Tích phân hàm phân thức hữu tỉ: Phương pháp giải và ví dụ chi tiết

Bạn đang gặp khó khăn khi giải các bài toán tích phân hàm phân thức hữu tỉ? Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước cách xử lý loại tích phân này bằng các phương pháp biến đổi cơ bản như phân tích đa thức, tách phân thức và đổi biến, kèm theo ví dụ minh họa dễ hiểu để bạn nắm chắc cách làm.

A. KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI CẦN NHỚ

1. ${\int }_{}^{}\frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{u-a}{u+1}\right|+C$
2. 2. ${\int }_{}^{}\frac{du}{a^2-u^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+u}{a-u}\right|+C$.

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai

1. $a{x}^2+bx+c=a[{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}]$

2. $a{x}^2+bx+c=\pm (mx+n{)}^2\pm p^2$

B. CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

Dạng 1: Tích phân dạng $I_1={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{dx}{a{x}^2+bx+c}$.

Chú ý: Khi mẫu thức có dạng tam thức bậc hai thì thường đưa về dạng:

$a{x}^2+bx+c=(mx+n{)}^2-p^2$

Ví dụ 1: Cho $I={\int }_0^1\frac{dx}{4x^2+8x+1}=\frac{\ln \left(\frac{a+b\sqrt{3}}{13}\right)}{c\sqrt{3}}$, với $a,b,c\in \mathbb{R};c\ne 0$. Đặt $S=a+b+c$, lúc này S có giá trị bằng

A. $S=20+37\sqrt{3}$

B. $S=37+24\sqrt{3}$

C. $S=57$

D. $S=61$

Đáp án D.

Gợi ý: $I_1={\int }_a^b\frac{dx}{(mx+n{)}^2-p^2}={[\frac{1}{2mp}\ln \left|\frac{mx+n-p}{mx+n+p}\right|]}_a^b$

Lời giải

Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có

$I={\int }_0^1\frac{dx}{(2x+2{)}^2-3}={[\frac{1}{4\sqrt{3}}\ln \left|\frac{2x+2-\sqrt{3}}{2x+2+\sqrt{3}}\right|]}_0^1$

$=\frac{1}{4\sqrt{3}}(\ln \left|\frac{2.1+2-\sqrt{3}}{2.1+2+\sqrt{3}}\right|-\ln \left|\frac{2.0+2-\sqrt{3}}{2.0+2+\sqrt{3}}\right|)=\frac{\ln \left(\frac{37+20\sqrt{3}}{13}\right)}{4\sqrt{3}}$

$\Rightarrow S=a+b+c=37=37+20+4=61$.

Ví dụ 2: Cho $I={\int }_{-1}^0\frac{dx}{7-10x-4x^2}=\frac{1}{a\sqrt{53}}.ln\frac{b-\sqrt{53}}{b+\sqrt{53}}$ với $a;b\in \mathbb{R};a\ne 0$. Tích ab có giá trị bằng;

A. ‒24

B. 24

C. ‒48

D. 48

Đáp án A.

Lời giải

Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có

$I={\int }_{-1}^0\frac{dx}{{\left(\frac{\sqrt{53}}{2}\right)}^2-{(2x+\frac{5}{2})}^2}=-{\int }_{-1}^0\frac{dx}{{(2x+\frac{5}{2})}^2-{\left(\frac{\sqrt{53}}{2}\right)}^2}$

$={[-\frac{1}{2\sqrt{53}}.ln\left|\frac{4x+5-\sqrt{53}}{4x+5+\sqrt{53}}\right|]|}_{-1}^0$$=-\frac{1}{2\sqrt{53}}.[\ln \left|\frac{4.0+5-\sqrt{53}}{4.0+5+\sqrt{53}}\right|-\ln \left|\frac{4.(-1)+5-\sqrt{53}}{4.(-1)+5+\sqrt{53}}\right|]$

$=-\frac{1}{2\sqrt{53}}.ln\frac{12-\sqrt{53}}{12+\sqrt{53}}$

$\Rightarrow a=-2;b=12\Rightarrow ab=-24$.

Dạng 2: Tính tích phân $I_2={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{mx+n}{a{x}^2+bx+c}dx$

Ví dụ 1: Cho $I={\int }_{-2}^0\frac{2x-9}{x^2-3x+2}dx=aln3+bln2$, $a;b\in \mathbb{Z}$ thì $a+2b$ có giá trị bằng

A. ‒35                          B. ‒2                          C. 2                               D. 3

Đáp án D.

Lời giải

Cách 1: Ta có

$I={\int }_{-2}^0\frac{(2x+3)-6}{x^2-3x+2}dx$$={\int }_{-2}^0\frac{2x-3}{x^2-3x+2}dx-{\int }_{-2}^0\frac{6dx}{x^2-3x+2}$

$={\int }_{-2}^0\frac{dx(x^2-3x+2)}{x^2-3x+2}-6{\int }_{-2}^0\frac{dx}{{(x-\frac{3}{2})}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}$

$={[\ln |x^2-3x+2|-6ln\left|\frac{x-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}{x-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}\right|]|}_{-2}^0$

$={[\ln |(x-1)(x-2)|-6ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right|]|}_{-2}^0$$={(7ln|x-1|-5ln|x-2|)|}_{-2}^0$

$=7ln1-5ln2-(7ln3-5ln4)$

$=-7ln3+10ln2-5ln2=-7ln3+5ln2$.

$\Rightarrow a+2b=3$.

Cách 2: Ta thấy $x^2-3x+2=0\iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}$.

Giả sử $\frac{2x-9}{x^2-3x+2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$

$\iff \frac{2x-9}{x^2-3x+2}=\frac{(A+B)x-(2A+B)}{x^2-3x+2}$

Đồng nhất hệ số ta có $\{\begin{array}{c}A+B=2\\ 2A+B=9\end{array}\iff \{\begin{array}{c}A=7\\ B=-5\end{array}$

Áp dụng công thức ta có $I={[7ln|x-1|-5ln|x-2|]|}_{-2}^0=-7ln3+5ln2$.

Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.

Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).

Giải thích cách sử dụng máy tính cầm tay:

Ta thấy khi nhập vào màn hình $f(X)=\frac{A-X.ln2}{ln3}$ thì ta đã coi b (biến X) chạy trong khoảng từ $[-5;5]$ và step là 1. Ở đây ta chọn STEP 1 vì đề cho a; b nguyên. Lúc này màn hình sẽ hiện giá trị của b (chính là X) và giá trị tương ứng của a (chính là cột $f(X)$). Do a; b nguyên nên ta sẽ chọn $(a;b)=(-7;5)$.

Ta thấy $I=a.ln3+b.ln2\Rightarrow a=\frac{I-b.ln2}{ln3}$.

1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.

2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.

Ta thấy chỉ có trường hợp $X=5;F(X)=-7$ là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận $a=-7;b=5\Rightarrow a+2b=3$.

D. CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC CHỨA CĂN Ở MẪU THỨC

Dạng 1: Tính tích phân $I_3={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$

Chú ý: Phương pháp này chỉ áp dụng được khi hệ số $a>0$.

Dạng 2: Tính tích phân $I_4={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{(mx+n)dx}{\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$.

Dạng 3: Tính tích phân $I_5={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{dx}{(px+q)\sqrt{a{x}^2+bx+c}}$

------------------------------

Qua bài viết, bạn đã nắm được phương pháp giải tích phân hàm phân thức hữu tỉ cùng với các ví dụ chi tiết giúp củng cố kiến thức. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng phân tích và giải tích phân, đặc biệt trong các bài toán nâng cao và thi học sinh giỏi.