Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề: Đại số

Các dạng toán giải phương trình, hệ phương trình VDC

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ: ĐẠI SỐ

Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán, các bài toán đại số liên quan đến phương trình và hệ phương trình mức độ vận dụng cao (VDC) thường xuất hiện ở những câu hỏi phân loại trong đề thi. Những dạng toán này đòi hỏi học sinh không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải linh hoạt kết hợp nhiều phương pháp giải như biến đổi đại số, đặt ẩn phụ, sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc đánh giá bất đẳng thức.

Bài viết “Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán – Chuyên đề: Đại số” được xây dựng nhằm hệ thống lại các dạng toán giải phương trình và hệ phương trình vận dụng cao thường gặp trong đề thi chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam . Nội dung không chỉ giúp học sinh củng cố lý thuyết mà còn cung cấp nhiều bài tập tiêu biểu để rèn luyện tư duy phân tích và kỹ năng xử lý bài toán phức tạp.

Thông qua việc luyện tập theo từng dạng toán cụ thể, học sinh sẽ từng bước nâng cao khả năng nhận diện cấu trúc bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp và tối ưu thời gian làm bài. Đây là tài liệu hữu ích cho quá trình luyện đề, ôn tập chuyên sâu và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

Vấn đề 1: Phương trình chứa căn

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

B. Đề thi luyện tập

Bài 1. Giải phương trình: $3\sqrt{2 + x} - 6\sqrt{2 - x} + 4\sqrt{4 - x^{2}} = 10 - 3x\ (x \in R)$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $- 2 \leq x \leq 2$ .

Đặt $t = 3\sqrt{2 + x} - 6\sqrt{2 - x}$

$\Rightarrow t^{2} = 9(2 + x) - 36\sqrt{(2 + x)(2 - x)} + 36(2 - x)$

$= 9\left( 10 - 3x - 4\sqrt{4 - x^{2}} \right)$

Phương trình đã cho trở thành $t - \frac{t^{2}}{9} = 0 \Leftrightarrow t = 0$ hoặc .

Với $t = 0:3\sqrt{2 + x} - 6\sqrt{2 - x} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt{2 + x} = 6\sqrt{2 - x}$

$\Leftrightarrow 9\left( (2 + x) = 36(2 - x) \Leftrightarrow x = \frac{6}{5} \right.$ (Thỏa điều kiện- $\left. \ 2 \leq x \leq 2 \right)$ .

Với $t = 9:3\sqrt{2 + x} - 6\sqrt{2 - x} = 9$ $\Leftrightarrow 3\sqrt{2 + x} = 6\sqrt{2 - x} + 9(*)$ .

Do $- 2 \leq x \leq 2$ nên $\left\{ \begin{matrix} 3\sqrt{2 + x} \leq 6 \\ 6\sqrt{2 - x} + 9 \geq 9 \end{matrix} \right.$ .

Suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm $x = \frac{6}{5}$ .

Cách khác:

Đặt $u = \sqrt{2 + x}$ và $v = \sqrt{2 - x}(u \geq 0,v \geq 0)$ thì:

$u.v = \sqrt{4 - x^{2}}$

$\left\{ \begin{matrix} u^{2} = 2 + x \\ v^{2} = 2 - x \end{matrix} \Rightarrow u^{2} + 4v^{2} = 10 - 3x \right.$ và $u^{2} + v^{2} = 4$

Do đó phương trình đã cho trở thành $\left\{ \begin{matrix} 3u - 6v + 4uv = u^{2} + 4v^{2} \\ u^{2} + v^{2} = 4 \end{matrix} \right.$ (1)

$\Leftrightarrow 3u - 6v = u^{2} + 4v^{2} - 4uv$

$\Leftrightarrow 3(u - 2v) = (u - 2v)^{2} \Leftrightarrow u - 2v = 0$ hoặc

Với thế vào (2) ta được $v^{2} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow v = \frac{2}{\sqrt{5}} \Rightarrow u = \frac{4}{\sqrt{5}}$

Với thế vào (2) ta được $(3 + 2v)^{2} + v^{2} = 4$

$\Leftrightarrow 5v^{2} + 12v + 5 = 0$

Phương trình này vô nghiệm vì $v \geq 0$ .

Bài 2: Giải phương trình $\sqrt{3x + 1} - \sqrt{6 - x} + 3x^{2} - 14x - 8 = 0(x \in \mathbb{R})$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6$

Với điều kiện $- \frac{1}{3} \leq x \leq 6$ , phương trình đã cho tương đương:

$(\sqrt{3x + 1} - 4) + (1 - \sqrt{6 - x}) + \left( 3x^{2} - 14x - 5 \right) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3x - 15}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{x - 5}{1 + \sqrt{6 - x}} + (x - 5)(3x + 1) = 0$

$\Leftrightarrow x - 5 = 0$ hay $\frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{1 + \sqrt{6 - x}} + (3x + 1) = 0$

Nhận xét: $x \geq - \frac{1}{3}$ nên $3x + 1 \geq 0$

Do đó $\frac{3}{\sqrt{3x + 1} + 4} + \frac{1}{1 + \sqrt{6 - x}} + (3x + 1) = 0$ vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm .

Vấn đề 2: Bất phương trình chứa căn

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ôn thi Đại học môn Toán - Chuyên đề: Đại số

B. Đề thi luyện tập

Bài 1. Giải phương trình: $2\sqrt[3]{3x - 2} + 3\sqrt{6 - 5x} - 8 = 0(x \in \mathbb{R})$ .

Hướng dẫn giải

Điều kiện $x \leq \frac{6}{5}$ . Khi đó đặt $u = \sqrt[3]{3x - 2}$ và $v = \sqrt{6 - 5x},v \geq 0$ (*)

Ta có $\left\{ \begin{matrix} u^{3} = 3x - 2 \\ v^{2} = 6 - 5x \end{matrix} \Rightarrow 5u^{3} + 3v^{2} = 8 \right.$

Phương trình đã cho trở thành hệ:

$\left\{ \begin{matrix} 2u + 3v = 8 \\ 5u^{3} + 3v^{2} = 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} v = \frac{8 - 2u}{3} \\ 5u^{3} + 3\left( \frac{8 - 2u}{3} \right)^{2} = 8 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} v = \frac{8 - 2u}{3} \\ 15u^{3} + 4u^{2} - 32u + 40 = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} v = \frac{8 - 2u}{3} \\ (u + 2)\left( 15u^{2} - 26u + 20 \right) = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} v = 4 \\ u = - 2 \end{matrix} \right.\ (tm)$

Thay vào (*) ta được:

$\left\{ \begin{matrix} \sqrt{6 - 5x} = 4 \\ \sqrt[3]{3x - 2} = - 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6 - 5x = 16 \\ 3x - 2 = - 8 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = - 2(tm)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm

(Còn tiếp)

-------------------------------------------------

Các bài toán phương trình và hệ phương trình vận dụng cao là phần kiến thức quan trọng giúp phân loại thí sinh trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp học sinh phát triển tư duy đại số, nâng cao khả năng biến đổi linh hoạt và rút ra các phương pháp giải nhanh hiệu quả.

Thông qua chuyên đề Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán – Đại số, học sinh có thể tiếp cận hệ thống bài tập được chọn lọc, bám sát định hướng ra đề của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam . Việc luyện tập theo từng dạng toán sẽ giúp người học nhận diện cấu trúc bài toán nhanh hơn, hạn chế sai sót và tối ưu thời gian làm bài trong phòng thi.

Để đạt kết quả tốt, học sinh nên kết hợp luyện tập thường xuyên, tổng hợp các phương pháp giải đặc trưng và rèn luyện kỹ năng phân tích đề bài. Khi nắm vững các dạng toán đại số quan trọng, việc chinh phục các câu hỏi vận dụng cao trong kỳ thi THPT Quốc gia sẽ trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

Tải về

Chọn file muốn tải về: