Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm Cực trị của hàm ẩn, hàm hợp Phần 1

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Dạng toán cực trị hàm ẩn trong đề thi THPT Quốc gia (phần 1)

Chuyên đề cực trị của hàm ẩn và hàm hợp là dạng toán nâng cao trong Toán 12, thường xuất hiện trong đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán. Các câu hỏi yêu cầu vận dụng linh hoạt đạo hàm và quy tắc hàm hợp. Bài viết tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm cực trị hàm ẩn, hàm hợp giúp học sinh luyện tập hiệu quả.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = x^{4} - 2mx^{2} + m\ (C). Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1.

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = 4x^{3} - 4mx. khi đó y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix} \right..

    Hàm số có 3 điểm cực trị \Leftrightarrow y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m > 0.

    Các điểm cực trị của đồ thị là A(0;\ m), B\left( \sqrt{m};\ - m^{2} + m \right), C\left( - \sqrt{m};\ - m^{2} + m \right)

    Ta có: AB = AC = \sqrt{m^{4} + m}, BC = 2\sqrt{m}.

    Gọi I là trung điểm BC.

    Suy ra I\left( 0; - m^{2} + m \right) và AI = m^{2}.

    S = \frac{1}{2}AI.BC = \left( \frac{AB + BC + CA}{2} \right).r

    \Leftrightarrow m^{2}.2\sqrt{m} = \left( 2\sqrt{m^{4} + m} + 2\sqrt{m} \right).1

    \Leftrightarrow 2\sqrt{m}\left( m^{2} - \sqrt{m^{3} + 1} - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 0(loai) \\ \sqrt{m^{3} + 1} = m^{2} - 1 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m^{2} - 1 \geq 0 \\ m^{3} + 1 = m^{4} - 2m^{2} + 1 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} |m| \geq 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m = 0(loai) \\ m = - 1(nhan) \\ m = 2(nhan) \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right. \Leftrightarrow m = 2.

  • Câu 2: Vận dụng
    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới đây

    Hàm số g(x) = \ln\left( f(x) \right) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g'(x) = \left\lbrack \ln\left( f(x) \right) \right\rbrack' = \frac{f'(x)}{f(x)}.

    Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta thấy f(x) > 0 với mọi x\mathbb{\in R}. Vì vậy dấu của g'(x) là dấu của f'(x). Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x)

    Vậy hàm số g(x) = \ln\left( f(x) \right) có 3 điểm cực trị.

  • Câu 3: Vận dụng
    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp ba liên tục trên \mathbb{R}thỏa mãn f(x).f'''(x) = x(x - 1)^{2}(x + 4)^{3},\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số g(x) = \left( f'(x) \right)^{2} - 2f(x).f''(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g'(x) = 2f'(x)f''(x) - 2\left\lbrack f'(x)f''(x) + f(x)f'''(x) \right\rbrack

    = - 2f(x)f'''(x) = - 2x(x - 1)^{2}(x + 4)^{3}.

    Suy ra g'(x)đổi dấu khi qua hai điểm x = 0,x = - 4.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Biết rằng hàm số f(x) xác định, liên tục trên \mathbb{R}có đồ thị được cho như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f\left\lbrack f(x) \right\rbrack.

    C:\Users\nguye\Desktop\ccccc.bmp

    Hướng dẫn:

    Xét hàm số y = f\left\lbrack f(x) \right\rbrack, y' = f'(x).f'\left\lbrack f(x) \right\rbrack;

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f^{'(x)} = 0 \\ f^{'\left\lbrack f(x) \right\rbrack} = 0 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ f(x) = 0 \\ f(x) = 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 \\ x = a \in (2; + \infty) \\ x = b \in (a; + \infty) \end{matrix} \right..

    Với x \in ( - \infty\ ;\ 0) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(x) > 0 \\ f(x) < 0 \Rightarrow f'\left\lbrack f(x) \right\rbrack > 0 \end{matrix} \right. \Rightarrow y' > 0.

    Với x \in (0\ ;\ 2) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(x) < 0 \\ f(x) < 0 \Rightarrow f'\left\lbrack f(x) \right\rbrack > 0 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow y' < 0 .

    Với x \in (2\ ;\ a) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(x) > 0 \\ f(x) < 0 \Rightarrow f'\left\lbrack f(x) \right\rbrack > 0 \end{matrix} \right. \Rightarrow y' > 0.

    Với x \in (a\ ;\ b) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(x) > 0 \\ 0 < f(x) < 2 \Rightarrow f'\left\lbrack f(x) \right\rbrack < 0 \end{matrix} \right. \Rightarrow y' < 0.

    Với x \in (b\ ;\ + \infty) \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} f'(x) > 0 \\ f(x) > 2 \Rightarrow f'\left\lbrack f(x) \right\rbrack > 0 \end{matrix} \right. \Rightarrow y' > 0.

    Ta có bảng biến thiên

    Dựa vào BBT suy ra hàm số y = f\left\lbrack f(x) \right\rbrack có bốn điểm cực trị.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số y = x^{4} - 2m^{2}x^{2} + m^{2} có đồ thị (C). Để đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho bốn điểm A, B, C, O là bốn đỉnh của hình thoi (O là gốc tọa độ) thì giá trị tham số m là

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = 4x^{3} - 4m^{2}x; y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = m^{2} \end{matrix} \right..

    Điều kiện để hàm số có ba cực trị là y' = 0 có ba nghiệm phân biệt \Leftrightarrow m \neq 0.

    Khi đó: y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm m \end{matrix} \right..

    Tọa độ các điểm cực trị là A\left( 0;m^{2} \right), B\left( m; - m^{4} + m^{2} \right), C\left( m; - m^{4} + m^{2} \right).

    Ta có OA\bot BC, nên bốn điểm A, B, C, O là bốn đỉnh của hình thoi điều kiện cần và đủ là OA và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{A} + x_{O} = x_{B} + x_{C} \\ y_{A} + y_{O} = y_{B} + y_{C} \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0 = 0 \\ m^{2} + 0 = \left( - m^{4} + m^{2} \right) + \left( - m^{4} + m^{2} \right) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow 2m^{4} - m^{2} = 0 \Leftrightarrow m^{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.

    Vậy m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.

  • Câu 6: Vận dụng
    Tính giá trị hàm số

    Cho hàm số y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d. Biết rằng đồ thị hàm số có một điểm cực trị là M(1;\ - 1) và nhận I(0;\ 1) làm tâm đối xứng. Giá trị y(2) là

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = 3ax^{2} + 2bx + c,\ \ y'' = 6ax + 2b.

    Do đồ thị hàm số có một điểm cực trị là M(1;\ - 1) và nhận I(0;\ 1) làm tâm đối xứng nên:

    \left\{ \begin{matrix} y(1) = - 1 \\ y'(1) = 0 \\ y''(0) = 0 \\ y(0) = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a + b + c + d = - 1 \\ 3a + 2b + c = 0 \\ 2b = 0 \\ d = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 3 \\ d = 1 \end{matrix} \right..

    Vậy: y = x^{3} - 3x + 1. Suy ra y(2) = 2^{3} - 3.2 + 1 = 3.

  • Câu 7: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Tổng tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm số y = x^{3} - 3mx^{2} + 4m^{3} có điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = 3x^{2} - 6mx, y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 2m \end{matrix} \right..

    Để hàm số có cực đại cực tiểu thì m \neq 0.

    Khi đó các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A\left( 0\ ;\ 4m^{3} \right), B(2m\ ;\ 0).

    Ta có I\left( m\ ;\ 2m^{3} \right) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

    Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là d:x - y = 0.

    Do đó để điểm cực đại và cực tiểu đối xứng với nhau qua d thì:

    \left\{ \begin{matrix} 2m - 4m^{3} = 0 \\ m - 2m^{3} = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 1 - 2m^{2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}.

    Vậy tổng tất cả các giá trị của tham số thực m là 0.

  • Câu 8: Vận dụng
    Tìm giá trị cực tiểu của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\ (a \neq 0) xác định trên \mathbb{R} và thỏa mãn f(2) = 1. Đồ thị hàm số f'(x) được cho bởi hình bên dưới.

    nhap 16

    Tìm giá trị cực tiểu y_{CT} của hàm số f(x).

    Hướng dẫn:

    Vì đồ thị hàm f'(x) cắt Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x = - 1 và x = 1 nên f'(x) = k(x - 1)(x + 1) với k là số thực khác 0.

    Vì đồ thị hàm f'(x) đi qua điểm (0; - 3) nên ta có - 3 = - k \Leftrightarrow k = 3. Suy ra f'(x) = 3x^{2} - 3.

    Mà f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c nên ta có được a = 1,b = 0,c = - 3.

    Từ đó f(x) = x^{3} - 3x + d. Mặt khác f(2) = 1 nên d = - 1.

    Suy ra f(x) = x^{3} - 3x - 1.

    Ta có f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 1 \end{matrix}. \right.

    Bảng biến thiên

    nhap

    Vậy y_{CT} = - 3.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính giá trị biểu thức

    Đồ thị của hàm số y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d có hai điểm cực trị là A(1;\ 2) và B( - 1;6). Giá trị của P = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định D\mathbb{= R}.

    Ta có y' = 3ax^{2} + 2bx + c và y'' = 6ax + 2b .

    Vì A(1;\ 2) và B( - 1;6) là điểm cực trị nên

    \left\{ \begin{matrix} y^{'(1)} = 0 \\ y(1) = 2 \\ y^{'( - 1)} = 0 \\ y( - 1) = 6 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 3a + 2b + c = 0 \\ a + b + c + d = 2 \\ 3a - 2b + c = 0 \\ - a + b - c + d = 6 \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 6a + 2c = 0 \\ b + d = 4 \\ 2a + 2c = - 4 \\ 4b = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 0 \\ c = - 3 \\ d = 4 \end{matrix} \right..

    Vậy P = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 26.

  • Câu 10: Vận dụng
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như sau

    Hàm số y = \ln\left( f(x) \right) có tất cả bao nhiêu điểm cực đại?

    Hướng dẫn:

    Điều kiện : f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in (a;b):\ 0 < a < 3 < b .

    Ta có: y = \ln\left( f(x) \right) \Rightarrow y' = \frac{f'(x)}{f(x)} .

    Dấu của y' là dấu của f'(x).

    Dễ thấy trên (a;b) hàm số f(x) đạt cực đại tại duy nhất 1 điểm x = 3 .

    Do đó hàm số y = \ln\left( f(x) \right)có đúng 1 điểm cực đại.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt g(x) = 3f\left( f(x) \right) + 4. Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x)?

    Hướng dẫn:

    Ta có: g'(x) = 3f'\left( f(x) \right).f'(x) .

    g^{'(x)} = 0 \Leftrightarrow 3f^{'\left( f(x) \right)}.f^{'(x)} = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f'\left( f(x) \right) = 0 \\ f'(x) = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = 0 \\ f(x) = a \\ x = 0 \\ x = a \end{matrix} \right., (2 < a < 3).

    f(x) = 0 có 3 nghiệm đơn phân biệt x_{1}, x_{2}, x_{3} khác 0 và a.

    Vì 2 < a < 3 nênf(x) = a có 3 nghiệm đơn phân biệt x_{4}, x_{5}, x_{6} khác x_{1}, x_{2}, x_{3}, 0, a.

    Suy ra g'(x) = 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt. Do đó hàm số g(x) = 3f\left( f(x) \right) + 4có 8 điểm cực trị.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x^{8} + (m - 3)x^{5} - \left( m^{2} - 9 \right)x^{4} + 1 đạt cực tiểu tại x = 0?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = x^{8} + (m - 3)x^{5} - \left( m^{2} - 9 \right)x^{4} + 1

    \Rightarrow y' = 8x^{7} + 5(m - 3)x^{4} - 4\left( m^{2} - 9 \right)x^{3}.

    y' = 0 \Leftrightarrow x^{3}\left( 8x^{4} + 5(m - 3)x - 4\left( m^{2} - 9 \right) \right) = 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ g(x) = 8x^{4} + 5(m - 3)x - 4\left( m^{2} - 9 \right) = 0 \end{matrix} \right..

    Xét hàm số g(x) = 8x^{4} + 5(m - 3)x - 4\left( m^{2} - 9 \right) có g'(x) = 32x^{3} + 5(m - 3).

    Ta thấy g'(x) = 0 có một nghiệm nên g(x) = 0 có tối đa hai nghiệm.

    +) TH1: Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 0 \Rightarrow m = 3 hoặc m = - 3.

    Với m = 3 thì x = 0 là nghiệm bội 4 của g(x). Khi đó x = 0 là nghiệm bội 7 của y' và y' đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm x = 0 nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

    Vậy m = 3 thỏa ycbt.

    Với m = - 3 thì g(x) = 8x^{4} - 30x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt[3]{\frac{15}{4}} \end{matrix} \right..

    Bảng biến thiên

    Untitled

    Dựa vào BBT x = 0 không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy m = - 3 không thỏa ycbt.

    +) TH2: g(0) \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 3.

    Để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 \Leftrightarrow g(0) > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 9 < 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3.

    Do m\mathbb{\in Z} nên m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 \right\}.

    Vậy cả hai trường hợp ta được 6 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên \mathbb{R} thỏa mãn \left( f'(x) \right)^{2} + f(x).f''(x) = 15x^{4} + 12x,\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số g(x) = f(x).f'(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g'(x) = \left( f'(x) \right)^{2} + f'(x)f''(x) = 15x^{4} + 12x

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0;x = \sqrt[3]{\frac{4}{5}}.

    Suy ra hàm số g(x) = f(x).f'(x) có hai điểm cực trị.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm số điểm cực tiểu của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R}. Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.

    Description: 13

    Số điểm cực tiểu của hàm số g(x) = 2f(x + 2) + (x + 1)(x + 3) là

    Hướng dẫn:

    Ta có g'(x) = 2f'(x + 2) + 2x + 4.

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x + 2) = - (x + 2).

    Đặt t = x + 2 ta được f'(t) = - t. (1)

    (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f'(t) và đường thẳng d : y = - t (hình vẽ)

    Dựa vào đồ thị của f'(t) và đường thẳng y = - t ta có

    ta có f'(t) = - t \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 1 \\ t = 0 \\ t = 1 \\ t = 2 \end{matrix} \right. hay \left\lbrack \begin{matrix} x = - 3 \\ x = - 2 \\ x = - 1 \\ x = 0 \end{matrix} \right. .

    Bảng biến thiên của hàm số g(x).

    Vậy đồ thị hàm số có một điểm cực tiểu.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tìm m thỏa mãn yêu cầu đề bài

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm M\left( 2m^{3};\ m \right) cùng với hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x^{3} - 3(2m + 1)x^{2} + 6m(m + 1)x + 1 tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

    Hướng dẫn:

    Tập xác định: D\mathbb{= R}.

    y' = 6x^{2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1)

    y' = 0 \Leftrightarrow 6x^{2} - 6(2m + 1)x + 6m(m + 1) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow y = 2m^{3} + 3m^{2} + 1 \\ x = m + 1\ \ \ \ \Rightarrow y = 2m^{3} + 3m^{2} \end{matrix} \right..

    Hàm số có 2 cực trị: \Delta' > 0 \Leftrightarrow 9(2m + 1)^{2} - 36m(m + 1) > 0 \Leftrightarrow 9 > 0,\ \forall x\mathbb{\in R}.

    Gọi A,B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

    \Rightarrow A\left( m;\ 2m^{3} + 3m^{2} + 1 \right),\ B\left( m + 1;\ 2m^{3} + 3m^{2} \right) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = (1;\ - 1) \Rightarrow AB = \sqrt{2}

    Phương trình đường thẳng \Delta đi qua 2 điểm cực trị: x + y - 2m^{3} - 3m^{2} - m - 1 = 0

    d(M,\Delta) = \frac{\left| 2m^{3} + m - 2m^{3} - 3m^{2} - m - 1 \right|}{\sqrt{2}} = \frac{3m^{2} + 1}{\sqrt{2}}

    S_{\Delta MAB} = \frac{1}{2}d(M,\Delta).AB = \frac{1}{2}.\frac{3m^{2} + 1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2} = \frac{3m^{2} + 1}{2}.

    S_{\min} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = 0.

  • Câu 16: Vận dụng
    Tìm số điểm cực trị của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau

    Tìm số cực trị của hàm số y = g(x) = \ln\left( f(x) \right).

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: f(x) > 0 \Leftrightarrow x < - 1

    Ta có g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}; giải phương trình y' = 0 \Leftrightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 3 và y' đổi dấu khi qua x = - 3.

    Do đó hàm số y = g(x) = \ln\left( f(x) \right)có một cực trị.

  • Câu 17: Vận dụng
    Xác định khoảng của tham số m

    Cho (P) là đường Parabol qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = \frac{1}{4}x^{4} - mx^{2} + m^{2}. Gọi m_{a} là giá trị để (P) đi qua B\left( \sqrt{2};\ 2 \right). Hỏi m_{a} thuộc khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = x^{3} - 2mx = x\left( x^{2} - 2m \right).

    Để hàm số có ba cực trị thì ab < 0 \Leftrightarrow - \frac{m}{4} < 0 \Leftrightarrow m > 0.

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0,\ y = m^{2} \\ x = \sqrt{2m},\ y = 0 \\ x = - \sqrt{2m},\ y = 0 \end{matrix} \right..

    Gọi parabol đi qua điểm A\left( 0;\ m^{2} \right), B\left( \sqrt{2m};\ 0 \right), C\left( - \sqrt{2m};\ 0 \right) có dạng: y = ax^{2} + bx + c

    Ta có:

    \left\{ \begin{matrix} 2ma + \sqrt{2m}b + c = 0 \\ 2ma - \sqrt{2m}b + c = 0 \\ c = m^{2} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - \frac{m}{2} \\ b = 0 \\ c = m^{2} \end{matrix} \right. hay y = - \frac{m}{2}x^{2} + m^{2}.

    Theo yêu cầu bài toán parabol đi qua B\left( \sqrt{2};\ 2 \right) nên:

    2 = - \frac{m_{a}}{2}\left( \sqrt{2} \right)^{2} + m_{a}^{2} \Leftrightarrow m_{a}^{2} - m_{a} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m_{a} = - 1 \\ m_{a} = 2 \end{matrix} \right..

    Vậy m_{a} = 2.

  • Câu 18: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) trên \mathbb{R}. Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình vẽ

    Đồ thị hàm số y = \left( f(x) \right)^{2} có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị ta có: f(x) = 0 có nghiệm đơn là x = 0;x = 3 và nghiệm kép x = 1.

    Và f'(x) = 0 có 3 nghiệm đơn x = x_{1} \in (0;1); x = x_{2} \in (1;3) và x = 1.

    Ta có:y = \left( f(x) \right)^{2} \Rightarrow y' = 2f'(x).f(x) có các nghiệm đơn là x = 0;x = 3;x_{1};x_{2} và nghiệm bội 3 là x = 1.

    Ta có bảng xét dấu sau:

    Vậy đồ thị hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

  • Câu 19: Vận dụng
    Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên \mathbb{R} và có đúng hai điểm cực trị x = - 1,x = 1,có đồ thị như hình vẽ sau:

    Hỏi hàm số y = f\left( x^{2} - 2x + 1 \right) + 2019 có bao nhiêu điểm cực trị?

    Hướng dẫn:

    Do hàm số y = f(x) có đúng hai điểm cực trị x = - 1,x = 1 nên phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm bội lẻ phân biệt x = - 1,x = 1.

    Ta có y' = (2x - 2)f'\left( x^{2} - 2x + 1 \right).

    y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2x - 2 = 0 \\ x^{2} - 2x + 1 = - 1 \\ x^{2} - 2x + 1 = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ x = 2 \end{matrix} \right..

    Ta có

    y' > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 > 0 \\ f'(x^{2} - 2x + 1) > 0 \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} 2x - 2 < 0 \\ f'(x^{2} - 2x + 1) < 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x > 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 2x + 1 > 1 \\ x^{2} - 2x + 1 < - 1 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x < 1 \\ - 1 < x^{2} - 2x + 1 < 1 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x > 1 \\ \left\lbrack \begin{matrix} x > 2 \\ x < 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x < 1 \\ 0 < x < 2 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 2 \\ 0 < x < 1 \end{matrix} \right.

    Do đó ta có bảng biến thiên:

    Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số y = f\left( x^{2} - 2x + 1 \right) + 2019 có 3 cực trị. Chọn phương án B.

  • Câu 20: Vận dụng
    Tính tổng cực đại và cực tiểu của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R}, thỏa mãn \left\{ \begin{matrix} \left( 3x^{2} - 15x \right)f'(x) + (10 - 5x)f(x) = 0 \\ \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} > 0 \end{matrix} \right. với \forall x \neq 0 và f(1) = - 4. Tổng cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) bằng

    Hướng dẫn:

    Từ \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2} > 0với \forall x \neq 0 ta suy ra: Với x \neq 0 ta có f(x) = 0 \Rightarrow f'(x) \neq 0.

    Do đó từ \left( 3x^{2} - 15x \right)f'(x) + (10 - 5x)f(x) = 0 với \forall x \neq 0, ta suy ra:

    Với x \neq 0 ta có f(x) = 0 \Leftrightarrow \left( 3x^{2} - 15x \right)f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 5.

    Với các kết quả trên ta được \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{5}{3}\frac{x - 2}{x(x - 5)}\ \forall x \notin \left\{ 0;5 \right\}

    Suy ra \int_{}^{}\frac{f^{'(x)}}{f(x)}dx = \frac{5}{3}\int_{}^{}\frac{x - 2}{x(x - 5)}dx

    \Leftrightarrow \ln\left| f(x) \right| = \frac{2}{3}\ln|x| + \ln|x - 5| + C

    \Leftrightarrow \left| f(x) \right| = e^{C}\left| (x - 5)\sqrt[3]{x^{2}} \right|

    Do f(1) = - 4 nên C = 0 và f(x) = (x - 5)\sqrt[3]{x^{2}} với \forall x \notin \left\{ 0;5 \right\}

    Vì f(x) liên tục trên \mathbb{R} nên f(x) liên tục tại x = 0,\ \ x = 5 suy ra f(0) = f(5) = 0

    Hay f(x) = (x - 5)\sqrt[3]{x^{2}} với \forall x\mathbb{\in R} .

    Khi đó f'(x) = \frac{5}{3}\frac{x - 2}{\sqrt[3]{x}}.

    Ta có f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 , f'(x) không xác định khi x = 0.

    Bảng biến thiên của f(x) :

    26

    Từ đó suy ra y_{CD} = f(0) = 0;\ \ y_{CT} = f(2) = - 3\sqrt[3]{4}. Vậy y_{CD} + y_{CT} = - 3\sqrt[3]{4}.

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (70%):
    2/3
  • Thông hiểu (30%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
38 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này