VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Chuyên đề Toán 12 Tìm min max

Bài trước

Tải về

Bài sau

GTLN, GTNN của hàm số

A. Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất của hàm số
B. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
C. Một số phương pháp khác tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chuyên đề Toán 12: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Giá trị lớn nhất Giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên tập $D$ .

Số $M$ được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số $y = f (x)$ trên tập $D$ nếu $f(x) \leq M$ $f (x) \leq M$ với mọi $x \in D$ $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ $x_{0} \in D$ sao cho $f\left( x_{0} \right) = M$ $f (x_{0}) = M$

Kí hiệu $M = \max_{D}f(x)$ $M = max_{D} f (x)$

Số $m$ được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số $y = f (x)$ trên tập $D$ nếu $f(x) \geq m$ $f (x) \geq m$ với mọi $x \in D$ $x \in D$ và tồn tại $x_{0} \in D$ $x_{0} \in D$ sao cho $f\left( x_{0} \right) = m$ $f (x_{0}) = m$

Kí hiệu $m = \min_{D}f(x)$ $m = min_{D} f (x)$

Sơ đồ hệ thống hóa

B. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Định lí 1.

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

Nhận xét: Nếu hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f^{'} (x)$ giữ nguyên dấu trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn. Do đó $f (x)$ đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn đó.

Phương pháp giải

Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f (x)$ trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ ta làm như sau.

Bước 1. Tìm $f^{'} (x)$ và tìm các điểm $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ $x_{1}; x_{2}; . . .; x_{n}$ trên $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ mà tại đó $f^{'} (x) = 0$ hoặc $f^{'} (x)$ không xác định.

Bước 2. Tính $f\left( x_{1} \right);f\left( x_{2} \right);...;f\left( x_{n} \right);f(a);f(b)$ $f (x_{1}); f (x_{2}); . . .; f (x_{n}); f (a); f (b)$

Bước 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó:

$M = \max_{\lbrack a;b\rbrack}f(x);m = \min_{\lbrack a;b\rbrack}f(x)$ $M = max_{[a; b]} f (x); m = min_{[a; b]} f (x)$

Chú ý:

Hàm số $y = f (x)$ đồng biến trên $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ thì $\left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = f(b) \\ \min_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = f(a) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} max_{[a; b]} f (x) = f (b) \\ min_{[a; b]} f (x) = f (a) \end{matrix}$
Hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ thì $\left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = f(a) \\ \min_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = f(b) \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} max_{[a; b]} f (x) = f (a) \\ min_{[a; b]} f (x) = f (b) \end{matrix}$

C. Một số phương pháp khác tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số $y = f (x)$

1. Phương pháp tìm miền giá trị

Xem $y = f (x)$ là phương trình đối với ẩn số $x$ và $y$ là tham số.

Tìm điều kiện của y để phương trình $y = f (x)$ có nghiệm.

Từ điều kiện trên, biến đổi đưa đến dạng $m \leq y \leq M$ $m \leq y \leq M$ . Xét dấu “=” xảy ra và kết luận.

2. Phương pháp đạo hàm

Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f (x)$

Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

3. Phương pháp dùng bất đẳng thức

Bất đẳng thức AM – GM

Cho hai số thực không âm

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$

$\Leftrightarrow 4ab \leq (a + b)^{2} \Leftrightarrow (a + b)^{2} \geq 0$ $\Leftrightarrow 4 a b \leq (a + b)^{2} \Leftrightarrow (a + b)^{2} \geq 0$

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$

Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho các số thực a, b, c, d

$(ax + by)^{2} \leq \left( a^{2} + b^{2} \right)\left( x^{2} + y^{2} \right)$ $(a x + b y)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2})$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$ $\frac{a}{x} = \frac{b}{y}$

Một số bổ đề cơ bản

$xy \leq \frac{(x + y)^{2}}{4} \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{4}$ $x y \leq \frac{(x + y)^{2}}{4} \leq \frac{x^{2} + y^{2}}{4}$ và $x^{2} + xy + y^{2} \geq \frac{3}{4}(x + y)^{2}$ $x^{2} + x y + y^{2} \geq \frac{3}{4} (x + y)^{2}$
$x^{3} + y^{3} \geq \frac{(x + y)\left( x^{2} + y^{2} \right)}{2} \geq \frac{(x + y)^{3}}{4} \geq xy(x + y)$ $x^{3} + y^{3} \geq \frac{(x + y) (x^{2} + y^{2})}{2} \geq \frac{(x + y)^{3}}{4} \geq x y (x + y)$

Ví dụ: a. Xác định giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^{3} - 3x + 2$ $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ trên đoạn $\lbrack - 1;3\rbrack$ $[- 1; 3]$ ?

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{2} + \frac{8}{x}$ $y = x^{2} + \frac{8}{x}$ trên đoạn $\left\lbrack \frac{1}{2};2 \right\rbrack$ $[\frac{1}{2}; 2]$ ?

c. Trên đoạn $\lbrack 0;1\rbrack$ $[0; 1]$ hàm số $y = \sqrt{4 - 3x}$ $y = \sqrt{4 - 3 x}$ có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

d. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3x$ $y = x^{3} - 3 x$ trên $\lbrack 1;2\rbrack$ $[1; 2]$ ?

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$

$\Rightarrow f$ $\Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \in [- 1; 3] \\ x = - 1 \in [- 1; 3] \end{matrix}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} f( - 1) = 4 \\ f(1) = 0 \\ f(3) = 20 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \underset{\lbrack - 1;3\rbrack}{\max f(x)} = 20 \Leftrightarrow x = 3$ ${\begin{matrix} f (- 1) = 4 \\ f (1) = 0 \\ f (3) = 20 \end{matrix} \Rightarrow \underset{[- 1; 3]}{max f (x)} = 20 \Leftrightarrow x = 3$

Vậy đáp án cần tìm là $20$ .

b. Ta có: $y^{'} = 2 x - \frac{8}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} - 8}{x^{2}}$

$\Rightarrow y$ $\Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x^{3} - 8}{x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{3} = 4 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}$

Ta có: $\left| \begin{matrix} f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{65}{4} \\ f(2) = 8 \\ f\left( \sqrt[3]{4} \right) = 6\sqrt[3]{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \min_{\left\lbrack \frac{1}{2};\frac{1}{2} \right\rbrack}y = 6\sqrt[3]{2}$ $| \begin{matrix} f (\frac{1}{2}) = \frac{65}{4} \\ f (2) = 8 \\ f (\sqrt[3]{4}) = 6 \sqrt[3]{2} \end{matrix} \Rightarrow min_{[\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]} y = 6 \sqrt[3]{2}$ .

c. Tập xác định $D = \left( - \infty;\frac{4}{3} \right\rbrack$ $D = (- \infty; \frac{4}{3}]$

Ta có: $y^{'} = \frac{- 3}{2 \sqrt{4 - 3 x}} < 0; \forall x < \frac{4}{3}$

Trên đoạn $\lbrack 0;1\rbrack$ $[0; 1]$ hàm số đã cho nghịch biến

$\Rightarrow \min_{\lbrack 0;1\rbrack}y = y(1) = 1$ $\Rightarrow min_{[0; 1]} y = y (1) = 1$

d. Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \end{matrix}$

$\left\{ \begin{matrix} y(1) = - 2 \\ y(2) = 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack 1;2\rbrack}y = 2 \\ \min_{\lbrack 1;2\rbrack}y = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} y (1) = - 2 \\ y (2) = 2 \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} max_{[1; 2]} y = 2 \\ min_{[1; 2]} y = - 2 \end{matrix}$

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 1;2\rbrack$ $[1; 2]$ bằng $0$ .

Ví dụ: Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ $y = f (x) = x + \sqrt{4 - x^{2}}$ lần lượt là $M; m$ . Tính giá trị biểu thức $P = M^{2} - m^{2}$ $P = M^{2} - m^{2}$ ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D = \lbrack - 2;2\rbrack$ $D = [- 2; 2]$

Ta có: $y^{'} = 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0$

$\Leftrightarrow x = \sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} = 4 - x^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow x = \sqrt{4 - x^{2}} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \geq 0 \\ x^{2} = 4 - x^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix} \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$

Khi đó: $\left\{ \begin{matrix} f(2) = 2;f( - 2) = - 2 \\ f\left( \sqrt{2} \right) = 2\sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 2;2\rbrack}f(x) = M = 2\sqrt{2} \\ \min_{\lbrack - 2;2\rbrack}f(x) = m = - 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} f (2) = 2; f (- 2) = - 2 \\ f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} max_{[- 2; 2]} f (x) = M = 2 \sqrt{2} \\ min_{[- 2; 2]} f (x) = m = - 2 \end{matrix}$

$\Rightarrow P = M^{2} - m^{2} = 4$ $\Rightarrow P = M^{2} - m^{2} = 4$

Ví dụ: Gọi $M; m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2}$ $y = f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ trên đoạn $\lbrack 0;2\rbrack$ $[0; 2]$ . Tìm giá trị biểu thức $T = 2 m + 4 M$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = \frac{5}{(x + 2)^{2}} > 0; \forall x \neq - 2$ nên hàm số đồng biến trên $\lbrack 0;2\rbrack$ $[0; 2]$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack 0;2\rbrack}y = f(2) = \frac{3}{4} \\ \min_{\lbrack 0;2\rbrack}y = f(0) = - \frac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow T = 2m + 4M = 2$ $\Rightarrow {\begin{matrix} max_{[0; 2]} y = f (2) = \frac{3}{4} \\ min_{[0; 2]} y = f (0) = - \frac{1}{2} \end{matrix} \Rightarrow T = 2 m + 4 M = 2$ .

Ví dụ: a. Tìm điều kiện tham số m để hàm số $y = f(x) = \frac{x + m}{x + 1}$ $y = f (x) = \frac{x + m}{x + 1}$ thỏa mãn $\max_{\lbrack 1;2\rbrack}y + \min_{\lbrack 1;2\rbrack}y = \frac{9}{2}$ $max_{[1; 2]} y + min_{[1; 2]} y = \frac{9}{2}$ ?

b. Cho hàm số $y = \frac{x + m}{x - 1}$ $y = \frac{x + m}{x - 1}$ . Định m để hàm số đã cho thỏa mãn $\min_{\lbrack 2;4\rbrack}y = 3$ $min_{[2; 4]} y = 3$ ?

Hướng dẫn giải

a. Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 \right\}$ $D = R ∖ {- 1}$

Hàm số đơn điệu trên đoạn $\lbrack 1;2\rbrack$ $[1; 2]$ nên $\max_{\lbrack 1;2\rbrack}y + \min_{\lbrack 1;2\rbrack}y = f(1) + f(2)$ $max_{[1; 2]} y + min_{[1; 2]} y = f (1) + f (2)$

$\Leftrightarrow \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow m = 4$ $\Leftrightarrow \frac{1 + m}{2} + \frac{2 + m}{3} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow m = 4$

Vậy đáp án cần tìm là $2 < m \leq 4$ $2 < m \leq 4$ .

b. Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 \right\}$ $D = R ∖ {1}$

Ta có: $y^{'} = \frac{- 1 - m}{(x - 1)^{2}}$ . Vì hàm số đơn điệu trên $\lbrack 2;4\rbrack$ $[2; 4]$ nên

$\left\lbrack \begin{matrix} \min_{\lbrack 2;4\rbrack}y = y(2); - 1 - m > 0 \\ \min_{\lbrack 2;4\rbrack}y = y(4); - 1 - m < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \overset{\min_{\lbrack 2;4\rbrack}y = 3}{\rightarrow}\left\lbrack \begin{matrix} 3 = 2 + m;m < - 1 \\ 3 = \frac{4 + m}{3};m > - 1 \\ \end{matrix} \right.$ $[\begin{matrix} min_{[2; 4]} y = y (2); - 1 - m > 0 \\ min_{[2; 4]} y = y (4); - 1 - m < 0 \end{matrix} \overset{min_{[2; 4]} y = 3}{\to} [\begin{matrix} 3 = 2 + m; m < - 1 \\ 3 = \frac{4 + m}{3}; m > - 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1;m < - 1 \\ m = 5;m > - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 5$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1; m < - 1 \\ m = 5; m > - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 5$

Nếu $m = - 1 \rightarrow y = 1$ $m = - 1 \to y = 1$ Hàm số không có giá trị lớn nhất

Vậy $m > 4$

Ví dụ: Tính giá trị của tham số m biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m$ $y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m$ là $3\sqrt{2}$ $3 \sqrt{2}$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m$ $y = x + \sqrt{4 - x^{2}} + m$ có tập xác định $D = \lbrack - 2;2\rbrack$ $D = [- 2; 2]$

$y^{'} = 1 + \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}}; \forall x \in (- 2; 2)$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 1 + \frac{- x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} = x^{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} = x^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} x \geq 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix} \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} y(2) = 2 + m \\ y( - 2) = 2 + m \\ y\left( \sqrt{2} \right) = 2\sqrt{2} + m \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} y (2) = 2 + m \\ y (- 2) = 2 + m \\ y (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} + m \end{matrix}$ .

Theo bài ra ta có: $2\sqrt{2} + m = 3\sqrt{2} \Leftrightarrow m = \sqrt{2}$ $2 \sqrt{2} + m = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow m = \sqrt{2}$

Vậy đáp án cần tìm là $m = \sqrt{2}$ $m = \sqrt{2}$ .

Ví dụ. Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3x^{2} + m^{2} - 2m$ $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + m^{2} - 2 m$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn $3\max_{\lbrack - 3;1\rbrack}f\left( |x| \right) + 2\min_{\lbrack - 3;1\rbrack}f\left( |x| \right) \leq 112$ $3 max_{[- 3; 1]} f (| x |) + 2 min_{[- 3; 1]} f (| x |) \leq 112$ . Tìm số phần tử của tập hợp $S$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $f\left( |x| \right) = f\left( | - x| \right);\forall x\mathbb{\in R}$ $f (| x |) = f (| - x |); \forall x \in R$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \max_{\lbrack - 3;1\rbrack}f\left( |x| \right) = \max_{0;3}f(x) \\ \min_{\lbrack - 3;1\rbrack}f\left( |x| \right) = \min_{\lbrack 0;3\rbrack}f(x) \\ \end{matrix} \right.$ $\Rightarrow {\begin{matrix} max_{[- 3; 1]} f (| x |) = max_{0; 3} f (x) \\ min_{[- 3; 1]} f (| x |) = min_{[0; 3]} f (x) \end{matrix}$

Đạo hàm $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow f(0) = m^{2} - 2m \\ x = 2 \Rightarrow f(2) = m^{2} - 2m - 4 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \Rightarrow f (0) = m^{2} - 2 m \\ x = 2 \Rightarrow f (2) = m^{2} - 2 m - 4 \end{matrix}$ và $f(3) = m^{2} - 2m$ $f (3) = m^{2} - 2 m$

Suy ra $3\max_{\lbrack - 3;1\rbrack}f\left( |x| \right) + 2\min_{\lbrack - 3;1\rbrack}f\left( |x| \right) \leq 112$ $3 max_{[- 3; 1]} f (| x |) + 2 min_{[- 3; 1]} f (| x |) \leq 112$

$\Leftrightarrow 3\left( m^{2} - 2m \right) + 2\left( m^{2} - 2m - 4 \right) \leq 112$ $\Leftrightarrow 3 (m^{2} - 2 m) + 2 (m^{2} - 2 m - 4) \leq 112$

$\Leftrightarrow m^{2} - 2m - 24 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 6$ $\Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 24 \leq 0 \Leftrightarrow - 4 \leq m \leq 6$

Mà $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3;...;5;6 \right\}$ $m \in Z \Rightarrow m \in {- 4; - 3; . . .; 5; 6}$

Vậy có tất cả 11 giá trị nguyên của tham số m.

--------------------------------------------------------

Sau khi đã cùng nhau tìm hiểu về Cách xác định cực trị của hàm số, bây giờ chúng ta hãy cùng nhau củng cố lại kiến thức bằng một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé!

Bài tập Toán 12: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

353,2 KB

File Word

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!