Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận của đồ thị Hàm số

Để giúp các bạn học sinh lớp giải bài tập Toán 12 một cách hiệu quả, VnDoc.com luôn cập nhật những tài liệu hữu ích để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh một cách tốt nhất, mời các bạn học sinh và thầy cô tham khảo tài liệu: Đường tiệm cận của đồ thị Hàm số, tài liệu giúp các bạn tìm hiểu sâu hơn về cách vẽ đường tiệm cận.

• Giải bài tập trang 30 SGK Giải tích lớp 12: Đường tiệm cận
• Bài tập trắc nghiệm đường tiệm cận
• Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Đường tiện cận

A. Lý thuyết Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Cách tìm đường tiệm cận

a. Để tìm đường tiệm cận của hàm số y = f(x) ta dựa vào tập xác định D để biết số giới hạn phải tìm. Nếu tập xác định D có đầu mút là khoảng thì phải tìm giới hạn của hàm số khi x tiến đến đầu mút đó.

Ví dụ: _$D=[a,b)$ thì phải tính _{$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$} hay _{$D=(-\mathrm{\infty },a]\cup (b,+\mathrm{\infty })$} thì ta phải tìm bốn giới hạn là _{$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x),\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x),\underset{x\to b^{+}}{lim}f(x),\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)$}

b. Để tìm đường tiệm cận ngang ta phải có giới hạn của hàm số ở vô tận

Nếu _{$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$} thì $(\delta ):y=y_0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số _$(C):y=f(x)$

- Để tìm đường tiệm cận đứng thì hàm số phải ra vô tận khi x tiến đến một giá trị x:

nếu $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ hay $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ thì $\delta :x=x_0$ là tiệm cận đứng của $(C):y=f(x)$

c. Để tìm đường tiệm cận xiên của (C): y = f(x), trước hết ta phải có điều kiện:

- Điều kiện tìm đường tiệm cận xiên: _{$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$} hoặc _{$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$}

Tìm tiệm cận xiên có 2 cách:

Cách 1: Phân tích _{$y=f\left(x\right)$} thành dạng _{$y=ax+b+g\left(x\right)$} với _{$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=0$} thì _{$y=ax+b,(a\ne 0)$} là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số _{$y=f\left(x\right)$}.

Cách 2: Giả sử tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là _$y=ax+b$, ta sẽ tìm a, b theo công thức: 

$\{\begin{array}{c}a=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}\\ b=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}[f\left(x\right)-ax]\end{array}$

Khi đó đường thẳng _{$y=ax+b,(a\ne 0)$} là phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

2. Đường tiệm cận của một số hàm số thông dụng

- Hàm số _{$y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$} có hai đường tiệm cận đứng và ngang lần lượt có phương trình là: $x=-{\displaystyle \frac{c}{d}}$ và $y={\displaystyle \frac{a}{c}}$

- Với hàm số _{$y={\displaystyle \frac{a^2+bx+c}{px+q}}$}(không chia hết và a.p ≠ 0), ta chia đa thức để có:

$y=\frac{a^2+bx+c}{px+q}=Ax+B+\frac{R}{px+q}$ thì hàm số có hai đường tiệm cận đứng và xiên lần lượt có phương trình là: _{$x={\displaystyle \frac{-p}{q}}$} và _$y=Ax+B$

- Hàm hữu tỉ _{$y={\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}$} (không chia hết) có đường tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu một bậc.

- Hàm số $y=\sqrt{a{x}^2+bx+c},(a>0)$ có thể viết dưới dạng:

_{$y=\sqrt{a}|x+{\displaystyle \frac{1}{2a}}|+\xi (x)$} với _{$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\xi (x)=0$}

Vậy hàm số có hai đường tiệm cận xiên _{$y=\pm \sqrt{a}(x+{\displaystyle \frac{b}{2a}})$}

Ví dụ: Đồ thị hàm số: $y=f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-9}$có các đường tiệm cận với phương trình là kết quả nào sau đây?

(A) x = 3, y = 1	(B) x= 3, x = -3, y = 1
(C) x = -3, y = 1	(D) x = 3, y = 2x - 4

Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định _{$D=\mathbb{R}\setminus \{-3,3\}$}, $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=1\Rightarrow y=1$

là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số .

$\underset{x\to 3}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x^2-9}}=\underset{x\to 3}{lim}{\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ nên x = 3 không là tiệm cận đứng.

$\underset{x\to -3}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ vậy x = -3 là phương trình tiệm cận đứng 

Chọn đáp án C.

Ví dụ: Cho hàm số $y=f(x)$ có $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$ và $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.

D. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y=0.$

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0\stackrel{}{\to }y=0$ là tiệm cận ngang.

Đáp án “Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.“ sai vì chọn hàm $y=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{1}{2}\right)}^x& ;x\le -1\\ -{\left(\frac{1}{2}\right)}^x& ;x\ge 1\end{array}$.

Vậy ta chỉ có đáp án “Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành” đúng.

Ví dụ: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1\}$, có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $y=-1$ và tiệm cận ngang $x=-2.$

B. Đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận.

C. Đồ thị hàm số có ba tiệm cận.

D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2.$

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên, ta có:

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to (-1{)}^{-}}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to (-1{)}^{+}}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }\end{array}\to x=-1$ là TCĐ.

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-2\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-2\end{array}\to y=-2$ là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2.$.

Ví dụ: Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm sô $y=\frac{mx-1}{2x+m}$ có đường tiệm cận đứng đi qua điểm $M(-1;\sqrt{2}).$

A. $m=2$.    B. $m=0$.

C. $m=\frac{1}{2}.$    D. $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Hướng dẫn giải

TXĐ: $D\mathbb{=}\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-\frac{m}{2}\}$.

Ta có $\{\begin{array}{c}\underset{x\to {(-\frac{m}{2})}^{-}}{lim}y=\underset{x\to {(-\frac{m}{2})}^{-}}{lim}\frac{mx-1}{2x+m}=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to {(-\frac{m}{2})}^{+}}{lim}y=\underset{x\to {(-\frac{m}{2})}^{+}}{lim}\frac{mx-1}{2x+m}=-\mathrm{\infty }\end{array}\to x=-\frac{m}{2}$ là TCĐ.

Do đó yêu cầu bài toán $\iff -\frac{m}{2}=-1\iff m=2$.

Ví dụ: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x^2-4x+m}$ có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.

A. $m=-12.$            B. $m>4.$

C. $m=-12,m>4.$         D. $m\ne 4.$

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+2}{x^2-4x+m}=0y=0$ là tiệm cận ngang với mọi $m$.

Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình $x^2-4x+m=0$ vô nghiệm $\iff {\mathrm{\Delta }}^{\prime }<0\iff m>4$.

Nhận xét. Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức $x^2-4x+m=0$ có nghiệm $x=-2\to m=-12$. Điều này là sai, vì với $m=-12$ thì hàm số trở thành $y=\frac{1}{x-6}$. Đồ thị này vẫn còn tiệm cận đứng là $x=6$.

B. Giải SGK Toán 12 Bài 4

Trong Sách giáo khoa Toán lớp 12, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 12. Mời các bạn học sinh tham khảo:

• Giải bài tập trang 30 SGK Giải tích lớp 12: Đường tiệm cận

C. Giải SBT Toán 12 Bài 4

Sách bài tập Toán 12 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

• Giải SBT Toán 12 bài 4: Đường tiệm cận

D. Bài tập trắc nghiệm Tiệm cận của đồ thị hàm số

Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn về bài tập của bài Hàm số này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Tiệm cận của hàm số do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:

• Trắc nghiệm môn Toán: Tiệm cận hàm số - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
• Cách tìm tiệm cận hàm số

------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận của đồ thị Hàm số. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.