VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Toán 12: Tìm tham số m để hàm số có cực trị

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Trắc nghiệm Toán 12: Tìm tham số m để hàm số có cực trị. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài viết dưới đây nhé!

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 32 câu
Điểm số bài kiểm tra: 32 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Tìm m để hàm số đạt cực đại
Cho hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - 3m^{2} + 5$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ .
- A.
  $m = 0,\ m = 2.$
- B.
  $m = 2.$
- C.
  $m =0.$
- D.
  $m = 1.$
Hướng dẫn:
Thử từng đáp án.

● Kiểm tra khi $m = 0$ thì hàm số có đạt cực đại tại $x = 1$ không

Và tiếp theo tính tại $x = 1^{-}$ (cho $x = 0.9$ ) và $x = 1^{+}$ (cho $x = 1.1$ )

Vậy $y'$ đổi dấu từ âm sang dương qua giá trị $x = 1\overset{}{ightarrow}x = 1$ là điểm cực tiểu.

$\overset{}{ightarrow}m = 0$ loại $\overset{}{ightarrow}$ Đáp án $m = 0,\ m = 2.$ hoặc $m = 0.$ sai.

● Tương tự kiểm tra khi $m = 2$

Và tiếp theo tính tại $x = 1^{-}$ (cho $x = 0.9$ ) và $x = 1^{+}$ (cho $x = 1.1$ )

Ta thấy $y'$ đổi dấu từ dương sang âm qua giá trị $x = 1\overset{}{ightarrow}x = 1$ là điểm cực đại.

$\overset{}{ightarrow} m=2$ thỏa mãn $\overset{}{ightarrow}$ Đáp án $m = 2.$ chính xác.
Câu 2: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có cực trị
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y= \frac{m}{3}x^{3} + x^{2} + x + 2017$ có cực trị.
- A.
  $m \in ( - \infty;1brack$ .
- B.
  $m \in ( - \infty;0) \cup (0;1)$ .
- C.
  $m \in ( - \infty;0) \cup (0;1brack$ .
- D.
  $m \in ( - \infty;1)$ .
Hướng dẫn:
Nếu $m = 0$ thì $y = x^{2} + x + 2017$ : Hàm bậc hai luôn có cực trị.

Khi $m eq 0$ , ta có $y' = mx^{2} + 2x + 1$ .

Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình $mx^{2} + 2x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 0 \\ \Delta' = 1 - m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 eq m < 1.$

Hợp hai trường hợp ta được $m < 1$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = 4x^{3} + mx^{2} - 12x$ đạt cực tiểu tại điểm $x = - 2.$
- A.
  $m = 9.$
- B.
  $m = 2.$
- C.
  Không có $m.$
- D.
  $m = - 9.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $f'(x) = 12x^{2} + 2mx -12$ và $f''(x) = 24x + 2m$ .

Riêng hàm bậc ba, yêu cầu bài toán tương đương với $\left\{ \begin{matrix} f'( - 2) = 0 \\ f''( - 2) > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 12.4 - 4m - 12 = 0 \\ - 48 + 2m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m = 9 \\ m > 24 \\ \end{matrix} ight.$ : vô nghiệm.

Cách trắc nghiệm.

Thay ngược đáp án nhưng lâu hơn cách tự luận.
Câu 4: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(3m + 2)x^{2} + \left( 2m^{2} + 3m + 1 \right)x - 4$ . Tìm giá trị thực của tham số $m$ để hàm số có hai điểm cực trị là $x = 3$ và $x = 5$ .
- A.
  $m = 2$ .
- B.
  $m = 3$ .
- C.
  $m = 0$ .
- D.
  $m = 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = x^{2} - (3m + 2)x + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight)$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm $x = 3$ hoặc $x = 5$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 9 - 3(3m + 2) + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight) = 0 \\ 25 - 5(3m + 2) + \left( 2m^{2} + 3m + 1 ight) = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m^{2} - 6m + 4 = 0 \\ 2m^{2} - 12m + 16 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2$ .
Câu 5: Thông hiểu
Tìm điểm cực trị của hàm số
Biết rằng hàm số $y = 3x^{3} - mx^{2} + mx - 3$ có một điểm cực trị $x_{1} = - 1$ . Tìm điểm cực trị còn lại $x_{2}$ của hàm số.
- A.
  $x_{2} = \frac{1}{3}$ .
- B.
  $x_{2} = \frac{1}{4}$ .
- C.
  $x_{2} = - 2m - 6.$
- D.
  $x_{2} = - \frac{1}{3}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 9x^{2} - 2mx + m$ .

Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta' = m^{2} - 9m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 9 \\ \end{matrix} ight.\ .$ $(*)$

Theo giả thiết: $y'( - 1) = 0 \Leftrightarrow 9 + 3m = 0 \Leftrightarrow m = - 3$ (thỏa mãn $(*)$ ).

Với $m = - 3$ thì $y' = 9x^{2} + 6x - 3;\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 6: Vận dụng
Tìm m thỏa mãn điều kiện
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $a$ để hàm số $y= ax^3 - ax^2 + 1$ có điểm cực tiểu $x = \frac{2}{3}$ .
- A.
  $a > 0$ .
- B.
  $a = 2$ .
- C.
  $a = 0$ .
- D.
  $a < 0$ .
Hướng dẫn:
Nếu $a = 0$ thì $y = 1$ : Hàm hằng nên không có cực trị.

Với $a eq 0$ , ta có $y' = 3ax^{2} - 2ax = ax(3x - 2);y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{2}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$

▪ $a > 0\overset{}{ightarrow}y'$ đổi dấu từ $'' - ''$ sang $'' + ''$ khi qua $x = \frac{2}{3}\overset{}{ightarrow}$ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = \frac{2}{3}$ . Do đó $a > 0$ thỏa mãn.

▪ $a < 0\overset{}{ightarrow}y'$ đổi dấu từ $'' + ''$ sang $'' - ''$ khi qua $x = \frac{2}{3}\overset{}{ightarrow}$ Hàm số đạt cực đại tại điểm $x = \frac{2}{3}$ .

Do đó $a < 0$ không thỏa mãn.

Nhận xét. Nếu dùng $\left\{ \begin{matrix} y'\left( \frac{2}{3} ight) = 0 \\ y''\left( \frac{2}{3} ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ mà bổ sung thêm điều kiện $a\boxed{=}0$ nữa thì được, tức là giải hệ $\left\{ \begin{matrix} a=0 \\ y'\left( \frac{2}{3} ight) = 0 \\ y''\left( \frac{2}{3} ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ .

Như vậy, khi gặp hàm $y = ax^{3} + bx^{2} + cd + d$ mà chưa chắc chắn hệ số $a\boxed{=}0$ thì cần xét hai trường hợp $a = 0$ và $a=0$ (giải hệ tương tự như trên).
Câu 7: Vận dụng
Xác định tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 2)x^{2} + (2m + 3)x + 2017$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $x = 1$ là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số.
- A.
  $m = - \frac{3}{2}$ .
- B.
  $m eq - 1$ .
- C.
  Không tồn tại giá trị $m$ .
- D.
  $m = - 1$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = x^{2} - 2(m + 2)x + (2m + 3)$

$\ y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m + 3 \\ \end{matrix} ight.$

Để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ khi và chỉ khi $2m + 3 eq 1 \Leftrightarrow m eq - 1.$ $(*)$

Gọi $A\left( x_{1};y_{1} ight)$ và $B\left( x_2;y_2 ight)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Khi đó theo định lí Viet, ta có $x_{1} + x_{2} = 2m + 4.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \frac{2m + 4}{2} = 1 \Leftrightarrow m = - 1$ : không thỏa mãn $(*)$ .

Nhận xét.

Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý do là quên điều kiện để có hai cực trị.

Tôi cố tình ra giá trị $m$ đúng ngay giá trị loại đi.

Nếu gặp bài toán không ra nghiệm đẹp như trên thì ta giải như sau: $''x_{0}$ là hoành độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ khi và chỉ khi $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt ( $\Delta > 0$ ) và $y''\left( x_{0} ight) = 0''.$
Câu 8: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\lbrack - 2017;2018brack$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (m + 2)x$ có hai điểm cực trị nằm trong khoảng $(0; + \infty)$ .
- A.
  $2016.$
- B.
  $4035.$
- C.
  $2018.$
- D.
  $2015.$
Hướng dẫn:
Ta có: $y' = x^{2} - 2mx + m + 2$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = m^{2} - m - 2 > 0 \\ S = x_{1} + x_{2} > 0 \\ P = x_{1}x_{2} > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (m + 1)(m - 2) > 0 \\ 2m > 0 \\ m + 2 > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}\left\lbrack \begin{matrix}m>2 \\m <-1 \\\end{matrix} ight.\ \\m > 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m>2$

$\overset{m\mathbb{\in Z}\ \&\ m \in \lbrack - 2017;2018brack}{ightarrow}m = \left\{ 3;4;5;...2018 ight\}\overset{}{ightarrow}$ có $2016$ giá trị.
Câu 9: Vận dụng
Chọn phương án thích hợp
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + (2m + 1)x - \frac{4}{3}$ với $m > 0$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có điểm cực đại thuộc trục hoành.
- A.
  $m = 1.$
- B.
  $m = \frac{3}{4}.$
- C.
  $m = \frac{4}{3}.$
- D.
  $m = \frac{1}{2}.$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = x^{2} - 2(m + 1)x + (2m + 1)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2m + 1 \\ \end{matrix} ight.$

Do $m > 0\overset{}{ightarrow}2m + 1 eq 1$ nên đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Do $m > 0\overset{}{ightarrow}2m + 1 > 1\overset{}{ightarrow}$ hoành độ điểm cực đại là $x = 1$ nên $y_{CD} = y(1) = m - 1.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y_{CD} =0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ : thỏa mãn.
Câu 10: Thông hiểu
Xác định tham số m để hàm số có cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $f(x) = 2x^3 - 3x^{2} - m$ có các giá trị cực trị trái dấu.
- A.
  $0 \leq m\leq1.$
- B.
  $- 1 < m < 0$ .
- C.
  $m < 0$ , $m > - 1.$
- D.
  $m = - 1$ , $m = 0$ .
Hướng dẫn:
Ta có $f'(x) = 6x^{2} - 6x$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 ightarrow f(0) = - m \\ x = 1 ightarrow f(1) = - m - 1 \\ \end{matrix} ight.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m(m + 1) < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 0$ .
Câu 11: Thông hiểu
Viết phương trình đường thẳng
Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + m$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- A.
  $y = - 8x + m + 3$ .
- B.
  $y = - 8x + m - 3$ .
- C.
  $y = - 8x - m + 3$ .
- D.
  $y = - 8x +m$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6x - 9$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \Rightarrow y = 5 + m \\ x = 3 \Rightarrow y = - 27 + m \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là $A( - 1;5 + m)$ và $B(3; - 27 + m)$ .

Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm $A,\ B$ có phương trình $y = - 8x + m - 3$ .
Câu 12: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (2m - 1)x - 3$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu nằm cùng một phía đối với trục tung.
- A.
  $m \in \left( \frac{1}{2};1 ight) \cup (1; + \infty).$
- B.
  $m \in \left( - \frac{1}{2};1 ight).$
- C.
  $m \in(0 ; 2 ).$
- D.
  $m \in ( - \infty;1) \cup (1; + \infty).$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = x^{2} - 2mx + 2m - 1.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm $x_{1},\ x_{2}$ phân biệt và cùng dấu $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = m^{2} - (2m - 1) > 0 \\ P = 2m - 1 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m eq 1 \\ m > \dfrac{1}{2} \\ \end{matrix} ight.\ .$
Câu 13: Thông hiểu
Chọn mệnh đề đúng
Biết rằng hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx$ $(a eq 0)$ nhận $x = - 1$ là một điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $3a + 2b + c = 0$ .
- B.
  $3a + c = 2b$
- C.
  $2a - b = 0$ .
- D.
  $a + c = b$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Hàm số nhận $x = - 1$ là một điểm cực trị nên suy ra $y'(-1) =0$

$\Leftrightarrow 3a -2b+c=0 \Leftrightarrow 3a+c=2b$ .
Câu 14: Vận dụng
Tìm giá trị tham số m theo yêu cầu
Cho hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} - mx + 2$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng $d:x + 4y - 5 = 0$ một góc $\alpha = 45^{0}.$
- A.
  $m = \frac{1}{2}.$
- B.
  $m = - \frac{1}{2}.$
- C.
  $m = \frac{\sqrt{2}}{2}.$
- D.
  $m=0.$
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6x - m.$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta' = 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > - 3.$

Ta có

$y = y'.\left( \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} ight) - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}.$

$\overset{}{ightarrow}$ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị $A$ và $B$ là $\Delta:y = - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}.$

Đường thẳng $d:x + 4y - 5 = 0$ có một VTPT là ${\overrightarrow{n}}_{d} = (1;4).$

Đường thẳng $\Delta:y = - \left( \frac{2m}{3} + 2 ight)x + 2 - \frac{m}{3}$ có một VTPT là ${\overrightarrow{n}}_{\Delta} = \left( \frac{2m}{3} + 2;1 ight).$

Ycbt $\overset{}{\leftrightarrow}\frac{\sqrt{2}}{2} = cos45^{0}$

$= \cos(d,\Delta) = \left| \cos\left( {\overrightarrow{n}}_{d},{\overrightarrow{n}}_{\Delta} ight) ight|$

$= \dfrac{\left| 1.\left( \dfrac{2m}{3} + 2 ight) + 4.1 ight|}{\sqrt{1^{2} + 4^{2}}.\sqrt{\left( \dfrac{2m}{3} + 2 ight)^{2} + 1^{2}}}$

$\overset{}{\leftrightarrow}60m^{2} + 264m + 117 = 0$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - \dfrac{1}{2} \\ m = - \dfrac{39}{10}\ \\ \end{matrix} ight.\ \overset{m > - 3}{ightarrow}m = - \frac{1}{2}$ (thỏa mãn).
Câu 15: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có cực trị theo yêu cầu
Cho hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - (m + 1)x^{2} + \left( m^{2} - 3 \right)x + 1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đạt cực trị tại $x = - 1$ .
- A.
  $m = - 2$ .
- B.
  $m = 0$ .
- C.
  $m = 0,\ m = - 2$ .
- D.
  $m = 0,\ m = 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = x^{2} - 2(m + 1)x + m^{2} - 3$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1} eq x_{2} = - 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = (m + 1)^{2} - \left( m^{2} - 3 ight) > 0 \\ y'( - 1) = m^{2} + 2m = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m + 4 > 0 \\ m^{2} + 2m = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 0$
Câu 16: Vận dụng
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực trị
Cho hàm số $y = 2x^{3} + 3(m - 1)x^{2} + 6(m - 2)x - 1$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm trong khoảng $( - 2;3)$ .
- A.
  $m \in ( - 1;4)$ .
- B.
  $m \in ( - 1;3) \cup (3;4)$ .
- C.
  $m \in (1;3)$ .
- D.
  $m \in (3;4)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 6x^{2} + 6(m - 1)x + 6(m - 2)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 2 - m \\ \end{matrix} ight.\ .$

Để hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 2 - m eq - 1 \Leftrightarrow m eq 3$ .

Nếu $- 1 < 2 - m \Leftrightarrow m < 3$ , ycbt $\Leftrightarrow - 2 < - 1 < 2 - m < 3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m >-1 \\m<3 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow - 1< m < 3$ .

Nếu $2 - m < - 1 \Leftrightarrow m > 3$ , ycbt $\Leftrightarrow - 2 < 2 - m < - 1 < 3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 3 \\ m < 4 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 3< m<4$ .

Vậy $m \in ( - 1;3) \cup (3;4)$ .
Câu 17: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn biểu thức
Gọi $x_{1},\ \ x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} + m$ . Tìm các giá trị của tham số $m$ để $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2} = 7.$
- A.
  $m = \pm 2$ .
- B.
  $m = 0$ .
- C.
  $m = \pm \frac{9}{2}$ .
- D.
  $m = \pm \frac{1}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6mx + 3\left( m^{2} - 1 ight) = 3\left\lbrack x^{2} - 2mx + \left( m^{2} - 1 ight) ightbrack$ .

Do $\Delta' = m^{2} - m^{2} + 1 = 1 > 0,\ \forall m\mathbb{\in R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1},\ \ x_{2}$ .

Theo định lí Viet, ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2m \\ x_{1}x_{2} = m^{2} - 1 \\ \end{matrix} ight.$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} ight)^{2} - 3x_{1}x_{2} = 7$

$\Leftrightarrow 4m^{2} - 3\left( m^{2} -1 ight) = 7$

$\Leftrightarrow m^{2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2$ .
Câu 18: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 6mx + m$ có hai điểm cực trị.
- A.
  $m \in (0;2)$ .
- B.
  $m \in (0;8)$ .
- C.
  $m \in ( -\infty;0) \cup (2;+\infty)$ .
- D.
  $m \in ( - \infty;0) \cup (8; + \infty)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6mx + 6m = 3\left( x^{2} - 2mx + 2m ight)$ .

Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow x^{2} - 2mx + 2m = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta' = m^{2} - 2m > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m < 0 \\ m > 2 \\ \end{matrix} ight.\ .$ $m \in ( - \infty;0) \cup (2; +\infty)$
Câu 19: Vận dụng
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu
Cho hàm số $y = x^{3} + 3x^{2} + mx + m - 2$ với $m$ là tham số thực, có đồ thị là $\left( C_{m} \right)$ . Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $\left( C_{m} \right)$ có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
- A.
  $m \leq 3$ .
- B.
  $m < 3$ .
- C.
  $m \leq 2$ .
- D.
  $m < 2$ .
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = 3x^{2} + 6x + m$ .

Ta có $\bigtriangleup '_{y'} = 9 - 3m$ .

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi $\bigtriangleup '_{y'} > 0 \Leftrightarrow m < 3.$

Ta có $y = \left( \frac{1}{3}x +\frac{1}{3} \right).y' +\left( \frac{2m}{3} - 2 \right)x + \left(\frac{2m}{3} - 2 \right).$

Gọi $x_{1},\ \ x_{2}$ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó

$\left\{ \begin{matrix} y_{1} = \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight)x_{1} + \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight) \\ y_{2} = \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight)x_{2} + \left( \dfrac{2m}{3} - 2 ight) \\ \end{matrix} ight.\ .$

Theo định lí Viet, ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ x_{1}x_{2} = \dfrac{m}{3} \\ \end{matrix} ight.\ .$

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi $y_{1}.y_{2} < 0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{2} - 2 ight)^{2}\left( x_{1} + 1 ight)\left( x_{2} + 1 ight) < 0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{2} - 2 ight)^{2}\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 ight) < 0$

$\Leftrightarrow \left( \frac{2m}{3} - 2 ight)^{2}\left( \frac{m}{3} - 1 ight) < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 3 \\ m eq 3 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m < 3$ : thỏa mãn.
Câu 20: Thông hiểu
Tìm các giá trị thực của tham số m
Gọi $x_{1},\ \ x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số $y = 4x^{3} + mx^{2} - 3x$ . Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để $x_{1} + 4x_{2} = 0.$
- A.
  $m = \pm \frac{9}{2}$ .
- B.
  $m = \pm \frac{1}{2}$ .
- C.
  $m = 0$ .
- D.
  $m = \pm \frac{3}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 12x^{2} + 2mx - 3$ .

Do $\Delta' = m^{2} + 36 > 0,\forall m\mathbb{\in R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1},\ \ x_{2}$ .

Theo Viet, ta có $\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{m}{6} \\ x_{1}x_{2} = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.$ . Mà $x_{1} + 4x_{2} = 0$ .

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} x_{1} = - \frac{2}{9}m,x_{2} = \frac{m}{18} \\ x_{1}x_{2} = - \frac{1}{4} \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left( - \frac{2}{9}might).\frac{m}{18} = - \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow m^{2} = \frac{81}{4} \Leftrightarrow m = \pm \frac{9}{2}$ .
Câu 21: Vận dụng
Chọn mệnh đề đúng
Biết rằng hàm số $y = (x + a)^{3} + (x +b)^{3} - x^{3}$ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
- A.
  $ab \leq 0$ .
- B.
  $ab < 0$ .
- C.
  $ab \geq 0$ .
- D.
  $ab > 0$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3(x + a)^{2} + 3(x +b)^{2} - 3x^{2},\ \ \forall x\mathbb{\in R}$ .

Có $y' = 0 \Leftrightarrow (x + a)^{2}+ (x + b)^{2} - x^{2} = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} + 2(a + b)x + a^{2} + b^{2} = 0$ $(*)$

Để hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi $(*)$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta' = (a + b)^{2} - \left( a^{2} + b^{2} ight) > 0 \Leftrightarrow ab > 0$ .
Câu 22: Vận dụng
Tìm tọa độ điểm cực đại
Cho hàm số $y = 2x^{3} + bx^{2} + cx + 1.$ Biết $M(1;-6)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm cực đại $N$ của đồ thị hàm số.
- A.
  $N( - 2;21).$
- B.
  $N( - 2;11).$
- C.
  $N(2;6).$
- D.
  $N(2;21).$
Hướng dẫn:
Đạo hàm $y' = 6x^{2} + 2bx + c$ và $y'' = 12x + 2b$ .

Điểm $M(1; - \ 6)$ là điểm cực tiểu $\Leftrightarrow \ \ \left\{ \begin{matrix} y^{'(1)} = 0 \\ y(1) = - \ 6 \\ y^{''(1)} > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2b + c = - \ 6 \\ b + c = - \ 9 \\ 2b + 12 > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = 3 \\ c = - \ 12 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Khi đó $y = f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x + 1$ .

Ta có $f'(x) = 6x^{2} + 6x -12$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ ightarrow \left\{ \begin{matrix} f( - 2) = 21 \\ f''( - 2) < 0 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra $N( - \ 2;21)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Câu 23: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Tìm các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = (m - 3)x^{3} - 2mx^{2} + 3$ không có cực trị.
- A.
  $m = 0$ .
- B.
  $m = 3$ .
- C.
  $m eq 3$ .
- D.
  $m = 0$ , $m = 3$ .
Hướng dẫn:
Nếu $m = 3$ thì $y = - 6x^{2} + 3$ . Đây là một Parabol nên luôn có một cực trị.

Nếu $m eq 3$ , ta có $y' = 3(m - 3)x^{2} - 4mx$ .

Để hàm số có không có cực trị khi $y' = 0$ có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta' = 4m^{2} \leq0 \Leftrightarrow m = 0.$
Câu 24: Thông hiểu
Xác định điều kiện của tham số a và b
Cho hàm số $y = x^{3} + ax^{2} + bx + c$ và giả sử $A,\ B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Khi đó, điều kiện nào sau đây cho biết đường thẳng $AB$ đi qua gốc tọa độ $O$ ?
- A.
  $a = 0$ .
- B.
  $9 + 2b = 3a$ .
- C.
  $c = 0$ .
- D.
  $ab = 9c$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} + 2ax + b$ .

Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ , ta được

$y = \left( \frac{1}{3}x + \frac{1}{9}a ight).y' + \left( \frac{2}{3}b - \frac{2}{9}a^{2} ight)x + c - \frac{1}{9}ab$ .

Suy ra phương trình đường thẳng $AB$ là:

$y = \left( \frac{2}{3}b - \frac{2}{9}a^{2} ight)x + c - \frac{1}{9}ab$ .

Do $AB$ đi qua gốc tọa độ $O\overset{}{ightarrow}c - \frac{1}{9}ab = 0 \Leftrightarrow ab = 9c$ .
Câu 25: Vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
Cho hàm số $y = 2x^{3} - 3(2a + 1)x^{2} + 6a(a + 1)x + 2$ với $a$ là tham số thực. Gọi $x_{1},\ x_{2}$ lần lượt là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính $P = \left| x_{2} - x_{1} \right|$ .
- A. $P = a - 1$
- B. $P = a$
- C. $P = 1$
- D.
  $P = a + 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 6x^{2} - 6(2a + 1)x + 6a(a + 1)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a = x_{1} \\ x = a + 1 = x_{2} \\ \end{matrix} ight.$

Vậy $P = \left| x_{2} - x_{1} ight| = \left| (a + 1) - a ight| = 1$ .

Nhận xét. Nếu phương trình $y' = 0$ không ra nghiệm đẹp như trên thì ta dùng công thức tổng quát $P = \left| x_{2} - x_{1} ight| = \left| \frac{\sqrt{\Delta}}{a} ight|.$
Câu 26: Vận dụng
Tìm m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = - x^{3} + 3mx^{2} - 3m -1$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng $d:x + 8y - 74 = 0$ .
- A.
  $m = 2$ .
- B.
  $m = 1$ .
- C.
  $m = - 1$ .
- D.
  $m = - 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = - 3x^{2} + 6mx = - 3x(x - 2m)$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2m \\ \end{matrix} ight.$ .

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow m eq 0$ .

Khi đó gọi $A(0; - 3m - 1)$ và $B\left( 2m;4m^{3} - 3m - 1 ight)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Suy ra trung điểm của $AB$ là điểm $I\left( m;2m^{3} - 3m - 1 ight)$ và $\overrightarrow{AB} = \left( 2m;4m^{3} ight) = 2m\left( 1;2m^{2} ight)$ .

Đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (8; - 1).$

Ycbt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} I \in d \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u} = 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m + 8\left( 2m^{3} - 3m - 1 ight) - 74 = 0 \\ 8 - 2m^{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow m = 2$
Câu 27: Thông hiểu
Tính giá trị của hàm số
Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ . Biết $M(0;2)$ , $N(2; - 2)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính giá trị của hàm số tại $x = - 2$ .
- A.
  $y( - 2) = - 18$ .
- B.
  $y( - 2) = 6$ .
- C.
  $y( - 2) = 22$ .
- D.
  $y( - 2) = 2$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3ax^{2} + 2bx + c$ .

Vì $M(0;2),\ N(2; - 2)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên

$\left\{ \begin{matrix} y'(0) = 0 \\ y'(2) = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c = 0 \\ 12a + 4b + c = 0 \\ \end{matrix} ight.\ ;$ $(1)$

$\left\{ \begin{matrix} y(0) = 2 \\ y(2) = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = 2 \\ 8a + 4b + 2c + d = - 2 \\ \end{matrix} ight.\ .$ $(2)$

Giải hệ $(1)$ và $(2)$ , ta được

$\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = 0 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.\ \overset{}{ightarrow}y = x^{3} - 3x^{2} + 2\overset{}{ightarrow}y( - 2) = - 18.$
Câu 28: Vận dụng
Định các giá trị tham số m theo yêu cầu
Cho hàm số $y = x^{3} + 6x^{2} + 3(m + 2)x - m - 6$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$ .
- A.
  $m > - 1$ .
- B.
  $m < - 1$ .
- C.
  $m > 1$ .
- D.
  $m < 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} + 12x + 3(m + 2) = 3\left\lbrack x^{2} + 4x + (m + 2) ightbrack.$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$

$\Leftrightarrow y'( - 1) < 0 \Leftrightarrow m < 1.$

Nhận xét. Nhắc lại kiến thức lớp dưới $''$ phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},\ \ x_{2}\ \ \left( x_{1} < x_{2} ight)$ thỏa mãn $x_{1} < x_{0} < x_{2} \Leftrightarrow af\left( x_{0} ight) < 0''.$
Câu 29: Thông hiểu
Tìm m để hàm số có cực trị
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + 3mx + 1$ có các điểm cực trị nhỏ hơn $2.$
- A.
  $m \in (0; + \infty)$ .
- B.
  $m \in ( - \infty;1)$ .
- C.
  $m \in (0;1)$ .
- D.
  $m \in ( - \infty;0) \cup (1; +\infty)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} - 6x + 3m$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1} < x_{2} < 2$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta' = 9 - 9m > 0 \\ \left( x_{1} - 2 ight) + \left( x_{2} - 2 ight) < 0 \\ \left( x_{1} - 2 ight)\left( x_{2} - 2 ight) > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 1 \\ x_{1} + x_{2} < 4 \\ x_{1}x_{2} - 2\left( x_{1} + x_{2} ight) + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 1 \\ 2 < 4 \\ m - 2.2 + 4 > 0 \\ \end{matrix} ight.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 1 \\ m > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow 0 < m < 1$ .
Câu 30: Thông hiểu
Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện
Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( m^{2} - 4 \right)x + 5$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số đạt cực tiểu tại điểm $x = - 1$ .
- A.
  $- 3 \leq m \leq 1.$
- B.
  $m = - 3$ .
- C.
  $m = 1.$
- D.
  $m = 1$ , $m = - 3$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = x^{2} - 2mx + \left( m^{2} - 4 ight)$ .

Vì $x = - 1$ là điểm cực tiểu của hàm số $\overset{}{ightarrow}y'( - 1) = 0 \Leftrightarrow m^{2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ .$

Thử lại ta thấy chỉ có giá trị $m = - 3$ thỏa mãn $y'$ đổi dấu từ $'' - ''$ sang $'' + ''$ khi qua $x = - 1$ .
Câu 31: Vận dụng
Định tham số m thỏa mãn điều kiện
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để khoảng cách từ điểm $M(0;3)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} + 3mx + 1$ bằng $\frac{2}{\sqrt{5}}.$
- A.
  $m=1;m=-1$
- B.
  $m = - 1$ .
- C.
  Không tồn tại $m$ .
- D.
  $m = 3,m = - 1.$
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 3x^{2} + 3m;\ y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} = - m.$

Để hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m < 0$ . $(*)$

Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$ ta được phần dư $2mx + 1$ , nên đường thẳng $\Delta:y = 2mx + 1$ chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow d\lbrack M,\Deltabrack = \frac{2}{\sqrt{4m^{2} + 1}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\Leftrightarrow m^{2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$ .

Đối chiếu điều kiện $(*)$ , ta chọn $m = - 1$ .
Câu 32: Vận dụng
Tìm m để hàm số có hai cực trị
Cho hàm số $y = 2x^{3} + mx^{2} - 12x - 13$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
- A.
  $m = 2$ .
- B.
  $m = - 1$ .
- C.
  $m = 0$ .
- D.
  $m = 1$ .
Hướng dẫn:
Ta có $y' = 6x^{2} + 2mx - 12.$

Do $\Delta' = m^{2} + 72 > 0,\ \forall m\mathbb{\in R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1},\ x_{2}$ với $x_{1},\ x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0$ .

Theo định lí Viet, ta có $x_{1} + x_{2} = - \frac{m}{3}.$

Gọi $A\left( x_{1};y_{1} ight)$ và $B\left( x_{2};y_{2}\right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left| x_{1} ight| = \left| x_{2} ight| \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2}$ (do $x_{1} eq x_{2}$ )

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.$

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê

1

39

Tham khảo thêm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập Toán 12: Tìm tham số m để hàm số có cực trị

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Tham khảo thêm

Tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số

Điều kiện để hàm số có cực trị

Bài tập Toán 12: Tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số

Tìm cực trị của hàm số

Bài tập Toán 12: Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng

Bài tập Toán 12: Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức

Tính nhanh cực trị hàm trị tuyệt đối

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 12

Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Bài toán thực tế tối ưu Quãng đường – Phương pháp giải chuẩn nhất

Cách tìm m để hàm phân thức đơn điệu

Bài toán tối ưu diện tích trong thực tế

Bài toán Thực tế tối ưu diện tích và thể tích (Có lời giải chi tiết)

Các bài toán tối ưu kinh tế trong thực tế - Giải chuẩn từng bước

Tổng hợp bài toán thực tế về tối ưu chi phí Toán 12