Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm Cực trị của hàm ẩn, hàm hợp Phần 1

Ta có .

.

Đặt ta được .

là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng  : (hình vẽ)

Dựa vào đồ thị của và đường thẳng ta có

ta có hay .

Bảng biến thiên của hàm số .

Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.

Ta có . khi đó .

Hàm số có điểm cực trị có nghiệm phân biệt .

Các điểm cực trị của đồ thị là , ,

Ta có: , .

Gọi là trung điểm .

Suy ra và .

.

Ta có:

.

.

Xét hàm số có .

Ta thấy có một nghiệm nên có tối đa hai nghiệm.

+) TH1: Nếu có nghiệm hoặc .

Với thì là nghiệm bội của . Khi đó là nghiệm bội 7 của và đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm nên là điểm cực tiểu của hàm số.

Vậy thỏa ycbt.

Với thì .

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy không thỏa ycbt.

+) TH2: .

Để hàm số đạt cực tiểu tại .

Do nên .

Vậy cả hai trường hợp ta được giá trị nguyên của thỏa ycbt.

Ta có:

.

Từ đồ thị hàm số ta thấy với mọi . Vì vậy dấu của là dấu của . Ta có bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số có điểm cực trị.

Từ với ta suy ra: Với ta có .

Do đó từ với , ta suy ra:

Với ta có .

Với các kết quả trên ta được

Suy ra

Do nên và với

Vì liên tục trên nên liên tục tại suy ra

Hay với .

Khi đó .

Ta có , không xác định khi .

Bảng biến thiên của :

Từ đó suy ra . Vậy .

Ta có: .

Do đồ thị hàm số có một điểm cực trị là và nhận làm tâm đối xứng nên:

.

Vậy: . Suy ra .

Điều kiện : .

Ta có: .

Dấu của là dấu của .

Dễ thấy trên hàm số đạt cực đại tại duy nhất 1 điểm .

Do đó hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

Ta có: , .

Để hàm số có cực đại cực tiểu thì .

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: , .

Ta có là trung điểm của đoạn thẳng .

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là .

Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua thì:

.

Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực là .

Ta có:

.

Suy ra đổi dấu khi qua hai điểm .

Do hàm số có đúng hai điểm cực trị nên phương trình có hai nghiệm bội lẻ phân biệt .

Ta có .

.

Ta có

Do đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số có 3 cực trị. Chọn phương án B.

Tập xác định: .

.

Hàm số có 2 cực trị: .

Gọi là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

.

.

Tập xác định .

Ta có và .

Vì và là điểm cực trị nên

.

Vậy .

Ta có: .

, .

có 3 nghiệm đơn phân biệt , , khác và .

Vì nên có 3 nghiệm đơn phân biệt , , khác , , , , .

Suy ra có 8 nghiệm đơn phân biệt. Do đó hàm số có 8 điểm cực trị.

Ta có:

.

Suy ra hàm số có hai điểm cực trị.

Xét hàm số , ;

.

Với .

Với  .

Với .

Với .

Với .

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT suy ra hàm số có bốn điểm cực trị.

Điều kiện:

Ta có ; giải phương trình và đổi dấu khi qua .

Do đó hàm số có một cực trị.

Ta có ; .

Điều kiện để hàm số có ba cực trị là có ba nghiệm phân biệt .

Khi đó: .

Tọa độ các điểm cực trị là , , .

Ta có , nên bốn điểm , , , là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần và đủ là và cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

.

Vậy .

Ta có: .

Để hàm số có ba cực trị thì .

.

Gọi parabol đi qua điểm , , có dạng:

Ta có:

hay .

Theo yêu cầu bài toán parabol đi qua nên:

.

Vậy .