Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài tập Toán 12: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
A. Quy tắc xét dấu biểu thức
Để xét dấu cho biểu thức 
\(g(x) =
\frac{p(x)}{q(x)}\) ta làm như sau:
Bước 1. Điều kiện \(q(x) \neq
0\)
Tìm tất cả các nghiệm của \(q(x);p(x)\) và sắp xếp các nghiệm đó theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số Ox
Bước 2. Cho \(x \rightarrow +
\infty\) để xác định dấu \(g(x)\)khi \(x
\rightarrow + \infty\).
Bước 3. Xác định dấu của các khoảng còn lại dựa vào quy tắc sau:
Chú ý: Qua nghiệm bội lẻ thì \(g(x)\) đổi dấu còn qua nghiệm bội chẵn thì \(g(x)\) không đổi dấu (chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu).
Ví dụ: Xét dấu của biểu thức \(f(x) =
\frac{(x - 4)(x - 5)^{4}}{(x + 2)(x + 1)^{2}}\).
Hướng dẫn giải
Bước 1: ta thấy nghiệm của biểu thức đã cho là \(- 2; - 1;4;5\) sắp xếp thứ tự tăng dần trên trục số.
Bước 2. Khi \(x \rightarrow +
\infty\) ta thấy \(f(x)\) nhận giá trị dương.
Bước 3. Xác định dấu của các khoảng còn lại.
Do \((x - 5)^{4}\) mũ chẵn (nghiệm bội chẵn) nên qua 5 biểu thức không đổi dấu.
Do \((x - 4)\) mũ lẻ (nghiệm bội lẻ) nên qua 4 biểu thức đổi dấu, …
Ta được bảng xét dấu của \(f(x)\) như sau:
Kết luận:
\(\left\{ \begin{matrix}
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ( - \infty; - 2) \cup (4;5) \cup (5; +
\infty) \\
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 2; - 1) \cup ( - 1;4) \\
\end{matrix} \right.\)
B. Tính đơn điệu của hàm số
Kí hiệu \(K\) là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số \(y =
f(x)\) xác định trên \(K\).
- Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến (tăng) nếu với mọi cặp \(x_{1};x_{2}\) thuộc \(K\) mà \(x_{1} < x_{2}\) thì \(f\left( x_{1} \right) < f\left( x_{2}
\right)\) tức là: \(x_{1} < x_{2}
\Rightarrow f\left( x_{1} \right) < f\left( x_{2}
\right)\)
- Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến (giảm) nếu với mọi cặp \(x_{1};x_{2}\) thuộc \(K\) mà \(x_{1} < x_{2}\) thì \(f\left( x_{1} \right) > f\left( x_{2}
\right)\) tức là: \(x_{1} < x_{2}
\Rightarrow f\left( x_{1} \right) > f\left( x_{2}
\right)\).
Ví dụ: Xét hàm số \(y = f(x) = 2x +
1\).
Xét \(x_{1} < x_{2} \Rightarrow 2x_{1}
< 2x_{2}\)
\(\Rightarrow 2x_{1} + 1 < 2x_{2} +
1\)
\(\Rightarrow f\left( x_{1} \right) <
f\left( x_{2} \right)\)
Suy ra hàm số \(y = f(x) = 2x + 1\) là một hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Ví dụ: Hàm số \(y = f(x) = - 7x +
2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) vì
Giả sử \(x_{1} < x_{2}\)
\(\Rightarrow f\left( x_{1} \right) -
f\left( x_{2} \right) = - 7x_{1} + 7x_{2} = 7\left( x_{2} - x_{1}
\right) > 0\)
\(\Rightarrow f\left( x_{1} \right) >
f\left( x_{2} \right)\)
Suy ra hàm số đã cho là một hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:
\(\forall x_{1};x_{2} \in K;x_{1} \neq
x_{2}\) thì hàm số
- \(f(x)\) đồng biến trên \(K \Leftrightarrow \frac{f\left( x_{2} \right) -
f\left( x_{1} \right)}{x_{2} - x_{1}} > 0\)
- \(f(x)\) nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow \frac{f\left( x_{2} \right) -
f\left( x_{1} \right)}{x_{2} - x_{1}} < 0\).
Nếu hàm số đồng biến trên \(K\) thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên \(K\) thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
Định lí. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(K\).
a) Nếu \(f'(x) > 0,\forall x \in
K\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(K\).
b) Nếu \(f'(x) < 0,\forall x \in
K\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên \(K\).
Tóm lại trên K:
- \(f'(x) > 0,(\forall x \in
K)\) suy ra \(f(x)\) đồng biến
- \(f'(x) < 0,(\forall x \in
K)\) suy ra \(f(x)\) nghịch biến
Chú ý: Nếu \(f'(x) = 0,(\forall x \in
K)\) suy ra \(y = f(x)\) là hàm số không đổi trên \(K\).
Định lí mở rộng.
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(K\). Nếu \(f'(x) \geq 0;\left( f'(x) \leq 0
\right)\forall x \in K\) và \(f'(x)
= 0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên \(K\).
Ví dụ: Xét hàm số \(y = x^{3} - 3x^{2} + 3x
+ 10\) thì \(y' = 3x^{2} - 6x + 3 =
3(x - 1)^{2} \geq 0\), dấu bằng xảy ra chỉ tại điểm \(x = 1\) do đó hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
C. Cách tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số cho trước
Bước 1. Tìm tập xác định \(D\) của hàm số.
Bước 2. Tính đạo hàm \(y' =
f'(x).\) Tìm các điểm \(x_{i},\ (i
= 1,2,3,...,n)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm \(x_{i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dưa vào bảng biến thiên.
Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
| a) \(y = x^{3} - 3x^{2} + 2\) |
b) \(y = x^{4} - 2x^{2}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = x^{3} - 3x^{2} + 2\)
Tập xác định \(D\mathbb{= R}\)
Ta có \(y' = 3x^{2} - 6x = 0
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
x = 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Bảng xét dấu (xét dấu y’):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(( -
\infty;0)\) và \((2; +
\infty)\), nghịch biến trên \((0;2)\)
b) \(y = x^{4} - 2x^{2}\)
Tập xác định \(D\mathbb{= R}\)
Ta có \(y' = 4x^{3} - 4x = 0
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \pm 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Bảng xét dấu (xét dấu y’):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(( -
1;0)\) và \((1; + \infty)\), nghịch biến trên \(( - \infty; - 1)\) và \((0;1)\).
Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
| a) \(y = x + \frac{4}{x}\) |
b) \(y = \frac{x^{2} - x - 9}{x -
1}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = x + \frac{4}{x}\)
Tập xác định \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ 0 \right\}\)
Ta có \(y' = 1 - \frac{4}{x^{2}} = 0
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
x = - 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Bảng xét dấu (xét dấu y’):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(( -
\infty; - 2)\) và \((2; +
\infty)\), nghịch biến trên \(( -
2;0)\) và \((0;2)\)
b) \(y = \frac{x^{2} - x - 9}{x -
1}\)
Tập xác định \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ 1 \right\}\)
Ta có \(y' = \frac{(2x - 1)(x - 1) -
\left( x^{2} - x + 9 \right)}{(x - 1)^{2}} = \frac{x^{2} - 2x - 8}{(x -
1)^{2}}\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 \\
x = 4 \\
\end{matrix} \right.\)
Bảng xét dấu (xét dấu y’):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(( -
\infty; - 2)\) và \((4; +
\infty)\), nghịch biến trên \(( -
2;1)\) và \((1;4)\).
Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
| a) \(y = \sqrt{16 - x^{2}}\) |
b) \(y = \sqrt{6x - x^{2}}\) |
Hướng dẫn giải
a) \(y = \sqrt{16 - x^{2}}\)
Tập xác định \(D = \lbrack - 4;4\rbrack\)
Ta có \(y' = \frac{- 2x}{2\sqrt{16 -
x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Bảng xét dấu (xét dấu y’):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \(( -
4;0)\), nghịch biến trên \((0;4)\)
b) \(y = \sqrt{6x - x^{2}}\)
Tập xác định \(D = \lbrack
0;6\rbrack\)
Ta có \(y' = \frac{6 - 2x}{2\sqrt{6x -
x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 \\
x = 4 \\
\end{matrix} \right.\)
Bảng xét dấu (xét dấu y’):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((0;3)\), nghịch biến trên \((3;6)\).
Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
a) \(y = f(x)\) biết \(f'(x) = x(x - 1)^{2}(x + 3)^{3};\forall
x\mathbb{\in R}\)
b) \(y = f(x)\) biết \(g'(x) = \left( x^{2} - 1 \right)(x - 2)(x +
3)^{2018};\forall x\mathbb{\in R}\)
Hướng dẫn giải
a) Bảng xét dấu y’
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( -
\infty; - 3)\) và \((0; +
\infty)\), nghịch biến trên khoảng \((
- 3;0)\).
b) Bảng xét dấu y’
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - 2; -
1)\) và \((1; + \infty)\), nghịch biến trên khoảng \(( - \infty; -
2)\) và \(( - 1;1)\).
---------------------------------
Sau khi đã cùng nhau tìm hiểu về Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x), bây giờ chúng ta hãy cùng nhau củng cố lại kiến thức bằng một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé!
Bài tập Toán 12: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
