VnDoc.com

Chuyên đề Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài tập Toán 12 Đường tiệm cận có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập Toán 12 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Có đáp án

Trong chương trình Toán lớp 12, tìm tiệm cận của đồ thị hàm số là một nội dung quan trọng thuộc chuyên đề khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong đề kiểm tra và đề thi THPT Quốc gia. Việc xác định đúng tiệm cận ngang, tiệm cận đứng (và cả tiệm cận xiên nếu có) giúp học sinh nắm được hình dạng và xu hướng của đồ thị hàm số. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống toàn bộ lý thuyết,

A. Bài tập trắc nghiệm tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Câu 1: Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y = 1$ và $y = - 1$

D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $x = 1$ và $x = - 1$.

Câu 2: Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0$ và $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = + \infty$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

C. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành.

D. Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y = 0.$

Câu 3: Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0$ và $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

B. Trục hoành và trục tung là hai tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

C. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là đường thẳng $y = 0$ .

D. Hàm số đã cho có tập xác định là $D = (0, + \infty)$ $D = (0, + \infty)$.

Câu 4: Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1$ và $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = - 1$ và tiệm cận đứng $x = 1.$

D. Đồ thị hàm số hai tiệm cận ngang là các đường $y = - 1$ và $y = 1.$

Câu 5: Cho hàm số $y = f(x)$ có $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = 10.$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = 10.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là $y = 1$ và đường thẳng $x = 2$ không phải là tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 1$ và tiệm cận đứng $x = 2.$

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y = 1$ và tiệm cận đứng $x = 10.$

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang nhưng có một tiệm cận đứng $x = 2.$

Câu 6: Cho hàm số $f(x)$ có tập xác định là $D = ( - 3;3)\backslash\left\{ - 1;1 \right\}$ $D = ( - 3;3)\backslash\left\{ - 1;1 \right\}$, liên tục trên các khoảng của tập $D$ và có

$\begin{matrix} \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow ( - 3)^{+}}f(x) = - \infty; \\ \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = + \infty; \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}f(x) = - \infty; \\ \lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty; \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}f(x) = - \infty; \\ \lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = + \infty. \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow ( - 3)^{+}}f(x) = - \infty; \\ \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = + \infty; \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{-}}f(x) = - \infty; \\ \lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty; \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow ( - 1)^{+}}f(x) = - \infty; \\ \lim_{x \rightarrow 3^{-}}f(x) = + \infty. \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}$

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng $x = - 3$ và $x = 3$.

B. Đồ thị hàm số có đúng hai TCĐ là các đường thẳng $x = - 1$ và $x = 1$.

C. Đồ thị hàm số có đúng bốn TCĐ là các đường thẳng $x = \pm 1$ $x = \pm 1$và $x = \pm 3$ $x = \pm 3$.(META)

D. Đồ thị hàm số có sáu TCĐ.

Câu 7: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận ngang $y = 1$ khi và chỉ khi $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$

B. Nếu hàm số $y = f(x)$ không xác định tại $x_{0}$ $x_{0}$ thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x = x_{0}$ $x = x_{0}$

C. Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x = 2$ khi và chỉ khi $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$.

D. Đồ thị hàm số $y = f(x)$ bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang.

Câu 8: Tìm tọa độ giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 2}.$ $y = \frac{x - 2}{x + 2}.$

A. $( - 2;2)$. B. $(2;1)$. C. $( - 2; - 2)$. D. $( - 2;1)$.

Câu 9: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} - 3x - 4}{x^{2} - 16}$ $y = \frac{x^{2} - 3x - 4}{x^{2} - 16}$.

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Câu 10: Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x^{2} - 9}$ $y = \frac{x - 2}{x^{2} - 9}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm

1 - C	2 - C	3 - B	4 - C	5 - A	6 - C	7 - D	8 - D	9 - D	10 -C
11 - A	12 - A	13 - C	14 - D	15 - B	16 - C	17 - B	18 - C	19 - C	20 –A
21 - D	22 - B	23 - C	24 - B	25 - B	26 - A	27 - C	28 - C	29 - C	30 – B
31 - C	32 – B	33 - C

C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm

Câu 1:

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1\overset{}{\rightarrow}y = 1$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1\overset{}{\rightarrow}y = 1$ là TCN.

$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1\overset{}{\rightarrow}y = - 1$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1\overset{}{\rightarrow}y = - 1$ là TCN.

Câu 2:

Ta có $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0\overset{}{\rightarrow}y = 0$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0\overset{}{\rightarrow}y = 0$ là tiệm cận ngang.

Đáp án “Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.“ sai vì chọn hàm $y = \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{2} \right)^{x} & ;x \leq - 1 \\ - \left( \frac{1}{2} \right)^{x} & ;x \geq 1 \\ \end{matrix} \right.$ $y = \left\{ \begin{matrix} \left( \frac{1}{2} \right)^{x} & ;x \leq - 1 \\ - \left( \frac{1}{2} \right)^{x} & ;x \geq 1 \\ \end{matrix} \right.$.

Vậy ta chỉ có đáp án “Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là trục hoành” đúng.

Câu 3:

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ y = 0$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ y = 0$ là TCN.

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ x = 0$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = + \infty\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ x = 0$ là TCĐ.

Câu 4:

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

$\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ y = - 1$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = - 1\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ y = - 1$ là TCN.

$\lim_{x \rightarrow \ 1^{+}}f(x) = + \infty\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ x = 1$ $\lim_{x \rightarrow \ 1^{+}}f(x) = + \infty\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ x = 1$ là TCĐ.

Câu 5:

Theo định nghĩa về tiệm cận, ta có:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = 1\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ y = 1$ $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x) = 1\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ y = 1$ là TCN.

$\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = 10\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ x = 0$ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = 10\ \ \overset{}{\rightarrow}\ \ x = 0$ không phải là TCĐ.

Câu 6:

Câu đúng cần tìm là:

Đồ thị hàm số có đúng bốn TCĐ là các đường thẳng $x = \pm 1$ $x = \pm 1$và $x = \pm 3$ $x = \pm 3$

Câu 7:

“Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận ngang $y = 1$ khi và chỉ khi $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ và $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$“ sai vì chỉ cần một trong hai giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 1$ hoặc $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 1$ tồn tại thì đã suy ra được tiệm cận ngang là $y = 1$.

“Nếu hàm số $y = f(x)$ không xác định tại $x_{0}$ $x_{0}$ thì đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x = x_{0}$ $x = x_{0}$“ sai, ví dụ hàm số $y = \sqrt{x^{3} - 1}$ $y = \sqrt{x^{3} - 1}$ không xác định tại $x = - 2$ nhưng $\lim_{x \rightarrow \ ( - 2)^{-}}f(x)$ $\lim_{x \rightarrow \ ( - 2)^{-}}f(x)$ và $\lim_{x \rightarrow \ ( - 2)^{+}}f(x)$ $\lim_{x \rightarrow \ ( - 2)^{+}}f(x)$ không tiến đến vô cùng nên $x = - 2$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

“Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có tiệm cận đứng $x = 2$ khi và chỉ khi $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = + \infty$ và $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty$“ sai vì chỉ cần tồn tại một trong bốn giới hạn sau:

$\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = - \infty,\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty,\lim_{x \rightarrow \ 2^{+}}f(x) = - \infty,\lim_{x \rightarrow \ 2^{+}}f(x) = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = - \infty,\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = + \infty,\lim_{x \rightarrow \ 2^{+}}f(x) = - \infty,\lim_{x \rightarrow \ 2^{+}}f(x) = + \infty$.

“Đồ thị hàm số $y = f(x)$ bất kì có nhiều nhất hai đường tiệm cận ngang.“ đúng vì chỉ có hai giới hạn $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x),\ \ \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x),\ \ \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)$.

Câu 8:

TXĐ $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2 \right\}.$ $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 2 \right\}.$

Dễ thấy đồ thị hàm số có TCĐ: $x = - 2$ và TCN: $y = 1$.

Suy ra giao điểm của hai đường tiệm cận là $( - 2\ ;\ 1)$ $( - 2\ ;\ 1)$.

Câu 9:

Xét phương trình $x^{2} - 16 = 0\ \ \Leftrightarrow \ \ x = \pm 4$ $x^{2} - 16 = 0\ \ \Leftrightarrow \ \ x = \pm 4$.

Ta có:

$\lim_{x \rightarrow \ - 4}y = \lim_{x \rightarrow \ - 4}\frac{x^{2} - 3x - 4}{x^{2} - 16} = \lim_{x \rightarrow \ - 4}\frac{(x + 1)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \lim_{x \rightarrow \ - 4}\frac{x + 1}{x + 4} = \infty \rightarrow x = - 4$ $\lim_{x \rightarrow \ - 4}y = \lim_{x \rightarrow \ - 4}\frac{x^{2} - 3x - 4}{x^{2} - 16} = \lim_{x \rightarrow \ - 4}\frac{(x + 1)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \lim_{x \rightarrow \ - 4}\frac{x + 1}{x + 4} = \infty \rightarrow x = - 4$ là TCĐ;

$\lim_{x \rightarrow \ 4}y = \lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{x^{2} - 3x - 4}{x^{2} - 16} = \lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{(x + 1)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{x + 1}{x + 4} = \frac{5}{8} \rightarrow x = 4$ $\lim_{x \rightarrow \ 4}y = \lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{x^{2} - 3x - 4}{x^{2} - 16} = \lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{(x + 1)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \lim_{x \rightarrow \ 4}\frac{x + 1}{x + 4} = \frac{5}{8} \rightarrow x = 4$ không là TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có duy nhất một tiệm cận đứng.

Câu 10:

TXĐ: $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 3 \right\}.$ $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \pm 3 \right\}.$ Ta có:

$\lim_{x \rightarrow 3^{-}}y = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = - \infty;\ \ \lim_{x \rightarrow 3^{+}}y = \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = + \infty\overset{}{\rightarrow}x = 3$ $\lim_{x \rightarrow 3^{-}}y = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = - \infty;\ \ \lim_{x \rightarrow 3^{+}}y = \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = + \infty\overset{}{\rightarrow}x = 3$ là TCĐ;

$\lim_{x \rightarrow - 3^{-}}y = \lim_{x \rightarrow - 3^{-}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = + \infty;\ \ \lim_{x \rightarrow - 3^{+}}y = \lim_{x \rightarrow - 3^{+}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = - \infty\overset{}{\rightarrow}x = - 3$ $\lim_{x \rightarrow - 3^{-}}y = \lim_{x \rightarrow - 3^{-}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = + \infty;\ \ \lim_{x \rightarrow - 3^{+}}y = \lim_{x \rightarrow - 3^{+}}\frac{x - 2}{x^{2} - 9} = - \infty\overset{}{\rightarrow}x = - 3$ TCĐ;

$\lim_{x \rightarrow - \infty}y = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0;\ \ \lim_{x \rightarrow + \infty}y = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0\overset{}{\rightarrow}y = 0$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}y = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0;\ \ \lim_{x \rightarrow + \infty}y = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0\overset{}{\rightarrow}y = 0$ là TCN.

Vậy đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận.

----------------------------------------------------

Với chuyên đề “Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số”, học sinh sẽ hiểu rõ cách phân loại và xác định các loại tiệm cận thông qua giới hạn, đạo hàm, hoặc khảo sát hàm số. Dạng toán này không chỉ giúp vẽ đúng đồ thị mà còn là cơ sở cho các câu hỏi về khảo sát và biện luận phương trình trong đề thi THPT Quốc gia. Để đạt hiệu quả ôn tập cao nhất, học sinh nên luyện tập thường xuyên với các bài tập có đáp án đi kèm, kết hợp cùng việc nắm chắc bản chất lý thuyết. Đừng quên theo dõi thêm các chuyên đề Toán 12 khác như cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tiếp tuyến... để có sự chuẩn bị toàn diện cho kỳ thi sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: