VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Trắc nghiệm đúng sai Phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz có đáp án

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai Toán 12 Phương trình mặt cầu

Trong chương trình Toán 12, chủ đề phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz là một phần quan trọng của hình học không gian và thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Để giúp học sinh nắm chắc kiến thức, bài viết này tổng hợp bộ câu hỏi trắc nghiệm đúng sai phương trình mặt cầu trong Oxyz kèm đáp án chi tiết, giúp các em kiểm tra mức độ hiểu bài, rèn luyện khả năng phân tích và vận dụng công thức vào giải quyết bài tập thực tế Nội dung được biên soạn bám sát chương trình SGK Toán 12, phù hợp cho học sinh ôn thi, củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ kiểm tra sắp tới.

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 11 câu
Điểm số bài kiểm tra: 11 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , biết:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4mx + 2my - 2mz + 9m^{2} - 27 = 0$

là phương trình mặt cầu và $m$ là tham số. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

a) Có $5$ giá trị nguyên $m$ để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.Sai||Đúng

b) Với $m = 0$ , bán kính của mặt cầu là $\sqrt{33}$ . Sai||Đúng

c) Với $m > 0$ , $I\left( - 3\ ;\ - \frac{3}{2}\ ;\ \frac{3}{2} \right)$ thì khoảng cách của mặt cầu và $(P): - 2x + 2y - z + 15 = 0$ là 1.Đúng||Sai

d) Gọi $A$ và $B$ là $2$ tâm mặt cầu sao cho thể tích của hình cầu là $36\pi$ . Trung điểm của $AB$ là $\left( 4\sqrt{6}\ ;\ 2\sqrt{6}\ ;\ - 2\sqrt{6} \right)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , biết:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4mx + 2my - 2mz + 9m^{2} - 27 = 0$

là phương trình mặt cầu và $m$ là tham số. Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây:

a) Có $5$ giá trị nguyên $m$ để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.Sai||Đúng

b) Với $m = 0$ , bán kính của mặt cầu là $\sqrt{33}$ . Sai||Đúng

c) Với $m > 0$ , $I\left( - 3\ ;\ - \frac{3}{2}\ ;\ \frac{3}{2} \right)$ thì khoảng cách của mặt cầu và $(P): - 2x + 2y - z + 15 = 0$ là 1.Đúng||Sai

d) Gọi $A$ và $B$ là $2$ tâm mặt cầu sao cho thể tích của hình cầu là $36\pi$ . Trung điểm của $AB$ là $\left( 4\sqrt{6}\ ;\ 2\sqrt{6}\ ;\ - 2\sqrt{6} \right)$ . Sai||Đúng

a) Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4mx + 2my - 2mz + 9m^{2} - 27 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 2m)^{2} + (y + m)^{2} + (z - m)^{2} = 27 - 3m^{2}$ $(1)$ .

$(1)$ là phương trình mặt cầu $\Leftrightarrow 27 - 3m^{2} > 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3$ .

Do $m$ nguyên nên $m \in \left\{ - 2\ ;\ - 1\ ;\ 0\ ;\ 1\ ;\ 2 \right\}$ .

Vậy có $5$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Với $m = 0$ , ta có: $a = 0$ , $b = 0$ , $c = 0$ , $d = - 27$ .

$R = \sqrt{- ( - 27)} = 3\sqrt{3}$ .

c) Ta có: $I = ( - 2m ; - m ;m)$ và $R = \sqrt{- 3m^{2} + 27}$

$d\left( I;(Q) \right) = \frac{\left| ( -2).( - 2m) + 2.( - m) - m + 15 \right|}{\sqrt{( - 2)^{2} + 2^{2} + ( -1)^{2}}} = \frac{|m + 15|}{3}$

Để khoảng cách của mặt cầu và $(P): - 2x + 2y - z = 0$ là 1 thì

$\sqrt{- 3m^{2} + 27} + 1 = \frac{|m + 15|}{3}\ \ \ \ (*)$

Với $- 3 < m < 3 \Rightarrow |m + 15| = m + 15$

$(*) \Leftrightarrow \sqrt{- 3m^{2} + 27} + 1 = \frac{m + 15}{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{- 3m^{2} + 27} = \frac{m + 15}{3} - 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{- 3m^{2} + 27} = \frac{m + 12}{3}$

$\Leftrightarrow - 3m^{2} + 27 = \frac{m^{2} + 24m + 144}{9}$

$\Leftrightarrow \frac{28}{9}m^{2} + \frac{24}{9}m - 11 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}$

Vậy: $I\left( - 3\ ;\ - \frac{3}{2}\ ;\ \frac{3}{2} \right)$

d) Thể tích hình cầu là $36\pi$

$\Leftrightarrow \frac{4}{3}.\pi.{\sqrt{- 3m^{2} + 27}}^{3} = 36\pi \Leftrightarrow {\sqrt{- 3m^{2} + 27}}^{3} = 27$

$\Leftrightarrow \sqrt{- 3m^{2} + 27} = 3 \Leftrightarrow - 3m^{2} + 27 = 9 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{6}$

Vậy: $A\left( - 2\sqrt{6}\ ;\ - \sqrt{6}\ ;\ \sqrt{6} \right)$ và $B\left( 2\sqrt{6};\sqrt{6}; - \sqrt{6} \right)$

Trung điểm của $AB$ là $O$ .
Câu 2: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính $70km$ . Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1km$ . Một máy bay trực thăng đang ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi $200km/h$ , quỹ đạo bay theo đường thẳng.

a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900$ . Đúng||Sai

b) [TH] Khi máy bay ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng $d$ có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.$ . Đúng||Sai

d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là $35$ phút. Sai||Đúng

Đáp án là:

Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính $70km$ . Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1km$ . Một máy bay trực thăng đang ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi $200km/h$ , quỹ đạo bay theo đường thẳng.

a) [NB] Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900$ . Đúng||Sai

b) [TH] Khi máy bay ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ thì đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay. Sai||Đúng

c) [TH] Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng $d$ có phương trình: $\left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} \right.$ . Đúng||Sai

d) [VD] Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là $35$ phút. Sai||Đúng

Hình vẽ minh họa

a) Vùng kiểm không lưu của của đài kiểm soát trên là tập hợp những điểm cách tâm $O(0;\ \ 0;\ \ 0)$ không quá $70km$ .

Hay tập hợp các điểm ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 70^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4900$ .

Suy ra mệnh đề đúng

b) Ta có $OA = \sqrt{( - 65)^{2} + ( - 25)^{2} + 30^{2}} \approx 75,8km$

Khi máy bay ở vị trí $A( - 65; - 25;30)$ thì cách đài kiểm soát không lưu của sân bay một khoảng $d \approx 75,8km > 70km$

Vậy đài kiểm soát không lưu của sân bay đã theo dõi được máy bay.

Suy ra mệnh đề sai

c) Từ thông tin của hệ trục và máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, quỹ đạo bay theo đường thẳng. Nên đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (1;\ 1;\ 0)$ . Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A( - 65; - 25;30)$ nên có phương trình tham số: $\left\{ \begin{matrix} x = - 65 + t \\ y = - 25 + t \\ z = 30 \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra mệnh đề đúng

d) Thay $x,\ y,\ z$ theo $t$ vào phương trình mặt cầu $(S)$ ta được phương trình:

$( - 65 + t)^{2} + ( - 25 + t)^{2} + 30^{2} = 4900 \Leftrightarrow 2t^{2} - 180t + 850 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ hoặc $t = 85$

Thay $t = 5$ vào phương trình của đường thẳng $d$ ta được $M( - 60; - 20;30)$ .

Thay $t = 85$ vào phương trình của đường thẳng $d$ ta được $N(20;60;30)$ .

Suy ra đường thẳng $d$ cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $M( - 60; - 20;30)$ và $N(20;60;30)$ .

Hay độ dài đoạn $MN$ là khoảng cách giữa vị trí đầu tiên và vị trí cuối cùng mà máy bay di chuyển trong phạm vi theo dõi của đài kiểm soát không lưu.

$MN = \sqrt{(60 + 20)^{2} + (20 + 60)^{2}} = 80\sqrt{2}km$

Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là thời gian máy bay di chuyển được quảng đường $80\sqrt{2}km$ .

Thời gian đó bằng $\frac{80\sqrt{2}}{200}.60 \approx 33,94$ phút.

Suy ra mệnh đề sai
Câu 3: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các mệnh đề

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;\ 1;\ 2),\ B(3;\ 2;\ - 3)$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc trục $Ox$ và đi qua hai điểm $A,\ B$ . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là $I(4;\ 0;\ 0)$ .Đúng||Sai

b) Bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là $R = 14$ . Đúng||Sai

c) Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$ .Sai||Đúng

d) Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x - y + 2x - 2 = 0$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $A(1;\ 1;\ 2),\ B(3;\ 2;\ - 3)$ . Mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc trục $Ox$ và đi qua hai điểm $A,\ B$ . Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là $I(4;\ 0;\ 0)$ .Đúng||Sai

b) Bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là $R = 14$ . Đúng||Sai

c) Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$ .Sai||Đúng

d) Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x - y + 2x - 2 = 0$ . Đúng||Sai

Gọi $I(a;\ 0;\ 0) \in Ox$ $\Rightarrow\overrightarrow{IA} = (1 - a;\ 1;\ 2);\ \ \ \overrightarrow{IB} = (3 -a;\ 2;\ - 3)$ .

Vì $(S)$ đi qua hai điểm $A,\ B$ nên $IA= IB \Leftrightarrow \sqrt{(1 - a)^{2} + 5} = \sqrt{(3 - a)^{2} + 13}$ $\Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4$

$\Rightarrow$ $(S)$ có tâm $I(4;\ 0;\ 0)$ , bán kính $R = IA = \sqrt{14}$ .

Khi đó, phương trình mặt cầu $(S)$ là:

$(x - 4)^2 + y^{2} + z^{2} = 14$ $\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8x + 2 = 0$ .

Ta có: $d\left( I,(P) \right) = \frac{|2.4 - 0 + 2.0 - 2|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 2$ .

$\Rightarrow d\left( I,(P) \right) < R$ .

Vậy $(S)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn.
Câu 4: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(1;3;7)$ . Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $3\ km$ .

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 1)^{2} + (y + 3)^{2} + (z + 7)^{2} = 9$ . Sai||Đúng

b) Điểm $A(2;2;7)$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ . Sai||Đúng

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(2;2;7)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Đúng||Sai

Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;3;7)$ bán kính $3\ km$ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} + (z - 7)^{2} = 9$ .

Ta có: $IA = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (2 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = \sqrt{2} < 3$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Vì điểm $A$ nằm trong mặt cầu nên người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $(2;2;7)$ có thể sử dưng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

Ta có: $IB = \sqrt{(5 - 1)^{2} + (6 - 3)^{2} + (7 - 7)^{2}} = 5' > 3$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.

Vậy người dùng điện thoại ở vị trí có tọa độ $(5;6;7)$ không thể sử dựng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó
Câu 5: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao $105m$ . Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $450\ km$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ là hướng tây, trục $Oy$ là hướng nam và trục $Oz$ là trục thẳng đứng (như hình vẽ), đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

Một máy bay đang ở vị trí $A$ cách mặt đất $8\ km$ , cách $268\ km$ về phía đông, $185\ km$ về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (82; 76; 0)$ hướng về đài kiểm soát không lưu. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Đài kiểm soát không lưu có toạ độ là $(0;0;0)$ .Sai||Đúng

b) Vị trí $A$ có toạ độ là $( - 268;185;8)$ . Đúng||Sai

c) Đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí $A$ . Đúng||Sai

d) Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là $217,96\ km$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một tháp kiểm soát không lưu ở sân bay cao 109 m đặt một đài kiểm soát không lưu ở độ cao $105m$ . Máy bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $450\ km$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất sao cho trục $Ox$ là hướng tây, trục $Oy$ là hướng nam và trục $Oz$ là trục thẳng đứng (như hình vẽ), đơn vị trên mỗi trục là kilômét.

Một máy bay đang ở vị trí $A$ cách mặt đất $8\ km$ , cách $268\ km$ về phía đông, $185\ km$ về phía nam so với tháp kiểm soát không lưu và đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (82; 76; 0)$ hướng về đài kiểm soát không lưu. Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Đài kiểm soát không lưu có toạ độ là $(0;0;0)$ .Sai||Đúng

b) Vị trí $A$ có toạ độ là $( - 268;185;8)$ . Đúng||Sai

c) Đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí $A$ . Đúng||Sai

d) Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là $217,96\ km$ . Sai||Đúng

a) Sai.

Gốc $O$ trùng với vị trí chân tháp và đài kiểm soát không lưu được đặt ở độ cao $105\ m$ nên có toạ độ là $(0;0;0,105)$

b) Đúng.

Hệ trục toạ độ $Oxyz$ có trục $Ox$ là hướng tây, trục $Oy$ là hướng nam và trục $Oz$ là trục thẳng đứng và vị trí $A$ cách mặt đất $8\ km$ , cách $268\ km$ về phía đông, $185\ km$ về phía nam nên có toạ độ là $( - 268;185;8)$ .

c) Đúng.

Khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu là:

$\sqrt{(0 + 268)^{2} + (0 - 185)^{2} + (0,105 - 8)^{2}} \approx 325,75$ (km).

Vì $325,75 < 450$ nên đài kiểm soát không lưu có phát hiện được máy bay tại vị trí $A$ .

d) Sai.

Gọi $I(0;0;0,105)$ là vị trí đài kiểm soát không lưu.

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{matrix} x = - 268 + 82t \\ y = 185 + 76t \\ z = 8 \end{matrix} \right.$ ( $t$ là tham số)

Gọi $M$ là vị trí mà máy bay bay gần đài kiểm soát không lưu nhất khi đó:

$\left\{ \begin{matrix} M \in d \\ IM\bot d \end{matrix} \right.$ hay $M( - 268 + 82t;185 + 76t;8)$ và

$\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u} = 0$

$\Leftrightarrow ( - 268 + 82t).82 + (185 + 76t).76 + (8 - 0,105).0 = 0$

$\Leftrightarrow 12500t - 7916 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1979}{3125}$

$\Rightarrow M( - 216,07;233,13;8)$

Khoảng cách gần nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu là:

$\sqrt{( - 216,07)^{2} + (233,13) + (8 - 0,105)^{2}} \approx 317,96$ (km).
Câu 6: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thoogns GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$ cần tìm tọa độ. Như vậy điểm $M$ là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho bốn vệ tinh $A(3;\ - 1;\ 6)$ , $B(1;\ 4;\ 8)$ , $C(7;\ 9;\ 6)$ , $D(7;\ - 15;\ 18)$ . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Phương trình mặt cầu tâm $A$ bán kính bằng 6 có phương trình là:

$(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 36$ .Đúng||Sai

b) Nếu điểm $M(x;\ y;\ z)$ thuộc mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng 7 thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn phương trình: $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 8)^{2} = 7$ .Sai||Đúng

c) Khoảng cách từ điểm $N(2;\ - 3;\ 5)$ đến vệ tinh $D$ là lớn nhất. Đúng||Sai

d) Biết khoảng cách từ điểm $M(x;\ y;\ z)$ đến các vệ tinh lần lượt là $MA = 6$ , $MB = 7$ , $MC = 12$ , $MD = 24$ . Khi đó $x + y + z = 4$ .Sai||Đúng

Đáp án là:

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian. Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thoogns GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$ cần tìm tọa độ. Như vậy điểm $M$ là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho bốn vệ tinh $A(3;\ - 1;\ 6)$ , $B(1;\ 4;\ 8)$ , $C(7;\ 9;\ 6)$ , $D(7;\ - 15;\ 18)$ . Các khẳng định dưới đây đúng hay sai?

a) Phương trình mặt cầu tâm $A$ bán kính bằng 6 có phương trình là:

$(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 36$ .Đúng||Sai

b) Nếu điểm $M(x;\ y;\ z)$ thuộc mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng 7 thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn phương trình: $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 8)^{2} = 7$ .Sai||Đúng

c) Khoảng cách từ điểm $N(2;\ - 3;\ 5)$ đến vệ tinh $D$ là lớn nhất. Đúng||Sai

d) Biết khoảng cách từ điểm $M(x;\ y;\ z)$ đến các vệ tinh lần lượt là $MA = 6$ , $MB = 7$ , $MC = 12$ , $MD = 24$ . Khi đó $x + y + z = 4$ .Sai||Đúng

a) Đúng

Mặt cầu tâm $A(3;\ - 1;\ 6)$ bán kính bằng 6 có phương trình là: $(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 36$

b) Sai

Mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng 7 có phương trình là: $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 8)^{2} = 49$ .

Do đó, nếu điểm $M(x;\ y;\ z)$ thuộc mặt cầu tâm $B$ bán kính bằng 7 thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn phương trình: $(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 8)^{2} = 49$ .

c) Đúng

Với bốn vệ tinh $A(3;\ - 1;\ 6)$ , $B(1;\ 4;\ 8)$ , $C(7;\ 9;\ 6)$ , $D(7;\ - 15;\ 18)$ và một điểm $N(2;\ - 3;\ 5)$ , ta có:

$\begin{matrix}NA = \sqrt{( - 1)^{2} + ( - 2)^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{6}\hfill \\NB = \sqrt{1^{2} + ( - 7)^{2} + ( - 3)^{2}} = \sqrt{59} \hfill\\NC = \sqrt{( - 5)^{2} + ( - 12)^{2} + ( - 1)^{2}} = \sqrt{170}\hfill \\ND = \sqrt{( - 5)^{2} + 12^{2} + ( - 13)^2} = \sqrt{338}\end{matrix}$

Vậy khoảng cách từ điểm $N(2;\ - 3;\ 5)$ đến vệ tinh $D$ là lớn nhất.

d) Sai

Khoảng cách từ điểm $M(x;\ y;\ z)$ đến các vệ tinh lần lượt là $MA = 6$ , $MB = 7$ , $MC = 12$ , $MD = 24$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix}(x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 6)^{2} = 36 \\(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z - 8)^{2} = 49 \\(x - 7)^{2} + (y - 9)^{2} + (z - 6)^{2} = 144 \\(x - 7)^{2} + (y + 15)^{2} + (z - 18)^{2} = 576\end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}- 4x + 10y + 4z = 22 \\8x + 20y = 12 \\8x - 28y + 24z = 12\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = - 1 \\y = 1 \\z = 2\end{matrix} \right.\ \Rightarrow M( - 1; 1; 2)$

Do đó, $x + y + z = 2$ .
Câu 7: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các khẳng định dưới đây

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên trục là kilomet), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (hình vẽ dưới đây) được đặt ở vị trí $I( - 4;\ 2;\ 5)$ . Biết rằng trạm phát sóng được thiết kế với bán kính phủ sóng là 4 km.

a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là:

$(x + 4)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 5)^{2} = 16$ . Đúng||Sai

b) Điểm $A(3;\ 5;\ - 6)$ nằm phía trong mặt cầu đó.Sai||Đúng

c) Nếu người dùng đứng ở vị trí điểm $B( -2; 3; 0)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng này. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng đứng ở vị trí điểm $M( - 4;\ 6;\ 2)$ thì quãng đường ngắn nhất người đó phải di chuyển để đến được vị trí có thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng là 1 km. Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên trục là kilomet), một trạm thu phát sóng điện thoại di động (hình vẽ dưới đây) được đặt ở vị trí $I( - 4;\ 2;\ 5)$ . Biết rằng trạm phát sóng được thiết kế với bán kính phủ sóng là 4 km.

a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng là:

$(x + 4)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 5)^{2} = 16$ . Đúng||Sai

b) Điểm $A(3;\ 5;\ - 6)$ nằm phía trong mặt cầu đó.Sai||Đúng

c) Nếu người dùng đứng ở vị trí điểm $B( -2; 3; 0)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng này. Đúng||Sai

d) Nếu người dùng đứng ở vị trí điểm $M( - 4;\ 6;\ 2)$ thì quãng đường ngắn nhất người đó phải di chuyển để đến được vị trí có thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng là 1 km. Đúng||Sai

a) Đúng

Mặt cầu tâm $I( - 4;\ 2;\ 5)$ , bán kính $R = 4$ có phương trình là:

$(x + 4)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 5)^{2} = 16$

b) Sai

Ta có: $IA = \sqrt{7^{2} + 3^{2} + ( - 11)^{2}} = \sqrt{179} > R$ .

Vậy điểm $A$ nằm phía ngoài mặt cầu đó.

c) Đúng

Ta có: $IB = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + ( - 5)^{2}} = \sqrt{30} > R$ , từ đó suy ra nếu người dùng đứng ở vị trí điểm $B( - 2;\ 3;\ 0)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm phát sóng này.

d) Đúng

Với điểm $M( - 4;\ 6;\ 2)$ ta có: $IM = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + ( - 3)^{2}} = 5 > R$

Quãng đường ngắn nhất mà người đứng ở điểm $M( - 4;\ 6;\ 2)$ phải di chuyển để đến được vùng phủ sóng là đoạn thẳng $MH$ , với $H$ là giao điểm của đoạn thẳng $MI$ với mặt cầu.

Khi đó, $MH = MI - R = 5 - 4 = 1$ km.
Câu 8: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngon hải đăng được đặt ở vị trí $I(20;\ 35;\ 60)$ , biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: $(x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4^{2}$ .Sai||Đúng

b) Điểm $B( - 290;\ \ - 165;\ \ 3660)$ nằm phía trong mặt cầu đó.Đúng||Sai

c) Nếu người đi biển ở vị trí $C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690)$ thì không thể nhìn được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Sai||Đúng

d) Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí điểm $I(20;\ \ 35;\ \ 60)$ đến vị trí $D(4020;\ \ 35;\ \ 3060)$ . Vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng $ID$ sao cho người đi biển vẫn còn nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là $M( - 3180;\ 35;\ 2460)$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngon hải đăng được đặt ở vị trí $I(20;\ 35;\ 60)$ , biết rằng ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 4 km.

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là: $(x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4^{2}$ .Sai||Đúng

b) Điểm $B( - 290;\ \ - 165;\ \ 3660)$ nằm phía trong mặt cầu đó.Đúng||Sai

c) Nếu người đi biển ở vị trí $C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690)$ thì không thể nhìn được ánh sáng từ ngọn hải đăng. Sai||Đúng

d) Giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí điểm $I(20;\ \ 35;\ \ 60)$ đến vị trí $D(4020;\ \ 35;\ \ 3060)$ . Vị trí cuối cùng trên đoạn thẳng $ID$ sao cho người đi biển vẫn còn nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng là $M( - 3180;\ 35;\ 2460)$ . Sai||Đúng

a) Sai

Mặt cầu tâm $I(20;\ 35;\ 60)$ , bán kính $R = 4\ km\ \ = 4000\ m$ có phương trình là:

$(x - 20)^{2} + (y - 35)^{2} + (z - 60)^{2} = 4000^{2}$

b) Đúng

Ta có: $IB = \sqrt{( - 310)^{2} + ( - 200)^{2} + 3600^{2}} \approx 3618,9 < R$ .

Do đó, điểm $B$ nằm phía trong mặt cầu đó.

c) Sai

Với $C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690)$ , ta có: $IC = \sqrt{521^{2} + 102^{2} + ( - 750)^{2}} \approx 918,9 < R$ .

Do đó, nếu người đi biển đứng ở vị trí $C(541\ ;\ 137\ ;\ - 690)$ thì vẫn nhìn thấy ánh sáng từ ngọn hải đăng.

d) Sai

Gọi $M(x\ ;\ \ y\ ;\ \ z)$ là điểm cuối cùng trên đoạn thẳng $ID$ mà người đi biển vẫn còn nhìn thấy ánh sáng của ngon hải đăng.

Khi đó, $IM = R = 4000$ m.

Ta có: $ID = \sqrt{4000^{2} + 0^{2} + 3000^{2}} = 5000$ m.

$\overrightarrow{IM} = (x - 20; y -35; z - 60); \overrightarrow{ID} = (4000; 0;3000)$ .

Vì $M$ thuộc đoạn thẳng $ID$ và $\frac{IM}{ID} = \frac{4000}{5000} = \frac{4}{5}$ nên $\overrightarrow{IM} = \frac{4}{5}\overrightarrow{ID}$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x - 20 = \dfrac{4}{5}.4000 \\y - 35 = \dfrac{4}{5}.0 \\z - 60 = \dfrac{4}{5}.3000\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 3220 \\y = 35 \\z = 2460\end{matrix} \right.$ $\Rightarrow M(3220 ;35 ;2460)$ .
Câu 9: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I( - 3;5;2)$ được thiết kế với bán kính phủ sóng $4\ km$ , mỗi đơn vị trên trục ứng với $1$ km. Xét sự đúng sai của các nhận định dưới đây:

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 16$ . Sai||Đúng

b) Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là $8\ km$ .Đúng||Sai

c) Người dùng điện thoại ở vị trí $A$ có toạ độ $( - 3;4;1)$ không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Sai||Đúng

d) Trong điều kiện giao thông thuận lợi, khoảng cách ngắn nhất để người $B$ ở toạ độ $(8;6;2)$ di chuyển tới vùng phủ sóng là $11,05$ km. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I( - 3;5;2)$ được thiết kế với bán kính phủ sóng $4\ km$ , mỗi đơn vị trên trục ứng với $1$ km. Xét sự đúng sai của các nhận định dưới đây:

a) Phương trình mặt cầu $(S)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} + (z + 2)^{2} = 16$ . Sai||Đúng

b) Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là $8\ km$ .Đúng||Sai

c) Người dùng điện thoại ở vị trí $A$ có toạ độ $( - 3;4;1)$ không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó. Sai||Đúng

d) Trong điều kiện giao thông thuận lợi, khoảng cách ngắn nhất để người $B$ ở toạ độ $(8;6;2)$ di chuyển tới vùng phủ sóng là $11,05$ km. Sai||Đúng

a) Sai.

Ta có, trạm thu phát sóng là tâm của vùng phủ sóng $I( - 3;5;2)$ , bán kính phủ sóng là $R = 4$ nên phương trình mặt cầu $(S)$ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là $(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} + (z - 2)^{2} = 16$

b) Đúng.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là $8\ km$ .

c) Sai.

Ta có: $IA = \sqrt{( - 3 + 3)^{2} + (4 - 5)^{2} + (1 - 2)^{2}} = \sqrt{2} < 4$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu hay người dùng điện thoại ở vị trí A có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

d) Sai.

Khoảng cách từ người $B$ đến trạm thu phát sóng là:

$IB = \sqrt{(8 + 3)^{2} + (6 - 5)^{2} + (2 - 2)^{2}} \approx 11,05$ .

Khoảng cách ngắn nhất để người đó di chuyển đến vùng phủ sóng là:

$11,05 - 4 = 7,05$ (km).
Câu 10: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(2\ ;\ 4\ ;\ 1)$ , $B( - 2\ ;\ 2\ ;\ - 3)$ . Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ . Các nhận định dưới đây đúng hay sai?

a) $I(0\ ;\ 3\ ;\ - 1)$ , $R = 6$ .Đúng||Sai

b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A là $(P):2x + y + 2z - 10 = 0$ . Đúng||Sai

c) Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu với $(Q):2x - y + 2z - 1 = 0$ là $5$ .Sai||Đúng

d) Gọi $I'$ là tâm mặt cầu $(S')$ sao cho diện tích mặt cầu $(S)$ gấp $4$ lần diện tích mặt cầu $(S')$ . Khi đó, $II' = \frac{11}{2}$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(2\ ;\ 4\ ;\ 1)$ , $B( - 2\ ;\ 2\ ;\ - 3)$ . Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)$ có đường kính $AB$ . Các nhận định dưới đây đúng hay sai?

a) $I(0\ ;\ 3\ ;\ - 1)$ , $R = 6$ .Đúng||Sai

b) Phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A là $(P):2x + y + 2z - 10 = 0$ . Đúng||Sai

c) Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt cầu với $(Q):2x - y + 2z - 1 = 0$ là $5$ .Sai||Đúng

d) Gọi $I'$ là tâm mặt cầu $(S')$ sao cho diện tích mặt cầu $(S)$ gấp $4$ lần diện tích mặt cầu $(S')$ . Khi đó, $II' = \frac{11}{2}$ . Đúng||Sai

a) $I$ là trung điểm của $AB \Rightarrow I(0\ ;\ 3\ ;\ - 1)$ .

Có: $\overrightarrow{IA} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2) \Rightarrow IA = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = 3$ .

b) $(P)$ có $\overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{IA} = (2\ ;\ 1\ ;\ 2)$ và đi qua điểm $A(2; 4 ; 1)$ nên ta có phương trình:

$(P):2x + y + 2z - 10 = 0$

c) Gọi $r$ là bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu với $(Q)$ .

$d\left( I;(Q) \right) = \frac{| - 3 - 2 - 1|}{\sqrt{2^{2} + ( - 1)^{2} + 2^{2}}} = 2$ .

$r = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}$ .

d) Diện tích mặt cầu $(S) = 4.\pi.3^{2} = 36\pi$

$\Rightarrow$ Diện tích mặt cầu $(S') = 9\pi \Rightarrow r'=\frac{3}{2}$

Có $(S')$ tiếp xúc $(S)$ nên $II' = R + r' = 3 + \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$ .
Câu 11: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các mệnh đề

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ . Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây?

a) Bán kính nhỏ nhất của $(S)$ là $1$ . Sai||Đúng

b) Với $m = \pm \sqrt{2}$ thì mặt phẳng $(Oxy)$ tiếp xúc với $(S)$ . Sai||Đúng

c) Với $m = 2\sqrt{6}$ thì $(S)$ cắt $(P):2x - y + 2z + 2 = 0$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $3$ .Đúng||Sai

d) Có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $\Delta:\frac{x - 2}{- 3} = \frac{y-1}{1} =\frac{z - 3}{- 1}$ cắt $(S)$ tại 2 điểm phân biệt. Sai||Đúng

Đáp án là:

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(x - 3)^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = m^{2} + 1$ . Xét tính đúng sai của các nhận định dưới đây?

a) Bán kính nhỏ nhất của $(S)$ là $1$ . Sai||Đúng

b) Với $m = \pm \sqrt{2}$ thì mặt phẳng $(Oxy)$ tiếp xúc với $(S)$ . Sai||Đúng

c) Với $m = 2\sqrt{6}$ thì $(S)$ cắt $(P):2x - y + 2z + 2 = 0$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng $3$ .Đúng||Sai

d) Có $5$ giá trị nguyên của tham số $m$ để đường thẳng $\Delta:\frac{x - 2}{- 3} = \frac{y-1}{1} =\frac{z - 3}{- 1}$ cắt $(S)$ tại 2 điểm phân biệt. Sai||Đúng

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;0;2)$ , bán kính $R = \sqrt{m^{2} + 1}$ .

a) Với mọi giá trị $m$ , ta có: $m^{2} + 1 \geq 1 \Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + 1} \geq 1 \Leftrightarrow R \geq 1.$

Vậy $R_{\min} = 1.$

b) $(S)$ tiếp xúc với $(Oxy) \Leftrightarrow d(I,(Oxy)) = R$

$\Leftrightarrow 2 = \sqrt{m^{2} + 1} \Leftrightarrow m^{2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3}$ .

c) Với $m = 2\sqrt{6}$ , mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;0;2)$ , bán kính $R = 5$ .

Ta có: $d = d\left( I,(P) \right) = \frac{|2.3 - 0 + 2.2 + 2|}{3} = 4 \Rightarrow d < R.$

Khi đó, $(S)$ cắt $(P)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là:

$r = \sqrt{R^{2} - d^{2}} =\sqrt{25-16} = 3.$

d) Phương trình tham số của $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 2 - 3t \\ y = 1 + t \\ z = 3 - t \end{matrix} \right.$ .

Từ phương trình của $\Delta$ và $(S)$ ta có phương trình

$(2 - 3t - 3)^{2} + (1 + t)^{2} + (3 - t- 2)^{2} = m^{2} + 1$

$\Leftrightarrow 11t^{2} + 6t + 2 - m^{2} = 0 (1)$

Để $\Delta$ cắt $(S)$ tại $2$ điểm phân biệt thì phương trình $(1)$ có $2$ nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta'= 9 -11\left( 2 - m^{2} \right) > 0$

$\Leftrightarrow 11m^{2} - 13 > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > \sqrt{\frac{13}{11}} \\ m < - \sqrt{\frac{13}{11}} \end{matrix} \right.$ .

Vậy có vô số giá trị nguyên $m$ thỏa mãn.

Chia sẻ bởi:
Bơ

1

6

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Trắc nghiệm đúng sai Phương trình mặt cầu trong không gian Oxyz có đáp án

Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai Toán 12 Phương trình mặt cầu

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 12

Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Tự ôn luyện thi môn Toán

Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cách xác định cực trị hàm bậc ba khi biết bảng biến thiên

Tìm m để hàm số có tiệm cận đứng

Tổng hợp công thức phương trình đường thẳng trong không gian

Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc 3 dựa vào đồ thị hàm số