thẳng $y = 0$ nên $\left| kx_{1} + k ight| = \left| kx_{2} + k ight| \Leftrightarrow kx_{1} + k = - kx_{2} - k$ (vì $A\ ,\ B$ là hai điểm phân biệt)

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = - 2 \Rightarrow \frac{1}{2k} = - 2$ ( áp dụng Viet) $\Leftrightarrow k = - \frac{1}{4}$ ( thỏa mãn điều kiện).
Câu 33: Vận dụng cao
Xác định các giá trị nguyên của tham số m
Cho hai hàm số $y = \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1}$ và $y = e^{x} + 2023 + 3m$ ( $m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $(C_{1})$ và $(C_{2})$ . Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $( - 2022;2023)$ để $(C_{1})$ và $(C_{2})$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt?
- A.
  $2696$ .
- B.
  $2695$ .
- C.
  $2693$ .
- D.
  $2692$ .
Hướng dẫn:
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} = e^{x} + 2023 + 3m$

$\Leftrightarrow \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} - e^{x} - 2023 = 3m$ (1).

Đặt $g(x) = \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} - e^{x} - 2023$ .

Ta có $g'(x) = - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} - e^{x} < 0$ với mọi $x$ thuộc các khoảng sau $( - \infty; - 1)$ , $( - 1;0)$ , $(0;1)$ và $(1; + \infty)$ nên hàm số $y = g(x)$ nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Mặt khác ta có $\lim_{x ightarrow - \infty}g(x) = - 2020$ và $\lim_{x ightarrow + \infty}g(x) = - \infty$ .

Bảng biến thiên hàm số $y = g(x)$

Do đó để $(C_{1})$ và $(C_{2})$ cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng $y = 3m$ cắt đồ thị hàm số $y = g(x)$ tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi $3m \geq - 2020 \Leftrightarrow m \geq - \frac{2020}{3} \approx - 673,3$ .

Do $m$ nguyên thuộc $( - 2022;2023)$ nên $m \in \left\{ - 673; - 672;...;2022 ight\}$ . Vậy có tất cả 2696 giá trị $m$ thỏa mãn.

Chia sẻ bởi:
Đen2017

1

26

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập Toán 12 Tương giao đồ thị hàm số Vận dụng cao

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 12

Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Bài tập Tìm tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Xác định m để hàm số có tiệm cận đứng – ngang – xiên (Chuyên đề đầy đủ)

Bài tập tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

Bài tập Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

Tìm m để đồ thị hàm số có n tiệm cận

Tìm m để hàm trị tuyệt đối có đúng 7 điểm cực trị – Giải chi tiết từng bước