Cách giải hệ phương trình bằng tính đơn điệu của hàm số chi tiết dễ hiểu
Giải hệ phương trình bằng tính đơn điệu của hàm số
Việc giải hệ phương trình thường khiến nhiều học sinh cảm thấy khó khăn, đặc biệt là khi phải lựa chọn phương pháp phù hợp. Trong số các cách tiếp cận, sử dụng tính đơn điệu của hàm số được xem là một phương pháp thông minh, hiệu quả và đơn giản nếu biết cách áp dụng đúng. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải hệ phương trình bằng tính đơn điệu của hàm số một cách chi tiết, dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa rõ ràng, giúp bạn nắm chắc kiến thức và áp dụng thành thạo trong các bài toán.
A. Cách sử dụng tính đơn điệu trong toán học
Điểm quan trọng của phương pháp này là biến đổi mộ phương trình của hệ về dạng 
\(f(u) = f(v)\) với \(f\) là hàm số đơn điệu trên \(D\). Từ đó suy ra \(u = v\)
B. Bài tập áp dụng giải hệ phương trình sử dụng tính đơn điệu
Ví dụ minh họa: Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{matrix}
\left( 4x^{2} + 1 \right)x + (y - 3)\sqrt{5 - 2y} = 0\ \ \ (1) \\
4x^{2} + y^{2} + 2\sqrt{3 - 4x} = 7\ \ \ \ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \(x \leq \frac{3}{4};y
\leq \frac{5}{2}\)
Phương trình (1) \(\Leftrightarrow \left(
4x^{2} + 1 \right).2x = (5 - 2y + 1)\sqrt{5 - 2y}\)
\(\Leftrightarrow f(2x) = f\left( \sqrt{5
- 2y} \right)\)
Xét hàm số \(f(t) = \left( t^{2} + 1
\right).t\)
\(\Rightarrow f'(t) = 3t^{2} + 1 >
0;\forall t\)
Suy ra \(f(t)\) là hàm số đồng biến trên tập số thực.
\(f(2x) = f\left( \sqrt{5 - 2y} \right)
\Leftrightarrow 2x = \sqrt{5 - 2y}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x \geq 0 \\
y = \frac{5 - 4x^{2}}{2} \\
\end{matrix} \right.\).
Thay vào phương trình (2) ta được:
\(4x^{2} + \left( \frac{5 - 4x^{2}}{2}
\right)^{2} + 2\sqrt{3 - 4x} = 7\ \ \ (*)\)
Nhận xét \(x = 0;x = \frac{3}{4}\) không phải là nghiệm của (*)
Xét \(g(x) = 4x^{2} + \left( \frac{5 -
4x^{2}}{2} \right)^{2} + 2\sqrt{3 - 4x} - 7\) trên \(\left( 0;\frac{3}{4} \right)\)
\(g'(x) = 4x\left( 4x^{2} - 3 \right) -
\frac{4}{\sqrt{3 - 4x}} < 0\)với mọi \(x \in \left( 0;\frac{3}{4} \right)\)
Suy ra hàm \(g(x)\) là hàm nghịch biến.
Mặt khác \(g\left( \frac{1}{2} \right) = 0
\Leftrightarrow x = \frac{1}{2}(tm) \Rightarrow y = 2\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y) =
\left( \frac{1}{2};2 \right)\).
Ví dụ minh họa: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{matrix}
x^{3} - y^{3} - 2 = 3x - 2y^{2}\ \ \ \ (1) \\
x^{2} + \sqrt{1 - x^{2} - 3\sqrt{2y - y^{2}} + 2} = 0\ \ \ \ \ (2) \\
\end{matrix} \right.\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \(\left\{
\begin{matrix}
- 1 \leq x \leq 1 \\
0 \leq y \leq 2 \\
\end{matrix} \right.\).
Đặt \(z = x + 1 \Rightarrow z \in \lbrack
0;2\rbrack\)
Biến đổi phương trình (1) ta được: \(z^{3}
- 3z^{2} = y^{3} - 3y^{2}\)
Xét hàm số \(f(t) = t^{3} - 3t^{2};\forall
t \in \lbrack 0;2\rbrack\)
\(\Rightarrow f'(t) = 3t^{2} - 6t =
3t(t - 2) \leq 0;\forall t \in \lbrack 0;2\rbrack\)
Khi đó hàm f(t) là hàm nghịch biến trên [0; 2]
Mà \(f(z) = f(y) \Leftrightarrow z = y
\Leftrightarrow x + 1 = y\)
Thay vào phương trình (1) ta được: \(x^{2}
- 2\sqrt{1 - x^{2}} + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y) =
(0;1)\).
B. Bài tập rèn luyện giải hệ phương trình bằng tính đơn điệu của hàm số
Bài tập 1. Giải các hệ phương trình sau:
a. \(\left\{ \begin{matrix}
x^{2}\left( 4y^{2} + 1 \right) + 2\left( x^{2} + 1 \right)\sqrt{x} = 6
\\
x^{2}y\left( 2 + 2\sqrt{4y^{2} + 1} \right) = x + \sqrt{x^{2} + 1} \\
\end{matrix} \right.\)
Gợi ý: Biến đổi hệ phương trình về dạng như sau: \(2y\left( 1 + \sqrt{4y^{2} + 1} \right) =
\frac{1}{x}\left( 1 + \sqrt{\frac{1}{x^{2}} + 1} \right)\)
Xét hàm số \(f(t) = t.\left( \sqrt{t^{2} +
1} \right)\). Chứng minh \(f(t)\) đồng biến \(\Rightarrow 2y = \frac{1}{x}\). Giải hệ phương trình.
Đáp số: \((x;y) = \left( 1;\frac{1}{2}
\right)\)
b. \(\left\{ \begin{matrix}
(2x + 1)\left( 2 + \sqrt{4x^{2} + 4x + 4} \right) + 3y\left(
\sqrt{9y^{2} + 3} \right) = 0 \\
4x^{3} - 3y + 3\sqrt{1 - 3y} = - 5 \\
\end{matrix} \right.\)
Đáp số: \((x;y) = \left( - 1;\frac{1}{3}
\right)\)
c. \(\left\{ \begin{matrix}
2(x + y)^{3} + 4xy - 3 = 0 \\
(x + y)^{4} - 2x^{2} - 4xy + y^{2} + x - 3y + 1 = 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Đáp số: \((x;y) = \left(
\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right)\).
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
-------------------------------------------------------
Hiểu và vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình không chỉ giúp bạn rút ngắn thời gian làm bài mà còn phát triển tư duy toán học logic và linh hoạt. Qua bài viết này, hy vọng bạn đã nắm được phương pháp giải hiệu quả cùng các ví dụ thực tế để áp dụng vào bài tập. Nếu bạn thấy nội dung hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè cùng học nhé!
