Sử dụng phương sai và độ lệch chuẩn để đo độ rủi ro
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Phương sai và độ lệch chuẩn là hai chỉ số thống kê quan trọng giúp đo lường mức độ biến động và sự phân tán của dữ liệu. Trong các lĩnh vực như tài chính, đầu tư, hay quản lý rủi ro, việc sử dụng phương sai và độ lệch chuẩn để đo độ rủi ro là một phương pháp phổ biến và hiệu quả. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách các chỉ số này được ứng dụng để phân tích rủi ro, từ đó đưa ra quyết định chính xác hơn trong việc đưa ra kết quả cho các bài toán thực tế thi THPT Quốc gia môn Toán. Cùng tìm hiểu ngay nhé!
A. Cách xác định độ rủi ro
Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:
|
Nhóm |
 \(\left\lbrack a_{1};a_{2}
\right)\) |
\(...\) |
\(\left\lbrack a_{i};a_{i + 1}
\right)\) |
\(...\) |
\(\left\lbrack a_{k};a_{k + 1}
\right)\) |
|
Tần số |
\(m_{1}\) |
\(...\) |
\(m_{i}\) |
\(...\) |
\(m_{k}\) |
Phương sai \(s^{2}\) được tính như sau:
- Bước 1: Tính giá trị đại diện mỗi nhóm \(x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}\ ;\ i =
1,2,3,...,k\).
- Bước 2: Tính \(n = m_{1} + m_{2} + ... +
m_{k}\).
- Bước 3: \(\overline{x} = \frac{m_{1}.x_{1}
+ m_{2}.x_{2} + ... + m_{k}.x_{k}}{n}\).
- Bước 4: Phương sai \(s^{2} =
\frac{m_{1}.\left( x_{1} - \overline{x} \right)^{2} + m_{2}.\left( x_{2}
- \overline{x} \right)^{2} + ... + m_{k}.\left( x_{k} - \overline{x}
\right)^{2}}{n}\)
Hoặc: \(s^{2} = \frac{1}{n}\left(
m_{1}.{x_{1}}^{2} + m_{2}.{x_{2}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right)
- \left( \overline{x} \right)^{2}\).
- Bước 5: Độ lệch chuẩn \(S =
\sqrt{S^{2}}\)
Ý nghĩa: Khi hai mẫu số liệu ghép nhóm có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng xấp xỉ nhau, mẫu số liệu nào có phương sai và độ lệch chuẩn cao hơn thì mức độ rủi ro lớn hơn.
Trong các lĩnh vực như tài chính, kinh tế, hay quản lý dự án, độ rủi ro thể hiện sự không chắc chắn hoặc mức biến động của kết quả (lợi nhuận, chi phí, thời gian hoàn thành, ...).
- Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức biến động của kết quả.
- Một độ lệch chuẩn lớn nghĩa là giá trị có thể dao động nhiều, rủi ro cao hơn.
- Một độ lệch chuẩn nhỏ nghĩa là kết quả ổn định, ít biến động, rủi ro thấp.
B. Bài tập minh họa xác định rủi ro có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1. Giá đóng cửa của một cổ phiếu là giá của cổ phiếu đó cuối một phiên giao dịch. Bảng sau thống kê giá đóng của (đơn vị là nghìn đồng) của hai mã cổ phiếu \(A\) và \(B\) trong \(50\) ngày giao dịch liên tiếp.
|
Giá đóng cửa |
\(\lbrack 120;122)\) |
\(\lbrack 122;124)\) |
\(\lbrack 124;126)\) |
\(\lbrack 126;128)\) |
\(\lbrack 128;130)\) |
|
Cổ phiếu A |
9 |
8 |
11 |
13 |
9 |
|
Cổ phiếu B |
14 |
6 |
5 |
20 |
5 |
⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mã cổ phiếu \(A\), \(B\). (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
⑵ So sánh độ rủi ro của cố phiếu \(A\) và \(B\)?
Hướng dẫn giải
⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mã cổ phiếu \(A\), \(B\).
Số trung bình của cổ phiếu \(A\) là \({\overline{x}}_{A} = \frac{n_{1}x_{1} +
n_{2}x_{2} + \ldots + n_{k}x_{k}}{N} = 125,2\).
Phương sai của cổ phiếu \(A\) là \(S_{A}^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} -
\overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2}
+ \ldots + n_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{N} =
7,4\).
Độ lệch chuẩn của cổ phiếu \(A\) là \(S_{A} = \sqrt{{S_{A}^{2}}^{2}} \approx
2,7\).
Số trung bình của cổ phiếu \(B\) là \({\overline{x}}_{B} = \frac{n_{1}x_{1} +
n_{2}x_{2} + \ldots + n_{k}x_{k}}{N} = 124,8\).
Phương sai của cổ phiếu \(B\) là \(S_{B}^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} -
\overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2}
+ \ldots + n_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{N} =
8,1\).
Độ lệch chuẩn của cổ phiếu \(B\) là \(S_{B} = \sqrt{S_{B}^{2}} \approx
2,9\).
⑵ So sánh độ rủi ro của cố phiếu \(A\) và \(B\)?
Vì độ lệch chuẩn về giá của cổ phiếu \(A\) nhỏ hơn độ lệch chuẩn về giá của cổ phiếu \(B\) nên cổ phiếu \(A\) có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu \(B\).
Bài tập 2. Chỉ số P/B (viết tắt của từ Price to book ratio) là một chỉ số tài chính quan trọng, được sử dụng để so sánh giữa giá của cổ phiếu với giá trị ghi sổ của cổ phiếu đó. Khi chỉ số P/B cao, nghĩa là thị trường đang có nhiều kỳ vọng đối với cổ phiếu này, doanh nghiệp có tiềm năng phát triển tốt trong tương lai. Bảng sau thống kê chỉ số P/B của hai mã cổ phiếu \(A\) và \(B\) trong \(10\) năm giao dịch liên tiếp.
|
Giá đóng cửa |
\(\lbrack 0;2)\) |
\(\lbrack 2;4)\) |
\(\lbrack 4;6)\) |
\(\lbrack 6;8)\) |
\(\lbrack 8;10)\) |
\(\lbrack 10; 12)\) |
|
Cổ phiếu A |
1 |
0 |
4 |
2 |
2 |
1 |
|
Cổ phiếu B |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
1 |
⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mã cổ phiếu \(A\), \(B\). (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
⑵ So sánh độ rủi ro của cố phiếu \(A\) và \(B\)? Biết rằng các chỉ số tài chính còn lại của hai cổ phiếu đó là xấp xỉ nhau.
Hướng dẫn giải
⑴ Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai mã cổ phiếu \(A\), \(B\).
Số trung bình của cổ phiếu \(A\) là \({\overline{x}}_{A} = \frac{n_{1}x_{1} +
n_{2}x_{2} + \ldots + n_{k}x_{k}}{N} = 6,4\).
Phương sai của cổ phiếu \(A\) là \(S_{A}^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} -
\overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2}
+ \ldots + n_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{N} =
7,2\).
Độ lệch chuẩn của cổ phiếu \(A\) là \(S_{A} = \sqrt{S_{A}^{2}} \approx
2,7\).
Số trung bình của cổ phiếu \(B\) là \({\overline{x}}_{B} = \frac{n_{1}x_{1} +
n_{2}x_{2} + \ldots + n_{k}x_{k}}{N} = 6,4\).
Phương sai của cổ phiếu \(B\) là \(S_{B}^{2} = \frac{n_{1}\left( x_{1} -
\overline{x} \right)^{2} + n_{2}\left( x_{2} - \overline{x} \right)^{2}
+ \ldots + n_{k}\left( x_{k} - \overline{x} \right)^{2}}{N} =
9,6\).
Độ lệch chuẩn của cổ phiếu \(B\) là \(S_{B} = \sqrt{S_{B}^{2}} \approx
3,1\).
⑵ So sánh độ rủi ro của cố phiếu \(A\) và \(B\)?
Vì độ lệch chuẩn về chỉ số P/B của cổ phiếu \(A\) nhỏ hơn độ lệch chuẩn của cổ phiếu \(B\) nên cổ phiếu \(A\) có độ rủi ro thấp hơn cổ phiếu \(B\).
---------------------------------------------------
Qua bài viết này, bạn đã có cái nhìn tổng quan về cách sử dụng phương sai và độ lệch chuẩn để đo độ rủi ro trong các tình huống thực tế. Việc hiểu rõ cách thức áp dụng các chỉ số này sẽ giúp bạn đưa ra các quyết định tài chính thông minh và quản lý rủi ro hiệu quả. Để phát triển kỹ năng phân tích rủi ro, hãy luyện tập và áp dụng kiến thức vào các bài toán thực tế. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao trong các kỳ thi và công việc nghiên cứu của mình!
