Công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Chuyên đề Toán 12 Phương sai và độ lệch chuẩn

Công thức và cách tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn là một chỉ số quan trọng trong thống kê, giúp đo lường mức độ phân tán của dữ liệu. Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, việc tính toán độ lệch chuẩn sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về mức độ biến động của từng nhóm dữ liệu. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chia sẻ với bạn công thức tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm và hướng dẫn chi tiết cách áp dụng công thức này vào các bài tập thực tế. Cùng khám phá cách tính toán chính xác và hiệu quả nhất để nắm vững kiến thức này!

A. Cách tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:

Nhóm	$\left\lbrack a_{1};a_{2} \right)$ $[a_{1}; a_{2})$	$. . .$	$\left\lbrack a_{i};a_{i + 1} \right)$ $[a_{i}; a_{i + 1})$	$. . .$	$\left\lbrack a_{k};a_{k + 1} \right)$ $[a_{k}; a_{k + 1})$
Tần số	$m_{1}$ $m_{1}$	$. . .$	$m_{i}$ $m_{i}$	$. . .$	$m_{k}$ $m_{k}$

Phương sai $s^{2}$ $s^{2}$ được tính như sau:

Bước 1: Tính giá trị đại diện mỗi nhóm $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}\ ;\ i = 1,2,3,...,k$ $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}; i = 1, 2, 3, . . ., k$ .
Bước 2: Tính $n = m_{1} + m_{2} + ... + m_{k}$ $n = m_{1} + m_{2} + . . . + m_{k}$ .
Bước 3: $\overline{x} = \frac{m_{1}.x_{1} + m_{2}.x_{2} + ... + m_{k}.x_{k}}{n}$ $\overset{―}{x} = \frac{m_{1} . x_{1} + m_{2} . x_{2} + . . . + m_{k} . x_{k}}{n}$ .
Bước 4: Phương sai $s^{2} = \frac{m_{1}.\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + m_{2}.\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2} + ... + m_{k}.\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{n}$ $s^{2} = \frac{m_{1} . {(x_{1} - \overset{―}{x})}^{2} + m_{2} . {(x_{2} - \overset{―}{x})}^{2} + . . . + m_{k} . {(x_{k} - \overset{―}{x})}^{2}}{n}$

Hoặc: $s^{2} = \frac{1}{n}\left( m_{1}.{x_{1}}^{2} + m_{2}.{x_{2}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right) - \left( \overline{x} \right)^{2}$ $s^{2} = \frac{1}{n} (m_{1} . {x_{1}}^{2} + m_{2} . {x_{2}}^{2} + . . . + m_{k} . {x_{k}}^{2}) - {(\overset{―}{x})}^{2}$ .

Bước 5: Độ lệch chuẩn $S = \sqrt{S^{2}}$ $S = \sqrt{S^{2}}$

Ý nghĩa: Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng xấp xỉ nhau, mẫu số liệu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mức độ phân tán so với số trung bình cộng của các số liệu trong mẫu đó sẽ thấp hơn.

B. Bài tập tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập 1. Cho mẫu số liệu ghép nhóm về độ tuổi của cư dân trong một khu phố.

Độ tuổi	$\lbrack 20;30)$ $[20; 30)$	$\lbrack 30;40)$ $[30; 40)$	$\lbrack 40;50)$ $[40; 50)$	$\lbrack 50;60)$ $[50; 60)$	$\lbrack 60;70)$ $[60; 70)$	$\lbrack 70;80)$ $[70; 80)$
Giá trị đại diện	25	35	45	55	65	75
Số cư dân	25	20	20	15	14	6

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Số trung bình cộng là

$\overline{x} =\frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{k}x_{k}}{N}$ $\overset{―}{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{k} x_{k}}{N}$

$= \frac{25 \cdot25 + 20 \cdot 35 + 20 \cdot 45 + 15 \cdot 55 + 14 \cdot 65 + 6 \cdot75}{100} = 44,1$ $= \frac{25 \cdot 25 + 20 \cdot 35 + 20 \cdot 45 + 15 \cdot 55 + 14 \cdot 65 + 6 \cdot 75}{100} = 44, 1$ (tuổi).

Phương sai là

$S^{2} = \frac{n_{1}\left(x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x}\right)^{2} + \ldots + n_{k}\left( x_{k} - \overline{x}\right)^{2}}{N}$ $S^{2} = \frac{n_{1} {(x_{1} - \overset{―}{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \overset{―}{x})}^{2} + \dots + n_{k} {(x_{k} - \overset{―}{x})}^{2}}{N}$

$S^{2} = \frac{25\left( 25 - \overline{x} \right)^{2} +20\left( 35 - \overline{x} \right)^{2} + 20\left( 45 - \overline{x}\right)^{2} + 15\left( 55 - \overline{x} \right)^{2} + 14\left( 65 -\overline{x} \right)^{2} + 6\left( 75 - \overline{x} \right)^{2}}{100} =244,2$ $S^{2} = \frac{25 {(25 - \overset{―}{x})}^{2} + 20 {(35 - \overset{―}{x})}^{2} + 20 {(45 - \overset{―}{x})}^{2} + 15 {(55 - \overset{―}{x})}^{2} + 14 {(65 - \overset{―}{x})}^{2} + 6 {(75 - \overset{―}{x})}^{2}}{100} = 244, 2$ .

Độ lệch chuẩn là $S = \sqrt{S^{2}} \approx 15,6$ $S = \sqrt{S^{2}} \approx 15, 6$ (tuổi).

Bài tập 2. Cho hai mẫu số liệu ghép nhóm thống kê mức lương của hai công ty $A$ , $B$ (đơn vị là triệu đồng)

Bảng thống kê mức lương công ty A (triệu đồng)		Bảng thống kê mức lương công ty B (triệu đồng)
Mức lương	Số lượng nhân viên	Mức lương	Số lượng nhân viên
$\lbrack 10;15)$ $[10; 15)$	15	$\lbrack 10;15)$ $[10; 15)$	25
$\lbrack 15;20)$ $[15; 20)$	18	$\lbrack 15;20)$ $[15; 20)$	15
$\lbrack 20;25)$ $[20; 25)$	10	$\lbrack 20;25)$ $[20; 25)$	7
$\lbrack 25;30)$ $[25; 30)$	10	$\lbrack 25;30)$ $[25; 30)$	5
$\lbrack 30;35)$ $[30; 35)$	5	$\lbrack 30;35)$ $[30; 35)$	5
$\lbrack 35;40)$ $[35; 40)$	2	$\lbrack 35;40)$ $[35; 40)$	3

⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty $A$ , $B$ . (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

⑵ Công ty nào có mức lương đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm lần lượt biểu diễn mức lương của hai công ty $A$ , $B$ . (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Xét Mức lương tại công ty A

Số trung bình của công ty $A$ là ${\overline{x}}_{A} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{k}x_{k}}{N} = \frac{62}{3} \approx 20,7$ ${\overset{―}{x}}_{A} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{k} x_{k}}{N} = \frac{62}{3} \approx 20, 7$ (triệu đồng).

Phương sai của công ty $A$ là ${S_{A}}^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2} + \ldots + n_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{N} = \frac{1769}{36}$ ${S_{A}}^{2} = \frac{n_{1} {(x_{1} - \overset{―}{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \overset{―}{x})}^{2} + \dots + n_{k} {(x_{k} - \overset{―}{x})}^{2}}{N} = \frac{1769}{36}$ .

Độ lệch chuẩn của công ty $A$ là $S_{A} = \sqrt{{S_{A}}^{2}} \approx 7$ $S_{A} = \sqrt{{S_{A}}^{2}} \approx 7$ (triệu đồng).

Xét Mức lương tại công ty B

Số trung bình của công ty $B$ là ${\overline{x}}_{B} = \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + \ldots + n_{k}x_{k}}{N} = \frac{229}{12} \approx 19,1$ ${\overset{―}{x}}_{B} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{k} x_{k}}{N} = \frac{229}{12} \approx 19, 1$ (triệu đồng).

Phương sai của công ty $B$ là ${S_{A}}^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2} + \ldots + n_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{N} = \frac{8339}{144}$ ${S_{A}}^{2} = \frac{n_{1} {(x_{1} - \overset{―}{x})}^{2} + n_{2} {(x_{2} - \overset{―}{x})}^{2} + \dots + n_{k} {(x_{k} - \overset{―}{x})}^{2}}{N} = \frac{8339}{144}$ .

Độ lệch chuẩn của công ty $B$ là $S_{B} = \sqrt{{S_{B}}^{2}} \approx 7,6$ $S_{B} = \sqrt{{S_{B}}^{2}} \approx 7, 6$ (triệu đồng).

Vì độ lệch chuẩn của công ty $A$ nhỏ hơn độ lệch chuẩn của công ty $B$ và lương bình quân của cả hai công ty xấp xỉ nhau nên công ty $A$ có mức lương đồng đều hơn.

----------------------------------------------------

Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ công thức tính độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu ghép nhóm và cách áp dụng nó vào thực tế. Việc tính độ lệch chuẩn chính xác sẽ giúp bạn phân tích dữ liệu một cách hiệu quả hơn trong các bài toán thống kê. Để làm quen và nắm vững kỹ năng này, hãy thực hành thêm nhiều bài tập và cập nhật thêm các kiến thức thống kê khác từ chúng tôi. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bơ

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!