Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong oxyz
A. Phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng 
\(\Delta\) đi qua điểm \(M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0}
\right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3}
\right)\) với \({a_{1}}^{2} +
{a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} \neq 0\) làm vectơ chỉ phương. Khi đó \(\Delta\) có phương trình tham số là:
\(\left\{ \begin{matrix}
x = x_{0} + a_{1}t \\
y = y_{0} + a_{2}t \\
z = z_{0} + a_{2}t \\
\end{matrix} \right.\ ;\ \left( t\mathbb{\in R} \right)\)
Cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0}
\right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3}
\right)\) sao cho \(a_{1}a_{2}a_{3}
\neq 0\) làm vectơ chỉ phương. Khi đó \(\Delta\) có phương trình chính tắc là:
\(\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y -
y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}\)
B. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
\(\Delta\) đi qua điểm \(M_{0}\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{\Delta}}\)
\(\boxed{d(M,\Delta) = \frac{\left|
\left\lbrack \overrightarrow{a_{\Delta}},\overrightarrow{M_{0}M}
\right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}}
\right|}}\)
C. Bài tập tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Ví dụ. a. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(2;1;1)\) và đường thẳng \(d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} =
\frac{z - 3}{- 2}\). Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.
b. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), khoảng cách từ điểm \(M(2; - 4; - 1)\) tới đường thẳng \(\Delta:\left\{ \begin{matrix}
x = t \\
y = 2 - t \\
z = 3 + t \\
\end{matrix} \right.\) bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
a.Gọi \(M(1;\ 2;\ 3) \in d\)
\(\Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow
\left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} \right\rbrack = ( -
6;0; - 3)\)
Ta có \(d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left|
\overrightarrow{u} \right|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} =
\sqrt{5}\).
b. Đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(N(0;2;3)\), có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (1; -
1;2)\).
Ta có \(\overrightarrow{MN} = ( -
2;6;4)\) và \(\left\lbrack
\overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack = (16;8; -
4)\).
Vậy khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) là:
\(d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack
\overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left|
\overrightarrow{u} \right|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} =
2\sqrt{14}\)
Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho \((P):x - 2y + 2z - 5 = 0,A( - 3;0;1),B(1; -
1;3)\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A\), song song với \((P)\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến \(d\) là lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Vì \(( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 -
2.( - 1) + 2.3 - 5 \right) < 0\) nên hai điểm A, B khác phía so với (P).
Gọi H là hình chiếu của B lên d.
Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.
Khi đó AB ⊥ d.
VTPT của (P) là \(\overrightarrow{n} = (1;
- 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)\)
VTCP của d là \(\overrightarrow{u} =
\left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( -
2;6;7)\)
Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: \(\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{-
7}\)
Ví dụ. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A(0;1;1)\) và hai đường thẳng \(d_{1}:\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 \\
y = - 1 + t \\
z = t \\
\end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\) và \(d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} =
\frac{z}{1}\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(A\), cắt đường thẳng \(d_{1}\) và vuông góc với đường thẳng \(d_{2}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?
| A. \(N(2;1; - 5)\) |
B. \(Q(3;2;5)\) |
| C. \(P( - 2; - 3;11)\) |
D. \(M(1;0; - 1)\) |
Hướng dẫn giải
Gọi \(\left\{ \begin{matrix}
B = d_{1} \cap d \\
B \in d_{1} \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
B( - 1; - 1 + t;t) \\
\overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\
\end{matrix} \right.\)
\(d_{2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (3;1;1)\).
Do \(d\bot d_{2}\) nên \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0
\Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow
\overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\
\overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2)
\\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra đường thẳng \(d\) đi qua \(M\).
D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{-
1}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(2;3; - 1)\) cắt \(d\) tại \(B\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((\alpha):x + y + z - 1 = 0\) bằng \(2\sqrt{3}\).
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((P):x - 2y + 2z - 5 = 0\) và hai điểm \(A( - 3;0;1),\ B(1; - 1;3).\) Trong các đường thẳng đi qua \(A\) và song song với \((P)\), đường thẳng mà khoảng cách từ \(B\) đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là gì?
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ \(\left\{ \begin{matrix}
x = 62t \\
y = - 25t \\
z = - 2 + 61t \\
\end{matrix} \right.\) cho đường thẳng \(d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z +
1}{- 1}\), mặt phẳng \((P):x + y + z +
2 = 0\) . Gọi \(M\) là giao điểm của \(d\) và \((P)\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng nằm trong \((P)\) vuông góc với \(d\) và cách \(M\) một khoảng bằng \(\sqrt{42}\). Viết phương trình đường thẳng \((P)\)?
Tài liệu còn dài, mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!
