Cách tìm tiệm cận hàm số

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết cách tìm các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và bài tập trắc nghiệm rèn luyện ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

• 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số
• Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Cực trị của hàm số

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Đường tiệm cận là gì?

- Cho đồ thị hàm số _{$y=f\left(x\right)$} có tập xác định D.

1. Cách tìm đường tiệm cận ngang

- Nếu _{$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$} hoặc _{$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$} thì đường thẳng $y=y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chú ý. Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$

Cách tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
• Bước 2. Tính các giới hạn của hàm số đó tại vô cực (nếu có). Từ đó xác định đường tιệm cận ngang.

 

2. Cách tìm đường tiệm cận đứng

- Nếu _{$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$} hoặc _{$\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$} thì đường thẳng _{$x=x_0$} là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chú ý. Đường thẳng x = x₀ là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to {x_0}^{+}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty };\underset{x\to {x_0}^{-}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$

Ví dụ:

Đường tiệm cận đứng là _$x=-1$, Tiệm cận ngang là _$y=2$

3. Cách tìm đường tiệm cận xiên

- Điều kiện tìm đường tiệm cận xiên: _{$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$} hoặc _{$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\pm \mathrm{\infty }$}

Tìm tiệm cận xiên có 2 cách:

Cách 1: Phân tích _{$y=f\left(x\right)$} thành dạng _{$y=ax+b+g\left(x\right)$} với _{$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}g\left(x\right)=0$} thì _{$y=ax+b,(a\ne 0)$} là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số _{$y=f\left(x\right)$}.

Cách 2: Giả sử tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là _$y=ax+b$, ta sẽ tìm a, b theo công thức: $\{\begin{array}{c}a=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}\\ b=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}[f\left(x\right)-ax]\end{array}$

Khi đó đường thẳng _{$y=ax+b,(a\ne 0)$} là phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

4. Đường tiệm cận của các hàm thông dụng

a. Hàm số _{$y=\frac{ax+b}{cx+d},(ad-bc\ne 0)$} có _{$\{\begin{array}{c}TC:x={\displaystyle \frac{-d}{c}}\\ TCN:y={\displaystyle \frac{a}{c}}\end{array}$}

b. Hàm số _{$y=\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}=Ax+B+\frac{r}{px+q},(ap\ne 0)$} có $\{\begin{array}{c}TC:x={\displaystyle \frac{-p}{c=q}}\\ TCN:y=Ax+B\end{array}$

c. Hàm số hữu tỉ: _{$y=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$} không chia hết có đường tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu một bậc.

II. Ví dụ minh họa tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số:

$a.y=\frac{2x+1}{x-1}$

$b.y=\frac{x^2}{1-x}$

$c.y=2x-1-\frac{1}{x+2}$

Hướng dẫn giải

$a.y=\frac{2x+1}{x-1}$

Ta có: _{$\{\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=2\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=2\end{array}\Rightarrow y=2$} là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: _{$\{\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow x=1$} là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$b.y=\frac{x^2}{1-x}=x-1+\frac{1}{1-x}$

Ta có: _{$\{\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}y=-\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow x=1$} là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: _{$\{\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow$} Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta lại có: _{$\{\begin{array}{c}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[y-(-x-1)]=0\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[y-(-x-1)]=0\end{array}\Rightarrow y=-x-1$} là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

$c.y=2x-1-\frac{1}{x+2}$

Ta có: _{$\{\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow$} Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ta có: _{$\{\begin{array}{c}\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=-\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}y=+\mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow x=2$} là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta lại có: _{$\{\begin{array}{c}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[y-(2x+1)]=0\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[y-(2x+1)]=0\end{array}\Rightarrow y=2x+1$} là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số _{$y=x+\sqrt{x^2-1}$}

 Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định liên tục trên _{$D=(-\mathrm{\infty },1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$}

Ta có:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}=-\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(1-\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})=0$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x+\sqrt{x^2-1})=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{-x+\sqrt{x^2-1}}=0$

Vậy _$y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi _{$x\to -\mathrm{\infty }$}

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{y}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sqrt{x^2-1}}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(1+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})=2$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(x+\sqrt{x^2-1})=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{-x+\sqrt{x^2-1}}=0$

Vậy _$y=2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi _{$x\to +\mathrm{\infty }$.}

Ví dụ 3. Cho hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}khix\ge 1\\ \frac{2x}{x-1}khix<1\end{array}$ . Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{2x}{x-1}=-\mathrm{\infty }$

=> Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{x-1}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{1-\frac{1}{x}}=2$ => y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{2+\frac{1}{x^2}}=1$ => đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ví dụ 4. Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-x+3}-\sqrt{2x+1}}{x^3-2x^2-x+2}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

Hướng dẫn giải

Điều kiện $\{\begin{array}{c}{x}^2-x+3\ge 0\\ 2x+1\ge 0\\ x^3-2x^2-x+2\ne 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x\ge {\displaystyle \frac{-1}{2}}\\ x\ne 2\\ x\ne \pm 1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x\ge {\displaystyle \frac{-1}{2}}\\ x\ne 2\\ x\ne 1\end{array}$

Từ điều kiện ta có:

$\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{\left(x^2-x+3\right)-(2x+1)}{\left(x^2-3x+2\right)(x+1)\left(\sqrt{x^2-x-3}+\sqrt{2x+1}\right)}}\hfill \\ y={\displaystyle \frac{x^2-3x+2}{\left(x^2-3x+2\right)(x+1)\left(\sqrt{x^2-x+3}+\sqrt{2x+1}\right)}}\hfill \\ y={\displaystyle \frac{1}{(x+1)\left(\sqrt{x^2-x+3}+\sqrt{2x+1}\right)}}\hfill \end{array}$

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Mặt khác $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x^2.(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})(\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{3}{x^2}}}+\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}})}}=0$

=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Không tồn tại $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang

III. Bài tập trắc nghiệm tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Câu 1: Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số _{$y=1+\frac{3}{2x-3}$}

$A.y=1,2x-3=0$	$B.y=\frac{2}{3},2x-3=0$
$C.y=2x-3,2x-3=0$	$D.y=5x+1,2x-3=0$

Câu 2: Cho 3 hàm số _{$(1):y=\frac{5x}{2-x},(2):y=\frac{x^2}{x+1},(3):y=\frac{x-2}{x^2-3x+2}$}. Hàm số nào có đồ thị nhận đường thẳng _$x=2$ là đường tiệm cận.

$A.(1),(2)$

$B.(1)$

$C.(1),(3)$

$D.\left(3\right)$

Câu 3: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số _{$y=\frac{2x^2-3x+m}{x-m}$} không có tiệm cận?

$A.m=1$	$B.m=0$
$C.[\begin{array}{c}m=1\\ m=2\end{array}$	$D.[\begin{array}{c}m=0\\ m=1\end{array}$

Câu 4: Cho hàm số _{$y=\frac{1-2x}{x+1}$} tiệm cận đứng là:

$A.x=1$	$B.x=-1$
$C.y=1$	$D.y=-1$

Câu 5: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số _{$y=\frac{3-x}{2x-1}$} là:

$A.y=-\frac{1}{2}$	$B.y=\frac{1}{2}$
$C.x=-\frac{1}{2}$	$D.x=-\frac{1}{2}$

Câu 6: Cho đồ thị hàm số _{$y=\frac{mx+1}{2x-m}$}. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang _$y=1$

$A.m=0$

$B.m=1$

$C.m=-1$

$D.m=2$

Câu 7: Cho hàm số _{$y=\frac{mx+4}{2x+m}$}. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$

$A.m=-2$

$B.m=2$

$C.m=-1$

$D.m=1$

Câu 8: Cho hàm số _{$y=1-\frac{1}{2x+1}$}. Chọn khẳng định đúng:

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang _$x=1$

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang _$y=1$

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng _{$x=\frac{1}{2}$}

D. Hàm số có tập xác định là _{$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$}

Câu 9: Cho hàm số $y=\frac{2x^2-mx+1}{x-1}$. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên _$y=2x+3$.

$A.m=0$

$B.m=1$

$C.m=-1$

$D.m=2$

Câu 10: Tìm m để đồ thị hàm số _{$y=\frac{m^{2}x-4}{mx-1}$} có tiệm cận ngang đi qua điểm _$A(1,4)$

$A.m=0$

$B.m=4$

$C.m\in \{0,4\}$

$D.m\in \varnothing$

--------------------------------------------------------------------

Trên đây là những kiến thức cơ bản và phương pháp chi tiết giúp bạn tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số một cách chính xác và dễ hiểu. Việc nắm vững khái niệm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài toán trong chương trình phổ thông mà còn hỗ trợ phân tích đồ thị hàm số hiệu quả. Nếu bạn đang luyện thi hoặc củng cố kiến thức Toán học, đừng quên ôn tập thường xuyên và luyện tập nhiều dạng bài để thành thạo kỹ năng này.

Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.