Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tổng hợp công thức phương trình mặt phẳng trong không gian

Chuyên đề Toán 12 Phương trình mặt phẳng

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức phương trình mặt phẳng

A. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
B. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
C. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
D. Góc giữa hai mặt phẳng

Bạn đang ôn tập hình học không gian và cần tổng hợp đầy đủ công thức phương trình mặt phẳng? Tài liệu dưới đây sẽ giúp bạn hệ thống hóa các công thức quan trọng liên quan đến mặt phẳng trong không gian Oxyz, bao gồm: phương trình tổng quát, phương trình mặt phẳng qua 3 điểm, mặt phẳng song song, vuông góc, v.v. Các công thức được trình bày ngắn gọn, dễ nhớ, kèm theo ví dụ minh họa giúp bạn áp dụng hiệu quả trong bài tập và các kỳ thi.

A. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$ là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ .

Chú ý:

Nếu $\overrightarrow{n}$ là một VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ thì $k\overrightarrow{n}\ \ (k \neq 0)$ cũng là một VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ .
Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua và một VTPT của nó.
Nếu $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ thì $\overrightarrow{n} = \lbrack\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}\rbrack$ là một VTPT của $(\alpha)$ .

B. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:

$Ax + By + Cz + D = 0\$ với $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$

Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $Ax + By + Cz + D = 0\$ thì nó có một VTPT là $\overrightarrow{n}(A;\ B;\ C)$ .
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;\ B;\ C)$ khác $\overrightarrow{0}$ là VTPT là:

$A(x - x_{0}) + B(y - y_{0}) + C(z - z_{0}) = 0$

Các trường hợp riêng

Xét phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $Ax + By + Cz + D = 0\$ với $A^{2} + B^{2} + C^{2} \neq 0$

Nếu thì mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua gốc tọa độ .

Nếu $A = 0,B \neq 0,C \neq 0$ thì mặt phẳng $(\alpha)$ song song hoặc chứa trục .
Nếu $A \neq 0,B = 0,C \neq 0$ thì mặt phẳng $(\alpha)$ song song hoặc chứa trục .
Nếu $A \neq 0,B \neq 0,C = 0$ thì mặt phẳng $(\alpha)$ song song hoặc chứa trục .

Nếu $A = B = 0,C \neq 0$ thì mặt phẳng $(\alpha)$ song song hoặc trùng với .
Nếu $A = C = 0,B \neq 0$ thì mặt phẳng $(\alpha)$ song song hoặc trùng với .
Nếu $B = C = 0,A \neq 0$ thì mặt phẳng $(\alpha)$ song song hoặc trùng với .

Chú ý:

Nếu trong phương trình $(\alpha)$ không chứa ẩn nào thì $(\alpha)$ song song hoặc chứa trục tương ứng.
Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $(\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . Ở đây $(\alpha)$ cắt các trục tọa độ tại các điểm , , với $abc \neq 0$ .

C. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian , cho điểm $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ và mặt phẳng $(\alpha):Ax + By + Cz + D = 0$

Khi đó khoảng cách từ điểm $M_{0}$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ được tính:

$d(M_{0},(\alpha)) = \frac{|Ax_{0} + By_{0} + Cz_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

D. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian , cho hai mặt phẳng $(\alpha):A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0$ và $(\beta):A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0.$

Góc giữa $(\alpha)$ và $(\beta)$ bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT $\overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}}$ .

Tức là: $\cos\left( (\alpha),(\beta) \right) = \left| \cos\left( \overrightarrow{n_{\alpha}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right) \right| = \frac{\left| \overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{n_{\beta}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{\alpha}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{\beta}} \right|}$

$= \frac{\left| A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} + C_{1}C_{2} \right|}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}}.\sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$

Nhắc lại kiến thức cần nhớ

a. Góc nhị diện

Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ.

Minh họa:

Đường thẳng được gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng và gọi là một mặt của góc nhị diện. Kí hiệu là $\lbrack P,d,Q\rbrack$ .

Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là $\lbrack A,d,B\rbrack$ với lần lượt là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng và .

b. Số đo của góc nhị diện

Số đo của góc phẳng nhị diện không phụ thuộc vào vị trí của điểm trên cạnh nhị diện và được gọi là đó của góc nhị diện đã cho.

Số đo của góc nhị diện từ $0^{0}$ đến $180^{0}$ .

Minh họa

Trong không gian, cho góc nhị diện:

Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuốc hai mặt phẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng $90^{0}$ thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

Chú ý:

Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.

Mỗi đường thẳng d trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với d là một nửa mặt phẳng bờ d.

c. Góc phẳng nhị diện

Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.

Chú ý:

a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.

b) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt (P) và (Q) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì uOv là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi (P) và (Q).

c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.

d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.

e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ 0⁰ đến 180⁰.

--------------------------------------------

Hy vọng với phần tổng hợp công thức phương trình mặt phẳng trong không gian trên, bạn đã có cái nhìn rõ ràng và đầy đủ về chủ đề quan trọng này trong hình học không gian. Hãy lưu lại tài liệu để ôn tập khi cần và đừng quên luyện tập thêm các bài tập liên quan để ghi nhớ lâu hơn. Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao trong các kỳ kiểm tra, thi THPT Quốc gia!

Tải về

Chọn file muốn tải về: