Bảng Nguyên Hàm Đầy Đủ Nhất
Bảng nguyên hàm
Trong quá trình học giải tích, việc ghi nhớ bảng nguyên hàm là vô cùng quan trọng để giải nhanh các bài toán nguyên hàm và tích phân. Bài viết này cung cấp bảng nguyên hàm đầy đủ nhất, bao gồm các công thức cơ bản đến nâng cao, giúp bạn học nhanh – nhớ lâu – áp dụng hiệu quả. Đây là tài liệu không thể thiếu dành cho học sinh lớp 12 và thí sinh ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.
1. Nguyên hàm của các hàm số dạng tích, phương
Cho hai hàm số 
\(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) có đạo hàm liên tục trên K.
Lúc này ta có bảng sau:
| Dạng | Cấu trúc hàm số | Nguyên hàm |
| Tổng | \(f(x) = u' + v' = (u +
v)'\) |
\(F(x) = u + v\) |
| Hiệu | \(f(x) = u' - v' = (u -
v)'\) |
\(F(x) = u - v\) |
| Tích | \(f(x) = u'v + uv' =
(uv)'\) |
\(F(x) = uv\) |
| Thương | \(f(x) = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}
= \left( \frac{u}{v} \right)^{/}\) |
\(F(x) = \frac{u}{v}\) |
2. Bảng nguyên hàm cơ bản
| Nguyên hàm của hàm số sơ cấp | Nguyên hàm hàm số thường gặp | Nguyên hàm của hàm số hợp |
|
|
|
\(\int_{}^{}{du} = u + C\)\(\int_{}^{}{u^{\alpha}du} =
\frac{u^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C\ \ (\alpha \neq 1)\)\(\int_{}^{}{\frac{1}{u^{2}}du} = -
\frac{1}{u} + C\)\(\int_{}^{}{\frac{1}{\sqrt{u}}du} =
2\sqrt{u} + C\) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Bảng nguyên hàm mở rộng
| \(\int_{}^{}{(ax + b)^{\alpha}dx =
\frac{(ax + b)^{\alpha + 1}}{a(\alpha + 1)} + C,\alpha \neq -
1}\) |
\(\int_{}^{}{\cos(ax + b)dx =
\frac{1}{a}\sin(ax + b) + C}\) |
| \(\int_{}^{}{\frac{dx}{ax + b} =
\frac{1}{a}\ln|ax + b| + C}\) |
\(\int_{}^{}{\sin(ax + b)dx = -
\frac{1}{a}\cos(ax + b) + C}\) |
| \(\int_{}^{}{e^{ax + b}dx =
\frac{1}{a}e^{ax + b} + C}\) |
\(\int_{}^{}{\tan(ax + b)dx = -
\frac{1}{a}\ln\left| \cos(ax + b) \right| + C}\) |
| \(\int_{}^{}{m^{ax + b}dx = \frac{1}{a\ln
m}m^{ax + b}} + C,(m > 0)\) |
\(\int_{}^{}{\cot(ax + b)dx =
\frac{1}{a}\ln\left| \sin(ax + b) \right| + C}\) |
| \(\int_{}^{}\frac{dx}{a^{2} + x^{2}} =
\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C\) |
\(\int_{}^{}{\frac{dx}{sin^{2}(ax + b)} =
- \frac{1}{a}\cot(ax + b) + C}\) |
| \(\int_{}^{}{\frac{dx}{a^{2} - x^{2}} =
\frac{1}{2a}\ln\left| \frac{a + x}{a - x} \right| + C}\) |
\(\int_{}^{}{\frac{dx}{x^{2} - a^{2}} =
\frac{1}{2a}\ln\left| \frac{x - a}{x + a} \right| + C}\) |
| \(\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x^{2} +
a^{2}}} = \ln\left( x + \sqrt{x^{2} + a^{2}} \right) + C}\) |
\(\int_{}^{}{\frac{dx}{cos^{2}(ax + b)} =
\frac{1}{a}\tan(ax + b) + C}\) |
| \(\int_{}^{}{\frac{dx}{x\sqrt{x^{2} +
a^{2}}} = - \frac{1}{a}\ln\left| \frac{a + \sqrt{x^{2} + a^{2}}}{x}
\right| + C}\) |
\(\int_{}^{}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}dx =
\frac{x\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{2} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} +
C}\) |
| \(\int_{}^{}{\ln(ax + b)dx = \left( x +
\frac{b}{a} \right)\ln(ax + b) - x + C}\) |
\(\int_{}^{}{\frac{dx}{\sin(ax + b)} =
\frac{1}{a}\ln\left| \tan\frac{ax + b}{2} \right| + C}\) |
| \(\int_{}^{}{e^{ax}\sin bxdx =
\frac{e^{ax}\left( a\sin bx - b\cos bx \right)}{a^{2} + b^{2}}} +
C\) |
\(\int_{}^{}{e^{ax}\cos bxdx =
\frac{e^{ax}\left( a\cos bx + b\sin bx \right)}{a^{2} + b^{2}}} +
C\) |
4. Bảng nhận dạng nguyên hàm và đạo hàm của hàm số chứa \(e^{x}\).
| Đặc trưng | Nguyên hàm | Hàm số (đạo hàm) |
| \(e^{x}\) |
\(F(x) = u(x).e^{x}\) |
\(F'(x) = \left\lbrack u'(x) +
u(x) \right\rbrack e^{x} = f(x)\) |
| \(e^{- x}\) |
\(F(x) = u(x).e^{- x}\) |
\(F'(x) = \left\lbrack u'(x) -
u(x) \right\rbrack e^{- x} = f(x)\) |
| \(e^{ax + b}\) |
\(F(x) = u(x)e^{ax + b}\) |
\(F'(x) = \left\lbrack u'(x) +
au(x) \right\rbrack e^{ax + b} = f(x)\) |
| \(e^{v(x)}\) |
\(F(x) = u(x)e^{v(x)}\) |
\(F'(x) = \left\lbrack u'(x) +
v'(x)u(x) \right\rbrack e^{v(x)} = f(x)\) |
-----------------------------------------------------
rên đây là bảng nguyên hàm đầy đủ nhất giúp bạn hệ thống lại toàn bộ công thức quan trọng trong chương trình Toán 12 và ôn thi THPT Quốc gia. Hãy lưu lại tài liệu này để ôn tập thường xuyên và nâng cao kỹ năng giải bài tập nguyên hàm – tích phân một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong kỳ thi sắp tới!
