Sự tương giao và tiếp xúc của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng
Chuyên đề Mặt cầu Toán lớp 12
Trong chương trình Toán 12, chuyên đề sự tương giao và tiếp xúc của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng là một nội dung quan trọng trong hình học không gian. Việc nắm vững kiến thức về quan hệ giữa mặt cầu với các đối tượng hình học khác không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán trắc nghiệm mà còn vận dụng hiệu quả trong các bài tập vận dụng cao. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ lý thuyết, công thức áp dụng, cách nhận diện các dạng bài và phương pháp giải nhanh, chính xác.
A. Các kiến thức cần nhớ về sự tương giao, sự tiếp xúc mặt cầu
Các điều kiện tiếp xúc:
+ Đường thẳng 
\(\Delta\)là tiếp tuyến của (S)\(\Leftrightarrow\) \(\ d(I;\Delta) = R.\)
+ Mặt phẳng \((\alpha)\)là tiếp diện của (S) \(\Leftrightarrow\) \(\ d\left( I;(\alpha) \right) = R.\)
Lưu ý các dạng toán liên quan như tìm tiếp điểm, tương giao.
B. Bài tập tương giao, tiếp xúc của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng tong không gian
Bài tập 1: Cho đường thẳng \((\Delta):\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z -
2}{- 1}\) và mặt cầu \((S)\): \(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x + 4z + 1 =
0\). Tìm số điểm chung của \((\Delta)\) và \((S)\) ?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng\((\Delta)\)đi qua \(M(0;\ 1;\ 2)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (2;\ 1;\ -
1)\)
Mặt cầu \((S)\)có tâm \(I(1;\ 0;\ - 2)\) và bán kính \(R = 2.\)
Ta có \(\overrightarrow{MI} = (1; - 1; -
4)\)và \(\left\lbrack
\overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack = ( - 5;7; -
3)\)
\(\Rightarrow d(I,\ \Delta) = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack
\right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} =
\frac{\sqrt{498}}{6}\)
Vì \(d(I,\ \Delta) > R\) nên \((\Delta)\) không cắt mặt cầu \((S).\)
Bài tập 2: Cho điểm \(I(1; - 2;3)\). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:
A. \((x - 1)^{2} + (y + 2)^{2}(z - 3)^{2} =
\sqrt{10}.\) B. \((x - 1)^{2} + (y +
2)^{2}(z - 3)^{2} = 10.\)
C. \((x + 1)^{2} + (y - 2)^{2}(z + 3)^{2} =
10.\) D.\((x - 1)^{2} + (y + 2)^{2}(z -
3)^{2} = 9.\)
Hướng dẫn giải
Gọi M là hình chiếu của \(I(1; -
2;3)\) lên Oy, ta có: \(M(0; -
2;0)\).
\(\overrightarrow{IM} = ( - 1;0; - 3)
\Rightarrow R = d(I,Oy) = IM = \sqrt{10}\) là bán kính mặt cầu cần tìm.
Phương trình mặt cầu là: \((x - 1)^{2} + (y
+ 2)^{2}(z - 3)^{2} = 10.\)
Bài tập 3: Cho điểm \(I(1;-2;3)\)và đường thẳng d có phương trình \(\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 3}{-
1}\). Viết phương trình mặt cầu tâm I, tiếp xúc với d ?
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \((d)\) đi qua \(I( - 1;2; - 3)\)và có VTCP \(\overrightarrow{u} = (2;\ 1;\ - 1) \Rightarrow
d(A,\ d) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{u},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|}{\left|
\overrightarrow{u} \right|} = 5\sqrt{2}\\)
Phương trình mặt cầu là: \((x - 1)^{2} + (y
+ 2)^{2}(z - 3)^{2} = 50.\)
Bài tập 4: Xác định phương trình mặt cầu \((S)\) tâm \(I(2;3; - 1)\) cắt đường thẳng \(d:\frac{x - 11}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 25}{-
2}\) tại 2 điểm A, B sao cho \(AB =
16\)?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng \((d)\) đi qua \(M(11;\ 0; - 25)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2;\ 1;\ -
2)\).Gọi H là hình chiếu của I trên (d). Ta có:\(IH = d(I,\ AB) = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack
\right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 15\)
\(\Rightarrow R =\sqrt{IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2}} = 17\)
Vậy \((S)\) : \((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} + (z + 1)^{2} =
289.\)
Bài tập 5: Cho đường thẳng \(d:\frac{x +
5}{2} = \frac{y - 7}{- 2} = \frac{z}{1}\) và điểm \(I(4;1;6)\). Đường thẳng d cắt mặt cầu \((S)\)có tâm I, tại hai điểm A, B sao cho \(AB = 6\). Phương trình của mặt cầu \((S)\) là:
A. \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} + (z -
6)^{2} = 18.\) B.\((x + 4)^{2} + (y +1)^{2} + (z + 6)^{2} = 18.\)
C. \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} + (z -
6)^{2} = 9.\) D.\((x - 4)^{2} + (y -
1)^{2} + (z - 6)^{2} = 16.\)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Đường thẳng \(d\) đi qua \(M( - 5;7;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (2; - 2;1)\).
Gọi H là hình chiếu của I trên (d).
Ta có :\(IH = d(I,\ AB) = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{MI} \right\rbrack
\right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = 3\)
\(\Rightarrow R =
\sqrt{IH^{2} + \left( \frac{AB}{2} \right)^{2}} = 18\)
Vậy \((S)\): \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 6)^{2} =
18.\)
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
------------------------------------------
Hy vọng qua chuyên đề sự tương giao và tiếp xúc của mặt cầu với mặt phẳng, đường thẳng, bạn đã nắm được những kiến thức cốt lõi và kỹ năng cần thiết để giải quyết các dạng bài tập liên quan. Đừng quên luyện tập thêm với các đề thi thử và đề kiểm tra để thành thạo hơn. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia!
