Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách trong không gian

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong Oxyz

A. Phương trình đường thẳng
B. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ
- Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
C. Bài tập tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Trong các bài toán khoảng cách trong không gian, việc nắm vững cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là kỹ năng quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong chương trình Toán THPT và các đề kiểm tra – thi cử. Nếu không xác định đúng phương pháp, học sinh rất dễ nhầm lẫn giữa khoảng cách trong mặt phẳng và trong không gian. Bài viết này sẽ giúp bạn tiếp cận cách tính một cách rõ ràng, dễ hiểu và áp dụng hiệu quả vào từng dạng bài cụ thể.

A. Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3} \right)$ với ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} \neq 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\Delta$ có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + a_{1}t \\ y = y_{0} + a_{2}t \\ z = z_{0} + a_{2}t \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \left( t\mathbb{\in R} \right)$

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3} \right)$ sao cho $a_{1}a_{2}a_{3} \neq 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\Delta$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}$

B. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

$\Delta$ đi qua điểm $M_{0}$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}}$

$\boxed{d(M,\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a_{\Delta}},\overrightarrow{M_{0}M} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}} \right|}}$

C. Bài tập tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Ví dụ. a. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

b. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm M(2; -4; -1) tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a.Gọi M(1; 2; 3) ∈ d.

$\Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} \right\rbrack = ( - 6;0; - 3)$

Ta có $d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$ .

b. Đường thẳng $\Delta$ đi qua N(0; 2; 3), có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack = (16;8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng $\Delta$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$

Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho (P): x - 2y + 2z - 5 = 0; A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3). Viết phương trình đường thẳng d qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vì (-3 - 2.0 + 2.1 - 5).(1 - 2.(-1) + 2.3 - 5) < 0 nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

Gọi H là hình chiếu của B lên d.

Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

Khi đó AB ⊥ d.

VTPT của (P) là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)$

VTCP của d là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( - 2;6;7)$

Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$

Ví dụ. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 1) và hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A, cắt đường thẳng d₁ và vuông góc với đường thẳng d₂. Đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. N(2; 1; -5).	B. Q(3; 2; 5).
C. P(-2; -3; 11).	D. M(1; 0; -1).

Hướng dẫn giải

Gọi $\left\{ \begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} B( - 1; - 1 + t;t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\ \end{matrix} \right.$

d₂ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;1;1)$ .

Do $d\bot d_{2}$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\ \overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} \right.$

Suy ra đường thẳng d đi qua M.

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A(2; 3; -1) cắt d tại B sao cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α): x + y + z - 1 = 0 bằng $2\sqrt{3}$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0 và hai điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là gì?

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ $\left\{ \begin{matrix} x = 62t \\ y = - 25t \\ z = - 2 + 61t \\ \end{matrix} \right.$ cho đường thẳng $d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ , mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Gọi M là giao điểm của d và (P). Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với d và cách M một khoảng bằng $\sqrt{42}$ . Viết phương trình đường thẳng (P)?

E. Đáp án bài tập tự rèn luyện

Giải bài 1

Ta có:

$B \in d \Rightarrow B(1 + t;2 + 2t; - t)$

$d\left( B,(\alpha) \right) = 2\sqrt{3} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 2 \\ t = - 4 \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} B(3;6; - 2),\ \overrightarrow{AB} = (1;3; - 1) \\ B( - 3; - 6;4),\ \overrightarrow{AB} = ( - 5; - 9;5) \end{matrix} \right.$

$\Delta$ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\frac{x + 3}{- 5} = \frac{y + 6}{- 9} = \frac{z - 2}{5}$ và $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{3} = \frac{z + 2}{- 1}.$

Giải bài 2

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm

Gọi mặt phẳng qua và song song với . Khi đó:

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên $\Delta,(Q)$ . Ta có $d(B,\Delta) = BK \geq BH$ . Do đó là đường thẳng cần tìm.

có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)$

qua và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{Q}} = (1; - 2;2)$

$H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{10}{9} \Rightarrow H\left( - \frac{1}{9};\frac{11}{9};\frac{7}{9} \right)$

$BH:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 3 + 2t \end{matrix} \right.$

$H \in BH \Rightarrow H(1 + t; - 1 - 2t;3 + 2t)$

$\Delta$ đi qua điểm và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}} = \overrightarrow{AH} = \left( \frac{26}{9};\frac{11}{9}; - \frac{2}{9} \right) = \frac{1}{9}(26;11; - 2)$

Vậy phương trình của $\Delta$ là $\Delta:\frac{x + 3}{26} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{- 2}$

Tài liệu còn dài, mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!

----------------------------------------------------

FAQ – Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

1. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian là gì?

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian là độ dài đoạn vuông góc ngắn nhất được kẻ từ điểm đó đến đường thẳng. Đây là một trong những dạng toán quan trọng của chương Hình học không gian lớp 12 và thường xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT.

2. Có những phương pháp nào để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng?

Tùy theo dữ kiện của bài toán, học sinh có thể lựa chọn các phương pháp như:

Dựng hình chiếu vuông góc.
Sử dụng công thức vectơ.
Áp dụng tích có hướng trong hệ tọa độ Oxyz.
Chuyển bài toán về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong trường hợp đặc biệt.
Khai thác tính chất hình học của khối đa diện.

Việc lựa chọn đúng phương pháp sẽ giúp lời giải ngắn gọn và chính xác hơn.

3. Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong hệ tọa độ Oxyz là gì?

Trong hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách thường được tính thông qua vectơ chỉ phương của đường thẳng , vectơ nối từ điểm đến một điểm thuộc đường thẳng và tích có hướng . Đây là phương pháp phổ biến trong các bài toán hình học giải tích không gian.

4. Khi nào nên sử dụng phương pháp hình học thay vì phương pháp tọa độ?

Nếu bài toán có nhiều yếu tố vuông góc, song song hoặc các hình quen thuộc như hình chóp, hình lăng trụ, hình lập phương…, phương pháp hình học thường cho lời giải ngắn hơn. Ngược lại, khi đề bài cho dữ liệu dưới dạng tọa độ thì phương pháp vectơ sẽ thuận tiện và chính xác hơn.

5. Những dạng bài tập khoảng cách từ điểm đến đường thẳng thường gặp là gì?

Các dạng bài phổ biến gồm:

Tính khoảng cách trong hệ tọa độ Oxyz.
Tính khoảng cách trong hình chóp.
Tính khoảng cách trong hình lăng trụ.
Bài toán kết hợp góc và khoảng cách.
Bài toán vận dụng cực trị hình học.
Câu hỏi trắc nghiệm và tự luận có đáp án chi tiết.

----------------------------------------------

Hiểu đúng cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng không chỉ giúp giải nhanh các bài toán khoảng cách trong không gian mà còn tạo nền tảng vững chắc cho những chuyên đề hình học nâng cao. Khi áp dụng đúng công thức và phương pháp, việc xử lý các bài toán liên quan sẽ trở nên chính xác và hiệu quả hơn, góp phần nâng cao kết quả học tập và khả năng làm bài thi.

Luyện tập mở rộng

Tải về

Chọn file muốn tải về: