Tích phân là gì? Khái niệm và các tính chất tích phân dễ hiểu nhất
Tích phân toàn diện: Định nghĩa, tính chất và mẹo ghi nhớ nhanh
Tích phân là một khái niệm quan trọng trong giải tích, giúp tính diện tích, thể tích và các đại lượng liên quan đến sự biến thiên. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ tích phân là gì, đồng thời trình bày các tính chất cơ bản của tích phân một cách ngắn gọn, dễ nhớ và dễ áp dụng. Phù hợp cho học sinh, sinh viên và người mới bắt đầu học giải tích.
A. Tích phân là gì?
1. Định nghĩa tích phân
Cho hàm số 
\(f(x)\) là hàm số liên tục trên đoạn \(\lbrack
a;b\rbrack\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\).Hiệu số \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\)) của hàm số \(f(x)\), kí hiệu là \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\).Vậy \(\int_{a}^{b}{f(x)dx} = \left. \ F(x)
\right|_{a}^{b} = F(b) - F(a)\).
Ta gọi \(\int_{a}^{b}\)là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, \(f(x)dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân và \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý:
- Định nghĩa tích phân \(\int_{a}^{b}{f(x)dx} = F(b) - F(a) = \left. \ F(x)
\right|_{a}^{b}\) chỉ được áp dụng khi biết một nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)\) trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\).
- Tích phân \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) là một số, còn nguyên hàm là một (họ) hàm số (nó còn được gọi là tích phân không xác định).
- \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) không phụ thuộc vào chữ viết biến số trong dấu tích phân, mà chỉ phụ thuộc vào hàm số f và đoạn \(\lbrack
a;b\rbrack\).
Nhận xét
- Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) hay \(\int_{a}^{b}{f(t)dt}\).
- Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
2. Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\lbrack
a;b\rbrack\), thì tích phân \(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị \(f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a;x = b\). Vậy \(S = \int_{a}^{b}{f(x)dx}\).
3. Các tính chất của tích phân
Tính chất 1
\(\int_{a}^{b}{kf(x)dx} =
k\int_{a}^{b}{f(x)dx}\) với k là hằng số.
Tính chất 2
\(\int_{a}^{b}{\left\lbrack f(x) \pm g(x)
\right\rbrack dx} = \int_{a}^{b}{f(x)}dx \pm
\int_{a}^{b}{g(x)}dx\)
Tính chất 3
\(\int_{a}^{c}{f(x)dx} +
\int_{c}^{b}{f(x)dx} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}\) với \(a < c < b\).
Ta quy ước:
- \(\int_{a}^{b}{f(x)dx} = 0\);
- \(\int_{a}^{b}{f(x)dx} = -
\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)
Định lý 1
Cho f là hàm số xác định trên K và a là một điểm cố định thuộc K. Xét hàm số \(G(x)\) xác định trên K bởi công thức
\(G(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt}\)
Khi đó G là một nguyên hàm của f.
Tích phân hàm chẵn lẻ
Định lý 2: Tích phân của hàm lẻ và hàm chẵn trên \(\mathbb{R}\).
1. Nếu f là một hàm số chẵn, khi đó \(\int_{- a}^{a}{f(x)dx} =
2\int_{0}^{a}{f(x)dx}\)
2. Nếu f là một hàm số lẻ, khi đó \(\int_{- a}^{a}{f(x)dx} = 0\).
Đọc thêm
|
Ta vừa đưa ra 3 tính chất của tích phân theo chương trình chuẩn. Dưới đây là các tính chất bổ sung: 1. 2. 3. Nếu Hệ quả 3: Nếu hai hàm số Chú ý: Nếu 4.
5. Nếu |
B. Hai phương pháp cơ bản để tìm tích phân
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 1
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\). Giả sử hàm số \(x = \varphi(t)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\lbrack\alpha;\beta\rbrack\) sao cho \(\varphi(\alpha) = a;\varphi(b) = b\) và \(a \leq \varphi(t) \leq b\) với mọi \(t \in \lbrack\alpha;\beta\rbrack\).
Khi đó:
\(\int_{a}^{b}{f(x)dx} =
\int_{\alpha}^{\beta}{f\left( \varphi(t)
\right)\varphi'(t)dt}\)
Từ định lý 1 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt \(x = \varphi(t)\), ta xác định đoạn \(\lbrack\alpha;\beta\rbrack\) sao cho \(\varphi(\alpha) = a,\varphi(\beta) = b\) và \(a \leq \varphi(t) \leq b\), \(\forall t \in
\lbrack\alpha;\beta\rbrack\);
2. Biến đổi \(f(x)dx = f\left( \varphi(t)
\right)\varphi'(t)dt = g(t)dt\)
3. Tìm một nguyên hàm \(G(t)\) của \(g(t)\)
4. Tính \(\int_{\alpha}^{\beta}{g(t)dt} =
G(\beta) - G(\alpha)\)
5. Kết luận \(\int_{a}^{b}{f(x)dx} =
G(\beta) - G(\alpha)\).
Ví dụ 1: Tính tích phân \(I =
\int_{0}^{3}{\frac{x^{2}}{(1 + x)^{3}}dx}\) ?
| A.\(I = ln4 + \frac{33}{32}\) |
B. \(I = ln4 - \frac{4121}{4000}\) |
| C.\(I = ln4 - 1\) |
D. \(I = ln4 - \frac{33}{32}\) |
Đáp án D.
Lời giải
Đặt \(1 + x = u \Rightarrow dx =
du\).
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow u = 1;x = 3
\Rightarrow u = 4\)
Khi đó \(I = \int_{1}^{4}{\frac{(u -
1)^{2}}{u^{3}}du} = \int_{1}^{4}\begin{matrix}
\frac{u^{2} - 2u + 1}{u^{2}}du
\\
\end{matrix}\)
\(= \int_{1}^{4}\left( \frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}} +
\frac{1}{u^{3}} \right)du = \left. \ \left( \ln|u| + \frac{2}{u} -
\frac{1}{2u^{2}} \right) \right|_{1}^{4}\)
\(= ln4 - \frac{33}{32}\)
Định lý 2
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\). Nếu hàm số \(u = u(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\) và \(\alpha \leq u(x) \leq \beta\) với mọi \(x \in \lbrack a;b\rbrack\) sao cho \(f(x) = g\left( u(x) \right)u'(x),g(u)\) liên tục trên đoạn \(\lbrack\alpha;\beta\rbrack\) thì
\(\int_{a}^{b}{f(x)dx} =
\int_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du}\)
Từ định lý 2 ta rút ra các bước đổi biến số
1. Đặt \(u = u(x)\),
2. Biến đổi \(f(x)dx = g(u)du\).
3. Tìm một nguyên hàm \(G(u)\) của \(g(u)\).
4. Tính \(\int_{u(a)}^{u(b)}{g(u)du} =
G\left( u(b) \right) - G\left( u(a) \right)\).
5. Kết luận \(\int_{a}^{b}{f(x)dx} =
G\left( u(b) \right) - G\left( u(a) \right)\)
Ví dụ 2: Tính tích phân \(I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin^{2}x.cosxdx}\)?
| A. \(I = \frac{1}{2}\) |
B. \(I = \frac{1}{3}\) |
C.\(I = \frac{2}{3}\) |
D. \(I = \frac{1}{5}\) |
Đáp án B.
Lời giải
Đặt \(u = \sin x\), ta có
\(sin^{2}x\cos xdx = sin^{2}x\left( \sin x
\right)'dx = u^{2}du\).
Hàm số \(g(u) = u^{2};u \in \lbrack
0;1\rbrack\) do \(\left( u(0) =
0;u\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \right)\) có nguyên hàm \(G(u) = \frac{u^{3}}{3}\).
Vậy \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{sin^{2}x\cos
xdx} = \int_{0}^{1}{u^{2}du} = \left. \ \frac{u^{3}}{3} \right|_{0}^{1}
= \frac{1}{3}\).
2. Phương pháp tích phân từng phần
Tương tự tính nguyên hàm từng phần, ta có định lý sau:
Nếu \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\) thì
\(\int_{a}^{b}{u(x)v'(x)dx} = \left. \
\left( u(x)v(x) \right) \right|_{a}^{b} -
\int_{a}^{b}{u'(x)v(x)dx}\) hay \(\int_{a}^{b}{udv} = \left. \ uv \right|_{a}^{b} -
\int_{a}^{b}{vdu}\)
Chú ý: Trong thực tế, đôi khi việc sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần phải linh hoạt, đôi khi phải dự đoán khác thường như ví dụ 1 dưới đây.
Ta có bảng sau
| \(\int_{}^{}{P(x)e^{x}dx}\) |
\(\int_{}^{}{P(x)\cos xdx}\) |
\(\int_{}^{}{P(x)\ln xdx}\) |
|
| \(u\) |
\(P(x)\) |
\(P(x)\) |
\(\ln x\) |
| \(dv\) |
\(e^{x}dx\) |
\(\cos xdx\) |
\(P(x)dx\) |
Ví dụ 3: Cho \(I = \int_{1}^{2}{\left(
1 + x + \frac{1}{x} \right)e^{x - \frac{1}{x}}dx} = ae^{b} - c\) với \(a;b;c\mathbb{\in R}\); \(a \neq 0\). Lúc này \(S = a + b + c\) có giá trị bằng:
| A. \(S = - \frac{1}{2}\) |
B. \(S = - \frac{3}{2}\) |
C. \(S = \frac{1}{3}\) |
D. \(S = \dfrac{9}{2}\) |
Đáp án D.
Lời giải
Ta có \(I = \int_{1}^{2}{\left( 1 + x +
\frac{1}{x} \right)e^{x - \frac{1}{x}}}dx = \int_{1}^{2}{e^{x -
\frac{1}{x}}dx} + \int_{1}^{2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)e^{x -
\frac{1}{x}}dx}\) (1)
Đặt \(I_{1} = \int_{1}^{2}{e^{x -
\frac{1}{x}}dx}\).
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
u = e^{x - \frac{1}{x}} \Rightarrow du = \left( 1 + \frac{1}{x^{2}}
\right)e^{x - \frac{1}{x}}dx \\
dv = dx \Rightarrow v = x \\
\end{matrix} \right.\)
Theo công thức tích phân từng phần ta có \(I_{1} = \left. \ xe^{x - \frac{1}{x}}
\right|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)e^{x -
\frac{1}{x}}dx}\) (2)
Từ (1); (2) ta có
\(I = \left. \ x.e^{x - \frac{1}{x}}
\right|_{1}^{2} - \int_{1}^{2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)e^{x -
\frac{1}{x}}dx} + \int_{1}^{2}{\left( x + \frac{1}{x} \right)e^{x -
\frac{1}{x}}dx}\)
\(= \left. \ x.e^{x - \frac{1}{x}}
\right|_{1}^{2} = 2.e^{2 - \frac{1}{2}} - 1.e^{1 - \frac{1}{1}} =
2.e^{\frac{3}{2}} - 1\)
\(\Rightarrow a = 2;b = \frac{3}{2};c = 1
\Rightarrow a + b + c = \frac{9}{2}\).
Nhận xét: Ta thấy trong bài toán bên việc sử dụng tích phân từng phần ở đây rất thông minh khi phát hiện được \(\left( x - \frac{1}{x} \right)^{/} = 1 +\frac{1}{x^{2}}\) khi nhân thêm x sẽ triệt tiêu được \(\int_{1}^{2}{\left( x + \frac{1}{x}
\right)e^{x - \frac{1}{x}}dx}\).
