VnDoc.com

Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách trong không gian

Bài trước

Tải về

Bài sau

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong oxyz

A. Phương trình đường thẳng

Cho đường thẳng $\Delta$ $Δ$ đi qua điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận vectơ $\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3} \right)$ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ với ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} \neq 0$ ${a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2} \neq 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\Delta$ $Δ$ có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + a_{1}t \\ y = y_{0} + a_{2}t \\ z = z_{0} + a_{2}t \\ \end{matrix} \right.\ ;\ \left( t\mathbb{\in R} \right)$ ${\begin{matrix} x = x_{0} + a_{1} t \\ y = y_{0} + a_{2} t \\ z = z_{0} + a_{2} t \end{matrix}; (t \in R)$

Cho đường thẳng $\Delta$ $Δ$ đi qua điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và nhận vectơ $\overrightarrow{a\ } = \left( a_{1};a_{2};a_{3} \right)$ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3})$ sao cho $a_{1}a_{2}a_{3} \neq 0$ $a_{1} a_{2} a_{3} \neq 0$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó $\Delta$ $Δ$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}$ $\frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}$

B. Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

$\Delta$ $Δ$ đi qua điểm $M_{0}$ $M_{0}$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{\Delta}}$ $\vec{a_{Δ}}$

$\boxed{d(M,\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{a_{\Delta}},\overrightarrow{M_{0}M} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{a_{\Delta}} \right|}}$ $d (M, Δ) = \frac{| [\vec{a_{Δ}}, \vec{M_{0} M}] |}{| \vec{a_{Δ}} |}$

C. Bài tập tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Ví dụ. a. Trong không gian $O x y z$ , cho điểm $A (2; 1; 1)$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ . Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

b. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , khoảng cách từ điểm $M (2; - 4; - 1)$ tới đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \\ \end{matrix} \right.$ $Δ : {\begin{matrix} x = t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + t \end{matrix}$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a.Gọi $M(1;\ 2;\ 3) \in d$ $M (1; 2; 3) \in d$

$\Rightarrow AM = ( - 1;1;2) \Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} \right\rbrack = ( - 6;0; - 3)$ $\Rightarrow A M = (- 1; 1; 2) \Rightarrow [\vec{A M}; \vec{u}] = (- 6; 0; - 3)$

Ta có $d(A;d) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{AM};\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$ $d (A; d) = \frac{| [\vec{A M}; \vec{u}] |}{| \vec{u} |} = \frac{3 \sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$ .

b. Đường thẳng $\Delta$ $Δ$ đi qua $N (0; 2; 3)$ , có véc-tơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1; - 1;2)$ $\vec{u} = (1; - 1; 2)$ .

Ta có $\overrightarrow{MN} = ( - 2;6;4)$ $\vec{M N} = (- 2; 6; 4)$ và $\left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack = (16;8; - 4)$ $[\vec{M N}, \vec{u}] = (16; 8; - 4)$ .

Vậy khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $\Delta$ $Δ$ là:

$d(M;\Delta) = \frac{\left| \left\lbrack \overrightarrow{MN},\overrightarrow{u} \right\rbrack \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{14}$ $d (M; Δ) = \frac{| [\vec{M N}, \vec{u}] |}{| \vec{u} |} = \frac{\sqrt{336}}{\sqrt{6}} = 2 \sqrt{14}$

Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ , cho $(P) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0, A (- 3; 0; 1), B (1; - 1; 3)$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A$ , song song với $(P)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $d$ là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Vì $( - 3 - 2\ .0 + 2\ .1 - 5).\left( 1 - 2.( - 1) + 2.3 - 5 \right) < 0$ $(- 3 - 2 .0 + 2 .1 - 5) . (1 - 2. (- 1) + 2.3 - 5) < 0$ nên hai điểm A, B khác phía so với (P).

Gọi H là hình chiếu của B lên d.

Ta có: BH ≤ BA nên khoảng cách BH từ B đến d lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A.

Khi đó AB ⊥ d.

VTPT của (P) là $\overrightarrow{n} = (1; - 2;2),\overrightarrow{AB} = (4; - 1;2)$ $\vec{n} = (1; - 2; 2), \vec{A B} = (4; - 1; 2)$

VTCP của d là $\overrightarrow{u} = \left\lbrack \overrightarrow{n};\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( - 2;6;7)$ $\vec{u} = [\vec{n}; \vec{A B}] = (- 2; 6; 7)$

Mà d qua A(−3; 0; 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$ $\frac{x + 3}{2} = \frac{y}{- 6} = \frac{z - 1}{- 7}$

Ví dụ. Trong không gian $O x y z$ , cho điểm $A (0; 1; 1)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ $d_{1} : {\begin{matrix} x = - 1 \\ y = - 1 + t \\ z = t \end{matrix}; (t \in R)$ và $d_{2}:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ $d_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{1}$ . Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $A$ , cắt đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ và vuông góc với đường thẳng $d_{2}$ $d_{2}$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. $N (2; 1; - 5)$	B. $Q (3; 2; 5)$
C. $P (- 2; - 3; 11)$	D. $M (1; 0; - 1)$

Hướng dẫn giải

Gọi $\left\{ \begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} B( - 1; - 1 + t;t) \\ \overrightarrow{AB} = ( - 1;t - 2;t - 1) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} B = d_{1} \cap d \\ B \in d_{1} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} B (- 1; - 1 + t; t) \\ \vec{A B} = (- 1; t - 2; t - 1) \end{matrix}$

$d_{2}$ $d_{2}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (3;1;1)$ $\vec{u} = (3; 1; 1)$ .

Do $d\bot d_{2}$ $d ⊥ d_{2}$ nên $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$ $\vec{u} . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow - 3 + t - 2 + t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \overrightarrow{AB} = ( - 1;1;2)$ $\Leftrightarrow t = 3 \Rightarrow \vec{A B} = (- 1; 1; 2)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AN} = (2;0;6);\overrightarrow{AQ} = (3;1;4) \\ \overrightarrow{AP} = ( - 2; - 4;10);\overrightarrow{AM} = (1; - 1; - 2) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} \vec{A N} = (2; 0; 6); \vec{A Q} = (3; 1; 4) \\ \vec{A P} = (- 2; - 4; 10); \vec{A M} = (1; - 1; - 2) \end{matrix}$

Suy ra đường thẳng $d$ đi qua $M$ .

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho đường thẳng $d:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}$ $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{- 1}$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ $Δ$ đi qua điểm $A (2; 3; - 1)$ cắt $d$ tại $B$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(\alpha):x + y + z - 1 = 0$ $(α) : x + y + z - 1 = 0$ bằng $2\sqrt{3}$ $2 \sqrt{3}$ .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z,$ cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ và hai điểm $A( - 3;0;1),\ B(1; - 1;3).$ $A (- 3; 0; 1), B (1; - 1; 3) .$ Trong các đường thẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$ , đường thẳng mà khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là gì?

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ $\left\{ \begin{matrix} x = 62t \\ y = - 25t \\ z = - 2 + 61t \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} x = 62 t \\ y = - 25 t \\ z = - 2 + 61 t \end{matrix}$ cho đường thẳng $d:\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ $d : \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ , mặt phẳng $(P) : x + y + z + 2 = 0$ . Gọi $M$ là giao điểm của $d$ và $(P)$ . Gọi $\Delta$ $Δ$ là đường thẳng nằm trong $(P)$ vuông góc với $d$ và cách $M$ một khoảng bằng $\sqrt{42}$ $\sqrt{42}$ . Viết phương trình đường thẳng $(P)$ ?

Tài liệu còn dài, mời bạn đọc tải tài liệu tham khảo đầy đủ của chúng tôi!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

26

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Thiên Bình

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

359,8 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Gợi ý cho bạn

Xem thêm

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Giáo án STEAM

Dạy con học

Giáo án

Trường mầm non

Danh mục Trường Tiểu học

Sáng kiến kinh nghiệm

Thư viện Đề thi

Bài tập cuối tuần

Trắc nghiệm

Sách Cánh diều

Sách Chân trời sáng tạo

Sách Kết nối tri thức

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 2

Môn Tiếng Việt lớp 2

Chuyên đề - Văn mẫu

Môn Tiếng Anh

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 3

Môn Tiếng Việt lớp 3

Chuyên đề - Văn mẫu

Tiếng Anh lớp 3

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 4

Môn Tiếng Việt lớp 4

Tiếng Anh lớp 4

Tài liệu Giáo viên

Thư viện Đề thi

Bài tập Hàng ngày

Bài tập Cuối tuần

Trắc nghiệm

Môn Toán lớp 5

Môn Tiếng Việt lớp 5

Môn Tiếng Anh 5

Thi vào lớp 6

Tài liệu Giáo viên

Ôn thi

Thư Viện Đề Thi

Trắc nghiệm

Khóa Học Trực Tuyến

Môn Toán