Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát

Khảo sát hàm số ôn thi THPT Quốc gia

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát

Nhiều khi có những bài toán tưởng phức tạp nhưng lại rất đơn giản và dễ hiểu nếu chúng ta biết sử dụng một số mẹo nhỏ. Mời các bạn cùng tham khảo một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát để giải các bài tập khảo sát hàm số bậc 4 dễ dàng và hiệu quả hơn. Mời các bạn cùng tham khảo.

Để biết được một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong quá trình làm các bài toán liên quan khảo sát hàm số thì chúng ta chỉ cần nhớ được dạng đồ thị tổng quát của hàm bậc 4. Nội dung trong bài giảng này thầy sẽ trình bày một số vấn đề liên quan tới tính biến thiên và cực trị của hàm số.

Trước tiên các bạn cần quan sát và nhớ được dạng tổng quát của đồ thị hàm bậc 4

Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát

1) Dạng toán về tính đơn điệu của hàm số

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Theo các bạn thì đối với hàm bậc 4 cụ thể là hàm trùng phương mà chúng ta vẫn xét trong chương trình học thì liệu có câu hỏi như trên không? Tức là có bài toán nào yêu cầu tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R hay không?

Theo quan điểm của riêng thầy thì sẽ không ai hỏi như vậy. Tại vì sao? Chúng ta để ý lên đồ thị hàm trùng phương ở trên thì sẽ thấy ngay. Trong 4 cái đồ thị mà các bạn nhìn thấy thì không có một cái đồ thị nào mà hàm số của chúng ta đồng biến hay nghịch biến trên R cả. Do đó câu hỏi này có lẽ sẽ không ai cho vào bài toán.

Vậy thì với hàm trùng phương hàm số của chúng ta chỉ có thể đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng hay đoạn bất kì khác R. Nếu gặp bài toán như vậy thì chúng ta sẽ làm như thế nào?

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) bất kì

Để giải được bài toán dạng này thì các bạn lại để ý lên đồ thị dạng tổng quát ở hình phía trên. Trong 4 cái đồ thị của chúng ta thì đều có thể sảy ra trường hợp như này. Tuy nhiên nếu nhìn vào dạng đồ thị tổng quát ta sẽ biện luận bài toán này theo 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Với dạng này phương trình y' = 0 bao giờ cũng phân tích được thành dạng: (x − m)(x² + ax + b) = 0 với m là hằng số, tức là x = m là 1 nghiệm của phương trình này rồi. Công việc của chúng ta là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 còn lại có 2 nghiệm phân biệt khác m là xong. Sau đó ta lập bảng biến thiên, xét xem khoảng đồng biến hay nghịch biến bài toán cho phù hợp với khoảng nào của nghiệm.

Trường hợp 2: Phương trình y' = 0 có 1 nghiệm

Với dạng này phương trình y' = 0 cũng phân tích được thành dạng: (x − m)(x² + ax + b) = 0 với m là hằng số, tức là x = m là 1 nghiệm của phương trình này rồi. Công việc của chúng ta là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 còn lại vô nghiệm là xong. Sau đó ta lập bảng biến thiên, xét xem khoảng đồng biến hay nghịch biến bài toán cho phù hợp với khoảng nào của nghiệm.

Tuy kiến thức rất đơn giản nhưng không phải bạn nào cũng để ý và suy luận được từ dạng đồ thị tổng quát này. Do đó thầy cũng có thể gọi đây là mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4. Với phân tích rất nhỏ như trên thôi nhưng sẽ giúp các bạn rất nhiều trong quá trình tư duy giải toán.

2) Dạng toán về cực trị của hàm số

Nhìn vào dạng đồ thị của hàm số ta sẽ thấy hàm số này luôn luôn có 1 cực trị hoặc là 3 cực trị. Do đó trong bài toán thông thường sẽ có câu hỏi:

Tìm m để hàm số có 1 cực trị
Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Và chắc chắc sẽ chẳng bao giờ ai lại đi hỏi:

Tìm m để hàm số không có cực trị
Tìm m để hàm số có 2 cực trị

Với bài toán hỏi về cực trị ta sẽ làm như sau (các bạn nhìn vào hình vẽ nhé):

Trường hợp 1: Tìm m để hàm số có 3 cực trị

Để hàm số có 3 cực trị ta cần biện luận phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Biện luận cụ thể thế nào thì bên trên về tính biến thiên thầy nói rõ rồi.

Trường hợp 2: Tìm m để hàm số có 1 cực trị

Để hàm số có 1 cực trị ta cần biện luận phương trình y' = 0 có 1 nghiệm. Biện luận cụ thể thế nào thì bên trên về tính biến thiên thầy cũng lại nói rõ rồi. Trong trường hợp này có thể bài toán sẽ hỏi thành hai trường hợp như sau:

a. Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu hay có 1 cực tiểu và không có cực đại

Nhìn vào dạng đồ thị tổng quát thì đây là một Parabol quay bề lõm lên trên, do đó ta cần biện luận phương trình y′ = 0 có 1 nghiệm kết hợp với hệ số a > 0.

b. Tìm m để hàm số chỉ có cực đại hay có 1 cực đại và không có cực tiểu

Nhìn vào dạng đồ thị tổng quát thì đây là một Parabol quay bề lõm xuống dưới, do đó ta cần biện luận phương trình y′ = 0 có 1 nghiệm kết hợp với hệ số a < 0.

Trường hợp 3: Tìm m để hàm số có 2 cực tiểu và 1 cực đại

Với trường hợp này các bạn nhìn vào 1 trong 4 đồ thị phía trên sẽ thấy được câu trả lời ngay. Nhìn qua ta có, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và hệ số a > 0.

Trường hợp 4: Tìm m để hàm số có 1 cực tiểu và 2 cực đại

Tương tự như trường hợp 3 các bạn nhìn vào 1 trong 4 đồ thị phía trên sẽ thấy được câu trả lời ngay. Nhìn qua ta có, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và hệ số a < 0.

Trong 4 cái hình dạng đồ thị như trên thì các bạn để ý giúp thầy 2 dạng đồ thị bên trên (tức là dạng đồ thị có 3 cực trị), các bạn có thấy 3 điểm cực trị này có gì đặc biệt không? Nếu chưa để ý thấy thì hãy thử vẽ hình và nối 3 điểm cực trị này lại với nhau xem có được một cái gì đó hay không?

Sau một thời gian chờ đợi các bạn vẽ hình thì chúng ta sẽ rút ra một nhận xét như sau:

Chú ý: Với hàm bậc 4 (hàm trùng phương) trong trường hợp mà đồ thị hàm số có 3 cực trị thì 3 cực trị này luôn luôn tạo thành 1 tam giác cân với đỉnh là điểm cực trị thuộc trục tung.

Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d: y = α cắt đồ thị (C): y = f(x; m) = ax⁴ + bx² + c tại n điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K cho trước?

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là: ax⁴ + bx² + c - α = 0(1)

Đặt t = x² ≥ 0 thì (1) ⇔ at² + bt + c - α = 0 (2)

Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m ∈ D_1.Cụ thể:

Để d ∩ (C) = n = 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm phân biệt

⇔ (2) có 2 nghiệm t₁; t₂ thỏa điều kiện: $0 < t_{1} < t_{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta > 0 \\ S > 0 \\ P > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in D_{1}.$

Để d ∩ (C) = n = 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ (2) có nghiệm $t_{1},t_{2}$ thỏa điều kiện: $0 = t_{1} < t_{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c - \alpha = 0 \\ \frac{b}{a} < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in D_{1}.$

Để d ∩ (C) = n = 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt

⇔ (2) có 2 nghiệm trái dấu hoặc có nghiệm kép dương $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} ac < 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \Delta = 0 \\ S > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in D_{1}.$

Để d ∩ (C) = n = 1 điểm phân biệt ⇔ (1) có đúng 1 nghiệm

⇔ (2) có nghiệm kép = 0 hoặc $\left\{ \begin{matrix} t_{1} < 0 \\ t_{2} = 0 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta = 0 \\ c - \alpha = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \left\{ \begin{matrix} c - \alpha = 0 \\ \frac{b}{a} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \in D_{1}.$

Bước 2. Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của $t_{1},t_{2}$ (3)

Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải chúng ta sẽ tìm được m ∈ D_2.

Kết luận: $m \in D_{1} \cap D_{2}.$

Ví dụ: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x⁴ - 2x² - m| trên đoạn [-1; 2] bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:

A.-2 B. 7. C. 14. D. 3.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số f(x) = x⁴ + 2x² - m trên đoạn [-1;2]

Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Mà: f(0) = -m; f(-1) = -m - 1; f(2) = -m + 8

Nên $\left\{ \begin{matrix} \min_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = - m - 1 \\ \max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = - m + 8 \\ \end{matrix} \right.$

Nếu (-m - 1)(-m + 8) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ m ≤ 8 thì $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = 0$ không thỏa mãn bài toán

Nếu $( - m - 1)( - m + 8) > 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 8 \\ m < - 1 \\ \end{matrix} \right.$ thì: $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}{y = min\left\{ | - m +8|,| - m - 1| \right\} = \frac{| - 2m + 7| - 9}{2}}$ .
Theo bài ra $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}{y = 2\ nên\ \left\lbrack \begin{matrix} m = - 3 \\ m = 10 \\ \end{matrix} \right.\ }$ (thỏa mãn).

Vậy tổng các phần tử của S là 7.

Ví dụ. Cho hàm số y = |x⁴ - 4x³ + 4x² + a|. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 2].Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-3; 3] sao cho M ≤ 2m?

A. 3. B. 7. C. 6. D. 5.

Hướng dẫn giải

Đặt t = x⁴- 4x³ + 4x², với x ∈ [0; 2] thì t ∈ [0; 1].

Xét hàm số f(t) = t + a; t ∈ [0; 1].

Ta thấy f(t) là hàm tăng trên [0; 1].

$M = \max_{\lbrack 0;1\rbrack}\left| f(t) \right| = \frac{f(1) - f(0) + \left| f(1) + f(0) \right|}{2} = \left| a + \frac{1}{2} \right| + \frac{1}{2}$ .

Nếu f(0).f(1) ≤ 0 thì m = 0.

Trường hợp này loại vì $M \geq\frac{1}{2} \forall a$ .

Nếu $f(0).f(1) > 0 \Leftrightarrow a(a + 1) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a > 0 \\ a < - 1 \\ \end{matrix} \right.$ thì $m = \left| a + \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2}$ .

$M \leq 2m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \notin \lbrack - 1;0\rbrack \\ \left| a + \frac{1}{2} \right| + \dfrac{1}{2} \leq 2\left( \left| a + \dfrac{1}{2} \right| - \dfrac{1}{2} \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a \geq 1 \\ a \leq - 2 \\ \end{matrix} \right.$ .

Từ đây suy ra a ∈ {-3; -2; 1; 2; 3}.

Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) = ax⁴ + bx²+ c, $\left( a,\ b,\ c\mathbb{\in R},\ a \neq 0 \right)$ có đồ thị (C). Biết rằng (C) không cắt trục Ox và đồ thị hàm số y = f'(x) cho bởi hình vẽ bên dưới.

Hàm số đã cho có thể là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

A. y = 2x⁴- x² + 2. B. y = x⁴ + x² - 2.

C. $y = \frac{1}{4}x^{4} + x^{2} + 1$ . D. y = -4x⁴ - x²- 1.

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có:

y' = 4ax³ + 2bx

y'' = 12ax²+ 2b

Vì hàm số y = f'(x) luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên y'' > 0, $\forall x\mathbb{\in R}$ , do đó a >0 và b > 0.

Lại do đồ thị hàm số y = f(x) không cắt trục Ox nên suy ra hàm số cần tìm là $y = \frac{1}{4}x^{4} + x^{2} + 1$ (hàm số y = x⁴ + x² - 2 cắt trục tại hai điểm phân biệt do ac < 0).

Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{1}{4}x^{4} + x^{2} + 1$ .

Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Tập hợp các giá trị m để phương trình f(cos2x) - 2m - 1 = 0 có nghiệm thuộc khoảng $\left( \frac{- \pi}{3};\frac{\pi}{4} \right)$ là:

A. $\left\lbrack 0;\frac{1}{2} \right\rbrack$ B. $\left( 0;\frac{1}{2} \right\rbrack$ C. $\left( \frac{1}{4};\frac{1}{2} \right\rbrack$ D. $\left( \frac{- 2 + \sqrt{2}}{4};\frac{1}{4} \right)$

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt $cos2x = t,x \in \left( \frac{- \pi}{3};\frac{\pi}{4} \right) \Rightarrow t \in \left( - \frac{1}{2};1 \right\rbrack$ .

Yêu cầu đề bài tương đương với phương trình f(t) = 2x + 1 có nghiệm $t \in \left( - \frac{1}{2};1 \right\rbrack$ .

Từ bảng biến thiên suy ra yêu cầu $\Leftrightarrow 1 \leq 2m + 1 \leq 2 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq \frac{1}{2}$ .

-----------------------------------------------------------

FAQ

Làm thế nào để nhận biết nhanh đồ thị của hàm bậc 4?

Có thể nhận biết thông qua các dấu hiệu sau:

Hình dạng đối xứng qua trục OyOy O y .
Hai nhánh cùng hướng lên hoặc cùng hướng xuống tùy theo dấu của hệ số aa a .
Số điểm cực trị và vị trí các điểm đặc biệt.
Giao điểm với các trục tọa độ.
Khoảng đồng biến và nghịch biến trên từng miền xác định.

Khi khảo sát hàm bậc 4 cần thực hiện theo trình tự nào?

Các bước cơ bản gồm:

Xác định tập xác định.
Tính đạo hàm.
Tìm điểm tới hạn.
Lập bảng biến thiên.
Xác định cực trị.
Phân tích tính đối xứng.
Vẽ và nhận xét đồ thị.

Có mẹo nào giúp phân tích đồ thị hàm bậc 4 nhanh trong bài thi?

Một số mẹo hữu ích:

Quan sát ngay dấu của hệ số aa a để xác định hướng mở.
Kiểm tra tính chẵn của hàm số để khai thác tính đối xứng.
Ưu tiên xác định số điểm cực trị trước khi vẽ đồ thị.
Kết hợp bảng biến thiên với hình dạng tổng quát để loại đáp án nhanh trong câu hỏi trắc nghiệm.

Hàm bậc 4 có bao nhiêu điểm cực trị?

Tùy thuộc vào các hệ số của hàm số, đồ thị có thể:

Không có cực trị.
Có một cực trị.
Có ba cực trị.

Việc xác định dựa trên nghiệm của phương trình đạo hàm.

Dạng bài về hàm bậc 4 thường xuất hiện như thế nào trong đề thi THPT Quốc gia?

Các dạng bài phổ biến gồm:

Nhận dạng đồ thị.
Phân tích bảng biến thiên.
Tìm tham số để đồ thị thỏa mãn điều kiện.
Xác định số cực trị.
Xét tính đơn điệu.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một khoảng.

Những sai lầm nào học sinh thường mắc khi phân tích đồ thị hàm bậc 4?

Một số lỗi phổ biến là:

Bỏ qua tính đối xứng của đồ thị.
Xác định sai dấu của đạo hàm.
Nhầm số điểm cực trị.
Vẽ sai hình dạng tổng quát.
Không kiểm tra điều kiện của tham số.

--------------------------------

Đó là một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 (hàm trùng phương) mà thầy muốn chia sẻ với các bạn. Đây là kiến thức rất cơ bản và dễ hiểu khi các bạn sử dụng đồ thị dạng tổng quát. Qua bài viết này các bạn sẽ thấy việc sử dụng đồ thị hay là hình vẽ trực quan trong quá trình giải toán sẽ giúp chúng ta rất nhiều trong việc tư duy tìm lời giải.

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát

258,7 KB

Tải file định dạng .DOC
91 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

30 lượt tải tài liệu

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Chia sẻ bởi:
Su kem

25.513

Bài trước

Bài sau

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Tìm bài trong mục này

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát

Nâng cấp gói Pro để trải nghiệm website VnDoc.com KHÔNG quảng cáo, và tải file cực nhanh không chờ đợi.

Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát

1) Dạng toán về tính đơn điệu của hàm số

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) bất kì

2) Dạng toán về cực trị của hàm số

FAQ

Làm thế nào để nhận biết nhanh đồ thị của hàm bậc 4?

Khi khảo sát hàm bậc 4 cần thực hiện theo trình tự nào?

Có mẹo nào giúp phân tích đồ thị hàm bậc 4 nhanh trong bài thi?

Hàm bậc 4 có bao nhiêu điểm cực trị?

Dạng bài về hàm bậc 4 thường xuất hiện như thế nào trong đề thi THPT Quốc gia?

Những sai lầm nào học sinh thường mắc khi phân tích đồ thị hàm bậc 4?

Một số mẹo phân tích đồ thị hàm bậc 4 trong khảo sát

Tải file định dạng .DOC

Có thể bạn quan tâm

Phần Giải Tích

Phần Hình Học