Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong oxyz

A. Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ với ${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2\ne 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\mathrm{\Delta }$ có phương trình tham số là:

$\{\begin{array}{c}x=x_0+a_{1}t\\ y=y_0+a_{2}t\\ z=z_0+a_{2}t\end{array};\left(t\in \mathbb{R}\right)$

Cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3)$ sao cho $a_1{a}_2{a}_3\ne 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\mathrm{\Delta }$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$

B. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ

C. Bài tập tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Ví dụ. a. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;1;1)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-2}$. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

b. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(2;-4;-1)$ tới đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\{\begin{array}{c}x=t\\ y=2-t\\ z=3+t\end{array}$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a.Gọi $M(1;2;3)\in d$

$\Rightarrow AM=(-1;1;2)\Rightarrow [\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u}]=(-6;0;-3)$

Ta có $d(A;d)=\frac{\left|[\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u}]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{3\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}$.

b. Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua $N(0;2;3)$, có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;2)$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=(-2;6;4)$ và $[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{u}]=(16;8;-4)$.

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ là:

$d(M;\mathrm{\Delta })=\frac{\left|[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{u}]\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}=\frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}}=2\sqrt{14}$

Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $(P):x-2y+2z-5=0,A(-3;0;1),B(1;-1;3)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A$, song song với $(P)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vì $(-3-2.0+2.1-5).(1-2.(-1)+2.3-5)<0$ nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

Gọi H là hình chiếu của B lên d.

Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

Khi đó AB ⊥ d.

VTPT của (P) là $\overrightarrow{n}=(1;-2;2),\overrightarrow{AB}=(4;-1;2)$

VTCP của d là $\overrightarrow{u}=[\overrightarrow{n};\overrightarrow{AB}]=(-2;6;7)$

Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x+3}{2}=\frac{y}{-6}=\frac{z-1}{-7}$

Ví dụ. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(0;1;1)$ và hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{c}x=-1\\ y=-1+t\\ z=t\end{array};\left(t\in \mathbb{R}\right)$ và $d_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{1}$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$, cắt đường thẳng $d_1$ và vuông góc với đường thẳng $d_2$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. $N(2;1;-5)$	B. $Q(3;2;5)$
C. $P(-2;-3;11)$	D. $M(1;0;-1)$

Hướng dẫn giải

Gọi $\{\begin{array}{c}B=d_1\cap d\\ B\in d_1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}B(-1;-1+t;t)\\ \overrightarrow{AB}=(-1;t-2;t-1)\end{array}$

$d_2$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(3;1;1)$.

Do $d\mathrm{\perp }{d}_2$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB}=0\iff -3+t-2+t-1=0$

$\iff t=3\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-1;1;2)$

Ta có: $\{\begin{array}{c}\overrightarrow{AN}=(2;0;6);\overrightarrow{AQ}=(3;1;4)\\ \overrightarrow{AP}=(-2;-4;10);\overrightarrow{AM}=(1;-1;-2)\end{array}$

Suy ra đường thẳng $d$ đi qua $M$.

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-1}$. Viết phương trình đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ đi qua điểm $A(2;3;-1)$ cắt $d$ tại $B$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(\alpha ):x+y+z-1=0$ bằng $2\sqrt{3}$.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-5=0$ và hai điểm $A(-3;0;1),B(1;-1;3).$ Trong các đường thẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$, đường thẳng mà khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là gì?

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ $\{\begin{array}{c}x=62t\\ y=-25t\\ z=-2+61t\end{array}$ cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}$, mặt phẳng $(P):x+y+z+2=0$ . Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $(P)$. Gọi $\mathrm{\Delta }$ là đường thẳng nằm trong $(P)$ vuông góc với $d$ và cách $M$ một khoảng bằng $\sqrt{42}$. Viết phương trình đường thẳng $(P)$?

Tài liệu còn dài, mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!