Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Lập phương trình mặt phẳng tạo với (P), (d) góc lớn nhất, nhỏ nhất

Cực trị trong không gian Oxyz

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài toán góc lớn nhất nhỏ nhất trong không gian lớp 12

Trong chương trình Toán 12, dạng toán lập phương trình mặt phẳng tạo với (P), (d) một góc lớn nhất hoặc nhỏ nhất thuộc nhóm bài cực trị trong không gian Oxyz có mức độ vận dụng cao. Để giải tốt, học sinh cần nắm vững công thức tính góc giữa mặt phẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với đường thẳng và biết cách khai thác điều kiện hình học bằng phương pháp tọa độ.

Bài tập. Trong không gian cho điểm , đường thẳng $\Delta$ có phương trình $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ và mặt phẳng

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa $\Delta$ và tạo với một góc nhỏ nhất;

b) Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai điểm và tạo với đường thẳng $\Delta$ một góc lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có $\overrightarrow{n_{P}} = (2; - 1;2)$ là VTPT

Đường thẳng $\Delta$ đi qua và có $\overrightarrow{u} = (2;1; - 1)$ là VTCP.

a) Cách 1: Tương tự như trên ta có

Gọi $\alpha = \left( \widehat{(P);(R)} \right);0^{0} \leq \alpha \leq 90^{0}$ .

Ta có:

$\cos\alpha = \frac{\left| 2a - b + 2(2a + b) \right|}{3\sqrt{a^{2} + b^{2} + (2a + b)^{2}}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{b^{2} + 12ba + 36a^{2}}{2b^{2} + 4ab + 5a^{2}}}$ .

Nếu $a = 0 \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{3\sqrt{2}}$

Nếu $a \neq 0$ , đặt $t = \frac{b}{a}$ thì ta có:

$\frac{b^{2} + 12ba + 36a^{2}}{2b^{2} + 4ab + 5a^{2}} = \frac{t^{2} + 12t + 36}{2t^{2} + 4t + 5} = f(t)$

Khảo sát hàm số ta tìm được $\max f(t) = f\left( - \frac{7}{10} \right) = \frac{53}{6}$

Suy ra $\max\left\{ \cos\alpha \right\}$ đạt được khi $\frac{b}{a} = - \frac{7}{10}$ , chọn $b = - 7 \rightarrow a = 10$

Vậy phương trình .

Cách 2: Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với

Ta có phương trình $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = - t \\ z = - 1 + 2t \end{matrix} \right.$ , lấy $C(3; - 1;1) \in d;C \neq B$

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên và $\Delta$ , khi đó $\alpha = \widehat{BCH}$ và

$\sin\alpha = \sin\widehat{BCH} = \frac{BH}{BC} \geq \frac{BK}{BC}$ .

Mà $\frac{BK}{BC}$ không đổi, nên suy ra $\alpha$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow H \equiv K$ hay là mặt phẳng đi qua $\Delta$ và vuông góc với mặt phẳng .

Mặt phẳng đi qua $\Delta$ và vuông góc với nên $\overrightarrow{n_{1}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{u} \right\rbrack = ( - 1;6;4)$ là VTPT của .

Do đi qua $\Delta$ và vuông góc với nên $\overrightarrow{n_{R}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{1}};\overrightarrow{u} \right\rbrack = (10; - 7;13)$ là VTPT của , suy ra phương trình của .

b) Cách 1: Giả sử phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng:

Do $M;N \in (\alpha)$ nên $\left\{ \begin{matrix} a + b + c + d = 0 \\ - a + 2b - c + d = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} d = - \frac{3}{2}d \\ c = - a + \frac{1}{2}b \end{matrix} \right.$

Ta viết lại dạng phương trình của $(\alpha)$ như sau:

Suy ra $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (2a;2b;b - 2a)$ là VTPT của $(\alpha)$ .

Gọi $\varphi = \left( \widehat{\Delta;(\alpha)} \right)$

Ta có: $\sin\varphi = \frac{\left| \overrightarrow{n_{\alpha}}.\overrightarrow{u} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{\alpha}} \right|.\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{|4a + 2b - b + 2a|}{\sqrt{6}.\sqrt{4a^{2} + 4b^{2} + (b - 2a)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{6}}\frac{\sqrt{b^{2} + 12ab + 36a^{2}}}{\sqrt{5b^{2} - 5ab + 8a^{2}}}$

Nếu $a = 0 \Rightarrow \sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , với $a \neq 0$ , đặt $t = \frac{b}{a};t\mathbb{\in R}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{t^{2} + 12t + 36}{5t^{2} - 4t + 8}$ ta tìm được $\max f(t) = f\left( \frac{5}{8} \right) = \frac{53}{9}$ .

Do đó $\varphi_{\max} \Leftrightarrow \sin\varphi_{\max} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = \frac{5}{8}$ , chọn

Vậy phương trình của $(\alpha):16x + 10y - 11z - 15 = 0$ .

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow{NM} = (2; - 1;2)$ là VTCP của , suy ra phương trình đường thẳng $MN:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 - t \\ z = 1 + 2t \end{matrix} \right.\ ;t\mathbb{\in R}$ .

Gọi là đường thẳng đi qua , song song với $\Delta$ . Suy ra phương trình $d:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{matrix} \right.\ ;t\mathbb{\in R}$

Trên ta lấy điểm .

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên $(\alpha)$ và MN, khi đó $\widehat{\left( (\alpha);\Delta \right)} = \widehat{ABH}$ .

Ta có: $\cos\widehat{ABH} = \frac{BH}{BA} \geq \frac{BK}{BA}$ , mà $\frac{BK}{BA}$ không đổi nên $\widehat{ABH}$ lớn nhất $\Leftrightarrow H \equiv K$

Hay $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng $(\beta) \equiv (MN,d)$

Ta có: $\overrightarrow{n_{\beta}} = \left\lbrack \overrightarrow{NM};\overrightarrow{u} \right\rbrack = ( - 1;6;4)$ là VTPT của $(\beta)$

Suy ra $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{NM};\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack = ( - 16; - 10;11)$ là VTPT của $(\alpha)$

Vậy phương trình của $(\alpha):16x + 10y - 11z - 15 = 0$ .

-------------------------------------------------------------

Dạng toán lập phương trình mặt phẳng để góc đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là chuyên đề quan trọng trong hình học tọa độ Oxyz lớp 12. Khi nắm chắc công thức và phương pháp xử lý cực trị, học sinh sẽ tự tin chinh phục các câu hỏi vận dụng cao trong đề thi.

Luyện tập mở rộng

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: