Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số 

Chuyên đề Toán 12: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$.

• Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $y=f(x)$ trên tập $D$ nếu$\{\begin{array}{c}x\in D:f(x)\le M\\ \mathrm{\exists }{x}_0\in D:f\left(x_0\right)=M\end{array}$

Kí hiệu $M=\underset{D}{max}f(x)$

• Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y=f(x)$ trên tập $D$ nếu: $\{\begin{array}{c}x\in D:f(x)\ge m\\ \mathrm{\exists }{x}_0\in D:f\left(x_0\right)=m\end{array}$

Kí hiệu $m=\underset{D}{min}f(x)$

B. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên tập xác định

C. Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng

Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là $A$ hoặc $B$ thì kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Chú ý:

Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

D. Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên tập A bất kì

Phương pháp giải

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên tập $A$ ta làm như sau.

Bước 1. Tìm các điểm hàm số không xác định trên tập A.

Bước 2. Tính $f^{\prime }(x)$. Tìm các điểm $x_i\in A$ mà tại đó $f^{\prime }(x)=0$ hoặc các điểm mà tại đó $f^{\prime }(x)$ không xác định nhưng hàm số vẫn xác định tại điểm đó.

Bước 3. Tính $f\left(x_i\right)$ với $x_i$ là các điểm thuộc bước 2 hoặc các điểm ở đầu mút ngoạc vuông và giới hạn của hàm số tại các điểm hàm số không xác định (giới hạn 1 bên hoặc giới hạn cả 2 bên, tùy thuộc vào tập A) hoặc giới hạn tại các điểm dạng ngoặc tròn của tập A (kể cả $\pm \mathrm{\infty }$).

Bước 4. So sánh các giá trị tìm được và kết luận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất với các lưu ý quan trọng như sau:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ khi $x\in A$ phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:

• Là giá trị $y$ lớn nhất khi $x\in A$

• Giá trị y lớn nhất đó phải là 1 số cụ thể (không được phép là $+\mathrm{\infty }$).

• Tồn tại giá trị $x_0$ cụ thể (không được phép là vô cực hoặc giới hạn) để đạt được GTLN đó.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ khi $x\in A$ phải thỏa mãn tất cả các điều kiện sau:

• Là giá trị $y$ nhỏ nhất khi $x\in A$

• Giá trị y nhỏ nhất đó phải là 1 số cụ thể (không được phép là $-\mathrm{\infty }$).

• Tồn tại giá trị $x_0$ cụ thể (không được phép là vô cực hoặc giới hạn) để đạt được GTNN đó.

Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=3sinx-4si{n}^{3}x$ trên khoảng $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$?

Hướng dẫn giải

Đặt $\sin x=t\Rightarrow t\in (-1;1)$.

Khi đó:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(t)=-12t^2+3\\ f^{\prime }(t)=0\iff t=\pm \frac{1}{2}\end{array}$

So sánh $f\left(\frac{1}{2}\right)$ và $f(-\frac{1}{2})$ ta thấy GTLN là $f\left(\frac{1}{2}\right)=1$.

Ví dụ: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{-x^2+4x}$ trên khoảng (0; 3)

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=[0;4]$

Xét hàm số $y=\sqrt{-x^2+4x}$ trên khoảng (0;3)

Ta có:

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=\frac{-x+2}{\sqrt{-x^2+4x}}\\ y^{\prime }=0\iff x=2\end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

Trên khoảng (0; 3) giá trị lớn nhất của hàm số y = 2

Ví dụ: Cho hàm số $y=x^3-\frac{3}{2}{x}^2+1$. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng $(-25;\frac{11}{10})$. Tìm M.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=3x^2-3x\\ y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=0\end{array}\end{array}$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có M = 1

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{2x-2}$ trên khoảng (0; 1)?

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên (0; 1) ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\frac{-4}{x^3}+\frac{1}{2(x-1{)}^2}\\ f^{\prime }(x)=0\\ \iff x^3-8x^2+16x-8=0\\ \iff (x-2)(x^2-6x+4)=0\\ \Rightarrow x=3-\sqrt{5}\end{array}$

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: $\underset{(0;1)}{min}f(x)=\frac{11+5\sqrt{5}}{4}$

Ví dụ: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhát của hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}$ trên tập $D=(-\mathrm{\infty };-1]\cup [1;\frac{3}{2}]$. Tính giá trị H của m.M.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số y là: $(-\mathrm{\infty };-1]\cup (1;+\mathrm{\infty }]\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$

Ta có:

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x(x-2)}{\sqrt{x^2-1}}}-\sqrt{x^2-1}}{{(x-2)}^2}}={\displaystyle \frac{-2x+1}{\sqrt{x^2-1}{(x-2)}^2}}\hfill \\ y^{\prime }=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên ta được: $M=0,m=-\sqrt{5}\Rightarrow H=m.M=0$

Ví dụ. Giá trị lớn nhất của hàm số $y=-x^3+3x+1$ trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=-3x^2+3\\ y^{\prime }=0\Rightarrow [\begin{array}{c}x=1(tm)\\ x=-1(L)\end{array}\end{array}$

=> Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng đã cho bằng 3 khi x = 1

Ví dụ: Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x+\frac{4}{x}$ trên khoảng $(0;+\mathrm{\infty })$. Tính giá trị của m.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}\\ y^{\prime }=0\Rightarrow [\begin{array}{c}x=2(tm)\\ x=-2(L)\end{array}\end{array}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

=> Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4

=> y(2) = 4

=> m = 4

Ví dụ: Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4(m^2+n^2)-m-n$, biết $y=(x+m{)}^3+(x+n{)}^3-x^3$ với $m,n$ là tham số và hàm số đồng biến trên $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=3(x+m{)}^2+3(x+n{)}^2-3x^2\\ =3[x^2+2(m+n)x+m^2+n^2]\end{array}$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$

$\iff y^{\prime }\ge 0;\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

$\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=(m+n{)}^2-m^2-n^2\le 0\Rightarrow mn\le 0$

Ta lại có:

$P=4(m^2+n^2)-(m+n)$

$=4(m+n{)}^2-8mn-(m+n)$

$\ge 4(m+n{)}^2-(m+n)$

$=4(m+n{)}^2-2.2(m+n).\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}$

$={[2(m+n)-\frac{1}{4}]}^2-\frac{1}{16}\ge -\frac{1}{16}$

$\Rightarrow P_{min}=-\frac{1}{16}$

--------------------------------------------------------

Sau khi đã cùng nhau tìm hiểu về Cách xác định cực trị của hàm số, bây giờ chúng ta hãy cùng nhau củng cố lại kiến thức bằng một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé!

Bài tập Toán 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng