VnDoc.com

Bài toán thực tế Ứng dụng Nguyên hàm, Tích phân Có đáp án chi tiết

Toán thực tế Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Ứng dụng nguyên hàm tích phân trong đời sống

A. Bài tập ứng dụng nguyên hàm tích phân vào thực tiễn
B. Đáp án tổng quan các bài tập thực tế nguyên hàm tích phân
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập ứng dụng nguyên hàm tích phân

Trong chương trình Toán THPT, nguyên hàm và tích phân không chỉ là những công cụ giải toán thuần túy, mà còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tế như tính diện tích, quãng đường, thể tích, công cơ học, hay các bài toán dòng chảy. Dạng bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm, tích phân thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, đòi hỏi học sinh vừa nắm chắc công thức, vừa biết phân tích tình huống thực tế và chuyển đổi sang mô hình toán học. Bài viết này sẽ cung cấp hướng dẫn chi tiết, ví dụ minh họa và đáp án đầy đủ, giúp bạn luyện tập hiệu quả và tự tin khi làm bài.

A. Bài tập ứng dụng nguyên hàm tích phân vào thực tiễn

Câu 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 5t + 10(m/s)$, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 0,2 m B. 2 m C. 10 m D. 20 m

Câu 2: Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc $v(t) = 2\sqrt{t};(0 \leq t \leq 30)$ $v(t) = 2\sqrt{t};(0 \leq t \leq 30)$ (m/s). Giả sử tại thời điểm $t = 0$ thì $s = 0$. Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là;

A. $s = \frac{4}{3}\sqrt{t^{3}}$ $s = \frac{4}{3}\sqrt{t^{3}}$ (m) B. $s = 2\sqrt{t}$ $s = 2\sqrt{t}$ (m) C. $s = \frac{4}{3}t^{3}$ $s = \frac{4}{3}t^{3}$ (m) D. $s = 2t$ (m)

Câu 3: Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc $a = 0,3$ (m/s²). Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.

A. 12000m B. 240 m C. 864000 m D. 3200 m

Câu 4: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức $v(t) = 3t + 2$, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m. Biết tại thời điểm $t = 2(s)$ thì vật đi được quãng đường là 10m. Hỏi tại thời điểm $t = 30s$ thì vật đi được quãng đường là bao nhiêu?

A. 1410 m B. 1140 m C. 300 m D. 240 m

Câu 5: Một tàu lửa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = 200 - 20t(m/s)$. Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi thời gian khi tàu đi được quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) ít hơn bao nhiêu giây so với lúc tàu dừng hẳn?

A. 5 giây B. 8 giây C. 15 giây D. 10 giây

Câu 6: Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi $t = 0$ (s) chuyển động thẳng với vận tốc $v(t) = t(5 - t)$ (m/s). Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.

A. $\frac{125}{12}$ $\frac{125}{12}$ (m) B. $\frac{125}{9}$ $\frac{125}{9}$ (m) C. $\frac{125}{3}$ $\frac{125}{3}$ (m) D. $\frac{125}{6}$ $\frac{125}{6}$ (m)

Câu 7: Một người đi xe đạp dự định trong buổi sáng đi hết quãng đường 60 km. Khi đi được $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ quãng đường, anh ta thấy vận tốc của mình chỉ bằng $\frac{2}{3}$ $\frac{2}{3}$ vận tốc dự định, anh ta bèn đạp nhanh hơn vận tốc dự định 3km/h, đến nơi anh ta vẫn chậm mất 45 phút. Hỏi vận tốc dự định của người đi xe đạp là bao nhiêu?

A. 5km/h B. 12km/h C. 7km/h D. 18 km/h

Câu 8: Một ôtô đang chạy với vận tốc 10 m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v = - 5t + 15(m/s)$, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 20m B. 10 m C. 22,5m D. 5m

Câu 9: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = 2t^{3} - t + 1$ $S = 2t^{3} - t + 1$, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi $t = 2s$ là:

A. 63 m/s²B. 64 m/s²C. 23 m/s²D. 24 m/s²

Câu 10: Cho một vật chuyển động có phương trình là: $s = 2t^{3} - \frac{2}{t} + 3$ $s = 2t^{3} - \frac{2}{t} + 3$ (t được tính bằng giây, S tính bằng mét). Vận tốc của chuyển động thẳng $t = 2s$ là:

A. 3 m/s B. $\frac{49}{2}$ $\frac{49}{2}$ m/s C. 12 m/s D. $\frac{47}{2}$ $\frac{47}{2}$ m/s

Câu 11: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = 2t^{4} - t + 1$ $S = 2t^{4} - t + 1$, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động khi $S = 2t^{4} - t + 1$ $S = 2t^{4} - t + 1$ là:

A. 24 m/s B. 23 m/s C. 7 m/s D. 8 m/s

Câu 12: Một chiếc ôtô sẽ chạy trên đường với vận tốc tăng dần đều với vận tốc $v = 10t$ (m/s) t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu chạy. Hỏi quãng đường xe phải đi là bao nhiêu từ lúc xe bắt đầu chạy đến khi đạt vận tốc 20 (m/s)?

A. 10m B. 20m C. 30m D. 40m

Câu 13: Một ôtô đang chạy với vận tốc 19m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t) = - 38t + 19$ (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A. 4,75m B. 4,5m C. 4,25m D. 5m

Câu 14: Một ô tô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc $- a$ m/s². Biết ô tô chuyển động thêm được 20 m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây:

A. $(3;4)$ B. $(4;5)$ C. $(5;6)$ D. $(6;7)$

B. Đáp án tổng quan các bài tập thực tế nguyên hàm tích phân

1 - C	2 - A	3 - C	4 - A	5 - A	6 - D	7 – B
8 - C	9 - D	10 - B	11 - C	12 - B	13 - A	14 – C
15 - A	16 - A	17 - C	18 - D	19 - B	20 - C	21 - C

C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập ứng dụng nguyên hàm tích phân

Câu 1:

Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường $s(t)$ mà ô tô đi được sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe.

Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với $t = 0$.

Thời điểm ô tô dừng lại ứng với $t_{1}$ $t_{1}$, khi đó $v\left( t_{1} \right) = 0 \Leftrightarrow t_{1} = 2$ $v\left( t_{1} \right) = 0 \Leftrightarrow t_{1} = 2$.

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là:

$S = \int_{0}^{2}( - 5t + 10)dt = \left( - \frac{5}{2}t^{2} + 10t \right)|_{0}^{2} = 10(m)$ $S = \int_{0}^{2}( - 5t + 10)dt = \left( - \frac{5}{2}t^{2} + 10t \right)|_{0}^{2} = 10(m)$

Câu 2:

Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có

$s(t) = \int_{}^{}{2\sqrt{t}dt} =2\int_{}^{}{t^{\frac{1}{2}}dt}$ $s(t) = \int_{}^{}{2\sqrt{t}dt} =2\int_{}^{}{t^{\frac{1}{2}}dt}$ $= 2.\frac{1}{\frac{1}{2} +1}.t^{\frac{3}{2}}$ $= 2.\frac{1}{\frac{1}{2} +1}.t^{\frac{3}{2}}$ $= \frac{4}{3}.\sqrt{t^{3}}(m)$ $= \frac{4}{3}.\sqrt{t^{3}}(m)$ (m)

Câu 3:

Ta có $v(t) = \int_{}^{}{0,3dt} = 0,3t$ $v(t) = \int_{}^{}{0,3dt} = 0,3t$ (do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).

Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

$\int_{0}^{40.60}{0,3tdt} = \frac{0,3}{2}.t^{2}|_{0}^{2400} = 864000(m)$ $\int_{0}^{40.60}{0,3tdt} = \frac{0,3}{2}.t^{2}|_{0}^{2400} = 864000(m)$

Câu 4:

Ta có:

$S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}(3t +2)dt$ $S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}(3t +2)dt$ $= \frac{3t^{2}}{2} + 2t + c$ $= \frac{3t^{2}}{2} + 2t + c$

$S(2) = 10$ $\Rightarrow \frac{3.2^{2}}{2} +2.2 + c = 10 \Rightarrow c = 0$ $\Rightarrow \frac{3.2^{2}}{2} +2.2 + c = 10 \Rightarrow c = 0$.

$\Rightarrow S = \frac{3t^{2}}{2} + 2t$ $\Rightarrow S = \frac{3t^{2}}{2} + 2t$.

Suy ra: Khi $t = 30$ s, vật đi được quãng đường

$s = \frac{3.30^{2}}{2} + 2.30 = 1410(m)$ $s = \frac{3.30^{2}}{2} + 2.30 = 1410(m)$ m.

Câu 5:

Khi tàu dừng hẳn: $v = 0 \Rightarrow t = 10(s)$ $v = 0 \Rightarrow t = 10(s)$

$S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}(200 - 2t)dt \Rightarrow s = 200t - t^{2}$ $S = \int_{}^{}{v(t)}dt = \int_{}^{}(200 - 2t)dt \Rightarrow s = 200t - t^{2}$

$S = 750 \Rightarrow 200t - t^{2} = 750$ $S = 750 \Rightarrow 200t - t^{2} = 750$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 15 > 0(ktm) \\ t = 5 \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = 15 > 0(ktm) \\ t = 5 \end{matrix} \right.$

$\Delta t = 10 - 5 = 5(s)$ $\Delta t = 10 - 5 = 5(s)$

Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.

----------------------------------------------------

Việc thành thạo bài toán thực tế ứng dụng nguyên hàm, tích phân sẽ giúp bạn không chỉ đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi quan trọng, mà còn hiểu rõ hơn về cách toán học gắn liền với đời sống. Với phần hướng dẫn chi tiết và đáp án đầy đủ ở trên, bạn có thể tự học, rèn luyện kỹ năng phân tích đề, thiết lập phương trình và tính toán nhanh chóng. Hãy luyện tập nhiều dạng bài khác nhau để làm quen với các tình huống đa dạng, từ đó tăng tốc độ và sự chính xác khi làm bài thi THPT Quốc gia môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: