Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 89.000đ

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm ẩn Phần 2

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Câu hỏi trắc nghiệm tính đơn điệu hàm ẩn Toán 12

Tiếp nối phần trước, chuyên đề trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm ẩn Phần 2 tập trung vào các dạng bài nâng cao trong Toán 12. Đây là dạng toán thường xuất hiện trong đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán, đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt đạo hàm và kỹ năng biến đổi. Bài viết giúp bạn luyện tập chuyên sâu và tăng tốc độ làm bài.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số \ y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị như hình vẽ bên.

    Hỏi hàm số y = g(x) = e^{2017f(x - 2020) + 2018} + \pi^{2019f(x - 2020)} nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    +) Xét hàm số y = g(x) = e^{2017f(x - 2020) + 2018} + \pi^{2019f(x - 2020)} xác định và liên tục trên \mathbb{R}.

    Ta có

    g'(x) = 2017f'(x - 2020)e^{2017f(x - 2020) + 2018} + 2019ln\pi f'(x - 2020)\pi^{2019f(x - 2020)}

    g'(x) = f'(x - 2020)\left\lbrack 2017e^{2017f(x - 2020) + 2018} + 2019\pi^{2019f(x - 2020)}\ln\pi \right\rbrack\ \ ,\ \ \forall x\mathbb{\in R}.

    +) Do 2017e^{2017f(x - 2020) + 2018} + 2019\pi^{2019f(x - 2020)}\ln\pi > 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R} nên

    g'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(x - 2020) < 0.

    Hơn nữa từ đồ thị của hàm số \ y = f(x), ta thấy hàm số \ y = f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng (0;\ \ 2) và (4;\ \ + \infty),

    Suy ra f'(x) < 0,\ \ \forall x \in (0;\ \ 2) \cup (4;\ \ + \infty).

    Khi đó bất phương trình f'(x - 2020) < 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 0 < x - 2018 < 2 \\ x - 2018 > 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2018 < x < 2020 \\ x > 2022 \end{matrix} \right.

    +) Vậy g'(x) < 0,\ \ \forall x \in (2018;\ \ 2020) \cup (2022;\ \ + \infty).

    Khi đó hàm số y = g(x) nghịch biến trên mỗi khoảng (2018;\ \ 2020) và (2022;\ \ + \infty).

  • Câu 2: Vận dụng
    Định khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có f'(x) = (x - 3)(x - 4)(x - 2)^{2}(x - 1),\ \forall x\mathbb{\in R}. Hàm số y = g(x) = f(x) + \frac{x^{4}}{4} - \frac{5x^{3}}{3} + 4x^{2} - 4x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có

    g'(x) = f'(x) + x^{3} - 5x^{2} + 8x - 4= f'(x) + (x - 1)(x - 2)^{2}

    = (x - 1)(x - 2)^{2}(x^{2} - 7x + 13).

    Khi đó g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 2 \end{matrix}. \right.

    Bảng xét dấu của hàm số g'(x) như sau

    nhap 10

    Vậy hàm số y = g(x) nghịch biến trên ( - \infty;1).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Tính giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m

    Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình vẽ

    Giá trị nguyên nhỏ nhất của tham số m để phương trìnhe^{f^{3}(x) + 2f^{2}(x) - 7f(x) + 5} + \ln\left( f(x) + \frac{1}{f(x)} \right) = m có nghiệm là

    Hướng dẫn:

    Quan sát đồ thị ta thấy 1 \leq f(x) \leq 5,\ \forall x \in \mathbb{R}, đặt t = f(x) giả thiết trở thành e^{t^{3} + 2t^{2} - 7t + 5} + \ln\left( t + \frac{1}{t} \right) = m.

    Xét hàm: g(t) = t^{3} + 2t^{2} - 7t + 5,\ \ \ \ t \in \lbrack 1;5\rbrack

    \ g^{'(t)} = 3t^{2} + 4t - 7 \geq 0\ \forall\ t \geq 1

    \Rightarrow g(1) \leq g(t) \leq g(5) \Leftrightarrow 1 \leq g(t) \leq 145.

    Mặt khác h(t) = t + \frac{1}{t},\ h^{'(t)} = 1 - \frac{1}{t^{2}} \geq 0;

    \ \forall\ t \in \lbrack 1;5\rbrack \Rightarrow 2 \leq h(t) \leq \frac{26}{5}.

    Do đó hàm u(t) = e^{t^{3} + 2t^{2} - 7t + 5} + \ln\left( t + \frac{1}{t} \right) đồng biến trên đoạn \lbrack 1;5\rbrack.

    Suy ra: Phương trình đã cho có nghiệm \Leftrightarrow e + ln2 \leq m \leq e^{145} + \ln\frac{26}{5}.

    Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của m là 4.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Xác định các giá trị tham số m

    Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình m\left( 1 + \sqrt{x^{2} - 2x + 2} \right) + x(2 - x) \leq 0 có nghiệm thuộc đoạn \left\lbrack 0;1 + \sqrt{3} \right\rbrack.

    Hướng dẫn:

    Ta có: m\left( 1 + \sqrt{x^{2} - 2x + 2} \right) + x(2 - x) \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x^{2} - 2x}{1 + \sqrt{x^{2} - 2x + 2}} \geq m

    Đặt t = \sqrt{x^{2} - 2x + 2}\ \ ,\ x \in \ \left\lbrack 0;1 + \sqrt{3} \right\rbrack.

    Khi đó:

    t' = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2x + 2}}\ ,\ \ t' = 0 \Leftrightarrow x = 1

    Bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên ta suy ra t \in \ \lbrack 1;2\rbrack. Khi đó bất phương trình trở thành:

    \frac{t^{2} - 2}{t + 1} \geq m có nghiệm t \in \ \lbrack 1;2\rbrack \Leftrightarrow \max_{\ \lbrack 1;2\rbrack}\left( \frac{t^{2} - 2}{t + 1} \right) \geq m

    Đặt f(t) = \frac{t^{2} - 2}{t + 1},\ \ t \in \ \lbrack 1;2\rbrack. Khi đó:

    f'(t) = \frac{t^{2} + 2t + 2}{(t + 1)^{2}} > 0,\ \ \forall t \in \ \lbrack 1;2\rbrack

    Bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên ta suy ra \max_{\ \lbrack 1;2\rbrack}f(t) = \frac{2}{3}. Vậy \frac{2}{3} \geq m hay m \leq \frac{2}{3}.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)(x + 2)^{2};\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số y = g(x) = f(x) - 2x^{2} + 4x đồng biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g'(x) = f'(x) - 4x + 4

    = (x - 1)(x + 2)^{2} - 4(x - 1)

    = (x - 1)\left( x^{2} + 4x \right);\forall x\mathbb{\in R}

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x - 1 = 0 \\ x^{2} + 4x = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ x = - 4 \end{matrix} \right.

    Bảng xét dấu

    Kết luận: Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng y = g(x)

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)^{2}\left( x^{2} - mx + 9 \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g(x) = e^{f(x)}đồng biến trên khoảng (0; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Ta có g'(x) = f'(x).e^{f(x)}.

    Hàm số g(x)đồng biến trên khoảng (0; + \infty) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0,\ \forall x \in (0; + \infty)

    \Leftrightarrow f'(x) \geq 0,\ \forall x \in (0; + \infty)

    \Leftrightarrow x(x - 1)^{2}\left( x^{2} - mx + 9 \right) \geq 0,\ \forall x \in (0; + \infty)

    \Leftrightarrow m \leq \frac{x^{2} + 9}{x},\ \forall x \in (0; + \infty)

    \Leftrightarrow m \leq \min_{(0; + \infty)}h(x) với h(x) = x + \frac{9}{x},\forall x \in (0; + \infty).

    Ta có: h(x) = x + \frac{9}{x} \geq 2\sqrt{x.\frac{9}{x}} = 6,\forall x \in (0; + \infty) nên m \leq 6\overset{m \in \mathbb{Z}^{+}}{\rightarrow}m \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn \lbrack - 10;10\rbrack để bất phương trình \sqrt{(m + 2)x - m} \geq |x + 1| có nghiệm thuộc đoạn \lbrack - 2;2\rbrack.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sqrt{(m + 2)x - m} \geq |x + 1| \Leftrightarrow (m + 2)x - m \geq (x + 1)^{2}

    \Leftrightarrow x^{2} + 1 \leq m(x - 1) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{x^{2} + 1}{x - 1} \leq m\ neu\ m \in (1;2\rbrack \\ \frac{x^{2} + 1}{x - 1} \geq m\ \ neu\ m \in \lbrack - 2;1) \end{matrix} \right.

    Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \lbrack - 2;2\rbrack \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \min_{(1;2\rbrack}\left( \frac{x^{2} + 1}{x - 1} \right) \leq m\ \\ \max_{\lbrack - 2;1)}\left( \frac{x^{2} + 1}{x - 1} \right) \geq m\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)

    Đặt f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x - 1},\ \ x \in \ \lbrack - 2;2\rbrack.

    Khi đó: f'(x) = \frac{x^{2} - 2x - 1}{(x - 1)^{2}}, f'(x) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}

    \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = - \infty,\ \ \lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = + \infty

    (*) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 5 \leq m\ \\ 2 - 2\sqrt{2} \geq m\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 5\ \ \\ m \leq 2 - 2\sqrt{2} \end{matrix} \right.

    \Rightarrow m \in \left\{ - 10; - 9; - 8;...; - 1;5;6;7;8;9;10 \right\}.

    Vậy Có 16 giá trị m thỏa đề.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = 3x^{2} + 6x + 1,\forall x \in R. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng ( - 50;50) của tham số m để hàm số g(x) = f(x) - (m + 1)x - 2 nghịch biến trên khoảng (0;2)?

    Hướng dẫn:

    Ta có g(x) = f(x) - (m + 1)x - 2 \Rightarrow g'(x) = f'(x) - (m + 1)

    Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;\ \ 2) khi

    g'(x) \leq 0,\ \forall x \in (0;\ 2) (dấu '' = ''chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng (0;\ \ 2)).

    \Leftrightarrow f'(x) - (m + 1) \leq 0,\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow 3x^{2} + 6x \leq m\ ,\forall x \in (0;2)\ \begin{matrix} & & \end{matrix}(*)

    Xét hàm số h(x) = 3x^{2} + 6x,x \in (0;\ 2).

    Ta có h'(x) = 6x + 6 > 0,\ \forall x \in (0;\ 2).

    Bảng biến thiên:

    Nhìn bảng biến thiên suy ra điều kiện để (*) xảy ra là: m \geq 24.

    Do m \in Z, thuộc khoảng ( - 50;50) nên m \in \lbrack 24;50)và m \in Z hay m \in \left\{ 24,25,...,49 \right\}.

    Vậy có 26 số nguyên m thỏa mãn.

  • Câu 9: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên

    Và hàm số y = g(x) có bảng biến thiên

    Hàm số y = f(x).g(x) + \sqrt{2x + 3} - \frac{1}{x + 2} chắc chắn đồng biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Xét y = f(x).g(x) + \sqrt{2x + 3} - \frac{1}{x + 2}.

    Tập xác định: D = \left\lbrack - \frac{3}{2};1 \right\rbrack. Từ tập xác định loại được phương án ( - 2;1), (1;4)

    Ta có:

    y' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)+ \frac{2}{\sqrt{2x + 3}}+ \frac{1}{(x + 2)^{2}} > 0,\forall x \in (- 1;1).

    Với phương án “\left( - \frac{3}{2};1 \right)”, có g'(x) < 0 trên \left( - \frac{3}{2}; - 1 \right) nên chưa kết luận được về dấu của hàm số cần xét.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R}và f'(x) = x^{2}(x - 1)(4 - x)

    Hàm số y = g(x) = f(x) + f(1 - x) đồng biến trên khoảng

    Hướng dẫn:

    Ta có

    g'(x) = f'(x) - f'(1 - x)

    = x^{2}(x - 1)(4 - x) - (1 - x)^{2}( - x)(x + 3)g'(x)

    = x(x - 1)\left\lbrack x(4 - x) + (x - 1)(x + 3) \right\rbrack

    = x(x - 1)(6x - 3)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \\ x = 1 \end{matrix} \right..

    Ta có bảng biến thiên :

  • Câu 11: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và hàm f'(x) có đồ thị như hình vẽ.

    Hàm số g(x) = 2018^{2019 - 2f(x) + 2f^{2}(x) - f^{3}(x)} nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Xét g'(x) = - f'(x).\left\lbrack3f^{2}(x) - 4f(x) + 2 \right\rbrack.2018^{2019 - 2f(x) + 2f^{2}(x) -f^{3}(x)}.\ln2018

    Có g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{matrix} \right., trong đó x = 1 là nghiệm kép.

    Bảng xét dấu của g'(x):

    Từ bảng, suy ra hàm số nghịch biến trên (2;3), do (2;3) \subset (2; + \infty).

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có đồ thị y = f'(x) như hình vẽ sau

    Hỏi đồ thị hàm số g(x) = f\left( e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)} \right) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g'(x) = \left( 3f'(x).e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)}.f'(x).ln2 \right).f'\left( e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)} \right)

    = f'(x).\left( 3.e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)}.ln2 \right).f'\left( e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)} \right)

    ycbt \Leftrightarrow g'(x) < 0. Mà ta thấy rằng:

    \left\{ \begin{matrix} 3.e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)}.ln2 > 0 \\ e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)} > 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 3.e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)}.ln2 > 0 \\ f'\left( e^{3f(x) + 1} + 2^{f(x)} \right) > 0 \end{matrix} \right.

    Suy ra g^{'(x)} < 0 \Leftrightarrow f^{'(x)} < 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 5 \\ x_{0} < x < - 1\left( x_{0} \in \left( - 3;\frac{- 7}{4} \right) \right) \end{matrix} \right.

    Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên ( - \infty; - 5).

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Xác định khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f'(x - 1) có đồ thị như hình vẽ.

    Hàm số y = \pi^{2f(x) - 4x} đồng biến trên khoảng

    Hướng dẫn:

    Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f'(x - 1) sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = f'(x) như sau

    Xét hàm số y = \pi^{2f(x) - 4x}. Tập xác định D\mathbb{= R}.

    y' = \pi^{2f(x) - 4x} \cdot (2f'(x) - 4) \cdot \ln\pi

    y' = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 2 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{matrix} \right..

    Ta có bảng biến thiên như sau

    Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng (0; + \infty).

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x)có bảng biến thiên như sau

    Hàm số y = e^{f(x) - m^{2} + 2}nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm sốy = g(x) = e^{f(x) - m^{2} + 2}.

    Ta có g'(x) = f'(x).e^{f(x) - m^{2} + 2}, e^{f(x) - m^{2} + 2} > 0\forall x\mathbb{\in R}.

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 4 \end{matrix} \right..

    Bảng biến thiên:

    Vậy hàm số y = g(x) = e^{f(x) - m^{2} + 2} nghịch biến trên khoảng ( - \infty; - 1) \cup (0;4).

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)^{2}\left( x^{2} + mx + 16 \right). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m \in \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số g(x) = f(x) + \frac{1}{4}x^{4} - \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + 2019 đồng biến trên khoảng (5; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Ta có

    g'(x) = f'(x) + x^{3} - 2x^{2} + x

    = x(x - 1)^{2}\left( x^{2} + mx + 16 \right) + x(x - 1)^{2}

    = x(x - 1)^{2}\left( x^{2} + mx + 17 \right).

    Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (5; + \infty) thì g'(x) \geq 0\forall x \in (5; + \infty)

    \Leftrightarrow x(x - 1)^{2}\left( x^{2} + mx + 17 \right) \geq 0\forall x > 5

    \Leftrightarrow x^{2} + mx + 17 \geq 0\forall x > 5

    \Leftrightarrow m \geq \frac{- x^{2} - 17}{x}\forall x > 5.

    Xét hàm số h(x) = \frac{- x^{2} - 17}{x} = - x - \frac{17}{x} trên khoảng (5; + \infty)

    h'(x) = - 1 + \frac{17}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{17}.

    Từ bảng biến thiên suy ra m \geq - \frac{42}{5}.

    Vậy có 2028 giá trị của m thỏa mãn bài ra.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

    Hàm số y = e^{f(x) - m^{2} + 2} nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = g(x) = e^{f(x) - m^{2} + 2}.

    g'(x) = f'(x).e^{f(x) - m^{2} + 2}, e^{f(x) - m^{2} + 2} > 0\forall x\mathbb{\in R}.

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 4 \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên:

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = \left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - x - 2 \right). Hỏi hàm số g(x) = f\left( x - x^{2} \right) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - x - 2 \right) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 1 = 0 \\ x^{2} - x - 2 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 2 \end{matrix} \right..

    Bảng xét dấu f'(x)

    Ta có :

    g'(x) = (1 - 2x)f'\left( x - x^{2} \right).

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow (1 - 2x)f'\left( x - x^{2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 - 2x = 0 \\ f'\left( x - x^{2} \right) = 0 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ x - x^{2} = - 1 \\ x - x^{2} = 1 \\ x - x^{2} = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{1}{2} \\ x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{matrix} \right..

    Bảng xét dấu g'(x)

    Từ bảng xét dấu suy ra hàm số g(x) = f\left( x - x^{2} \right) đồng biến trên khoảng ( - \infty; - 1).

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tính giá trị của biểu thức T

    Biết rằng bất phương trình m\left( |x| + \sqrt{1 - x^{2}} + 1 \right) \leq 2\sqrt{x^{2} - x^{4}} + \sqrt{x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}} + 2 có nghiệm khi và chỉ khi m \in \left( - \infty;\ a\sqrt{2} + b \right\rbrack, với a,\ b\mathbb{\in Z}. Tính giá trị của T = a + b.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện - 1 \leq x \leq 1.

    Xét hàm số g(x) = \sqrt{x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}} trên đoạn \lbrack - 1;\ 1\rbrack.

    Ta có : g'(x) = x\left( \frac{1}{\sqrt{x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} \right), g'(x) = 0

    \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}} = \sqrt{1 - x^{2}} \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}.

    g'(x) không xác định khi x = 0,\ \ x = \pm 1.

    Bảng biến thiên :

    Suy ra 1 \leq g(x) \leq \sqrt{2}.

    Đặt t = \sqrt{x^{2}} + \sqrt{1 - x^{2}}, 1 \leq t \leq \sqrt{2}. Bất phương trình trở thành:

    m(t + 1) \leq t^{2} + t + 1 \Leftrightarrow m \leq t + \frac{1}{t + 1} (Do 1 \leq t \leq \sqrt{2} nên t + 1 > 0).

    Xét hàm số f(t) = t + \frac{1}{t + 1} trên đoạn \left\lbrack 1;\ \sqrt{2} \right\rbrack.

    Có f'(t) = 1 - \frac{1}{(t + 1)^{2}} > 0,\ \ \forall x \in \left\lbrack 1;\ \sqrt{2} \right\rbrack. Bảng biến thiên :

    Do đó, \max_{\left\lbrack 1;\ \sqrt{2} \right\rbrack}f(t) = f\left( \sqrt{2} \right) = 2\sqrt{2} - 1.

    Suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm khi m \leq \max_{\left\lbrack 1;\ \sqrt{2} \right\rbrack}f(t) hay m \leq 2\sqrt{2} - 1.

    Do đó, a = 2, b = - 1.Vậy T = 1.

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có f'(x) = x^{2}(x - 1)^{2}(x - 3). Hàm số g(x) = f(x) + \frac{1}{3}x^{3} - 5 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: g'(x) = f'(x) + x^{2},

    g^{'(x)} = 0 \Leftrightarrow x^{2}(x - 1)^{2}(x - 3) = - x^{2}\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ (x - 1)^{2}(x - 3) = - 1 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{3} - 5x^{2} + 7x - 2 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{matrix} \right.

    Ta có bảng xét dấu của g'(x):

    Dựa vào bảng xét dấu g'(x) ta thấy trên khoảng \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\ ;\ \ 2 \right) thì hàm số y = g(x) đồng biến.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính khoảng đồng biến của hàm số trên khoảng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 2x \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên m < 100 để hàm số g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right) + m^{2} + 1. đồng biến trên khoảng (4; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Ta có f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 2x \right) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < 0 \\ x > 2 \end{matrix} \right.\ .

    Xét g'(x) = (2x - 8).f'\left( x^{2} - 8x + m \right).

    Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (4; + \infty) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0,\forall x > 4

    \Leftrightarrow (2x - 8).f'\left( x^{2} - 8x + m \right) \geq 0,\forall x > 4

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} - 8x + m \right) \geq 0,\forall x > 4

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 8x + m \leq 0,\ \ \forall x \in (4; + \infty) \\ x^{2} - 8x + m \geq 2,\ \ \forall x \in (4; + \infty) \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 18

    Vậy 18 \leq m < 100..

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (75%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
25 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này