Tìm m để phương trình hàm hợp, hàm ẩn chứa tham số có n nghiệm
Cách tìm m để phương trình hàm ẩn, hàm hợp có n nghiệm
Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài tìm m để phương trình hàm hợp hoặc hàm ẩn chứa tham số có n nghiệm luôn được xem là một trong những dạng toán phân loại học sinh. Dạng này đòi hỏi khả năng kết hợp tư duy giải tích, khảo sát hàm số và phân tích số nghiệm theo tham số. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp tổng quát, cách lập luận nhanh, mẹo xử lý từng dạng phương trình, giúp bạn dễ dàng xác định số nghiệm và tìm điều kiện của tham số m một cách chính xác.
A. Bài tập minh họa tìm m để hàm số có n nghiệm
Ví dụ 1. Cho hàm số 
\(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Có bao nhiêu số nguyên \(m\)để phương trình \(f\left( x^{3} - 3x \right) = m\) có \(6\) nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\lbrack - 1;2\rbrack\)?
A. \(3\) B. \(2\) C. \(6\) D. \(7\)
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = x^{3} - 3x\), với \(x \in \lbrack - 1;2\rbrack\)ta có bảng biến thiên
Với mỗi \(t \in ( - 2;2\rbrack\)thì có 2 nghiệm \(x \in \lbrack -
1;2\rbrack\)
Để phương trình có 6 nghiệm thì phương trình \(f(t) = m\)có 3 nghiệm \(t \in ( - 2;2\rbrack\)
Dựa vao đồ thị ta có \(m = 0;m =
1\). Đáp án B.
Lưu ý: Bài toán tìm số nghiệm của phương trình \(f(u(x)) = m\) trên tập D.
- B1: Đặt \(t = u(x)\), ta khảo sát hàm \(t = u(x)\) trên D
- B2: Chỉ ra sự tương ứng giữa giá trị của \(t\) với số giá trị của \(x\). Bước này quan trọng, nếu không chỉ ra được sự tương ứng thì sẽ không
- B3: Xét số nghiệm của phương trình \(f(t)
= m\), dựa vào B2 đưa ra kết luận.
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình bên.
Phương trình \(f(2sinx) =
m\) có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\lbrack - \pi;\pi\rbrack\) khi và chỉ khi
A. \(m \in \left\{ - 3;1 \right\}\). B. \(m \in ( - 3;1)\).
C. \(m \in \lbrack - 3;1)\). D. \(m \in ( - 3;1\rbrack\).
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = 2sinx\), \(x \in \lbrack - \pi;\pi\rbrack\)
Ta có bảng biến thiên hàm số \(t = g(x) =
2sinx\) trên \(\lbrack -
\pi;\pi\rbrack\).
Từ BBT ta thấy:
+ \(t \in ( - 2;0) \cup (0;2)\), mỗi \(t\) cho 2 giá trị \(x\)
+ \(t \in \{ - 2;2\}\), mỗi \(t\) cho 1 giá trị \(x\)
+ \(t = 0\), cho 3 giá trị \(x\)
Phương trình \(f(2sinx) = m\) có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\lbrack
- \pi;\pi\rbrack\) khi và chỉ khi phương trình \(f(t) = m\) có:
+ Một nghiệm duy nhất \(t = 0\), các nghiệm còn lại không thuộc \(\lbrack -
2;2\rbrack\), khi đó \(m \in
\varnothing\)
+ Hoặc một nghiệm \(t = 2\) nghiệm còn lại thuộc \(( - 2;2)\backslash\left\{ 0
\right\}\), khi đó \(m = 1\)
+ Hoặc một nghiệm \(t = - 2\), nghiệm còn lại thuộc \(( -
2;2)\backslash\left\{ 0 \right\}\), khi đó \(m = - 3\).
Vậy \(m \in \left\{ - 3;1
\right\}\). Đáp án A.
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( \sqrt{2f(cosx)} \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left\lbrack \frac{\pi}{2};\pi
\right)\).
A. \(5\). B. \(3\). C. \(2\). D. \(4\).
Hướng dẫn giải
Từ hình vẽ, đặt\(f(x) = ax^{3} + bx^{2} +
cx + d\ ,(a \neq 0).\) Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ \(O\) nên \(d =
0\). Ta có hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
- a + b - c = 2 \\
a + b + c = - 2 \\
4a + 2b + c = 1
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = 0 \\
c = - 3
\end{matrix} \right.\ .\) Do đó \(f(x)
= x^{3} - 3x.\)
Đặt \(t = cosx,\ x \in \left\lbrack
\frac{\pi}{2};\pi \right) \Rightarrow t \in ( - 1;0\rbrack \Rightarrow
f(cosx) = f(t) = t^{3} - 3t\) với \(t
\in ( - 1;0\rbrack\).
\(f'(t) = 3t^{2} - 3 < 0,\ \forall t
\in ( - 1;0\rbrack \Rightarrow f(t)\) nghịch biến trên \(( - 1;0\rbrack \Rightarrow 2f(t) \in \left\lbrack
2f(0);\ 2f( - 1) \right)\)
hay \(2f(t) \in \lbrack 0;\ 4)\). Đặt \(u = \sqrt{2f(t)} \Rightarrow u \in
\lbrack 0;2) \Rightarrow m = f(u) = u^{3} - 3u\) với \(u \in \lbrack 0;2)\).
Ta có \(f'(u) = 3u^{2} - 3 \Rightarrow
f'(u) = 0 \Leftrightarrow u = 1 \in \lbrack 0;2)\).
Bảng biến thiên của \(f(u)\).
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm \(\Leftrightarrow - 2 \leq m < 2\). \(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \in \lbrack - 2;2) \\
m \in \mathbb{Z}
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in \left\{ - 2; - 1;0;1
\right\}.\)Chọn D.
Lưu ý: Dạng bài toán tìm tham số \(m\) để phương trình \(f(u(x)) = m\) có nghiệm trên D
- B1: Đặt \(t = u(x)\) ta chỉ cần tìm miền giá trị của hàm hàm \(u(x)\) trên D. giả sử \(u(x) \in K,\forall x \in
D\)
- B2: Tìm tham số \(m\) để PT \(f(t) = m\) có nghiệm trên tập K. Tương đương với \(m\) thuộc miền giá trị của \(f\) trên K.
Nhận xét: Cho phương trình \(f(u(x)) =
m\), nếu bài toán về số nghiệm sẽ phức tạp hơn so với bài toán có nghiệm.
B. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(\frac{1}{3}f\left( \frac{x}{2}
+ 1 \right) + x = m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\lbrack - 2\ ;\ 2\rbrack\)?
A. \(11\) B. \(9\) C. \(8\) D. \(10\)
Bài tập 2. Cho hai hàm số \(y =
f(x)\) và \(y = g(x)\) là các hàm xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên (trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y = f(x)\)).
Có bao nhiêu số nguyên \(m\) để phương trình \(f\left( 1 - g(2x - 1) \right) = m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left\lbrack -
1;\frac{5}{2} \right\rbrack\).
A. \(8\) B. \(3\) C. \(6\) D. \(4\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
----------------------------------
Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài tìm m để phương trình hàm hợp hoặc hàm ẩn chứa tham số có n nghiệm luôn được xem là một trong những dạng toán phân loại học sinh. Dạng này đòi hỏi khả năng kết hợp tư duy giải tích, khảo sát hàm số và phân tích số nghiệm theo tham số. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp tổng quát, cách lập luận nhanh, mẹo xử lý từng dạng phương trình, giúp bạn dễ dàng xác định số nghiệm và tìm điều kiện của tham số m một cách chính xác.
