Tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số
Bài tập cực trị
Bài tập Toán 12: Cực trị của hàm số vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
A. Cực trị hàm số
Giả sử hàm số 
\(y = f(x)\) xác định trên tập \(K\) và \(x_{0} \in K\). Ta nói:
- \(x_{0}\) là điểm cực tiểu của hàm số \(f\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) sao cho \(x_{0} \in (a;b)\) sao cho \((a;b) \subset K\) và \(f(x) > f\left( x_{0} \right)\forall x \in
(a;b)\left\{ x_{0} \right\}\). Khi đó \(f\left( x_{0} \right)\) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số \(f(x)\).
- \(x_{0}\) là điểm cực đại của hàm số \(f\) nếu tồn tại một khoảng \((a;b)\) sao cho \(x_{0} \in (a;b)\) sao cho \((a;b) \subset K\) và \(f(x) < f\left( x_{0} \right)\forall x \in
(a;b)\left\{ x_{0} \right\}\). Khi đó \(f\left( x_{0} \right)\) được gọi là giá trị cực đại của hàm số \(f(x)\).
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu chung là điểm cực trị.
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp \(K\).
+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
+ Nếu \(x_{0}\) là điểm cực trị của hàm số thì điểm \(\left( x_{0};f\left( x_{0}
\right) \right)\) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\).
B. Định lí cực trị của hàm số
Điều kiện cần (định lí 1):
Nếu hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại \(x_{\circ}\) thì \(f'(x_{\circ}) = 0.\)
Điều kiện đủ (định lí 2):
- Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi \(x\) đi qua điểm \(x_{\circ}\) (theo chiều tăng) thì hàm số \(y = f(x)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x_{\circ}.\)
- Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi \(x\) đi qua điểm \(x_{\circ}\) (theo chiều tăng) thì hàm số \(y = f(x)\) đạt cực đại tại điểm \(x_{\circ}.\)
Định lí 3:
Giả sử \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp \(2\) trong khoảng \((x_{\circ} - h;x_{\circ} + h),\) với \(h > 0.\)
Khi đó:
- Nếu \(y'(x_{\circ}) =
0,y''(x_{\circ}) > 0\) thì \(x_{\circ}\) là điểm cực tiểu.
- Nếu \(y'(x_{o}) = 0,y''(x_{o})
< 0\) thì \(x_{\circ}\) là điểm cực đại.
Ví dụ: Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{ 0
\right\}\) và có bảng xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) như sau:
Hàm số \(y = f(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số \(y = f(x)\) có 1 điểm cực trị.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), biết \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ:
Xác định điểm cực đại của hàm số \(y =
f(x)\) đã cho?
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị hàm số \(y =
f'(x)\) ta có: \(f'(x) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = - 3 \\
x = - 2 \\
x = 1 \\
x = 3 \\
\end{matrix} \right.\)
Khi đó ta có bảng xét dấu \(f'(x)\) như sau:
Dựa vào bảng xét dấu suy ra điểm cực đại của hàm số \(y = f(x)\) là \(x
= - 2\).
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như hình vẽ:
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(y =
f(x)\)?
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) ta có đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Do đó phương trình \(f'(x) = 0\) có bốn nghiệm phân biệt. Qua các nghiệm này \(f'(x)\) đều đổi dấu nên số cực trị của hàm số \(y = f(x)\) là bốn cực trị.
Ví dụ. Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'(x)\) như sau:
Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực đại.
B. Hàm số có bốn điểm cực trị.
C. Hàm số có hai điểm cực trị.
D. Hàm số có hai điểm cực tiểu.
Hướng dẫn giải
Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy: hàm số đạt cực trị tại \(x = 1;x = 3;x = 4\).
Tại \(x = 1;x = 4\) ta thấy \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1;x =
4\).
Tại \(x = 3\) ta thấy \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại \(x = 3\).
Ví dụ. Cho hàm số bậc năm \(y =
f(x)\) và đồ thị hàm số \(y =
f'(x)\) trên \(\mathbb{R}\) biểu diễn bởi hình vẽ:
Em có nhận xét gì về số điểm cực tiểu, số điểm cực đại của hàm số?
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị hàm số \(y = f'(x)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(y =
f(x)\)
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y =
f(x)\) có 1 cực đại và 1 cực tiểu.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) có bảng biến thiên như sau:
Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g(x) =
\left| f(x) - 2 \right|\)?
Hướng dẫn giải
Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = \left|
f(x) - 2 \right| = m + n\)
Với m là số điểm cực trị của hàm số \(y =
f(x) - 2 \Rightarrow m = 2\)
n là số nghiệm bội lẻ của phương trình \(f(x) = 2 \Rightarrow n = 3\)
Suy ra số điểm cực trị của hàm số \(g(x) =
\left| f(x) - 2 \right| = 2 + 3 = 5\)
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x) = ax^{3} +
bx^{2} + cx + d;(a \neq 0)\) có đồ thị như sau:
Hàm số \(y = \left| f(x) \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị hàm số \(y = f(x) = ax^{3} +
bx^{2} + cx + d;(a \neq 0)\) suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| f(x) \right|\) như hình vẽ:
Do đó hàm số \(y = \left| f(x)
\right|\) có 5 điểm cực trị.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \(f'(x)\) như sau:
Hỏi hàm số \(y = f\left( x^{2} - 2x
\right)\) có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Hướng dẫn giải
Đặt \(g(x) = f\left( x^{2} - 2x \right)
\Rightarrow g'(x) = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x
\right)\)
Từ bảng xét dấu của hàm số \(f'(x)\) có
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow g(x) =
f\left( x^{2} - 2x \right) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
2x - 2 = 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x \right) = 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x^{2} - 2x = - 2\ \\
x^{2} - 2x = 1\ \\
x^{2} - 2x = 3\ \ \\
2x - 2 = 0\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = - 1 \\
x = 1 \pm \sqrt{2} \\
x = 3 \\
x = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
\(g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (2x -
2)f'\left( x^{2} - 2x \right) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
2x - 2 \geq 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x \right) \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
2x - 2 \leq 0 \\
f'\left( x^{2} - 2x \right) \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
- 2 \leq x^{2} - 2x \leq 3 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} - 2x \geq 3 \\
x^{2} - 2x \leq - 2 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
x^{2} - 2x + 2 \geq 0 \\
x^{2} - 2x - 3 \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x^{2} - 2x - 3 \geq 0 \\
x^{2} - 2x + 2 \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
x \geq 1 \\
- 1 \leq x \leq 3 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
x \leq 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x \geq 3 \\
x \leq - 1 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
1 \leq x \leq 3 \\
x \leq - 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số \(y =
f\left( x^{2} - 2x \right)\) có 1 điểm cực tiểu.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng hàm số \(y = f'(x)\) có đồ thị như sau:
Đặt \(g(x) = f(x) - x\). Hỏi hàm số \(g(x)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải
Hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) nên \(g(x) = f(x) - x\) cũng có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)
Ta có: \(g'(x) = f'(x) -
1\)
\(\Rightarrow g'(x) = 0
\Leftrightarrow f'(x) = 1\)
Dựa vào đồ thị \(f'(x)\) ta có: \(f'(x) = 1 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = x_{1} \in ( - 1;0) \\
x = x_{2} \in (1;3) \\
x = x_{3} \in (2;3) \\
\end{matrix} \right.\) suy ra \(x_{1};x_{2};x_{3}\) là ba nghiệm phân biệt và \(x_{1} < x_{2} < x_{3}\)
Bảng biến thiên của hàm \(g(x)\)
Vậy hàm số \(g(x) = f(x) - x\) có 3 điểm cực trị.
Ví dụ. Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên của đạo hàm như sau:
Hàm số \(g(x) = f\left( \left|
\frac{\ln\left( x^{2} + 1 \right) - 2}{2} \right| \right)\)có bao nhiêu điểm cực trị?
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \(t(x) = \frac{\ln\left( x^{2} +
1 \right) - 2}{2}\), ta có bảng giá trị |t(x)|
Ta có: \(g(x) = f\left( \left|
\frac{\ln\left( x^{2} + 1 \right) - 2}{2} \right| \right) = f\left(
\left| t(x) \right| \right)\)
Hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = \pm
\sqrt{e^{2} - 1}\)
Tại mọi điểm \(x = \pm \sqrt{e^{2} -
1}\) ta có:
\(g'(x) = f'\left( \left| t(x)
\right| \right).\left( \left| t(x) \right| \right)'\)
\(= \left\{ \begin{matrix}
\dfrac{f'\left( \left| t(x) \right| \right).x}{x^{2} + 1}\ \ \ \ khi\
x \in \left( - \infty; - \sqrt{e^{2} - 1} \right) \cup \left(
\sqrt{e^{2} - 1}; + \infty \right) \\
- \dfrac{f'\left( \left| t(x) \right| \right).x}{x^{2} + 1}\ \ \ \
khi\ x \in \left( - \sqrt{e^{2} - 1};\sqrt{e^{2} - 1} \right) \\
\end{matrix} \right.\ (*)\)
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
\left| t(x) \right| = t_{1};\left( t_{1} < 1 \right)\ \ \ (1) \\
\left| t(x) \right| = t_{2};\left( - 1 < t_{2} < 0 \right)\ \ \
(2) \\
\left| t(x) \right| = t_{3};\left( 0 < t_{3} < 1 \right)\ \ \ (3)
\\
\left| t(x) \right| = t_{4};\left( t_{4} > 1 \right)\ \ \ (4) \\
\end{matrix} \right.\)
Dựa vào bảng giá trị hàm |t| suy ra:
+ Phương trình (1), (2) vô nghiệm
+ Phương trình (3) có 4 nghiệm phân biệt khác 0
+ Phương trình (4) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình (3)
=> g’(x) = 0 có 7 nghiệm và qua các nghiệm này g’(x) đều đổi dấu
Từ (*) ta thấy g’(x) cũng đổi dấu khi x đi qua 2 điểm \(x = \pm \sqrt{e^{2} - 1}\)
Vậy hàm số g(x) có 9 điểm cực trị.
---------------------------------
Sau khi đã cùng nhau tìm hiểu về Cách xác định cực trị của hàm số, bây giờ chúng ta hãy cùng nhau củng cố lại kiến thức bằng một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé!
Bài tập Toán 12: Tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số
