Cách tính Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành
Tỉ số thể tích khối chóp đáy hình bình hành Toán 12
Trong chuyên đề Hình học không gian của ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài tính tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành xuất hiện thường xuyên và đòi hỏi học sinh phải nắm chắc mối quan hệ giữa diện tích đáy, chiều cao và hệ số tỉ lệ của các cạnh hoặc vectơ. Khi hiểu đúng bản chất và áp dụng các kỹ thuật rút gọn, bạn hoàn toàn có thể xử lý nhanh mọi bài toán tỉ số thể tích mà không cần tính toán phức tạp. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn phương pháp tổng quát, mẹo suy luận nhanh và các ví dụ minh họa giúp tối ưu hiệu quả trong phòng thi.
A. Công thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp đáy là hình bình hành
Cho hình chóp 
\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh \(SA,SB,SC,SD,SO\) lần lượt tại \(A',B',C',D'\) và \(O'\). Ta có
a) \(\frac{SA}{SA'} +
\frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{SD'} =
2.\frac{SO}{SO'}\).
b) Đặt \(x = \frac{SA}{SA'}\ ,\ \ y =
\frac{SB}{SB'}\ ,\ \ \ z = \frac{SC}{SC'},\ \ \ t =
\frac{SD}{SD'}\). Ta có \(\frac{V_{S.A'B'C'D'}}{V_{S.ABCD}}
= \frac{x + y + z + t}{4xyzt}\).
B. Bài tập minh họa tính thể tích khối chóp
Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi\(M\) là trung điểm \(SB\), điểm \(P\) thuộc cạnh \(SD\) sao cho \(SP
= 2PD\). Mặt phẳng \((AMP)\) cắt \(SC\) tại \(N\). Tính tỷ số \(\frac{V_{S.AMNP}}{V_{S.ABCD}}\) .
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(\frac{SA}{SA} + \frac{SC}{SN} =
\frac{SB}{SM} + \frac{SD}{SP} \Leftrightarrow 1 + \frac{SC}{SN} = 2 +
\frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{SC}{SN} = \frac{5}{2}\)
Vậy \(\frac{V_{S.AMNP}}{V_{S.ABCD}} =
\frac{1 + 2 + \frac{5}{2} + \frac{3}{2}}{4.1.2.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}}
= \frac{7}{30}\)
Ví dụ 2. Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình bình hành. Mặt phẳng \((P)\) chứa cạnh \(AB\) và đi qua điểm \(M\) trên \(SC\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỷ số \(k =
\frac{SM}{SC}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Gọi \(N = (P) \cap SC\) ta có \(\left\{ \begin{matrix}
AB \subset (P) \\
AB//CD
\end{matrix} \right.\) nên \(MN//CD\) .
Ta có \(k = \frac{SM}{SC} \Rightarrow
\frac{SC}{SM} = \frac{SD}{SN} = \frac{1}{k}\)
Khi đó \(\frac{V_{SABMN}}{V_{SABCD}} =
\frac{1 + 1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k}}{4.\frac{1}{k^{2}}} =
\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow
\frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{k} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{k} =
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow k = \frac{\sqrt{5} -
1}{2}\).
Ví dụ 3. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có thể tích bằng \(V\), đáy\(ABCD\) là hình vuông; \(SA\bot(ABCD)\) và \(SC\) hợp với đáy một góc bằng \(30{^\circ}\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua\(A\) và vuông góc với \(SC\), cắt các cạnh \(SB,SC,SD\) lần lượt tại \(E,F,K\). Tính thể tích khối chóp \(S.AEFK\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(\frac{SB}{SE} =
\frac{SB^{2}}{SA^{2}}\). Tương tự \(\frac{SD}{SK} = \frac{SD^{2}}{SA^{2}}\) nên \(\frac{SB}{SE} = \frac{SD}{SK}\).
Mà \(\frac{SC}{SF} = \frac{SC^{2}}{SA^{2}}
= 4\) ( do \(\Delta SCA\) vuông tại \(A,\ \widehat{\ SCA} = 30^{0}\)) nên \(\frac{SC}{SF} + 1 = \frac{SB}{SE} +
\frac{SD}{SK} = 5 \Rightarrow \frac{SB}{SE} = \frac{SD}{SK} =
\frac{5}{2}\)
\(\frac{V_{S.AEFK}}{V_{S.ABCD}} =
\frac{10}{4.1.4.\frac{5}{2}.\frac{5}{2}} = \frac{1}{10} \Rightarrow
V_{S.AEFK} = \frac{V_{S.ABCD}}{10} = \frac{V}{10}.\)
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích bằng \(48.\) Gọi \(M,\ N\) lần lượt là điểm thuộc các cạnh \(AB,\ CD\) sao cho \(MA = MB,\) \(NC =
2ND\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.MBCN.\)
A. \(V = 8.\) B. \(V = 20.\) C. \(V
= 28.\) D. \(V = 40.\)
Bài tập 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(A,\ B\) và trung điểm \(M\) của \(SC\). Mặt phẳng \((\alpha)\) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là \(V_{1},\ \
V_{2}\) với \(V_{1} <
V_{2}.\) Tính tỉ số \(\frac{V_{1}}{V_{2}}.\)
A. \(\frac{V_{1}}{V_{2}} =
\frac{1}{4}\). B. \(\frac{V_{1}}{V_{2}}
= \frac{3}{8}\). C. \(\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{8}\). D. \(\frac{V_{1}}{V_{2}} =
\frac{3}{5}\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
---------------------------------
Việc thành thạo cách tính tỉ số thể tích khối chóp với đáy là hình bình hành sẽ giúp bạn giải quyết nhanh nhiều bài toán không gian trong đề thi THPT Quốc gia. Hy vọng nội dung bài viết đã mang đến cho bạn cách tiếp cận đơn giản, dễ nhớ và hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác để củng cố kỹ năng và tăng tốc độ làm bài nhằm đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi.
