Các bài toán ứng dụng lãi suất, tối ưu, thống kê dữ liệu thực tế
Toán ứng dụng trong đề thi THPT - Bài toán thống kê dữ liệu, tính lãi suất thực tế
Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT môn Toán, nhóm bài toán ứng dụng thực tế như: bài toán lãi suất, bài toán tối ưu và bài toán thống kê dữ liệu ngày càng xuất hiện phổ biến và chiếm tỷ trọng điểm quan trọng. Đây là dạng toán không chỉ đánh giá năng lực giải toán mà còn đo mức độ hiểu và vận dụng kiến thức Toán học vào đời sống thực tiễn.
Tài liệu này sẽ giúp bạn tổng hợp đầy đủ các dạng bài toán ứng dụng lãi suất (lãi đơn – lãi kép), bài toán tối ưu (giá trị lớn nhất – nhỏ nhất) và phân tích – xử lý dữ liệu thống kê. Mỗi phần đều có ví dụ minh họa thực tế, lời giải chi tiết và hướng dẫn tư duy giải nhanh phù hợp với đề thi tốt nghiệp THPT mới nhất.Hãy cùng bắt đầu luyện tập để ôn thi tốt nghiệp THPT hiệu quả, vững vàng kỹ năng làm bài, tự tin đạt điểm cao phần ứng dụng trong đề thi Toán nhé!
A. Các dạng toán về lãi suất ngân hàng
1. Lãi đơn
Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng 
\(A\) đồng với lãi đơn \(r\%\) /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau \(n\) kì hạn ( \(n\mathbb{\in N}*\) ) là:
\(\boxed{S_{n} = A + nAr = A(1 +
nr)}\)
Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ \(r\%\) là \(\frac{r}{100}\) .
Ví dụ: Chú Nam gửi vào ngân hàng 1 triệu đồng với lãi đơn 5%/năm thì sau 5 năm số tiền chú Nam nhận được cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Giải:
Số tiền cả gốc lẫn lãi chú Nam nhận được sau 5 năm là:\(S_{5} = 1.(1 + 5.0,05) = 1,25\) (triệu đồng).
Xem thêm tại: Bài toán lãi đơn
2. Lãi kép
Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng \(A\) đồng với lãi kép \(r\%\) /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau \(n\) kì hạn ( \(n\mathbb{\in N}*\) ) là:
\(\boxed{S_{n} = A(1 + r)^{n}}\)
Chú ý: Từ công thức ta có thể tính được:
\(\boxed{n = log_{(1 + r)}\left(
\frac{S_{n}}{A} \right)}\)
\(\boxed{r\% = \sqrt[n]{\frac{S_{n}}{A}} -
1}\)
\(\boxed{A = \frac{S_{n}}{(1 +
r)^{n}}}\)
Ví dụ: Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi kép 5%/năm.
a) Tính số tiền cả gốc lẫn lãi chú Việt nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.
b) Với số tiền 10 triệu đó, nếu chú Việt gửi ngân hàng với lãi kép \(\frac{5}{12}\%\)/tháng thì sau 10 năm chú Việt nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi nhiều hơn hay ít hơn?
Giải:
a) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép 5%/năm là
\(S_{10} = 10.\left( 1 + \frac{5}{100}
\right)^{10} \approx 16,28894627\)triệu đồng.
b) Số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được sau 10 năm với lãi kép \(\frac{5}{12}\%\)/tháng là
\(S_{120} = 10.\left( 1 + \frac{5}{12
\times 100} \right)^{120} \approx 16,47009498\) triệu đồng.
Vậy số tiền nhận được với lãi suất \(\frac{5}{12}\%\)/tháng nhiều hơn.
Xem thêm tại: Bài toán lãi kép
3. Bài toán Tiền gửi hàng tháng
Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định.
Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền \(A\) đồng với lãi kép \(r\%\)/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau \(n\) tháng ( \(n\mathbb{\in N}*\) ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là \(S_{n}\).
Công thức tổng quát
\(\boxed{S_{n} = \frac{A}{r}\left\lbrack (1
+ r)^{n} - 1 \right\rbrack(1 + r)}\)
Chú ý: Từ công thức ta có thể tính được:
\(\boxed{n = log_{(1 + r)}\left(
\frac{S_{n}.r}{A(1 + r)} + 1 \right)}\)
\(\boxed{A = \frac{S_{n}.r}{(1 +
r)\left\lbrack (1 + r)^{n} - 1 \right\rbrack}}\)
Ví dụ: Đầu mỗi tháng bác Dinh gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng sau 1 năm bác Dinh nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 40 triệu. Hỏi lãi suất ngân hàng là bao nhiêu phần trăm mỗi tháng?
Giải:
Ta có \(40 = \frac{3}{r}\left\lbrack (1 +
r)^{12} - 1 \right\rbrack(1 + r)\) nên nhập vào máy tính phương trình
\(\frac{3}{X}\left\lbrack (1 + X)^{12} - 1
\right\rbrack(1 + X) - 40\) nhấn \(\boxed{SHIFT}\boxed{CALC}\) với \(X = 0\) ta được \(X = 0,016103725\)
Vậy lãi suất hàng tháng vào khoảng \(1,61\)%/tháng.
Xem thêm tại: Bài toán gửi tiết kiệm hàng tháng
4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là \(A\) đồng với lãi suất \(r\%\)/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút ra số tiền là \(X\) đồng. Tính số tiền còn lại sau \(n\) tháng là bao nhiêu?
Công thức tổng quát số tiền còn lại sau \(n\) tháng là
\(\boxed{S_{n} = A(1 + r)^{n} - X\frac{(1 +
r)^{n} - 1}{r}}\)
Chú ý: Từ công thức ta có thể tính được:
\(\boxed{X = \left\lbrack A(1 + r)^{n} -
S_{n} \right\rbrack\frac{r}{(1 + r)^{n} - 1}}\)
Ví dụ: Anh Chiến gửi ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, anh Chiến rút một số tiền như nhau để chi tiêu. Hỏi số tiền mỗi tháng anh Chiến rút là bao nhiêu để sau 5 năm thì số tiền vừa hết?
Giải:
Vì \(S_{n} = 0\) nên áp dụng công thức (1.10) thì \(X =
\frac{2.10^{7}.(1,007)^{60}.0,007}{(1,007)^{60} - 1} \approx
409367,3765\) đồng.
Xem thêm tại: Bài toán Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng
5. Bài toán vay vốn trả góp
Vay ngân hàng số tiền là \(A\) đồng với lãi suất \(r\%\)/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là \(X\) đồng và trả hết tiền nợ sau đúng \(n\) tháng.
Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau \(n\) tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng nên ta có
\(\boxed{S_{n} = A(1 + r)^{n} - X\frac{(1 +
r)^{n} - 1}{r}}\)
Để sau đúng \(n\) tháng trả hết nợ thì \(S_{n} = 0\) nên
\(\boxed{A(1 + r)^{n} - X\frac{(1 + r)^{n}
- 1}{r} = 0}\)
và
\(\boxed{X = \frac{A(1 + r)^{n}.r}{(1 +
r)^{n} - 1}}\)
Ví dụ : a) Ạnh Ba vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng , mỗi tháng trả 15 triệu đồng. Sau bao nhiêu tháng thì anh Ba trả hết nợ?
b) Mỗi tháng anh Ba gửi vào ngân hàng số tiền 15 triệu đồng với lãi suất 0,7%/tháng thì sau thời gian trả nợ ở câu a), số tiền cả gốc lẫn lãi anh Ba nhận được là bao nhiêu?
Giải:
a) Ta có \(500.(1,009)^{n} -
15.\frac{(1,009)^{n} - 1}{0,009} = 0\)giải được \(X = 39,80862049\) nên phải trả nợ trong vòng 40 tháng.
b) Sau 40 tháng số tiền nhận được là \(S_{40} = \frac{15}{0,007}\left\lbrack (1,007)^{40}
- 1 \right\rbrack.1,007 \approx 694,4842982\) triệu đồng.
6. Bài toán tăng lương
Một người được lãnh lương khởi điểm là \(A\) đồng/tháng. Cứ sau \(n\) tháng thì lương người đó được tăng thêm \(r\%\)/tháng. Hỏi sau \(kn\) tháng người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?
Công thức tính: Tổng số tiền nhận được sau \(kn\) tháng là \(\boxed{S_{kn} = Ak\frac{(1 + r)^{k} -
1}{r}}\)
Ví dụ: Một người được lãnh lương khởi điểm là 3 triệu đồng/tháng. Cứ 3 tháng thì lương người đó được tăng thêm \(7\%\)/tháng. Hỏi sau 36 năm người đó lĩnh được tất cả số tiền là bao nhiêu?
Giải:
\(S_{36} = 3.10^{6}.12.\frac{(1,07)^{12} -
1}{0,07} \approx 643984245,8\)đồng
7. Bài toán tăng trưởng dân số
Công thức tính tăng trưởng dân số \(\boxed{X_{m} = X_{n}(1 + r)^{m - n}},\left( m,n
\in \mathbb{Z}^{+},m \geq n \right)\)
Trong đó:
\(r\)% là tỉ lệ tăng dân số từ năm \(n\) đến năm \(m\)
\(X_{m}\) dân số năm \(m\)
\(X_{n}\) dân số năm \(n\)
Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là \(\boxed{r\% = \sqrt[{m - n}]{\frac{X_{m}}{X_{n}}} -
1}\)
Ví dụ: Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người):
|
Năm |
1976 |
1980 |
1990 |
2000 |
2010 |
|
Số dân |
49160 |
53722 |
66016,7 |
77635 |
88434,6 |
a. Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 1976-1980, 1980-1990, 1990-2000, 2000-2010. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi trong mỗi giai đoạn.
b. Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2015 và 2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu?
c. Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn đấu giảm bớt \(x\%\) (\(x\) không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là \((a - x)\%\)). Tính \(x\) để số dân năm 2015 là 92,744 triệu người.
Giải:
a) + Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1976 – 1980 là \(r\% = \left( \sqrt[4]{\frac{53722}{49160}} - 1
\right).100 \approx 2,243350914\%\)
+ Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1980 – 1990 là \(r\% = \left( \sqrt[10]{\frac{66016,7}{53722}} - 1
\right).100 \approx 2,082233567\%\)
+ Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 1990 – 2000 là \(r\% = \left( \sqrt[10]{\frac{77635}{66016,7}} - 1
\right).100 \approx 1,63431738\%\)
+ Tỉ lệ tăng dân số giai đoạn 2000 – 2010 là \(r\% = \left( \sqrt[10]{\frac{88434,6}{77635}} - 1
\right).100 \approx 1,31096821\%\)
|
Giai đoạn |
1976-1980 |
1980-1990 |
1990-2000 |
2000-2010 |
|
Tỉ lệ % tăng dân số/năm |
2,2434% |
2,0822% |
1,6344% |
1,3109% |
b) Nếu duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì:
Đến năm 2015 dân số nước ta sẽ là: \(88434,6(1 + 1,3109/100)^{5} \approx
94,385\) triệu người.
Đến năm 2020 dân số nước ta sẽ là: \(88434,6(1 + 1,3109/100)^{10} \approx
100,736\) triệu người.
c) Nếu thực hiện phương án giảm dân số đó thì đến năm 2015 dân số nước ta là:
\(88434,6(1,013109 - x)(1,013109 -
2x)(1,013109 - 3x)(1,013109 - 4x)(1,013109 - 5x)\)
Ta có phương trình: \(88434,6(1,013109 -
x)(1,013109 - 2x)...(1,013109 - 5x) = 92744\)
giải phương trình ta được: \(x\% \approx
0,1182\%\).
Xem thêm tại: Bài tập tính tốc độ gia tăng dân số
8. Lãi kép liên tục
Gửi vào ngân hàng \(A\) đồng với lãi kép \(r\%\)/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau \(n\) năm \(\left( n \in \mathbb{N}^{*} \right)\) là: \(S_{n} = A(1 + r)^{n}\) . Giả sử ta chia mỗi năm thành \(m\) kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là \(\frac{r}{m}\%\) thì số tiền thu được sau \(n\) năm là \(S_{n} = A\left( 1 + \frac{r}{m}
\right)^{m.n}\)
Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là \(m \rightarrow + \infty\) , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: \(\boxed{S =
Ae^{n.r}}\)
Công thức trên còn gọi là công thức tăng trưởng mũ.
Ví dụ: Biết rằng đầu năm 2010, dân số Việt Nam là 86932500 người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7% và sự tăng dân số được tính theo công thức tăng trưởng mũ. Hỏi cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?
Giải:
Ta có \(100 = 86,9325.e^{n.0,017}
\Leftrightarrow n = \frac{\ln\frac{100}{86,9325}}{0,017} \approx
8,2\)
Vậy cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì đến năm 2018 dân số nước ta ở mức 100 triệu người.
B. Bài toán tối ưu, thống kê dữ liệu thực tế
1. Công thức số trung bình
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:
Trung điểm \(x_{i}\) của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm \(i\) là giá trị đại diện của nhóm đó.
Số trung binh cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(\overline{x}\), được tính theo công thức:
\(\overline{x} = \frac{n_{1}x_{1} +
n_{2}x_{2} + \ldots + n_{m}x_{m}}{n}\)
Xem thêm tại: Bài toán tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
2. Công thức trung vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:
Giả sử nhóm \(k\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{2}\), tức là \(cf_{k - 1} < \frac{n}{2}\) nhưng \(cf_{k} \geq \frac{n}{2}\). Ta gọi \(r,d,n_{k}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(k;cf_{k - 1}\) là tần số tích luỹ của nhóm \(k -
1\).
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(M_{e}\), được tính theo công thức sau:
\(M_{e} = r + \left( \frac{\frac{n}{2} -
cf_{k - 1}}{n_{k}} \right) \cdot d\)
Quy uớc: \(cf_{0} = 0\).
Xem thêm tại: Bài toán tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
3. Công thức Tứ phân vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:
Giả sử nhóm \(p\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4}\), tức là \(cf_{p - 1} < \frac{n}{4}\) nhưng \(cf_{p} \geq \frac{n}{4}\).
Ta gọi \(s,h,n_{p}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(p\); \(cf_{p -
1}\)là tần số tích luỹ của nhóm \(p -
1\).
Tú phân vị thứ nhất \(Q_{1}\) được tính theo công thức sau:
\(Q_{1} = s + \left( \frac{\frac{n}{4} -
cf_{p - 1}}{n_{p}} \right) \cdot h\)
Tứ phân vị thúc hai \(Q_{2}\) bằng trung vị \(M_{e}\).
Giả sử nhóm \(q\) là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{3n}{4}\), tức là \(cf_{q - 1} < \frac{3n}{4}\) nhưng \(cf_{q} \geq \frac{3n}{4}\). Ta gọi \(t,l,n_{q}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(q;cf_{q - 1}\) là tần số tích luỹ của nhóm \(q -
1\).
Tứ phân vị thứ ba \(Q_{3}\) được tính theo công thức sau:
\(Q_{3} = t + \left( \frac{\frac{3n}{4} -
cf_{q - 1}}{n_{q}} \right) \cdot l\)
Xem thêm tại: Bài toán tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
4. Công thức tính Mốt
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng sau:
Giả sử nhóm \(i\) là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi \(u,g,n_{i}\) lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm \(i;n_{i - 1},n_{i + 1}\) lần lượt là tần số của nhóm \(i - 1\), nhóm \(i + 1\). Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \(M_{o}\), được tính theo công thức sau:
Quy ước: \(n_{0} = 0;n_{m + 1} =
0\).
Công thức:
\(M_{o} = u + \left( \frac{n_{i} - n_{i -
1}}{2n_{i} - n_{i - 1} - n_{i + 1}} \right) \cdot g\)
Xem thêm tại: Bài toán tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
5. Khoảng biến thiên
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng dưới đây:
trong đó \(n_{1}\) và \(n_{m}\) là các số nguyên dương.
Gọi \(a_{1}\), \(a_{m + 1}\) lần lượt là đầu mút trái của nhóm \(1\), đầu mút phải của nhóm \(m\).
Hiệu \(R = a_{m + 1} - a_{1}\) được gọi là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
6. Khoảng tứ phân vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:
Gọi \(Q_{1},Q_{2},Q_{3}\) là tứ phân vị của mẫu số liệu đó. Ta gọi hiệu \(\Delta Q
= Q_{3} - Q_{1}\) là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.
7. Phương sai và độ lệch chuẩn
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở bảng:
Gọi \(\overline{x}\) là số trung bình cộng của mẫu số liệu đó.
Số \(s^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} -
\overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2}
+ ... + n_{m}\left( x_{m} - \overline{x} \right)^{2}}{n}\) được gọi là phương sai của mẫu số liệu đó.
Căn bậc hai (số học) của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu là \(s\), nghĩa là \(s = \sqrt{s^{2}}\).
Xem thêm tại: Bài toán tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Ví dụ: Cho bảng thống kê cân nặng của 50 quả xoài được lựa chọn ngẫu nhiên sau khi thu hoạch như sau:
|
Cân nặng |
[250; 290) |
[290; 330) |
[330; 370) |
[370; 410) |
[410; 450) |
|
Số quả |
3 |
13 |
18 |
11 |
5 |
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đã cho?
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Cân nặng |
[250; 290) |
[290; 330) |
[330; 370) |
[370; 410) |
[410; 450) |
|
Số quả |
3 |
13 |
18 |
11 |
5 |
|
Tần số tích lũy |
3 |
16 |
34 |
45 |
50 |
Cỡ mẫu N = 50
Cỡ mẫu \(\Rightarrow \frac{N}{4} =
12,5\)
=> Nhóm chứa \(Q_{1}\) là [290; 330)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
\(\Rightarrow l = 290;m = 3,f = 13;c = 330
- 290 = 40\)
\(\Rightarrow Q_{1} = l +
\frac{\frac{N}{4} - m}{f}.c = 290 + \frac{12,5 - 3}{13}.40 =
\frac{4150}{13}\)
Cỡ mẫu \(N = 50 \Rightarrow \frac{3N}{4} =
37,5\)
=> Nhóm chứa \(Q_{3}\) là [370; 410)
Khi đó ta tìm được các giá trị:
\(\Rightarrow l = 370;m = 34,f = 11;c =
410 - 370 = 40\)
\(\Rightarrow Q_{3} = l +
\frac{\frac{3N}{4} - m}{f}.c = 370 + \frac{37,5 - 34}{11}.40 =
\frac{4210}{11}\).
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta_{Q} = \frac{4210}{11} - \frac{4150}{13} =
\frac{9080}{143} \approx 63,5\)
Ví dụ: Cho bảng thống kê chiều cao (đơn vị: cm) của học sinh lớp 12A và lớp 12B như sau:
|
Chiều cao |
[155; 160) |
[160; 165) |
[165; 170) |
[170; 175) |
[175; 180) |
[180; 185) |
|
12A |
2 |
7 |
12 |
3 |
0 |
1 |
|
12B |
5 |
9 |
8 |
2 |
1 |
0 |
Kết luận nào đúng?
A. Độ phân tán của nửa giữa số liệu chiều cao của học sinh lớp 12A có độ phân tán nhỏ hơn lớp 12B.
B. Độ phân tán của nửa giữa số liệu chiều cao của học sinh lớp 12A có độ phân tán lớn hơn lớp 12B.
C. Độ phân tán của nửa giữa số liệu chiều cao của học sinh lớp 12A có độ phân tán bằng lớp 12B.
D. Độ phân tán của nửa giữa số liệu chiều cao của học sinh lớp 12A có độ phân tán gấp đôi lớp 12B.
Hướng dẫn giải
Ta có:
|
Chiều cao |
[155; 160) |
[160; 165) |
[165; 170) |
[170; 175) |
[175; 180) |
[180; 185) |
|
12A |
2 |
7 |
12 |
3 |
0 |
1 |
|
Tần số tích lũy |
2 |
9 |
21 |
24 |
24 |
25 |
Cỡ mẫu \(N = 25\). Gọi \(x_{1};x_{2};...;x_{25}\) là mẫu số liệu gốc
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( x_{6} + x_{7} \right)\) thuộc nhóm [160; 165)
\(Q_{1} = 160 + \frac{\frac{25}{4} -
2}{7}(165 - 160) = \frac{4565}{28}\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( x_{19} + x_{20} \right)\) thuộc nhóm [165; 170)
\(Q_{3} = 165 + \frac{3.\frac{25}{4} -
9}{12}(170 - 165) = \frac{2705}{16}\)
Do đó khoảng tứ phân vị \(\Delta_{Q} =
Q_{3} - Q_{1} = \frac{675}{112} \approx 6,03\)
|
Chiều cao |
[155; 160) |
[160; 165) |
[165; 170) |
[170; 175) |
[175; 180) |
[180; 185) |
|
12B |
5 |
9 |
8 |
2 |
1 |
0 |
|
Tần số tích lũy |
5 |
14 |
22 |
24 |
25 |
25 |
Cỡ mẫu \(N = 25\). Gọi \(x_{1};x_{2};...;x_{25}\) là mẫu số liệu gốc
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( x_{6} + x_{7} \right)\) thuộc nhóm [160; 165)
\(Q_{1} = 160 + \frac{\frac{25}{4} -
5}{9}(165 - 160) = \frac{5785}{36}\)
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}\left( x_{19} + x_{20} \right)\) thuộc nhóm [165; 170)
\(Q_{3} = 165 + \frac{3.\frac{25}{4} -
14}{8}(170 - 165) = \frac{5375}{32}\)
Do đó khoảng tứ phân vị \(\Delta_{Q} =
Q_{3} - Q_{1} = 7,27\)
Vậy nửa giữa mẫu số liệu chiều cao của học sinh lớp 12A có độ phân tán nhỏ hơn lớp 12B.
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
----------------------------------------------------------
Trên đây là tổng hợp các bài toán ứng dụng thực tế gồm: lãi suất ngân hàng, bài toán tối ưu hóa chi phí, quãng đường, và thống kê dữ liệu thực nghiệm – những dạng toán quan trọng thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán.
Việc luyện tập thành thạo các dạng toán này không chỉ giúp bạn giải nhanh – đúng trong phòng thi mà còn hiểu rõ ý nghĩa thực tiễn của Toán học trong đời sống. Để đạt điểm cao, bạn nên kết hợp ôn tập lý thuyết trọng tâm, luyện đề định kỳ và rèn luyện tư duy giải bài có hệ thống.
Đừng quên tiếp tục tham khảo các chuyên đề khác như: hàm số bậc hai, mũ – logarit, tích phân, hình học không gian và các kỹ năng phân tích đề thi THPT. Chúc bạn ôn thi hiệu quả, đạt mục tiêu điểm số và bước vào cánh cửa đại học mơ ước!
