Tương giao đồ thị hàm số bậc 3 và đường thẳng

Tương giao đồ thị Toán 12

Tương giao đồ thị hàm số bậc 3 và đường thẳng là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 12, thường gắn với các bài toán tìm giao điểm, biện luận số nghiệm phương trình và xác định điều kiện để hai đồ thị có số điểm chung cho trước. Đây cũng là dạng bài học sinh cần nắm chắc khi luyện tập phương pháp giải Toán 12 và ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.

Về bản chất, bài toán tương giao có thể được chuyển thành việc giải phương trình hoành độ giao điểm giữa hàm số bậc ba và phương trình đường thẳng. Tùy yêu cầu đề bài, học sinh có thể cần xác định số giao điểm, tìm tọa độ giao điểm, tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại một số điểm nhất định hoặc xét trường hợp tiếp xúc.

Phương pháp giải:

Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((C)\) là: \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = px + q\)

Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt \(x = x_{o}\) để chia Hoocner được:

\((x - x_{o}) \cdot (ax^{2} + b'x + c') = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{o} \\ g(x) = ax^{2} + b'x + c' = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \cdot\)

Bước 2. Để \(d\) cắt \((C)\) tại ba điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình \(g(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(x_{o} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{g(x)} > 0 \\ g(x_{o}) \neq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \cdot\) Giải hệ này, tìm được giá trị \(m \in D_{1}.\)

Bước 3. Gọi \(A(x_{o};px_{o} + q),B(x_{1};px_{1} + q),C(x_{2};px_{2} + q)\) với \(x_{1},x_{2}\) là hai nghiệm của \(g(x) = 0.\)

Theo Viét, ta có: \(x_{1} + x_{2} = - \frac{b'}{a}\) và \(x_{1}x_{2} = \frac{c'}{a}\) (1)

Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của \(x_{1},x_{2}\) (2)

Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là \(m.\) Giải chúng sẽ tìm được giá trị \(m \in D_{2}.\)

Kết luận: \(m \in D_{1} \cap D_{2}.\)

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp ” liên quan đến cấp số

a. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số \(y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\) cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.

Điều kiện cần:

Giả sử \(x_{1},x_{2},x_{3}\) là nghiệm của phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\)

Khi đó: \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})\), đồng nhất hệ số ta được \(x_{2} = - \frac{b}{3a}\)

Thế \(x_{2} = - \frac{b}{3a}\) vào phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số.

Điều kiện đủ:

Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

b. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số \(y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\) cắt trục hoành tại \(3\)điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.

Điều kiện cần:

Giả sử \(x_{1},x_{2},x_{3}\) là nghiệm của phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\)

Khi đó: \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = a(x - x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})\), đồng nhất hệ số ta được \(x_{2} = \sqrt[3]{- \frac{d}{a}}\)

Thế \(x_{2} = \sqrt[3]{- \frac{d}{a}}\)vào phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số.

Điều kiện đủ:

Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) có \(3\) nghiệm phân biệt.

Một số bài toán chủ đề Hàm số lớp 12:

• Nhận dạng đồ thị hàm số Toán 12
• Bài tập Xác định hàm số thích hợp với đồ thị
• Bài tập Tương giao đồ thị hàm số cơ bản
• Tương giao đồ thị hàm số bậc nhất/bậc nhất với đường thẳng
• Tương giao đồ thị hàm số bậc 3 và đường thẳng
• Tương giao của đường thẳng với hàm số trùng phương
• Bài tập Tương giao đồ thị thông qua BBT, đồ thị của hàm số

-------------------------------------------

Khi gặp bài toán tương giao trong Toán 12, nên xác định rõ yêu cầu trước khi bắt đầu: tìm tọa độ giao điểm, đếm số giao điểm, tìm tham số để hai đồ thị có số điểm chung xác định hay xét điều kiện tiếp xúc. Với những bài có tham số, việc chuyển bài toán về điều kiện số nghiệm của phương trình và kết hợp khảo sát hàm số thường giúp quá trình biện luận trở nên thuận lợi hơn.

Hy vọng chuyên đề Phương pháp giải Toán 12 về tương giao đồ thị sẽ giúp học sinh củng cố cách nhận diện dạng bài, vận dụng đúng công cụ và nâng cao tốc độ làm bài. Thường xuyên luyện các bài toán từ cơ bản đến vận dụng sẽ giúp các em chủ động hơn khi gặp câu hỏi về hàm số bậc 3 và đường thẳng trong các đề kiểm tra và kỳ thi THPT Quốc gia.