Bài tập Toán 12 Tương giao đồ thị hàm số Vận dụng cao

Xét phương trình

(1)

Hàm số .

Ta có

nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , , , , .

Mặt khác ta có và .

Bảng biến thiên hàm số :

Do đó để và cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 4 nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt .

Giả sử là số thực thỏa mãn bài toán.

Phương trình hoành độ giao điểm giữa hai đồ thị là

Gọi là một trong giao điểm. Ta có

.

Từ và suy ra

Hay

.

Rút gọn ta được .

Đây là phương trình đường tròn khi .

Với điều kiện thì thuộc đường tròn có bán kính .

Theo đề bài .

Thử lại.

Với thì phương trình có nghiệm. Do đó, không thỏa mãn.

Với thì phương trình có nghiệm và cũng thỏa mãn .

Vậy giá trị cần tìm là .

Ta có nhận xét: khi thì phương trình vô nghiệm.

Do đó:

Xét hàm số .

Ta có

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, phương trình có 2023 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hoặc .

Kết hợp với điều kiện là số nguyên thuộc nên

Vậy có tất cả 4046 giá trị thỏa yêu cầu bài toán.

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình:

.

Vì hay phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn:

và .

Khi đó: , .

Ta có tam giác vuông tại , trong đó là gốc tọa độ .

.

Vậy là giá trị cần tìm.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là:

.

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt khác .

Với thì phương trình có ba nghiệm phân biệt là ( là nghiệm của ).

Mà suy ra điểm có hoành độ luôn là trung điểm của hai điểm còn lại nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn

Vậy

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Điều kiện:

Ta có:

Xét hàm số trên

Nhận thấy, hàm số liên tục trên các khoảng

Ta có,

với

Suy ra, hàm số đồng biến trên .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị hai hàm số và cắt nhau tại điểm phân biệt khi .

Xét phương trình hoành độ:

Đường thẳng d cắt ( C) tại hai điểm phân biệt A, B khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Gọi .

Do A, B đối xứng nhau qua gốc O nên

Theo Viét của phương trình (*) ta có

Thay vào điều kiện (2*) tháy thỏa mãn.

Vậy

Từ giả thuyết bài toán ta giả sử

()

Ta có: , , .

Khi đó:

Hoành độ của là nghiệm của phương trình:

.

Hoành độ của là nghiệm của phương trình:

.

Hoành độ của là nghiệm của phương trình:

.

Từ giả thuyết ta có; .

Do đó:

.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

.

Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt khác 2

(2).

Khi đó, .

Theo giả thiết

(thỏa mãn (2)).

Vậy giá trị lớn nhất của thỏa mãn yêu cầu bài toán là .

Xét phương trình: .

Đặt .

Phương trình đã cho trở thành .

Để phương trình ban đầu có bốn nghiệm thực phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương

hay .

Ta có: , .

Phương trình hoành độ giao điểm của và : .

Gọi là nghiệm của phương trình , .

có nghiệm phân biệt có nghiệm phân biệt và khác .

.

có nghiệm phân biệt thỏa , với , .

, mà ,

. Vậy có giá trị .

Xét hàm

Có BBT

Dựa vào BBT YCBT

Khi đó

Kết hợp trên ta có . Vậy số tập con của là .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và

Để đường thẳng cắt đồ thị tại điểm phân biệt có hoành độ .

Khi đó,

Vậy hay .

Xét phương trình (điều kiện ).

Phương trình tương đương .

Đồ thị và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt và khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là .

Khi đó hai giao điểm là ; .

Ta có ;.

.

Suy ra

.

Vậy tổng các phần từ của bằng .

Phương trình hoành độ giao điểm

Đồ thị hàm số cắt rục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn (*) có đúng hai nghiệm lớn hơn .

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của với đường thẳng song song với trục hoành.

Xét hàm số .

.

Cho .

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt.

Vì nguyên nên .

Vậy có giá trị nguyên của thỏa bài toán.

C1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

Đặt pt trở thành

Để pt (1) có 4 nghiệm phân biệt thì pt (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt

Hay

Để pt (1) có 4 nghiệm thỏa mãn

thì pt (2) phải có 2 nghiệm thỏa

Kết hợp với (*) ta có thỏa yêu cầu bài toán.

C2:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là

Đặt pt trở thành

Để pt (1) có 4 nghiệm thỏa mãn

thì pt (2) phải có 2 nghiệm thỏa

Phương trình (2) (biểu thức )

Xét hàm số , với

Ta có liên tục trên và có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai giao điểm có hoàng độ thỏa khi .

Với , xét phương trình

. (*)

Gọi tọa độ các giao điểm của với đồ thị hàm số đã cho là: , .

Tọa độ các điểm , là và .

Gọi thì là chiều cao của các tam giác và .

Theo giả thiết:

.

Vậy tích các giá trị của là .

Xét có tập xác định:

.

Đồ thị hàm số là:

Để phương trình có đúng nghiệm thực phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm .

Đặt , . Khi đó phương trình trở thành

và đặt .

Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn và khi đó hoành độ bốn giao điểm là .

Do đó, từ điều kiện của bài toán suy ra hay .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi

.

Vậy , nên .

Xét phương trình hoành độ giao điểm

(1).

Đặt .

Ta có với mọi thuộc các khoảng sau , , và nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Mặt khác ta có và .

Bảng biến thiên hàm số

Do đó để và cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có ba nghiệm phân biệt.

Điều này xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi .

Do nguyên thuộc nên . Vậy có tất cả 2696 giá trị thỏa mãn.

Ta có: .

Xét hàm số , khi đó:

.

Suy ra .

Vậy để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì: .

Hàm số có đồ thị như hình vẽ.

Gọi và là hai điểm thuộc hai nhánh của .

Ta có: .

Áp dụng BĐT Côsi ta có: .

Suy ra:

. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và .

Vậy .

Xét phương trình hoành độ các giao điểm: (điều kiện: ).

.

Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt khác

Gọi là 2 nghiệm của phương trình , ta có: .

Do cách đều đường thẳng nên (vì là hai điểm phân biệt)

( áp dụng Viet) ( thỏa mãn điều kiện).

Vì là ba nghiệm của phương trình bậc ba

Ta có .

Khi đó:

Suy ra

.

Phương trình hoành độ giao điểm:

Phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng

Phương trình có một nghiệm .

Suy ra phương trình có một nghiệm

Thay vào phương trình , ta được .

Thử lại:

Với , ta được .

Do đó thỏa mãn.

Với , ta được .

Do đó thỏa mãn.

Với , ta được .

Do đó không thỏa mãn.

Vậy là hai giá trị cần tìm.

Vì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt nên đường thẳng là đường thẳng có hệ số góc dạng .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là: .

Mà phương trình là phương trình bậc 4 nên phương trình muốn có 3 nghiệm phân biệt thì trong đó sẽ có 1 nghiệm kép gọi là , hai nghiệm còn lại là .

Suy ra đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị , không mất tính tổng quát giả sử đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại .

Gọi là tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ , cắt tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn .

Ta có: .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Yêu cầu bài toán có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn .

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn thì phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt khác và thỏa mãn định lí Vi – ét:

Ta có:

.

Vậy có đúng 1 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hàm số có , và đường thẳng có hệ số nên luôn cắt tại hai điểm phân biệt và với mọi giá trị của tham số .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

.

Suy ra , là 2 nghiệm của phương trình .

Theo định lí Viet, ta có .

Mặt khác, là trọng tâm của tam giác nên

.

Vậy thoả mãn yêu cầu đề bài.

Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:

Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là .

Diện tích tam giác là:

+) Gọi đồ thị hàm số là và đồ thị hàm số là .

+) Phương trình hoành độ giao điểm của và là

+) Gọi .

+) cắt tại ba điểm phân biệt phương trình có ba nghiệm phân biệt

phương trình có hai nghiệm phân biệt khác

+) là hoành độ điểm , hoành độ điểm , là hai nghiệm , của phương trình

+)

(do , thuộc đường thẳng

+) Viết phương trình đường thẳng dưới dạng , ta có

.

+)

(thỏa điều kiện )

+) Vậy tổng tất cả các giá trị là .

Phương trình hoành độ giao điểm của và là: (đk: )

Để và cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác

Giả sử.

Theo hệ thức viét :

và

Ta có:

(Áp dụng BĐT Côsi)

Suy ra: đạt giá trị nhỏ nhất là khi

Vậy (vì ).

Gọi phương trình đường thẳng là

Theo đề ta có là các nghiệm của phương trình: (1).

Vì x=0 ,x=1 là nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

Khi đó phương trình (1) trở thành: .

Dễ thấy m,n là nghiệm của phương trình: .

.