VnDoc.com

Tự ôn luyện thi môn Toán

Tài liệu luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Môn Toán là một bộ môn gây cho thí sinh nhiều khó khăn ở tất cả các kỳ thi. Nhằm chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia 2025 sắp tới, các bạn có thể tham khảo thêm tài liệu "Tự luyện thi môn Toán". Hi vọng tài liệu này giúp các bạn tự ôn thi và luyện tập, đạt kết quả tốt trong bài thi của mình.

Chương 1: Phương trình và bất phương trình

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. Cách giải

1) Phương trình bậc nhất: ax + b = 0, a,b ∈ R.

Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = -b/a
Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu a = b = 0 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R.

2) Phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

Nếu ∆= b² – 4ac < 0 phương trình vô nghiệm.
Nếu ∆ = 0 phương trình có nghiệm kép x₁ = x₂ = - b/2a.
Nếu ∆ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt x_1,2 = (-b ± √Δ)/2a.

II. Định lí Viét và hệ quả về dấu các nghiệm

1) Định lí Viét : Nếu phương trình ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thì

S = x₁ + x₂ = -b/a và P = x₁ . x₂ = c/a.

2) Hệ quả: Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, a ≠ 0 có hai nghiệm:

Trái dấu ⇔ c/a = 0

Cùng dấu ⇔ ∆ ≥ 0 và c/a > 0, c/a > 0, -b/a > 0

Cùng âm ⇔ ∆ ≥ 0, c/a > 0, -b/a < 0

III. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0 ta có

1. Định lí thuận:

Nếu ∆ = b² – 4ac < 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x.
Nếu ∆ = 0 thì a.f(x) > 0 với ∀ x ≠ - b/2a.
Nếu ∆ > 0 khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ < x₂ và

a.f(x) > 0 với x ngoài [x₁; x₂].
a.f(x) < 0 với x₁ < x < x₂.

2. Định lí đảo: Nếu tồn tại số α sao cho a.f(α) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt và số α nằm trong khoảng hai nghiệm đó: x₁ < α < x_2.

IV. Ứng dụng

1. Điều kiện để $f(x) = ax^{2} + bx + c$ không đổi dấu với mọi

với $\ \forall x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = b = 0 \\ c > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ với $\forall x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = b = 0 \\ c < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ f = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$f(x) \geq 0$ với $\forall x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = b = 0 \\ c \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $f(x) \leq 0$ với $\forall x \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a = b = 0 \\ c \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$

2. So sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực $\underline{\alpha}$

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt và $x_{1} < \alpha < x_{2}$ là: a.f $(\alpha) < 0$ .

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt và $\alpha$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm: $\ \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ a.f(\alpha) > 0 \\ \end{matrix} \right.$

Nếu $\alpha$ nằm bên phải hai nghiệm: $x_{1} < x_{2} < \alpha \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ a.f(\alpha) > 0 \\ \frac{S}{2} = - \frac{b}{2a} < a \\ \end{matrix} \right.$

Nếu $\alpha$ nằm bên trái hai nghiệm: $\alpha < x_{1} < x_{2}\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ \ \text{a.f~}(\alpha) > 0 \\ \frac{S}{2} = - \frac{b}{2a} > a \\ \end{matrix} \right.$

3. Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm nằm trong, một nghiệm nằm ngoài đoạn $\lbrack\alpha;\beta\rbrack$ là: $\ f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0$ .

Điều kiện để có nghiệm thỏa mãn $x > \underline{\alpha}$ :

Trường hợp 1: có nghiệm $x_{1} < \alpha < x_{2} \Leftrightarrow a.f(\alpha) < 0$ .

Trường hợp 2: có nghiệm $\alpha < x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta \geq 0 \\ a.f(\alpha) > 0 \\ \alpha < \frac{S}{2} \\ \end{matrix} \right.$

Trường hợp 3: có nghiệm $\alpha = x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} f(\alpha) = 0 \\ \alpha < \frac{S}{2} \\ \end{matrix} \right.$

(Làm tương tự với trường hợp $x < \alpha$ và khi xảy ra dấu bằng)

Ngoài ra ta chú ý thêm định lí sau: Giả sử hàm số liên tục. Khi đó điều kiện để phương trình có nghiệm là $minf(x) \leq m \leq maxf(x)$ .

Bảng tóm tắt định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai

Nếu $\Delta < 0$

Nếu $\Delta = 0$

Nếu $\Delta > 0$

$a.f\left( x \right) > 0;\forall x$

$a.f\left( x \right) > 0;\forall x \ne - \frac{b}{{2a}}$

$a.f\left( x \right) > 0$ với x ngoài $\left[ {{x_1};{x_2}} \right]$

$a.f\left( x \right) > 0$ với ${x_1} < x < {x_2}$

Bảng quy tắc so sánh nghiệm tam thức bậc hai với số thực $\alpha$

$\alpha$ nằm giữa khoảng hai nghiệm ${x_1} < \alpha < {x_2}$	$\alpha$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm
$a.f\left( x \right) < 0$	$\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ a.f\left( x \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$
	${x_1} < {x_2} < \alpha$	${x_1} < {x_2} < \alpha$
	$\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ a.f\left( x \right) > 0 \hfill \\ \frac{S}{2} = \frac{{ - b}}{{2a}} < a \hfill \\ \end{gathered} \right.$	$\left\{ \begin{gathered} \Delta > 0 \hfill \\ a.f\left( x \right) > 0 \hfill \\ \frac{S}{2} = \frac{{ - b}}{{2a}} > a \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ví dụ 1. Tìm m để phương trình $x^{2} - 2(m + 4)x + m^{2} + 8 = 0$ có 2 nghiệm dương.

Ví dụ 2. Xác định a để biểu thức $(a + 1)x^{2} - 2(a - 1)x + 3a - 3$ luôn dương

Ví dụ 3. Tìm m để bất phương trình $x^{2} + x - 2 \geq m$ nghiệm đúng với mọi x .

Ví dụ 4. Tìm để phương trình $x^{2} + mx + 2m = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn

$- 1 < x_{1} < x_{2}$

Ví dụ 5. Tìm m để phương trình $x^{2} - 2mx + 2{m}^{2} - 1 = 0$ có nghiệm thỏa mãn $- 2 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq 4$

Ví dụ 6. Cho phương trình $x^{2} + (m + 2)x + 3m - 2 = 0$ . Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2

Ví dụ 7. Tìm để phương trình $x^{2} - 2mx + m + 2 = 0$ có nghiệm lớn hơn 1

Ví dụ 8. Tìm m để phương trình $x^{2} -6mx + 9{m}^{2} - 2m + 2 = 0$ có nghiệm $x_{1} \leq x_{2} \leq 3$

Bài 2: PHƯƠNG TRİNH TRÜNG PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRİNH CHÚ'A GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I. Phương trình trùng phương $ax^{4} + bx^{2} + c = 0,a \neq 0$

Đặt $t = x^{2} \geq 0$ phương trình (1) trở thành: ${at}^{2} + bt + c = 0$

PT (1) có nghiệm khi và chi khi (2) có ít nhất một nghiệm không âm.
PT (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có đúng một nghiệm dương.
PT (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có đúng một nghiệm dương.
PT (1) có đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
PT (1) có đúng 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt.

Ví dụ 1. Cho phương trình: $x^{4} + (1 - 2m)x^{2} + m^{2} - 1 = 0$ .

a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2. Tìm m sao cho đồ thị hàm số $\ y = x^{4} - 2(\text{ }m + 4)x^{2} + m^{2} + 8$ cắt trục hoành lần lượt tại 4 điểm phân biệt với .

II. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Các dang cơ bản:

$\begin{matrix} |a| = b & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ a = \pm b \end{matrix} \right.\ \\ |a| \leq b & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ a^{2} \leq b^{2} \end{matrix} \right.\ \end{matrix}$ $|a| \geq b \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} b < 0 \\ \left\{ \begin{matrix} b \geq 0 \\ a^{2} \geq b^{2} \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.$

$|a| \geq |b| \Leftrightarrow a^{2} \geq b^{2}$ $|a| \geq |b| \Leftrightarrow a = \pm b$

Ví dụ 1. Giải phương trình: $\left| x^{2} - 3x + 2 \right| - 2x = 1$

Ví dụ 2. Giải bất phương trình: $x^{2} - |4x - 5| < 0$

Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình $\ |2x - m| = x$ .

Ví dụ 4. Giải phương trình: $\ 4|sinx| + 2cos2x = 3$ .

Ví dụ 5. Giải và biện luận bất phương trình $\left| 3x^{2} - 3x - m \right| \leq \left| x^{2} - 4x + m \right|$ .

2) Phương pháp đồ thi:

a) Cách vẽ đồ thị hàm số khi đã biết đồ thị hàm số .

Chia đồ thị hàm số ra 2 phần: phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (1) và phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành (2).
Vẽ phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị (2) qua trục hoành được phần đồ thị
(3).
Đồ thị hàm số là đồ thị gồm phần đồ thị (1) và phần đồ thị (3) vừa vẽ.

b) Định lí: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng nằm ngang với đồ thị hàm số . Khi gặp phương trình có tham số ta tách riêng chúng về một vế của phương trình rồi vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng rồi áp dụng định lí trên để biện luận.

Ví dụ 6. Tìm m để phương trình $\left| x^{2} - 1 \right| = m^{4} - m^{2} + 1$ có 4 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .

Bài 4: HỆ PHƯƠNG TRİNH ĐỐI XỨNG

I. Hệ phương trình đối xứng loại 1

1) Khái niệm: Là hệ mà mỗi phương trình không đổi khi ta thay x bởi y và thay y bởi x.

2) Tính chất: Nếu $\left( x_{o},y_{o} \right)$ là một nghiệm của hệ thì $\left( y_{o},x_{o} \right)$ cũng là nghiệm của hệ.
3) Cách giải:

Biến đổi hệ phương trình về dạng: Hệ đã cho $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x + y = S \\ x.y = P \end{matrix} \right.$

Khi đó x , y là nghiệm của phương trình: $t^{2} - St + P = 0$ (2)

Nếu $\Delta = S^{2} - 4P > 0$ thì phương trình (2) có hai nghiệm $t_{1} \neq t_{2}$ nên hệ phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\left( t_{1},t_{2} \right),\left( t_{2},t_{1} \right)$ .

Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình (2) có nghiệm kép $t_{1} = t_{2}$ nên hệ (1) có nghiệm duy nhất ( $t_{1},t_{2}$ ).

Điều kiện để hệ (1) có ít nhất một cặp nghiệm thỏa mãn $x \geq 0,y \geq 0$

$\left\{ \begin{matrix} \Delta = S^{2} - 4P \geq 0 \\ \text{ }S \geq 0 \\ P \geq 0 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} x + y = 2 \\ x^{3} + y^{3} = 26 \end{matrix}\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 30 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 35 \end{matrix}\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x - y - xy = 3 \\ x^{2} + y^{2} + xy = 1 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{matrix} \sqrt{X + 1} + \sqrt{y - 1} = m \\ x + y = m^{2} - 4\text{ }m + 6 \end{matrix}\ \right.$ $\left\{ \begin{matrix} xy(x + 2)(y + 2) = 5\text{ }m - 6 \\ x^{2} + y^{2} + 2(x + y) = 2\text{ }m \end{matrix} \right.$

Bài 5. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOẠI KHÁC

I. Hệ vô tỷ

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x^{2} + y^{2}} + \sqrt{2xy} = 8\sqrt{2} \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 2. Giải và biện luận $\left\{ \begin{matrix} x + y + \sqrt{xy} = a \\ x - y = a \end{matrix} \right.$

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x + \sqrt{y}} + \sqrt{x - \sqrt{y}} = 2 \\ \sqrt{y + \sqrt{x}} - \sqrt{y - \sqrt{x}} = 1 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x} - \sqrt{2 - y} = \sqrt{2} \\ \sqrt{2 - x} + \sqrt{y} = \sqrt{2} \end{matrix} \right.$

Ví dụ 5. Tìm m để hệ có nghiệm $\left\{ \begin{matrix} \sqrt{x + 1} + \sqrt{y} = m \\ \sqrt{y + 1} + \sqrt{x} = 1 \end{matrix} \right.$

II. Hệ hữu tỷ

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} \frac{3}{x^{2} + y^{2} - 1} + \frac{2y}{x} = 1 \\ x^{2} + y^{2} + \frac{4x}{y} = 22 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{3} - y^{3} = 7 \\ xy(x - y) = 2 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 8. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{3} + 4y = y^{3} + 16x \\ 1 + y^{2} = 5\left( 1 + x^{2} \right) \end{matrix} \right.$

Ví dụ 9. Tìm a để hệ có nghiệm $\left\{ \begin{matrix} x - y = a(1 + xy) \\ xy + x + y + 2 = 0 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 10. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} 2y\left( x^{2} - y^{2} \right) = 3x \\ x\left( x^{2} + y^{2} \right) = 10y \end{matrix} \right.$

Ví dụ 11. Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt: $\left\{ \begin{matrix} x + y = m \\ x^{2} - y^{2} + 2x = 2 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 12. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - xy - y^{2} = - 11 \\ \left( x^{2} - y^{2} \right)xy = 180 \end{matrix} \right.$

Ví dụ 13. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{matrix} x^{3} - y^{3} = 19(x - y) \\ x^{3} + y^{3} = 7(x + y) \end{matrix} \right.$

III. Phương trình đẳng cấp, phương trình đối xứng đối với sinx và cosx

1. Phương trình đẳng cấp bâc cao đối với sinx và cosx:

Khái niệm: Một phương trình sau khi biến đổi về cosx, sinx mà ở tất cả các số hạng có tổng số mũ của cosx và của sinx hoặc đều là số tự nhiên chẵn hoặc đều là số tự nhiên lẻ thì phương trình đó được gọi là " đẳng cấp" đối với cosx và sinx. Gọi k là số lớn nhất trong các tổng số mũ nói trên được gọi là bậc của phương trình.

Cách giải:

- Xét trường hợp thử vào phương trình

Khi $cosx \neq 0$ chia hai vế phương trình cho $\cos^{k}x$ sau đó đặt ẩn phụ .

Ví dụ 14. Giải phương trình: $\ 2\sin^{3}x = cosx$

Ví dụ 15. Giải phương trình: $\ \sin^{3}\left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}sinx$

Ví dụ 16. Tìm m để phương trình có nghiệm: $msin2x + cos2x + \sin^{2}x + m = 0$

Ví dụ 17: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm x nằm trong khoảng $\left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ :

$3\sin^{4}x - 2(m + 2)\sin^{2}x \cdot \cos^{2}x + \left( 1 - m^{2} \right)cos4x = 0$

2. Phương trình đối xúng sinx và

Khái niệm: Một phương trình sau khi biến đổi về cosx, sinx mà các số hạng có chứa tổng ( $cosx \pm sinx$ ) hoặc chứa tích được gọi là phương trình đối xứng đối với và . Ví dụ phương trình: $a(cosx \pm sinx) + bcosx \cdot sinx + c = 0$ .

Cách giải: Đặt , ta có $|t| \leq \sqrt{2}$ . Khi đó: $sinx \cdot cosx = \frac{t^{2} - 1}{2}$

Nếu đặt , ta có $|t| \leq \sqrt{2}$ . Khi đó: $sinx \cdot cosx = \frac{1 - t^{2}}{2}$

Ví dụ 18. Cho phương trình: $\ sinx \cdot cosx = 6(sinx + cosx + m)$ .

a) Giải hệ phương trình với .

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Ví dụ 19. Giải phương trình: $1 + \sin^{3}x + \cos^{3}x = \frac{3}{2}sin2x$

Ví dụ 20. Giải phương trình: $1 + \sin^{3}2x + \cos^{3}2x = \frac{3}{2}sin4x$

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

Tải về

Chọn file muốn tải về: