Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm Cực trị của hàm ẩn, hàm hợp Phần 1

Vì đồ thị hàm cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ và nên với là số thực khác

Vì đồ thị hàm đi qua điểm nên ta có Suy ra

Mà nên ta có được

Từ đó Mặt khác nên

Suy ra

Ta có

Bảng biến thiên

Vậy

Điều kiện:

Ta có ; giải phương trình và đổi dấu khi qua .

Do đó hàm số có một cực trị.

Ta có: .

Do đồ thị hàm số có một điểm cực trị là và nhận làm tâm đối xứng nên:

.

Vậy: . Suy ra .

Ta có:

.

Từ đồ thị hàm số ta thấy với mọi . Vì vậy dấu của là dấu của . Ta có bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số có điểm cực trị.

Từ với ta suy ra: Với ta có .

Do đó từ với , ta suy ra:

Với ta có .

Với các kết quả trên ta được

Suy ra

Do nên và với

Vì liên tục trên nên liên tục tại suy ra

Hay với .

Khi đó .

Ta có , không xác định khi .

Bảng biến thiên của :

Từ đó suy ra . Vậy .

Điều kiện : .

Ta có: .

Dấu của là dấu của .

Dễ thấy trên hàm số đạt cực đại tại duy nhất 1 điểm .

Do đó hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

Ta có . khi đó .

Hàm số có điểm cực trị có nghiệm phân biệt .

Các điểm cực trị của đồ thị là , ,

Ta có: , .

Gọi là trung điểm .

Suy ra và .

.

Ta có:

.

Suy ra hàm số có hai điểm cực trị.

Tập xác định .

Ta có và .

Vì và là điểm cực trị nên

.

Vậy .

Ta có: , .

Để hàm số có cực đại cực tiểu thì .

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: , .

Ta có là trung điểm của đoạn thẳng .

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là .

Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua thì:

.

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực là .

Ta có:

.

Suy ra đổi dấu khi qua hai điểm .

Ta có: .

, .

có 3 nghiệm đơn phân biệt , , khác và .

Vì nên có 3 nghiệm đơn phân biệt , , khác , , , , .

Suy ra có 8 nghiệm đơn phân biệt. Do đó hàm số có 8 điểm cực trị.

Ta có .

.

Đặt ta được .

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng  : (hình vẽ)

Dựa vào đồ thị của và đường thẳng ta có

ta có hay .

Bảng biến thiên của hàm số .

Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.

Từ đồ thị ta có: có nghiệm đơn là và nghiệm kép .

Và có 3 nghiệm đơn ; và .

Ta có: có các nghiệm đơn là và nghiệm bội 3 là .

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu.

Do hàm số có đúng hai điểm cực trị nên phương trình có hai nghiệm bội lẻ phân biệt .

Ta có .

.

Ta có

Do đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số có 3 cực trị. Chọn phương án B.

Ta có:

.

.

Xét hàm số có .

Ta thấy có một nghiệm nên có tối đa hai nghiệm.

+) TH1: Nếu có nghiệm hoặc .

Với thì là nghiệm bội của . Khi đó là nghiệm bội 7 của và đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm nên là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy thỏa ycbt.

Với thì .

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy không thỏa ycbt.

+) TH2: .

Để hàm số đạt cực tiểu tại .

Do nên .

Vậy cả hai trường hợp ta được giá trị nguyên của thỏa ycbt.

Ta có: .

Để hàm số có ba cực trị thì .

.

Gọi parabol đi qua điểm , , có dạng:

Ta có:

hay .

Theo yêu cầu bài toán parabol đi qua nên:

.

Vậy .

Xét hàm số , ;

.

Với .

Với  .

Với .

Với .

Với .

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT suy ra hàm số có bốn điểm cực trị.