Tích phân hàm phân thức hữu tỉ: Phương pháp giải và ví dụ chi tiết
Chuyên đề toán 12: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Bạn đang gặp khó khăn khi giải các bài toán tích phân hàm phân thức hữu tỉ? Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn từng bước cách xử lý loại tích phân này bằng các phương pháp biến đổi cơ bản như phân tích đa thức, tách phân thức và đổi biến, kèm theo ví dụ minh họa dễ hiểu để bạn nắm chắc cách làm.
A. KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI CẦN NHỚ
\(\int_{}^{}{\frac{du}{u^{2} - a^{2}} =
\frac{1}{2a}\ln\left| \frac{u - a}{u + 1} \right| + C}\)- 2. \(\int_{}^{}{\frac{du}{a^{2} - u^{2}} =
\frac{1}{2a}\ln\left| \frac{a + u}{a - u} \right| + C}\).
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai
1. \(ax^{2} + bx + c = a\left\lbrack \left(
x + \frac{b}{2a} \right)^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}
\right\rbrack\)
2. \(ax^{2} + bx + c = \pm (mx + n)^{2} \pm
p^{2}\)
B. CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Dạng 1: Tích phân dạng \(I_{1} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{ax^{2} + bx + c}\).
Phương pháp chung
Biến đổi \(I_{1} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{(mx + n)^{2} - p^{2}} = \left. \
\left\lbrack \frac{1}{2mp}\ln\left| \frac{mx + n - p}{mx + n + p}
\right| \right\rbrack \right|_{\alpha}^{\beta}\)
Chú ý: Khi mẫu thức có dạng tam thức bậc hai thì thường đưa về dạng:
\(ax^{2} + bx + c = (mx + n)^{2} -
p^{2}\)
Ví dụ 1: Cho \(I =
\int_{0}^{1}\frac{dx}{4x^{2} + 8x + 1} = \frac{\ln\left( \frac{a +
b\sqrt{3}}{13} \right)}{c\sqrt{3}}\), với \(a,b,c\mathbb{\in R};c \neq 0\). Đặt \(S = a + b + c\), lúc này S có giá trị bằng
| A. \(S = 20 + 37\sqrt{3}\) |
B. \(S = 37 + 24\sqrt{3}\) |
C. \(S = 57\) |
D. \(S =
61\) |
Đáp án D.
Gợi ý: \(I_{1} = \int_{a}^{b}\frac{dx}{(mx
+ n)^{2} - p^{2}} = \left\lbrack \frac{1}{2mp}\ln\left| \frac{mx + n -
p}{mx + n + p} \right| \right\rbrack_{a}^{b}\)
Lời giải
Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có
\(I = \int_{0}^{1}\frac{dx}{(2x + 2)^{2} -
3} = \left\lbrack \frac{1}{4\sqrt{3}}\ln\left| \frac{2x + 2 -
\sqrt{3}}{2x + 2 + \sqrt{3}} \right| \right\rbrack_{0}^{1}\)
\(= \frac{1}{4\sqrt{3}}\left( \ln\left|
\frac{2.1 + 2 - \sqrt{3}}{2.1 + 2 + \sqrt{3}} \right| - \ln\left|
\frac{2.0 + 2 - \sqrt{3}}{2.0 + 2 + \sqrt{3}} \right| \right) =
\frac{\ln\left( \frac{37 + 20\sqrt{3}}{13}
\right)}{4\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow S = a + b + c = 37 = 37 + 20
+ 4 = 61\).
Ví dụ 2: Cho \(I = \int_{-
1}^{0}\frac{dx}{7 - 10x - 4x^{2}} = \frac{1}{a\sqrt{53}}.ln\frac{b -
\sqrt{53}}{b + \sqrt{53}}\) với \(a;b\mathbb{\in R};a \neq 0\). Tích ab có giá trị bằng;
| A. ‒24 | B. 24 | C. ‒48 | D. 48 |
Đáp án A.
Lời giải
Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có
\(I = \int_{- 1}^{0}\frac{dx}{\left(
\frac{\sqrt{53}}{2} \right)^{2} - \left( 2x + \frac{5}{2} \right)^{2}} =
- \int_{- 1}^{0}\frac{dx}{\left( 2x + \frac{5}{2} \right)^{2} - \left(
\frac{\sqrt{53}}{2} \right)^{2}}\)
\(= \left. \ \left\lbrack -
\frac{1}{2\sqrt{53}}.ln\left| \frac{4x + 5 - \sqrt{53}}{4x + 5 +
\sqrt{53}} \right| \right\rbrack \right|_{- 1}^{0}\)\(= -
\frac{1}{2\sqrt{53}}.\left\lbrack \ln\left| \frac{4.0 + 5 -
\sqrt{53}}{4.0 + 5 + \sqrt{53}} \right| - \ln\left| \frac{4.( - 1) + 5 -
\sqrt{53}}{4.( - 1) + 5 + \sqrt{53}} \right| \right\rbrack\)
\(= - \frac{1}{2\sqrt{53}}.ln\frac{12 -
\sqrt{53}}{12 + \sqrt{53}}\)
\(\Rightarrow a = - 2;b = 12 \Rightarrow ab
= - 24\).
Dạng 2: Tính tích phân \(I_{2} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{mx + n}{ax^{2} + bx + c}dx\)
Phương pháp chung
Cách 1:
\(I_{2} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\frac{m}{2a}(2ax + b) + \left( n -
\frac{mb}{2a} \right)}{ax^{2} + bx + c} dx\)
\(=
\frac{m}{2a}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{(2ax + b)dx}{ax^{2} + bx + c} +
\left( n + \frac{mb}{2a} \right)\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{ax^{2} +
bx + c}\)
\(=
\frac{m}{2a}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\left( ax^{2} + bx + c
\right)}{ax^{2} + bx + c} + \left( n - \frac{mb}{2a} \right)I_{1}\)
\(=
\left. \ \left( \frac{m}{2a}\ln\left| ax^{2} + bx + c \right| \right)
\right|_{\alpha}^{\beta} + \left( n - \frac{mb}{2a}
\right)I_{1}\)
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)
* Nếu mẫu số có nghiệm kép \(x =
x_{0}\) tức là \(ax^{2} + bx + c =
a\left( x - x_{0} \right)^{2}\) ta giả sử
\(\frac{mx + n}{ax^{2} + bx + c} =
\frac{A}{x - x_{0}} + \frac{B}{\left( x - x_{0}
\right)^{2}}\)
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B.
Sau khi tìm được A; B thì ta có \(I_{2} = \left\lbrack A.ln\left| x - x_{0} \right|
- \frac{B}{x - x_{0}} \right\rbrack_{\alpha}^{\beta}\).
* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt \(x_{1};x_{2}\): \(ax^{2} + bx + c = a\left( x - x_{1} \right)\left(
x - x_{2} \right)\) thì ta giả sử:
\(\frac{mx + n}{ax^{2} + bx + c} =
\frac{A}{x - x_{1}} + \frac{B}{x - x_{2}}\)
Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B.
Sau khi tìm được A; B ta có \(I_{2} = \left. \ \left\lbrack A\ln\left| x - x_{1}
\right| + B\ln\left| x - x_{2} \right| \right\rbrack
\right|_{\alpha}^{\beta}\).
Ví dụ 1: Cho \(I = \int_{-
2}^{0}\frac{2x - 9}{x^{2} - 3x + 2}dx = aln3 + bln2\), \(a;b\mathbb{\in Z}\) thì \(a + 2b\) có giá trị bằng
A. ‒35 B. ‒2 C. 2 D. 3
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Ta có
\(I = \int_{-
2}^{0}{\frac{(2x + 3) - 6}{x^{2} - 3x + 2}dx}\)\(= \int_{- 2}^{0}{\frac{2x
- 3}{x^{2} - 3x + 2}dx} - \int_{- 2}^{0}\frac{6dx}{x^{2} - 3x +
2}\)
\(= \int_{- 2}^{0}\frac{dx\left( x^{2} - 3x
+ 2 \right)}{x^{2} - 3x + 2} - 6\int_{- 2}^{0}\frac{dx}{\left( x -
\frac{3}{2} \right)^{2} - \left( \frac{1}{2} \right)^{2}}\)
\(= \left. \
\left\lbrack \ln\left| x^{2} - 3x + 2 \right| - 6ln\left| \frac{x -
\frac{3}{2} - \frac{1}{2}}{x - \frac{3}{2} + \frac{1}{2}} \right|
\right\rbrack \right|_{- 2}^{0}\)
\(= \left. \ \left\lbrack \ln\left| (x -
1)(x - 2) \right| - 6ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} \right| \right\rbrack
\right|_{- 2}^{0}\)\(= \left. \ \left( 7ln|x - 1| - 5ln|x - 2| \right)
\right|_{- 2}^{0}\)
\(= 7ln1 - 5ln2 - (7ln3 - 5ln4)\)
\(= - 7ln3 +
10ln2 - 5ln2 = - 7ln3 + 5ln2\).
\(\Rightarrow a + 2b = 3\).
Cách 2: Ta thấy \(x^{2} - 3x + 2 = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 2 \\
\end{matrix} \right.\).
Giả sử \(\frac{2x - 9}{x^{2} - 3x + 2} =
\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2x - 9}{x^{2} -
3x + 2} = \frac{(A + B)x - (2A + B)}{x^{2} - 3x + 2}\)
Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{
\begin{matrix}
A + B = 2 \\
2A + B = 9 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
A = 7 \\
B = - 5 \\
\end{matrix} \right.\)
Áp dụng công thức ta có \(I = \left. \
\left\lbrack 7ln|x - 1| - 5ln|x - 2| \right\rbrack \right|_{- 2}^{0} = -
7ln3 + 5ln2\).
Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay.
Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b).
Giải thích cách sử dụng máy tính cầm tay:
Ta thấy khi nhập vào màn hình \(f(X) =
\frac{A - X.ln2}{ln3}\) thì ta đã coi b (biến X) chạy trong khoảng từ \(\lbrack -
5;5\rbrack\) và step là 1. Ở đây ta chọn STEP 1 vì đề cho a; b nguyên. Lúc này màn hình sẽ hiện giá trị của b (chính là X) và giá trị tương ứng của a (chính là cột \(f(X)\)). Do a; b nguyên nên ta sẽ chọn \((a;b) = ( - 7;5)\).
Ta thấy \(I = a.ln3 + b.ln2 \Rightarrow a =
\frac{I - b.ln2}{ln3}\).
1. Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A.
2. Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a.
Ta thấy chỉ có trường hợp \(X = 5;F(X) = -
7\) là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận \(a = - 7;b = 5 \Rightarrow a + 2b = 3\).
D. CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC CHỨA CĂN Ở MẪU THỨC
Dạng 1: Tính tích phân \(I_{3} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}\)
Phương pháp chung
Ta có \(\left( \ln\left| u + \sqrt{u^{2} +
k} \right| \right)' = \frac{1 + \frac{u}{\sqrt{u^{2} + k}}}{u +
\sqrt{u^{2} + k}} = \frac{1 + \frac{u}{\sqrt{u^{2} + k}}}{u +
\sqrt{u^{2} + k}} = \frac{1}{\sqrt{u^{2} + k}}\)
\(\Rightarrow
\int_{}^{}{\frac{du}{\sqrt{u^{2} + k}} = \ln\left| u + \sqrt{u^{2} + k}
\right| + C}\)
Áp dụng bài toán vừa chứng minh ở trên ta áp dụng vào bài toán biến đổi sau:
\(I_{3} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{\sqrt{(mx + n)^{2} + k}}\)\(= \left. \
\left\lbrack \frac{1}{m}.ln\left| (mx + n) + \sqrt{(mx + n)^{2} + k}
\right| \right\rbrack \right|_{\alpha}^{\beta}\)
Chú ý: Phương pháp này chỉ áp dụng được khi hệ số \(a > 0\).
Dạng 2: Tính tích phân \(I_{4} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{(mx + n)dx}{\sqrt{ax^{2} + bx +
c}}\).
Phương pháp chung
\(I_{4} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{(mx + n)dx}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}}\)
\(=
\frac{m}{2a}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{(2ax + b)dx}{\sqrt{ax^{2} + bx +
c}} - \frac{mb}{2a}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{\sqrt{ax^{2} + bx +
c}}\)
\(=
\frac{m}{2a}\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\left( ax^{2} + bx + c
\right)}{\sqrt{ax^{2} + bx + c}} - \frac{mb}{2a}.I_{3}\)
Dạng 3: Tính tích phân \(I_{5} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{(px + q)\sqrt{ax^{2} + bx +
c}}\)
Phương pháp chung
Đặt \(px + q = \frac{1}{t} \Rightarrow pdx
= - \frac{dt}{t^{2}};x = \frac{1}{p}\left( \frac{1}{t} - q
\right)\). Khi đó
\(I_{5} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{(px + q)\sqrt{ax^{2} + bx + c}}\)\(=
\int_{\frac{1}{p\alpha + q}}^{\frac{1}{p\beta + q}}\frac{-
dt}{pt^{2}.\frac{1}{t}\sqrt{\frac{a}{p^{2}}\left( \frac{1}{t} - q
\right)^{2} + \frac{b}{p}\left( \frac{1}{t} - q \right) +
c}}\)
\(= \pm \int_{\frac{1}{p\alpha +
q}}^{\frac{1}{p\beta + q}}\frac{dt}{\sqrt{At^{2} + Bt +
\gamma}}\) (quay trở về bài toán dạng 1).
------------------------------
Qua bài viết, bạn đã nắm được phương pháp giải tích phân hàm phân thức hữu tỉ cùng với các ví dụ chi tiết giúp củng cố kiến thức. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng phân tích và giải tích phân, đặc biệt trong các bài toán nâng cao và thi học sinh giỏi.
