Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng
Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng
Bài tập Toán 12: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
A. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số 
\(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\). Khi đó:
Nếu \(f'(x) \geq 0;\forall x \in
K\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại hữu hạn điểm thuộc \(K\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(K\).
Nếu \(f'(x) \leq 0;\forall x \in
K\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại hữu hạn điểm thuộc \(K\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(K\).
B. Tìm tham số m để hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên khoảng
Nhắc lại kiến thức
Xét tam thức bậc hai \(y = ax^{2} + bx +
c;(a \neq 0)\) (đã học ở lớp 10)
- \(y \geq 0\left( \forall x\mathbb{\in R}
\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a > 0 \\
\Delta \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
- \(y \leq 0;\left( \forall x\mathbb{\in R}
\right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a < 0 \\
\Delta \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Xét bài toán 1. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Phương pháp giải
Cho hàm số bậc ba \(y = ax^{3} + bx^{2} +
cx + d;(a \neq 0)\) chứa tham số \(m\)
- Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow y' \geq 0\left(
\forall x\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow 3ax^{2} + 2bx + c \geq
0\left( \forall x\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
3a > 0 \\
\Delta'_{y'} \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
- Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow y' \leq 0\left(
\forall x\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow 3ax^{2} + 2bx + c \leq
0\left( \forall x\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
3a < 0 \\
\Delta'_{y'} \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Chú ý:
- Trường hợp hệ số \(a\) chứa tham số \(m\), ví dụ \(y = (m - 1)x^{3} + mx^{2} + 2x - 3\) ta cần xét \(a = 0\) trước.
- Số giá trị nguyên trên đoạn \(\lbrack
a;b\rbrack\) bằng \(b - a +
1\).
Ví dụ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y
= 2x^{3} - 3mx^{2} + 6mx + 2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y' = 6x^{2} - 6mx + 6m\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow y' \geq 0\left(
\forall x\mathbb{\in R} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a = 6 > 0 \\
\Delta'_{y'} = 9m^{2} - 36m \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow 0 \leq m \leq
4\)
Kết hợp với \(m\mathbb{\in Z}\). Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = - x^{3} - mx^{2} +
(4m + 9)x + 5\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty; + \infty)\)?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y' = - 3x^{2} - 2mx + 4m +
9\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( -
\infty; + \infty) \Leftrightarrow y' \leq 0\left( \forall
x\mathbb{\in R} \right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a_{y'} = - 3 < 0 \\
\Delta'_{y'} = m^{2} + 3(4m + 9) \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 9 \leq m \leq - 3\)
Kết hợp với \(m\mathbb{\in Z}\)
Suy ra có 7 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{x^{3}}{3} + mx^{2} + 4x +
3\) luôn tăng trên \(\mathbb{R}\). Số phần tử của tập hợp \(S\) là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y' = x^{2} + 2mx +
4\)
Hàm số đồng biến trên\(\mathbb{R
\Leftrightarrow}y' \geq 0\left( \forall x\mathbb{\in R}
\right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a_{y'} = 1 > 0 \\
\Delta'_{y'} = m^{2} - 4 \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 2\)
Kết hợp với \(m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m
\in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 \right\}\)
Vậy số phần tử của tập hợp \(S\) là 5.
Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y
= \frac{1}{3}(m + 2)x^{3} - (m + 2)x^{2} + (m - 8)x + m^{2} - 1\) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?
Hướng dẫn giải
Với \(m = - 2\) ta có \(y = - 10x + 3\) (hàm số này luôn nghịch biến trên tập số thực)
Với \(m \neq - 2\) ta có \(y' = (m + 2)x^{2} - 2(m + 2)x + m -
8\)
Hàm số nghịch biến trên\(\mathbb{R
\Leftrightarrow}y' \leq 0\left( \forall x\mathbb{\in R}
\right)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a_{y'} = m + 2 < 0 \\
\Delta'_{y'} = \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 2\)
Kết hợp với \(m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m
\in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 \right\}\)
Vậy số phần tử của tập hợp \(S\) là 5.
Xét bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số \(y = f(x;m)\) đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng (hoặc nửa khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn).
Phương pháp giải
Xét hàm số \(y = f(x;m)\) ta tính \(y' = f'(x;m)\)
- Hàm số đồng biến trên D \(\Leftrightarrow
y' \geq 0(\forall x \in D)\)
- Hàm số nghịch biến trên D \(\Leftrightarrow
y' \geq 0(\forall x \in D)\)
Cô lập tham số m và đưa bất phương trình \(y' \geq 0;y' \leq 0\) về dạng \(m \geq y'\) hoặc \(m \leq y'\).
Sử dụng tính chất
- Bất phương trình \(m \geq y';(\forall x
\in D) \Leftrightarrow m \geq \max_{D}f(x)\)
- Bất phương trình \(m \leq y';(\forall x
\in D) \Leftrightarrow m \leq \min_{D}f(x)\)
Chú ý: Với hàm số \(y = ax^{3} + bx^{2} +
cx + d;(a \neq 0)\) liên tục trên tập số thực nên hàm số đồng biến và nghịch biến trên khoảng \((a;b)\) thì nó đồng biến trên đoạn \(\lbrack a;b\rbrack\).
Lưu ý: Bất đẳng thức CauChy (AM – GM): Cho các số thực không âm \(a_{1};a_{2};a_{3};...a_{n}\) thì ta có:
\(a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} \geq
n\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}.a_{3}.....a_{n}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a_{1} = a_{2} = a_{3}
= ... = a_{n}\)
Với hàm số lượng giác \(F(x) = a\sin x +
b\cos x + c\) thì \(\left\{
\begin{matrix}
MaxF(x) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c \\
MinF(x) = - \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c \\
\end{matrix} \right.\).
Ví dụ. Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}x^{3} - (m +
1)x^{2} + \left( m^{2} + 2m \right)x - 3\) nghịch biến trên khoảng \(( - 1;1)\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y' = x^{2} - 2(m + 1)x + \left( m^{2}
+ 2m \right)\)
Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} -
2(m + 1)x + \left( m^{2} + 2m \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = m \\
x = m + 2 \\
\end{matrix} \right.\ ;\forall m\)
Hàm số luôn nghịch biến trong khoảng \((m;m
+ 2);\forall m\)
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) thì \(( - 1;1) \subset (m;m + 2)\)
Nghĩa là \(m \leq - 1 < 1 \leq m + 2
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \leq - 1 \\
- 1 < 1 \\
1 \leq m + 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 1\).
Ví dụ. Cho hàm số \(y = x^{3} + mx^{2} +
m\). Tìm điều kiện cần và đủ của tham số \(m\) để hàm số nghịch biến trên \((0;2)\).
Hướng dẫn giải
Tập xác định \(D\mathbb{= R}\)
Ta có: \(y' = 3x^{2} + 2mx\)
Để hàm số đã cho nghịch biến trên \((0;2)\) thì \(y' \leq 0;\forall x \in (0;2)\)
\(\Leftrightarrow 3x^{2} + 2mx \leq
0;\forall x \in (0;2)\)
\(\Leftrightarrow 2mx \leq - 3x^{2}
\Leftrightarrow m \leq - \frac{3}{2}x^{2};\forall x \in
(0;2)\)
\(\Leftrightarrow m \leq
\min_{(0;2)}\left\{ - \frac{3}{2}x \right\} = - 3\)
Vậy giá trị cần tìm là \(m \leq -
3\).
Ví dụ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= x^{3} - 3x^{2} + (4 - m)x\) đồng biến trên khoảng \((2; + \infty)\)?
Hướng dẫn giải
Tập xác định \(D\mathbb{= R}\)
Ta có: \(y' = 3x^{2} - 6x + 4 -
m\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \((2; +
\infty) \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in (2; +
\infty)\)
\(\Leftrightarrow m \leq 3x^{2} - 6x +
4;\forall x \in (2; + \infty)\)
Xét hàm số \(g(x) = 3x^{2} - 6x +
4\) trên khoảng \((2; +
\infty)\).
Ta có: \(g'(x) = 6x - 6;g'(x) = 0
\Leftrightarrow x = 1\)
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(m \leq
g(x);;\forall x \in (2; + \infty) \Leftrightarrow m \leq 4\)
Vậy \(m \leq 4\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ. Hàm số \(y = \frac{1}{3}x^{3} +
\frac{m}{2}x^{2} + x + 6\) đồng biến trên nửa khoảng \(\lbrack 1; + \infty)\) khi nào?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(y' = x^{2} + mx +
1\)
Để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng \(\lbrack 1; + \infty)\) khi đó:
\(\Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x
\in \lbrack 1; + \infty)\)
\(\Leftrightarrow x^{2} + mx + 1 \geq
0;\forall x \in \lbrack 1; + \infty)\)
\(\Leftrightarrow m \geq - x -
\frac{1}{x};\forall x \in \lbrack 1; + \infty)\)
Xét hàm số \(g(x) = - x -
\frac{1}{x}\) trên nửa khoảng \(\lbrack
1; + \infty)\) ta có:
\(g'(x) = - 1 + \frac{1}{x^{2}} =
\frac{1 - x^{2}}{x^{2}}\)
\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = - 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Bảng biến thiên của hàm số \(g(x) = - x -
\frac{1}{x}\) trên nửa khoảng \(\lbrack
1; + \infty)\) là:
Từ bảng biến thiên suy ra \(\max_{\lbrack
1; + \infty)}g(x) = g(1) = - 2\)
Vậy \(m \geq g(x);\forall x \in \lbrack 1;
+ \infty)\) khi và chỉ khi \(m \geq -
2\).
Ví dụ. Xác định điều kiện của tham số m để hàm số \(y = f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x -
1\) nghịch biến trên khoảng \((0; +
\infty)\) ?
Hướng dẫn giải
Tập xác định \(D\mathbb{= R}\)
Ta có: \(y' = - 3x^{2} + 6x + 2m -
1\)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((0;
+ \infty)\)
\(y' \leq 0;\forall x \in (0; +
\infty)\) khi và chỉ khi
\(\Leftrightarrow 2m \leq 3x^{2} - 6x +
1;\forall x \in (0; + \infty)\)
Xét hàm số \(g(x) = 3x^{2} - 6x +
1\) trên \((0; + \infty)\) ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
\(\min_{(0; + \infty)}g(x) = -
2\)
Do đó \(\Leftrightarrow 2m \leq \min_{(0; +
\infty)}g(x) \Leftrightarrow 2m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq -
1\)
Vậy \(m \leq - 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
C. Tìm tham số m để hàm phân thức đồng biến, nghịch biến trên khoảng
Xét hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx +
d}\). TXĐ \(D\mathbb{= R}\left\{
\frac{- d}{c} \right\}\) ta có: \(y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^{2}}\)
Nếu \(ad = bc\) thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng.
Do đó:
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó \(\Leftrightarrow ad - bc > 0\).
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó \(\Leftrightarrow ad - bc < 0\).
- Hàm số đồng biến trên miền \(D = (i;j)
\Leftrightarrow y' > 0;\forall x \in (i;j) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
ad - bc > 0 \\
- \frac{d}{c} \notin (i;j) \\
\end{matrix} \right.\)
- Hàm số nghịch biến trên miền \(D = (i;j)
\Leftrightarrow y' < 0;\forall x \in (i;j) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
ad - bc < 0 \\
- \frac{d}{c} \notin (i;j) \\
\end{matrix} \right.\)
Ví dụ. Xác định giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= \frac{x + 5}{x + m}\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty; - 8)\)?
Hướng dẫn giải
Tập xác định \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - m \right\}\)
Hàm số \(y = \frac{x + 5}{x + m}\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty; -
8)\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
y' > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\
x \neq - m \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\dfrac{m - 5}{(x + m)^{2}} > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\
- m \notin ( - \infty; - 8) \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 5 \\
- m \geq - 8 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 5 \\
m \leq 8 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 5 < m \leq 8\)
Vậy đáp án cần tìm là \((5;8\rbrack\).
Ví dụ. Có tất cả bao nhiêu các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y
= \frac{2x + 4}{x - m}\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty; - 4)\)?
Hướng dẫn giải
Tập xác định \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ m \right\}\)
Ta có: \(y' = \frac{- 2m - 4}{(x -
m)^{2}}\)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(( -
\infty; - 4)\) khi và chỉ khi \(\left\{
\begin{matrix}
m \geq - 4 \\
- 2m - 4 > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \geq - 4 \\
m < - 2 \\
\end{matrix} \right.\)
Vì \(m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in
\left\{ - 4; - 3 \right\}\)
Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ. Cho hàm số \(y = \frac{m^{2}x +
5}{2mx + 1}\) với \(m\) là tham số. Gọi \(S\) là tập hợp các số nguyên \(m \in \lbrack - 2020;2020\rbrack\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \((3; +
\infty)\). Xác định số phần tử của tập hợp \(S\)?
Hướng dẫn giải
Xét \(m = 0 \Rightarrow y = 5\) là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy \(m
= 0\) không thỏa mãn.
Xét \(m \neq 0\)
Tập xác định \(D = \left( - \infty; -
\frac{1}{2m} \right) \cup \left( - \frac{1}{2m}; + \infty
\right)\)
Để hàm số nghịch biến trên khoảng \((3; +
\infty)\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{matrix}
y' = \dfrac{m^{2} - 10m}{(2mx + 1)^{2}} < 0 \\
- \dfrac{1}{2m} \leq 3 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m^{2} - 10m < 0 \\
\dfrac{6m + 1}{2m} \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\left\{ \begin{matrix}
y' = \dfrac{m^{2} - 10m}{(2mx + 1)^{2}} < 0 \\
- \dfrac{1}{2m} \leq 3 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m^{2} - 10m < 0 \\
\dfrac{6m + 1}{2m} \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
0 < m < 10 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
m \leq - \dfrac{1}{6} \\
m > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 < m < 10\)
Mà \(\left\{ \begin{matrix}
m\mathbb{\in Z} \\
m \in \lbrack - 2020;2020\rbrack \\
\end{matrix} \right.\) nên \(m \in
\left\{ 1;2;3;...;9 \right\}\)
Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị.
Ví dụ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y
= \frac{\sqrt{x^{2} - 8x} - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x} + m}\) nghịch biến trên \(( - 1;0)\)?
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = \sqrt{x^{2} - 8x}\)
Điều kiện xác định \(x^{2} - 8x \geq 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x \leq 0 \\
x \geq 8 \\
\end{matrix} \right.\)
Xét hàm \(t = \sqrt{x^{2} - 8x};x \in ( -
1;0)\) ta có:
\(t' = \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^{2} -
8x}} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x}} < 0;\forall x \in ( -
1;0)\)
Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số \(t =
\sqrt{x^{2} - 8x}\) nghịch biến trên khoảng \(( - 1;0)\) và \(t
\in (0;3)\)
Khi đó yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow y
= \frac{t - 4}{t + m}\) đồng biến trên \((0;3)\)
Điều kiện xác định \(D\mathbb{=
R}\backslash\left\{ - m \right\}\)
Ta có: \(y' = \frac{m + 4}{(t +
m)^{2}};\forall x \in D\)
Để hàm số đồng biến trên \((0;3)\) thì
\(\left\{ \begin{matrix}
y' > 0 \\
- m \notin (0;3) \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m + 4 > 0 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
- m \leq 0 \\
- m \geq 3 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > - 4 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
m \geq 0 \\
m \leq - 3 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
- 4 < m \leq - 3 \\
m \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy đáp án cần tìm là \(m \in ( - 4; -
3\rbrack \cup \lbrack 0; + \infty)\).
Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= \frac{2cotx + 1}{\cot x + m}\) đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}
\right)\)?
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định \(\cot x \neq -
m\)
Ta có:
\(y' = \dfrac{-
\dfrac{2}{\sin^{2}x}\left( \cot x + m \right) + \dfrac{1}{\sin^{2}}(2\cot x +
1)}{\left( \cot x + m \right)^{2}}\)
\(= \dfrac{1 - 2m}{\sin^{2}x.\left( \cot x +
m \right)^{2}}\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(
\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} \right)\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{matrix}
y' > 0 \\
- m \notin (0;1) \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 - 2m > 0 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
m \leq - 1 \\
m \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m \leq - 1 \\
m \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 1\rbrack \cup
\left\lbrack 0;\frac{1}{2} \right)\)
Vậy đáp án cần tìm là \(m \in ( - \infty; -
1\rbrack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} \right)\).
-------------------------------------
FAQ – Tìm Tham Số m Để Hàm Số Đồng Biến Nghịch Biến Trên Khoảng
1. Tính đơn điệu của hàm số là gì?
Tính đơn điệu của hàm số thể hiện xu hướng tăng hoặc giảm của hàm số trên một khoảng xác định. Trong chương trình Toán 12, tính đơn điệu được nghiên cứu thông qua dấu của đạo hàm.
2. Làm thế nào để xác định hàm số đồng biến trên một khoảng?
Một hàm số được gọi là đồng biến trên khoảng khi giá trị của hàm tăng theo biến số. Trong thực hành giải toán, học sinh thường xét dấu đạo hàm trên khoảng cần khảo sát.
3. Khi nào hàm số nghịch biến trên khoảng?
Hàm số nghịch biến khi giá trị của hàm giảm dần theo sự tăng của biến số. Điều này thường được xác định thông qua dấu của đạo hàm trên khoảng đang xét.
4. Vì sao bài toán tìm tham số m thường gắn với tính đơn điệu?
Tham số m ảnh hưởng trực tiếp đến biểu thức đạo hàm và các nghiệm của phương trình đạo hàm bằng 0. Do đó, việc tìm điều kiện của m là bước quan trọng để xác định khoảng đồng biến hoặc nghịch biến.
5. Những dạng bài tìm tham số m thường gặp trong đề thi là gì?
Các dạng phổ biến gồm:
- Tìm m để hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định.
- Tìm m để hàm số nghịch biến trên một khoảng cho trước.
- Tìm m để hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm.
- Tìm m để hàm số có đúng một khoảng đồng biến hoặc nghịch biến.
6. Muốn xét tính đơn điệu của hàm số cần thực hiện những bước nào?
Các bước cơ bản gồm:
- Xác định tập xác định.
- Tính đạo hàm.
- Giải phương trình đạo hàm bằng 0.
- Lập bảng xét dấu.
- Kết luận tính đơn điệu.
-------------------------------------
Chuyên đề tìm tham số m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng là một nội dung quan trọng trong chương trình Giải tích lớp 12 và thường xuyên xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Để giải tốt dạng toán này, học sinh cần nắm vững mối liên hệ giữa đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số, đồng thời thành thạo các kỹ năng lập bảng xét dấu và xử lý điều kiện tham số. Việc luyện tập đa dạng các dạng bài từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp các em nâng cao tư duy toán học, tăng tốc độ làm bài và tự tin chinh phục các câu hỏi vận dụng trong kỳ thi quan trọng.
