VnDoc.com

Bài toán về quỹ tích - Vị trí tương đối

Ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Phương pháp giải bài toán quỹ tích hình học không gian

Bài viết Bài toán về quỹ tích – vị trí tương đối được xây dựng nhằm giúp học sinh hệ thống hóa kiến thức cốt lõi, nhận diện các dạng toán tiêu biểu, đồng thời cung cấp phương pháp giải hiệu quả kèm theo ví dụ minh họa. Thông qua việc học tập và luyện tập chuyên đề này, học sinh lớp 12 có thể nâng cao tư duy hình học, cải thiện kỹ năng giải toán và tự tin hơn khi tiếp cận các câu hỏi vận dụng – vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia.

A. Đặc điểm dạng toán và phương pháp giải toán

Đặc điểm dạng toán:

Những bài toán cần biện luận theo tham số hoặc biến đổi đại số hay xét vị trí tương đối để tìm GTLN, GTNN hoặc tính toán khác. Ở đây chúng ta chỉ xét đơn lẻ các khoảng cách (Nếu có), mà không phải tổng - hiệu các khoảng cách. Phần sau ta sẽ nghiên cứu bài toán “Định luật phản xạ ánh sáng đối với gương phẳng”.

Phương pháp giải:

Tâm tỉ cự là điểm mà chúng ta cũng cần lưu ý. Ngoài ra ta còn vẽ các yếu tố phụ để giải toán: Các yếu tố thường cần vẽ là vuông góc, song song, đối xứng, bằng nhau. Tương ứng với các yếu tố đó là các tính chất hình học của một số hình; lập các phương trình đường; tìm giao điểm; . . .

B. Bài tập ví dụ minh họa bài toán quỹ tích, vị trí tương đối

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng và các điểm ;. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua và cách một khoảng lớn nhất.

A. $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = - 3t \end{matrix} \right.\ .$ B. $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - t \\ z = t \end{matrix} \right.\ .$ C. $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 7t \\ y = 2t \\ z = t \end{matrix} \right.\ .$ D. $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 7t \\ y = - 2t \\ z = t \end{matrix} \right.\ .$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên d, ta có $BK \leq BA$ nên khoảng cách lớn nhất khi d vuông góc với BA, d nằm trong $(\alpha)$ , suy ra $\overrightarrow{u_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{BA},\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack$ .

MENU 9 1 2 nhập và ta có x = 7, y = -2 nên $\overrightarrow{u_{d}} = (7; - 2;1)$ .

Ví dụ 2. Cho mặt cầu $(S):\ \ x^{2} + y^{2} + 8x - 6y - 4z - 11 = 0$ và hai điểm . Gọi là mặt phẳng chứa A, B và khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng .

A. . B. .

C. . D. .

Hướng dẫn giải

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của tâm I lên mp(P) và đường thẳng AB, ta có $IH \leq IK$ nên IH lớn nhất bằng IK hay $\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{n_{P}}$ .

Tọa độ điểm I(- 4; 3; 2), $\overrightarrow{BA} =$ (2; 0; 3).

Ghi $\frac{2x + 0y + 3z}{4 + 9}$ CALC (nhập tọa độ $\overrightarrow{AI}$ ) $- 5 = 1 = - 1 = \ =$ Sto M

ghi bấm $= \ = \ =$ ta có $\overrightarrow{IK} = \overrightarrow{n_{P}} = (3; - 1; - 2)$ .

Phương trình (P) là: 3x - y - 2z + 5 = 0. Chọn A.

Ví dụ 3: Trong không gian cho hai điểm và Xét khối nón có đỉnh đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính Khi có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của có phương trình dạng Giá trị của bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Gọi $h = IH = d\left( I,(P) \right)$ , r là bán kính đáy nón, là bán kính mặt cầu.

Ta có $AH = 3 + h,\ \ r^{2} = 9 - h^{2}$ và thể tích khối nón là: $V = \frac{1}{3}\pi(3 + h)(9 - h^{2})$ .

Ta có : $(3 + h)(3 + h)(6 - 2h) \leq \left( \frac{3 + h + 3 + h + 6 - 2h}{3} \right)^{3} = 64$

$\Rightarrow V \leq \frac{1}{6}\pi.64 = \frac{32\pi}{3}$ .

Dấu bằng có khi $3 + h = 6 - 2h \Rightarrow h = 1 \Rightarrow AH = 4$ .

Mặt phẳng (P) chứa đường tròn đáy của nón có $\overrightarrow{n} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (2;2;1)$ .

Đặt $\overrightarrow{AH} = t(2;2;1),t > 0$ suy ra $t = \frac{4}{3} \Rightarrow \overrightarrow{AH} = \left( \frac{8}{3};\frac{8}{3};\frac{4}{3} \right) \Rightarrow H\left( \frac{16}{3};\frac{11}{3};\frac{10}{3} \right)$ .

Phương trình (P) là: Vậy Chọn D.

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} + (z - 3)^{2} = 27$ và đường thẳng $d:\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}$ . Mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Phương trình của là . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. . B. . C. . D. .

Hướng dẫn giải

Gọi I là tâm mặt cầu, H là tâm đường tròn giao tuyến và là hình chiếu của I trên (P).

Kẻ IK vuông góc với d.

Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi (P) cách xa I nhất, mà $IH \leq IK$ .Vậy ta phải có $H \equiv K$ và (P) có một vtpt $\overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{IK}$ .

Ghi $\frac{2(x - 1) + y + 2(z - 2)}{9}$ CALC (nhập tọa độ I) $2 = 5 = 3 = \ =$ STO M

Ghi $1 + 2M - 2\ \ :\ \ M - 5\ \ :\ \ 2 + 2M - 3$ bấm $= \ \ = \ \ =$ ta có tọa độ véc tơ $\overrightarrow{IK} = (1; - 4;1)$ $\Rightarrow (P): - x + 4y - z + 3 = 0 \Rightarrow a + b + c = - 1 + 4 + 3 = 6$ . Chọn C.

Ví dụ 5. Trong không gian , cho hai điểm , và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 25$ . Mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính ?

A. B. C. D. .

Hướng dẫn giải

Gọi $I(1\ ;\ 2\ ;\ 3)$ là tâm mặt cầu. Kẻ lần lượt vuông góc với và thì ta có $IH \leq IK$ , do đó để đường tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất thì cách xa tâm I nhất, hay $\max d\left( I,(P) \right) = IK$ , khi đó $\overrightarrow{IK}$ là một VTPT của .

Ghi $\frac{x - y + 2z}{6}$ CALC nhập $1 = 1 = 3 = \ =$ STO M, bấm AC ghi bấm $= \ \ = \ \ =$ ta được $\overrightarrow{IK} = (0; - 2; - 1)$ , suy ra . Chọn A.

C. Bài tập tự rèn luyện có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Trong không gian , cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4y - 2z = 0$ và điểm . Mặt phẳng đi qua và cắt theo đường tròn có chu vi nhỏ nhất. Gọi $N(x_{0};\ y_{0};\ z_{0})$ là điểm thuộc đường tròn sao cho $ON = \sqrt{6}$ . Tính $y_{0}$ .

A. . B. . C. . D. 3.

Bài tập 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng ; . Gọi là mặt cầu cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn tâm , bán kính và cắt mặt phẳng theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất. Phương trình mặt cầu là:

A. $(S):x^{2} + (y - 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 3$ . B. $(S):x^{2} + (y - 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 67$ .

C. $(S):x^{2} + (y + 1)^{2} + (z - 2)^{2} = 64$ . D. $(S):x^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 2)^{2} = 64$ .

Bài tập 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng và đi qua hai điểm $A(1\ ;\ 2\ ;\ 1)$ , $B(2\ ;\ 5\ ;\ 3)$ . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu bằng

A. $\frac{\sqrt{546}}{3}$ . B. $\frac{\sqrt{763}}{3}$ . C. $\frac{\sqrt{345}}{3}$ . D. $\frac{\sqrt{470}}{3}$ .

Bài tập 4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , và mặt cầu $\left( S_{m} \right):(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + (z - m)^{2} = \frac{m^{2}}{4}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của để trên $\left( S_{m} \right)$ tồn tại điểm sao cho $MA^{2} - MB^{2} = 9$ .

A. $m = 8 - 4\sqrt{3}$ . B. $m = \frac{4 - \sqrt{3}}{2}$ . C. . D. $m = 3 - \sqrt{3}$ .

Bài tập 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm $A(0;\ 3;\ - 2)$ . Xét đường thẳng thay đổi song song với Oz và cách Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ đến nhỏ nhất, đi qua điểm nào dưới đây?

A. $P( - 2;\ 0;\ - 2)$ . B. $M(0;\ 4;\ - 2)$ .

C. $Q(0;\ 2;\ - 5)$ . D. $N(0;\ - 2;\ - 5)$ .

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

----------------------------------------------

Chuyên đề bài toán về quỹ tích – vị trí tương đối không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về hình học mà còn rèn luyện khả năng tư duy và phân tích bài toán trong chương trình Toán 12. Khi nắm vững khái niệm quỹ tích, xác định đúng vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học, học sinh sẽ dễ dàng lựa chọn phương pháp giải phù hợp và hạn chế sai sót trong quá trình làm bài.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: