Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập Toán 12: Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng

Xét tính đơn điệu của hàm số

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Tìm tham số m để hàm số đơn diệu trên một khoảng. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 30 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 30 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Thông hiểu
    Tìm m để hàm số nghịch biến trên R

    Số các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn \lbrack - 100;100brack để hàm số y = mx^{3} + mx^{2} + (m + 1)x - 3 nghịch biến trên \mathbb{R} là:

    Hướng dẫn:

    Trường hợp 1: m = 0.

    Ta có:

    y = x - 3 có y' = 1 > 0 với mọi x\mathbb{\in R} nên hàm số luôn đồng biến trên trên \mathbb{R}.

    Do đó loại m = 0.

    Trường hợp 2: m eq 0.

    Ta có: y' = 3mx^{2} + 2mx + m + 1, \Delta' = - 2m^{2} - 3m = m( - 2m - 3)

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' \leq 0 với mọi x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ m( - 2m - 3) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 0 \\ - 2m - 3 \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \leq - \frac{3}{2}.

    Vì mlà số nguyên thuộc đoạn \lbrack - 100;100brack nên m \in \left\{ - 2; - 3;...; - 99; - 100 ight\}.

    Vậy có 99 giá trị m.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tính số phần tử của tập hợp

    Cho hàm số y = \frac{mx - 2m - 3}{x - m} với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y' = \frac{- m^{2} + 2m + 3}{(x - m)^{2}} hàm số đồng biến trên khoảng xác định khi - 1 < m < 3 nên có 3 giá trị của m nguyên.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm điều kiện nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = \frac{(4 - m)\sqrt{6 - x} + 3}{\sqrt{6 - x} + m}. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trong khoảng ( - 10;10) sao cho hàm số đồng biến trên ( - 8;5)?

    Hướng dẫn:

    Đặt t = - \sqrt{6 - x} vì x \in ( - 8;5) \Rightarrow t \in \left( - \sqrt{14}; - 1 ight) và t = - \sqrt{6 - x} đồng biến trên ( - 8;5).

    Hàm số trở thành y = \frac{- (4 - m)t + 3}{- t + m}

    tập xác định D = \mathbb{R}\backslash\left\{ m ight\} \Rightarrow y' = \frac{m^{2} - 4m + 3}{( - t + m)^{2}}.

    Để hàm số đồng biến trên khoảng\left( - \sqrt{14}; - 1 ight)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 4m + 3 > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \sqrt{14} \\ m \geq - 1 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \sqrt{14} \\ - 1 \leq m < 1 \\ m > 3 \\ \end{matrix} ight..

    \Rightarrow m = \left\{ - 9, - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 1,0,4,5,6,7,8,9 ight\} có 14 giá trị.

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tìm các giá trị nguyên của m

    Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{m}{3}x^{3} - 2mx^{2} + (3m + 5)x đồng biến trên \mathbb{R}.

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = mx^{2} - 4mx + 3m + 5.

    Với a = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow y' = 5 > 0.

    Vậy hàm số đồng biến trên \mathbb{R}.

    Với a eq 0 \Leftrightarrow m eq 0. Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi

    y' \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ (2m)^{2} - m(3m + 5) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ m^{2} - 5m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 0 \\ 0 \leq m \leq 5 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m \leq 5.

    Vì m \mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ 0;1;2;3;4;5 ight\}.

  • Câu 5: Thông hiểu
    Chọn phương án đúng

    Tìm m để hàm số y = x^{3} - 3mx^{2} + 3(2m - 1) + 1 đồng biến trên \mathbb{R}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y' = 3x^{2} - 6mx + 3(2m - 1)

    Ta có: \Delta' = ( - 3m)^{2} - 3.3.(2m - 1).

    Để hàm số luôn đồng biến trên \mathbb{R} thì \Delta' \leq 0

    \Leftrightarrow 9m^{2} - 18m + 9 < 0 \Leftrightarrow 9\left( m^{2} - 2m + 1 ight) \leq 0

    \Leftrightarrow 9(m - 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow m = 1.

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tìm giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số f(x) = \frac{mx - 4}{x - m} (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0\ ;\ + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D = \mathbb{R}\backslash\left\{ m ight\}.

    Đạo hàm f'(x) = \frac{- m^{2} + 4}{(x - m)^{2}}.

    Hàm số đồng biến trên (0\ ;\ + \infty) khi và chỉ khi

    f'(x) > 0\ \forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - m^{2} + 4 > 0 \\ m otin (0; + \infty) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2 < m < 2 \\ m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 2 < m \leq 0.

    Do m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = \left\{ - 1\ ;\ 0 ight\}. Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

  • Câu 7: Thông hiểu
    Tìm tham số m theo yêu cầu

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + 4x + 3 đồng biến trên \mathbb{R}.

    Hướng dẫn:

    Ta có f'(x) = x^{2} + 2mx + 4.

    Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi f'(x) \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R} (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm).

    Ta có f'(x) \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\Delta' \leq 0

    \Leftrightarrow \Delta' = m^{2} - 4 \leq 0

    \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2.

    Vì m\mathbb{\in Z} nên m \in \left\{ - 2;\ - 1;\ 0;\ 1;\ 2 ight\}, vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

  • Câu 8: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = mx^{3} + mx^{2} + m(m - 1)x + 2 đồng biến trên \mathbb{R}.

    Hướng dẫn:

    TH1: m = 0 \Rightarrow y = 2 là hàm hằng nên loại m = 0.

    TH2: m eq 0. Ta có: y' = 3mx^{2} + 2mx + m(m - 1).

    Hàm số đồng biến trên \mathbb{R \Leftrightarrow}f'(x) \geq 0\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}

    \left\{ \begin{matrix} \Delta' = m^{2} - 3m^{2}(m - 1) \leq 0 \\ 3m > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2}(4 - 3m) \leq 0 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq \frac{4}{3} \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \geq \frac{4}{3}

  • Câu 9: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m} đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{4} \right).

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \tan x, vì x \in \left( 0;\frac{\pi}{4} ight) \Rightarrow t \in (0;1)

    Xét hàm số f(t) = \frac{t - 2}{t -m}\forall t \in (0;1). Tập xác định:D = \mathbb{R}\backslash\left\{ m ight\}

    Ta có f'(t) = \frac{2 - m}{(t - m)^{2}}.

    Ta thấy hàm số t(x) = \tan x đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{4} ight).

    Nên để hàm số y = \frac{\tan x - 2}{\tan x - m} đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{\pi}{4} ight) khi và chỉ khi: f'(t) > 0\forall t \in (0;1)

    \Leftrightarrow \frac{2 - m}{(t - m)^{2}} > 0\forall t \in (0;1) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2 - m > 0 \\ m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m < 2 \hfill \\ \left[ \begin{gathered} m \leqslant 0 \hfill \\ m \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} ight. \hfill \\ \end{gathered} ight. \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0} ight] \cup \left[ {1;2} ight)

  • Câu 10: Vận dụng
    Tìm các giá trị nguyên tham số m

    Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = \left( m^{2} - 1 \right)x^{3} + (m - 1)x^{2} - x + 4 nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty).

    Hướng dẫn:

    TH1: m = 1. Ta có: y = - x + 4 là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên \mathbb{R}.

    Do đó nhận m = 1.

    TH2: m = - 1. Ta có: y = - 2x^{2} - x + 4 là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên \mathbb{R}.

    Do đó loại m = - 1.

    TH3: m eq \pm 1. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0\ \ \forall x\mathbb{\in R}, dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên \mathbb{R}.

    \Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1)x - 1 \leq 0, \forall x\mathbb{\in R\ \ }

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ (m - 1)^{2} + 3\left( m^{2} - 1 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ (m - 1)(4m + 2) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 1 \\ - \frac{1}{2} \leq m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < 1

    Vì m\mathbb{\in Z} nên m = 0.

    Vậy có 2 giá trị m nguyên cần tìm là m = 0 hoặc m = 1.

  • Câu 11: Vận dụng
    Tính tổng các tham số m theo yêu cầu

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số f(x) = \frac{1}{5}m^{2}x^{5} - \frac{1}{3}mx^{3} + 10x^{2} - \left( m^{2} - m - 20 \right)x đồng biến trên \mathbb{R}. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có

    f'(x) = m^{2}x^{4} - mx^{2} + 20x - \left( m^{2} - m - 20 ight)

    = m^{2}\left( x^{4} - 1 ight) - m\left( x^{2} - 1 ight) + 20(x + 1)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \dfrac{1}{3} \\ m \geq - 2 \\ \end{matrix} ight.

    = (x + 1)\left\lbrack m^{2}(x - 1)\left( x^{2} + 1 ight) - m(x - 1) + 20 ightbrack

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ m^{2}(x - 1)\left( x^{2} + 1 ight) - m(x - 1) + 20 = 0(*) \\ \end{matrix} ight.

    Ta có f'(x) = 0 có một nghiệm đơn là x = - 1, do đó nếu (*) không nhận x = - 1 là nghiệm thì f'(x) đổi dấu qua x = - 1.

    Do đó để f(x) đồng biến trên \mathbb{R} thì f'(x) \geq 0,\forall x\mathbb{\in R} hay (*) nhận x = - 1 làm nghiệm (bậc lẻ).

    Suy ra m^{2}( - 1 - 1)(1 + 1) - m( - 1 - 1) + 20 = 0

    \Leftrightarrow - 4m^{2} + 2m + 20 = 0.

    Tổng các giá trị của m là \frac{1}{2}.

  • Câu 12: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = (m - 1)x^{3} - 3(m - 1)x^{2} + 3x + 2 đồng biến biến trên \mathbb{R}?

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = 3(m - 1)x^{2} - 6(m - 1)x + 3.

    Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y^{'} \geq 0,\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 1 = 0 \\ \left\{ \begin{matrix} m - 1 > 0 \\ \Delta' \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ 9(m - 1)^{2} - 9(m - 1) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ \left\{ \begin{matrix} m > 1 \\ 1 \leq m \leq 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 2. 

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tìm phương án đúng

    Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số y = \frac{1}{3}\left( m^{2} - m \right)x^{3} + 2mx^{2} + 3x - 2 đồng biến trên khoảng ( - \infty;\ + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y' = \left( m^{2} - m ight)x^{2} + 4mx + 3

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( - \infty;\ + \infty) \Leftrightarrow y' \geq 0 với \forall x\mathbb{\in R}.

    + Với m = 0 ta có y' = 3 > 0 với \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow} Hàm số đồng biến trên khoảng ( - \infty;\ + \infty).

    + Với m = 1 ta có y' = 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{3}{4} \Rightarrow m = 1 không thảo mãn.

    + Với \left\{ \begin{matrix} m eq 1 \\ m eq 0 \\ \end{matrix} ight. ta có y' \geq 0 với \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} m^{2} - m > 0 \\ \Delta' = m^{2} + 3m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} m > 1 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ - 3 \leq m \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 3 \leq m < 0.

    Tổng hợp các trường hợp ta được - 3 \leq m \leq 0.

    m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 3;\ - 2;\ \ - 1;\ 0 ight\}.

    Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài ra.

  • Câu 14: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \frac{x + 1}{x + 3m} nghịch biến trên khoảng (6; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D = \mathbb{R\backslash}\begin{pmatrix} - 3m \\ \end{pmatrix}; y' = \frac{3m - 1}{(x + 3m)^{2}}.

    Hàm số y = \frac{x + 1}{x + 3m} nghịch biến trên khoảng (6; + \infty) khi và chỉ khi:

    \left\{ \begin{matrix} y' < 0 \\ (6; + \infty) \subset D \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3m - 1 < 0 \\ - 3m \leq 6 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < \frac{1}{3} \\ m \geq - 2 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow - 2 \leq m < \frac{1}{3}.

    Vì m\mathbb{\in Z} \Rightarrow m \in \left\{ - 2; - 1;0 ight\}.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Cho hàm số y = \frac{\sqrt{1 - \ln x} + 1}{\sqrt{1 - \ln x} + m}. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc \lbrack - 5;5\rbrack để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \left( \frac{1}{e^{3}};1 \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có đạo hàm của y = \frac{\sqrt{1 - \ln x} + 1}{\sqrt{1 - \ln x} + m} là y' = \frac{1 - m}{2x\sqrt{1 - \ln x}(\sqrt{1 - \ln x} + m)^{2}}.

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \left( \frac{1}{e^{3}};1 ight) khi và chỉ khi y' > 0,\forall x \in \left( \frac{1}{e^{3}};1 ight)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1 - m > 0 \\ \sqrt{1 - \ln x} + m eq 0,\forall x \in \left( \frac{1}{e^{3}};1 ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 1 \\ \sqrt{1 - \ln x} + m eq 0,\forall x \in \left( \frac{1}{e^{3}};1 ight) \\ \end{matrix} ight. (*)

    Xét hàm số g(x) = \sqrt{1 - \ln x},x \in \left( \frac{1}{e^{3}};1 ight)

    ta có g'(x) = \frac{- 1}{2x\sqrt{1 - \ln x}} < 0,\forall x \in \left( \frac{1}{e^{3}};1 ight) do đó ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau

    Qua bảng biến thiên ta có (*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 1 \\ m otin ( - 2; - 1) \\ \end{matrix} ight., kết hợp với m \in \lbrack - 5;5brack ta có 6 giá trị nguyên của m là m \in \left\{ - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0 ight\}.

  • Câu 16: Thông hiểu
    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = - x^{3} - mx^{2} + (4m + 9)x + 5, với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( - \infty; + \infty)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    +) TXĐ: D = \mathbb{R}

    +) y' = - 3x^{2} - 2mx + 4m + 9.

    Hàm số nghịch biến trên ( - \infty; + \infty) khi y' \leq 0,\ \forall x \in ( - \infty; + \infty)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 3 < 0 \\ \Delta' = m^{2} + 3(4m + 9) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow m \in \lbrack - 9; - 3brack \Rightarrow có 7 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

  • Câu 17: Thông hiểu
    Chọn đáp án thích hợp

    Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{x + 2 - m}{x + 1} nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định?

    Hướng dẫn:

    Với m = 1 thì hàm số là hàm hằng (\forall x eq - 1) nên không nghịch biến.

    Ta có

    y' = \frac{m - 1}{(x + 1)^{2}},\forall x eq - 1.

    Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của tập xác định khi và chỉ khi y' < 0,x eq - 1 \Leftrightarrow m < 1.

  • Câu 18: Thông hiểu
    Tìm số phần tử tập S

    Cho hàm số y = \frac{mx + 4m}{x + m} với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    D = \mathbb{R}\backslash\left\{ - m ight\}; y' = \frac{m^{2} - 4m}{(x + m)^{2}}

    Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y^{'} < 0,\forall x \in D

    \Leftrightarrow m^{2} - 4m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4.

    Mà m\mathbb{\in Z} nên có 3 giá trị thỏa mãn.

  • Câu 19: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y = x^{3} - 3x^{2} + 3(m + 1)x + 2 đồng biến trên \mathbb{R}.

    Hướng dẫn:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}.

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6x + 3(m + 1)

    YCBT \Leftrightarrow y' \geq 0,\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\Delta' = - 9m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 0.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Tổng bình phương của tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = \left( 3m^{2} - 12 \right)x^{3} + 3(m - 2)x^{2} - x + 2 nghịch biến trên \mathbb{R} là:

    Hướng dẫn:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}.

    Ta có: y' = 9\left( m^{2} - 4 ight)x^{2} + 6(m - 2)x - 1.

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R \Leftrightarrow}y' \leq 0\forall x\mathbb{\in R}( dấu "=" xảy ra tại hữu hạn x\mathbb{\in R})

    TH1: m^{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2.

    + Với m = 2 ta có y' = - 1 \leq 0 \forall x\mathbb{\in R} nên m = 2 thỏa mãn.

    + Với m = - 2 ta có y^{'} = - 24x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq - \frac{1}{24}(không thỏa với mọi x\mathbb{\in R}) nên loại m = - 2.

    TH2: m^{2} - 4 eq 0 \Leftrightarrow m eq \pm 2. Ta có

    y' \leq 0,\forall x\mathbb{\in R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 9\left( m^{2} - 4 ight) < 0 \\ \Delta^{'} = 9(m - 2)^{2} + 9\left( m^{2} - 4 ight) \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2 < m < 2 \\ 0 \leq m \leq 2 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow 0 \leq m < 2\overset{m\mathbb{\in Z}}{ightarrow}m \in \left\{ 0;1 ight\}

    Vậy m \in \left\{ \ 0\ ;\ 1;2 ight\} \Rightarrow 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 5.

  • Câu 21: Vận dụng
    Tìm giá trị tham số m theo yêu cầu

    Cho hàm số y = \frac{\ln x - 4}{\ln x -2m} với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;e). Tìm số phần tử của S.

    Hướng dẫn:

    Ta có: y = f(x) = \frac{\ln x - 4}{\ln x - 2m}

    Đặt t = \ln x, điều kiện t \in (0;1)

    g(t) = \frac{t - 4}{t - 2m}; g'(t) = \frac{- 2m + 4}{(t - 2m)^{2}}

    Để hàm số f(x) đồng biến trên (1;e) thì hàm số g(t) đồng biến trên (0;1) \Leftrightarrow g'(t) > 0,\ \ t \in (0;1)

    \Leftrightarrow \frac{- 2m + 4}{(t - 2m)^{2}} > 0,t \in (0;1)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2m + 4 > 0 \\ 2m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{1}{2} < m < 2 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.

    S là tập hợp các giá trị nguyên dương \Rightarrow S = \left\{ 1 ight\}.

    Vậy số phần tử của tập S là 1.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 2m + 4 > 0 \\ 2m otin (0;1) \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \dfrac{1}{2} < m < 2 \\ m < 0 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 22: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = - \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + (3m + 2)x + 1. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên \mathbb{R}.

    Hướng dẫn:

    TXĐ: D = \mathbb{R}, y' = - x^{2} + 2mx + 3m + 2.

    Hàm số nghịch biến trên \mathbb{R} khi và chỉ khi y' \leq 0, \forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 < 0 \\ \Delta' = m^{2} + 3m + 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight. \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 1.

  • Câu 23: Thông hiểu
    Tìm các giá trị thực của tham số m theo yêu cầu

    Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = \frac{x + 5}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 8) là

    Hướng dẫn:

    Điều kiện x eq - m.

    Ta có 

    Để hàm số y = \frac{x + 5}{x + m} đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 8) thì

    \left\{ \begin{matrix} y' > 0 \\ - m \in ( - \infty; - 8) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 5 > 0 \\ - m \geq - 8 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow 5 < m \leq 8.y' = \frac{{m - 5}}{{{{\left( {x + m} ight)}^2}}}

  • Câu 24: Nhận biết
    Chọn mệnh đề đúng

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + 4x - m đồng biến trên khoảng ( - \infty; + \infty).

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = x^{2} + 2mx + 4.

    Hàm số đồng biến trên khoảng ( - \infty; + \infty) khi và chỉ khi y' \geq 0,\forall x \in ( - \infty; + \infty).

    \Leftrightarrow \Delta' = m^{2} - 4 \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2.

  • Câu 25: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y = \frac{m - \sin x}{cos^{2}x} nghịch biến trên \left( 0;\frac{\pi}{6} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có

    y' = \frac{- cos^{2}x + 2m\sin x - 2sin^{2}x}{cos^{3}x} = \frac{- 1 + 2m\sin x - sin^{2}x}{cos^{3}x}

    Để hàm số nghịch biến trên \left( 0;\frac{\pi}{6} ight) thì

    y' \leq 0,\forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{6} ight)

    \Leftrightarrow - sin^{2}x + 2m\sin x - 1 \leq 0,\forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{6} ight), vì cos^{3}x > 0,\forall x \in \left( 0;\frac{\pi}{6} ight) (1)

    Đặt \sin x = t,t \in \left( 0;\frac{1}{2} ight).

    Khi đó (1) \Leftrightarrow - t^{2} + 2mt - 1 \leq 0,\forall t \in \left( 0;\frac{1}{2} ight)

    \Leftrightarrow m \leq \frac{t^{2} + 1}{2t},\forall t \in \left( 0;\frac{1}{2} ight)\ (2)

    Ta xét hàm f(t) = \frac{t^{2} + 1}{2t},\forall t \in \left( 0;\frac{1}{2} ight)

    Ta có f'(t)=\frac{2\left( t^{2}-1ight)}{4t^2} < 0,\forall t \in \left( 0;\frac{1}{2}ight)

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên suy ra (2) \Leftrightarrow m \leq \frac{5}{4}.

  • Câu 26: Vận dụng
    Chọn phương án thích hợp

    Số giá trị nguyên của m để hàm số y = (4 - m^{2})x^{3} + (m - 2)x^{2} + x + m - 1 (1) đồng biến trên \mathbb{R} bằng.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    TH1: 4 - m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2.

    m = 2: (1) \Leftrightarrow y = x + 1 \Rightarrow hàm số luôn tăng trên \mathbb{R} \Rightarrow m = 2 (nhận).

    m = - 2: (1) \Leftrightarrow y = - 4x^{2} + x - 3 là hàm số bậc hai nên tăng trên khoảng \left( - \infty;\ \frac{1}{8} ight), giảm trên khoảng \left( \frac{1}{8};\ + \infty ight) \Rightarrow m = - 2 (loại).

    TH2:4 - m^{2} eq 0.

    y' = 3\left( 4 - m^{2} ight)x^{2} + 2(m - 2)x + 1.

    \Delta' = (m - 2)^{2} - 3\left( 4 - m^{2} ight) = 4m^{2} - 4m - 8.

    hàm số đồng biến trên \mathbb{R} \Leftrightarrow y' \geq 0\ \forall x\mathbb{\in R}.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 4 - m^{2} > 0 \\ 4m^{2} - 4m - 8 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \in ( - 2;\ 2) \\ m \in \lbrack - 1;\ 2brack \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m \in \lbrack - 1;\ 2)

    Mặt khác m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m = - 1;m = 0; \ m = 1.

    Vậy có \ 4giá trị nguyên của \ m thỏa yêu cầu bài toán.

  • Câu 27: Vận dụng
    Chọn phương án đúng

    Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y = x + 5 + \frac{1 - m}{x - 2} đồng biến trên \lbrack 5\ ;\ + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash\left\{ 2 ight\}.

    Đạo hàm: y' = 1 + \frac{m - 1}{(x - 2)^{2}} = \frac{x^{2} - 4x + m + 3}{(x - 2)^{2}}.

    Xét hàm số f(x) = x^{2} - 4x + 3 trên \lbrack 5\ ;\ + \infty).

    Đạo hàm: f'(x) = 2x - 4. Xét f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = - 1. Ta có: f(5) = 8.

    Bảng biến thiên:

    Do (x - 2)^{2} > 0 với mọi x \in \lbrack 5\ ;\ + \infty) nên y' \geq 0, \forall x \in \lbrack 5\ ;\ + \infty) khi và chỉ khi f(x) \geq - m, \forall x \in \lbrack 5\ ;\ + \infty).

    Dựa vào bảng biến thiên ta có: - m \leq 8 \Leftrightarrow m \geq - 8.

    Mà m nguyên âm nên ta có: m \in \left\{ - 8\ ;\ - 7\ ;\ - 6\ ;\ - 5\ ;\ - 4\ ;\ - 3\ ;\ - 2\ ;\ - 1 ight\}.

    Vậy có 8 giá trị nguyên âm của m để hàm số y = x + 5 + \frac{1 - m}{x - 2} đồng biến trên \lbrack 5\ ;\ + \infty).

  • Câu 28: Vận dụng
    Chọn kết quả đúng nhất

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số y = \frac{\cos\ x - 3}{cos\ x - m} nghịch biến trên khoảng \left( \frac{\pi}{2};\pi \right)

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: cos\ x eq m.

    Ta có: y' = \frac{( - m + 3)}{(cos\ x - m)^{2}}.( - sin\ x) = \frac{(m - 3)}{(cos\ x - m)^{2}}.sinx

    Vì x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight) \Rightarrow sin\ x > 0, (cos\ x - m)^{2} > 0,\ \ \forall x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight):cos\ x eq m.

    Để hàm số nghịch biến trên khoảng \left( \frac{\pi}{2};\pi ight)

    \Leftrightarrow y' < 0\ \ \forall x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight)

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 3 < 0 \\ cos\ x eq m\ \ \forall x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m - 3 < 0 \\ m otin ( - 1;0) \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 3 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 \leq m < 3 \\ m \leq - 1 \\ \end{matrix} ight..

    Chú ý : Tập giá trị của hàm số y = \cos x,\ \ \forall x \in \left( \frac{\pi}{2};\pi ight)là ( - 1;0).

  • Câu 29: Thông hiểu
    Xác định các giá trị nguyên tham số m

    Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = \frac{(m + 1)x - 2}{x - m} đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

    Hướng dẫn:

    TXĐ: D = \mathbb{R}\backslash\left\{ m ight\}

    y' = \frac{- m^{2} - m + 2}{(x - m)^{2}}.

    Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của ta cần tìm m để y' \geq 0 trên ( - \infty;\ m) và (m;\ + \infty) và dấu "= " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên các khoảng đó

    ĐK: - m^{2} - m + 2 > 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 1.

    Vì m\mathbb{\in Z} nên m = - 1,0.

  • Câu 30: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = \left( m^{2} - 1 \right)x^{3} + (m - 1)x^{2} - x + 4 nghịch biến trên khoảng( - \infty\ ; + \infty).

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = 3\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1)x - 1

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng\ ( - \infty\ ; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R}

    \Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 1 ight)x^{2} + 2(m - 1)x - 1 \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R}.

    * Trường hợp 1: m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 1.

    + Với m = 1, ta được - 1 \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R} (luôn đúng), suy ra m = 1 (nhận).

    + Với m = - 1, ta được - 4x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{4}, suy ra m = - 1 (loại).

    * Trường hợp 2: m^{2} - 1 eq 0 \Leftrightarrow m eq \pm 1.

    Ta có \Delta' = (m - 1)^{2} + 3\left( m^{2} - 1 ight)

    = m^{2} - 2m + 1 + 3m^{2} - 3 = 4m^{2} - 2m - 2.

    Để y' \leq 0\ ,\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 < 0 \\ 4m^{2} - 2m - 2 \leq 0 \\ \end{matrix} ight.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} - 1 < m < 1 \\ - \frac{1}{2} \leq m \leq 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq m < 1.

    Tổng hợp lại, ta có tất cả giá trị m cần tìm là - \frac{1}{2} \leq m \leq 1.

    Vì m\mathbb{\in Z}, suy ra m \in \left\{ 0\ ;1 ight\}, nên có 2 giá trị nguyên của tham số m.

0/30
30 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (3%):
    2/3
  • Thông hiểu (63%):
    2/3
  • Vận dụng (30%):
    2/3
  • Vận dụng cao (3%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
1
53 Bài viết đã được lưu

Tham khảo thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Chuyên đề Toán 12
Xem thêm