Tương giao đồ thị hàm số bậc 3 và đường thẳng
Tương giao đồ thị Toán 12
Chuyên đề Toán 12: Tương giao đồ thị hàm số vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.
Bài toán tổng quát:
Tìm các giá trị của tham số 
\(m\) để đường thẳng \(d:y = px + q\) cắt đồ thị hàm số \((C):y = ax^{3} + bx^{2} + cx +
d\) tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện \(K\)? (dạng có điều kiện)
Phương pháp giải:
Bước 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((C)\) là: \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = px + q\)
Đưa về phương trình bậc ba và nhẩm nghiệm đặc biệt \(x = x_{o}\) để chia Hoocner được:
\((x - x_{o}) \cdot (ax^{2} + b'x +
c') = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = x_{o} \\
g(x) = ax^{2} + b'x + c' = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \cdot\)
Bước 2. Để \(d\) cắt \((C)\) tại ba điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình \(g(x) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(x_{o} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta_{g(x)} > 0 \\
g(x_{o}) \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \cdot\) Giải hệ này, tìm được giá trị \(m \in D_{1}.\)
Bước 3. Gọi \(A(x_{o};px_{o} +
q),B(x_{1};px_{1} + q),C(x_{2};px_{2} + q)\) với \(x_{1},x_{2}\) là hai nghiệm của \(g(x) = 0.\)
Theo Viét, ta có: \(x_{1} + x_{2} = -
\frac{b'}{a}\) và \(x_{1}x_{2} =
\frac{c'}{a}\) (1)
Bước 4. Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của \(x_{1},x_{2}\) (2)
Thế (1) vào (2) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến là \(m.\) Giải chúng sẽ tìm được giá trị \(m \in D_{2}.\)
Kết luận: \(m \in D_{1} \cap
D_{2}.\)
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp ” liên quan đến cấp số
a. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số \(y =
ax^{3} + bx^{2} + cx + d\) cắt trục hoành tại \(3\)điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Điều kiện cần:
Giả sử \(x_{1},x_{2},x_{3}\) là nghiệm của phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx
+ d = 0\)
Khi đó: \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = a(x -
x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})\), đồng nhất hệ số ta được \(x_{2} = - \frac{b}{3a}\)
Thế \(x_{2} = - \frac{b}{3a}\)vào phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d =
0\) ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số.
Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d =
0\) có \(3\) nghiệm phân biệt.
b. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số \(y =
ax^{3} + bx^{2} + cx + d\) cắt trục hoành tại \(3\)điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân.
Điều kiện cần:
Giả sử \(x_{1},x_{2},x_{3}\) là nghiệm của phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx
+ d = 0\)
Khi đó: \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = a(x -
x_{1})(x - x_{2})(x - x_{3})\), đồng nhất hệ số ta được \(x_{2} = \sqrt[3]{- \frac{d}{a}}\)
Thế \(x_{2} = \sqrt[3]{-
\frac{d}{a}}\)vào phương trình \(ax^{3}
+ bx^{2} + cx + d = 0\) ta được điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số.
Điều kiện đủ:
Thử các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc giá trị của tham số để phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d =
0\) có \(3\) nghiệm phân biệt.
