Cách tính Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành
Tỉ số thể tích khối chóp đáy hình bình hành Toán 12
Trong chuyên đề Hình học không gian của ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài tính tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành xuất hiện thường xuyên và đòi hỏi học sinh phải nắm chắc mối quan hệ giữa diện tích đáy, chiều cao và hệ số tỉ lệ của các cạnh hoặc vectơ. Khi hiểu đúng bản chất và áp dụng các kỹ thuật rút gọn, bạn hoàn toàn có thể xử lý nhanh mọi bài toán tỉ số thể tích mà không cần tính toán phức tạp. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn phương pháp tổng quát, mẹo suy luận nhanh và các ví dụ minh họa giúp tối ưu hiệu quả trong phòng thi.
A. Công thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp đáy là hình bình hành
Cho hình chóp 
\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Mặt phẳng \((P)\) cắt các cạnh \(SA,SB,SC,SD,SO\) lần lượt tại \(A',B',C',D'\) và \(O'\). Ta có
a) \(\frac{SA}{SA'} +
\frac{SC}{SC'} = \frac{SB}{SB'} + \frac{SD}{SD'} =
2.\frac{SO}{SO'}\).
b) Đặt \(x = \frac{SA}{SA'}\ ,\ \ y =
\frac{SB}{SB'}\ ,\ \ \ z = \frac{SC}{SC'},\ \ \ t =
\frac{SD}{SD'}\). Ta có \(\frac{V_{S.A'B'C'D'}}{V_{S.ABCD}}
= \frac{x + y + z + t}{4xyzt}\).
B. Bài tập minh họa tính thể tích khối chóp
Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi\(M\) là trung điểm \(SB\), điểm \(P\) thuộc cạnh \(SD\) sao cho \(SP
= 2PD\). Mặt phẳng \((AMP)\) cắt \(SC\) tại \(N\). Tính tỷ số \(\frac{V_{S.AMNP}}{V_{S.ABCD}}\) .
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(\frac{SA}{SA} + \frac{SC}{SN} =
\frac{SB}{SM} + \frac{SD}{SP} \Leftrightarrow 1 + \frac{SC}{SN} = 2 +
\frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{SC}{SN} = \frac{5}{2}\)
Vậy \(\frac{V_{S.AMNP}}{V_{S.ABCD}} =
\frac{1 + 2 + \frac{5}{2} + \frac{3}{2}}{4.1.2.\frac{5}{2}.\frac{3}{2}}
= \frac{7}{30}\)
Ví dụ 2. Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình bình hành. Mặt phẳng \((P)\) chứa cạnh \(AB\) và đi qua điểm \(M\) trên \(SC\) chia khối chóp \(S.ABCD\) thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỷ số \(k =
\frac{SM}{SC}\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Gọi \(N = (P) \cap SC\) ta có \(\left\{ \begin{matrix}
AB \subset (P) \\
AB//CD
\end{matrix} \right.\) nên \(MN//CD\) .
Ta có \(k = \frac{SM}{SC} \Rightarrow
\frac{SC}{SM} = \frac{SD}{SN} = \frac{1}{k}\)
Khi đó \(\frac{V_{SABMN}}{V_{SABCD}} =
\frac{1 + 1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k}}{4.\frac{1}{k^{2}}} =
\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow
\frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{k} - 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{k} =
\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow k = \frac{\sqrt{5} -
1}{2}\).
Ví dụ 3. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có thể tích bằng \(V\), đáy\(ABCD\) là hình vuông; \(SA\bot(ABCD)\) và \(SC\) hợp với đáy một góc bằng \(30{^\circ}\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua\(A\) và vuông góc với \(SC\), cắt các cạnh \(SB,SC,SD\) lần lượt tại \(E,F,K\). Tính thể tích khối chóp \(S.AEFK\).
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa:
Ta có \(\frac{SB}{SE} =
\frac{SB^{2}}{SA^{2}}\). Tương tự \(\frac{SD}{SK} = \frac{SD^{2}}{SA^{2}}\) nên \(\frac{SB}{SE} = \frac{SD}{SK}\).
Mà \(\frac{SC}{SF} = \frac{SC^{2}}{SA^{2}}
= 4\) ( do \(\Delta SCA\) vuông tại \(A,\ \widehat{\ SCA} = 30^{0}\)) nên \(\frac{SC}{SF} + 1 = \frac{SB}{SE} +
\frac{SD}{SK} = 5 \Rightarrow \frac{SB}{SE} = \frac{SD}{SK} =
\frac{5}{2}\)
\(\frac{V_{S.AEFK}}{V_{S.ABCD}} =
\frac{10}{4.1.4.\frac{5}{2}.\frac{5}{2}} = \frac{1}{10} \Rightarrow
V_{S.AEFK} = \frac{V_{S.ABCD}}{10} = \frac{V}{10}.\)
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và có thể tích bằng \(48.\) Gọi \(M,\ N\) lần lượt là điểm thuộc các cạnh \(AB,\ CD\) sao cho \(MA = MB,\) \(NC =
2ND\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.MBCN.\)
A. \(V = 8.\) B. \(V = 20.\) C. \(V
= 28.\) D. \(V = 40.\)
Bài tập 2. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Mặt phẳng \((\alpha)\) đi qua \(A,\ B\) và trung điểm \(M\) của \(SC\). Mặt phẳng \((\alpha)\) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích lần lượt là \(V_{1},\ \
V_{2}\) với \(V_{1} <
V_{2}.\) Tính tỉ số \(\frac{V_{1}}{V_{2}}.\)
A. \(\frac{V_{1}}{V_{2}} =
\frac{1}{4}\). B. \(\frac{V_{1}}{V_{2}}
= \frac{3}{8}\). C. \(\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{5}{8}\). D. \(\frac{V_{1}}{V_{2}} =
\frac{3}{5}\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu.
---------------------------------
FAQ – Cách Tính Tỉ Số Thể Tích Khối Chóp Có Đáy Là Hình Bình Hành
1. Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành được tính như thế nào?
Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp thường được xác định thông qua tỉ số diện tích đáy, tỉ số chiều cao hoặc sự kết hợp của cả hai yếu tố. Việc phân tích đúng các yếu tố hình học là chìa khóa để giải bài toán nhanh chóng.
2. Vì sao hình bình hành thường xuất hiện trong bài toán tỉ số thể tích?
Hình bình hành có nhiều tính chất đặc biệt như hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, các cạnh đối song song và bằng nhau. Những tính chất này giúp tạo ra các tỉ lệ hình học thuận lợi để tính thể tích.
3. Muốn tính tỉ số thể tích khối chóp cần nắm những kiến thức nào?
Học sinh cần nắm vững:
- Công thức thể tích khối chóp.
- Tính chất hình bình hành.
- Tỉ số diện tích các hình đồng dạng.
- Quan hệ song song trong không gian.
- Các định lý về trung điểm và trọng tâm.
4. Những dạng bài tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành thường gặp là gì?
Các dạng bài phổ biến gồm:
- So sánh thể tích hai khối chóp.
- Tính tỉ số thể tích khi điểm chia cạnh theo tỉ lệ cho trước.
- Bài toán liên quan đến trung điểm các cạnh.
- Bài toán mặt phẳng cắt khối chóp.
- Bài toán vận dụng cao về khối đa diện.
5. Có cần tính trực tiếp thể tích từng khối chóp không?
Không phải lúc nào cũng cần.
Trong nhiều trường hợp, học sinh chỉ cần xác định tỉ lệ diện tích đáy hoặc tỉ lệ chiều cao để suy ra ngay tỉ số thể tích mà không cần tính giá trị cụ thể.
------------------------
Việc thành thạo cách tính tỉ số thể tích khối chóp với đáy là hình bình hành sẽ giúp bạn giải quyết nhanh nhiều bài toán không gian trong đề thi THPT Quốc gia. Hy vọng nội dung bài viết đã mang đến cho bạn cách tiếp cận đơn giản, dễ nhớ và hiệu quả. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập khác để củng cố kỹ năng và tăng tốc độ làm bài nhằm đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi.
