VnDoc.com

Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng

Tính đơn điệu của hàm số

Bài trước

Tải về

Bài sau

Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng

Bài tập Toán 12: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$ . Khi đó:

Nếu $f^{'} (x) \geq 0; \forall x \in K$ và $f^{'} (x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc $K$ thì hàm số $f (x)$ đồng biến trên khoảng $K$ .

Nếu $f^{'} (x) \leq 0; \forall x \in K$ và $f^{'} (x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thuộc $K$ thì hàm số $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $K$ .

B. Tìm tham số m để hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Nhắc lại kiến thức

Xét tam thức bậc hai $y = ax^{2} + bx + c;(a \neq 0)$ $y = a x^{2} + b x + c; (a \neq 0)$ (đã học ở lớp 10)

$y \geq 0\left( \forall x\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$ $y \geq 0 (\forall x \in R) \Leftrightarrow {\begin{matrix} a > 0 \\ Δ \leq 0 \end{matrix}$
$y \leq 0;\left( \forall x\mathbb{\in R} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$ $y \leq 0; (\forall x \in R) \Leftrightarrow {\begin{matrix} a < 0 \\ Δ \leq 0 \end{matrix}$

Xét bài toán 1. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $R$ .

Phương pháp giải

Cho hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a \neq 0)$ $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d; (a \neq 0)$ chứa tham số $m$

- Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $R$

$\Leftrightarrow y$ $\Leftrightarrow y^{'} \geq 0 (\forall x \in R) \Leftrightarrow 3 a x^{2} + 2 b x + c \geq 0 (\forall x \in R) \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 a > 0 \\ Δ_{y^{'}}^{'} \leq 0 \end{matrix}$

- Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $R$

$\Leftrightarrow y$ $\Leftrightarrow y^{'} \leq 0 (\forall x \in R) \Leftrightarrow 3 a x^{2} + 2 b x + c \leq 0 (\forall x \in R) \Leftrightarrow {\begin{matrix} 3 a < 0 \\ Δ_{y^{'}}^{'} \leq 0 \end{matrix}$

Chú ý:

Trường hợp hệ số $a$ chứa tham số $m$ , ví dụ $y = (m - 1)x^{3} + mx^{2} + 2x - 3$ $y = (m - 1) x^{3} + m x^{2} + 2 x - 3$ ta cần xét $a = 0$ trước.
Số giá trị nguyên trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ bằng $b - a + 1$ .

Ví dụ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = 2x^{3} - 3mx^{2} + 6mx + 2$ $y = 2 x^{3} - 3 m x^{2} + 6 m x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ $R$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y^{'} = 6 x^{2} - 6 m x + 6 m$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ $R$

$\Leftrightarrow y$ $\Leftrightarrow y^{'} \geq 0 (\forall x \in R)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 6 > 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a = 6 > 0 \\ Δ_{y^{'}}^{'} = 9 m^{2} - 36 m \leq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4$ $\Leftrightarrow 0 \leq m \leq 4$

Kết hợp với $m\mathbb{\in Z}$ $m \in Z$ . Vậy có 5 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ. Cho hàm số $y = - x^{3} - mx^{2} + (4m + 9)x + 5$ $y = - x^{3} - m x^{2} + (4 m + 9) x + 5$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty; + \infty)$ $(- \infty; + \infty)$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} - 2 m x + 4 m + 9$

Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \infty; + \infty) \Leftrightarrow y$ $(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow y^{'} \leq 0 (\forall x \in R)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{y$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{y^{'}} = - 3 < 0 \\ Δ_{y^{'}}^{'} = m^{2} + 3 (4 m + 9) \leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow - 9 \leq m \leq - 3$

Kết hợp với $m\mathbb{\in Z}$ $m \in Z$

Suy ra có 7 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} + mx^{2} + 4x + 3$ $y = \frac{x^{3}}{3} + m x^{2} + 4 x + 3$ luôn tăng trên $\mathbb{R}$ $R$ . Số phần tử của tập hợp $S$ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = x^{2} + 2 m x + 4$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R \Leftrightarrow}y$ $R \Leftrightarrow y^{'} \geq 0 (\forall x \in R)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{y$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{y^{'}} = 1 > 0 \\ Δ_{y^{'}}^{'} = m^{2} - 4 \leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 2$

Kết hợp với $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 \right\}$ $m \in Z \Rightarrow m \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}$

Vậy số phần tử của tập hợp $S$ là 5.

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}(m + 2)x^{3} - (m + 2)x^{2} + (m - 8)x + m^{2} - 1$ $y = \frac{1}{3} (m + 2) x^{3} - (m + 2) x^{2} + (m - 8) x + m^{2} - 1$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ $R$ ?

Hướng dẫn giải

Với $m = - 2$ ta có $y = - 10 x + 3$ (hàm số này luôn nghịch biến trên tập số thực)

Với $m \neq - 2$ $m \neq - 2$ ta có $y^{'} = (m + 2) x^{2} - 2 (m + 2) x + m - 8$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R \Leftrightarrow}y$ $R \Leftrightarrow y^{'} \leq 0 (\forall x \in R)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a_{y$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a_{y^{'}} = m + 2 < 0 \\ Δ_{y^{'}}^{'} =\leq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq - 2$

Kết hợp với $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 \right\}$ $m \in Z \Rightarrow m \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}$

Vậy số phần tử của tập hợp $S$ là 5.

Xét bài toán 2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số $y = f (x; m)$ đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng (hoặc nửa khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn).

Phương pháp giải

Xét hàm số $y = f (x; m)$ ta tính $y^{'} = f^{'} (x; m)$

Hàm số đồng biến trên D $\Leftrightarrow y$ $\Leftrightarrow y^{'} \geq 0 (\forall x \in D)$
Hàm số nghịch biến trên D $\Leftrightarrow y$ $\Leftrightarrow y^{'} \geq 0 (\forall x \in D)$

Cô lập tham số m và đưa bất phương trình $y^{'} \geq 0; y^{'} \leq 0$ về dạng $m \geq y$ $m \geq y^{'}$ hoặc $m \leq y$ $m \leq y^{'}$ .

Sử dụng tính chất

Bất phương trình $m \geq y$ $m \geq y^{'}; (\forall x \in D) \Leftrightarrow m \geq max_{D} f (x)$
Bất phương trình $m \leq y$ $m \leq y^{'}; (\forall x \in D) \Leftrightarrow m \leq min_{D} f (x)$

Chú ý: Với hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a \neq 0)$ $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d; (a \neq 0)$ liên tục trên tập số thực nên hàm số đồng biến và nghịch biến trên khoảng $(a; b)$ thì nó đồng biến trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ $[a; b]$ .

Lưu ý: Bất đẳng thức CauChy (AM – GM): Cho các số thực không âm $a_{1};a_{2};a_{3};...a_{n}$ $a_{1}; a_{2}; a_{3}; . . . a_{n}$ thì ta có:

$a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} \geq n\sqrt[n]{a_{1}.a_{2}.a_{3}.....a_{n}}$ $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n} \geq n \sqrt[n]{a_{1} . a_{2} . a_{3} . . . . . a_{n}}$

Dấu bằng xảy ra khi $a_{1} = a_{2} = a_{3} = ... = a_{n}$ $a_{1} = a_{2} = a_{3} = . . . = a_{n}$

Với hàm số lượng giác $F(x) = a\sin x + b\cos x + c$ $F (x) = a \sin x + b \cos x + c$ thì $\left\{ \begin{matrix} MaxF(x) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c \\ MinF(x) = - \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} M a x F (x) = \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c \\ M i n F (x) = - \sqrt{a^{2} + b^{2}} + c \end{matrix}$ .

Ví dụ. Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + \left( m^{2} + 2m \right)x - 3$ $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (m^{2} + 2 m) x - 3$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 1)$ ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y^{'} = x^{2} - 2 (m + 1) x + (m^{2} + 2 m)$

Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 (m + 1) x + (m^{2} + 2 m) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = m \\ x = m + 2 \\ \end{matrix} \right.\ ;\forall m$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = m \\ x = m + 2 \end{matrix}; \forall m$

Hàm số luôn nghịch biến trong khoảng $(m;m + 2);\forall m$ $(m; m + 2); \forall m$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1) thì $( - 1;1) \subset (m;m + 2)$ $(- 1; 1) \subset (m; m + 2)$

Nghĩa là $m \leq - 1 < 1 \leq m + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \leq - 1 \\ - 1 < 1 \\ 1 \leq m + 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 1$ $m \leq - 1 < 1 \leq m + 2 \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \leq - 1 \\ - 1 < 1 \\ 1 \leq m + 2 \end{matrix} \Leftrightarrow m = - 1$ .

Ví dụ. Cho hàm số $y = x^{3} + mx^{2} + m$ $y = x^{3} + m x^{2} + m$ . Tìm điều kiện cần và đủ của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $(0; 2)$ .

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D\mathbb{= R}$ $D = R$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 2 m x$

Để hàm số đã cho nghịch biến trên $(0; 2)$ thì $y^{'} \leq 0; \forall x \in (0; 2)$

$\Leftrightarrow 3x^{2} + 2mx \leq 0;\forall x \in (0;2)$ $\Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 m x \leq 0; \forall x \in (0; 2)$

$\Leftrightarrow 2mx \leq - 3x^{2} \Leftrightarrow m \leq - \frac{3}{2}x^{2};\forall x \in (0;2)$ $\Leftrightarrow 2 m x \leq - 3 x^{2} \Leftrightarrow m \leq - \frac{3}{2} x^{2}; \forall x \in (0; 2)$

$\Leftrightarrow m \leq \min_{(0;2)}\left\{ - \frac{3}{2}x \right\} = - 3$ $\Leftrightarrow m \leq min_{(0; 2)} {- \frac{3}{2} x} = - 3$

Vậy giá trị cần tìm là $m \leq - 3$ $m \leq - 3$ .

Ví dụ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^{3} - 3x^{2} + (4 - m)x$ $y = x^{3} - 3 x^{2} + (4 - m) x$ đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$ $(2; + \infty)$ ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D\mathbb{= R}$ $D = R$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 4 - m$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) \Leftrightarrow y$ $(2; + \infty) \Leftrightarrow y^{'} \geq 0; \forall x \in (2; + \infty)$

$\Leftrightarrow m \leq 3x^{2} - 6x + 4;\forall x \in (2; + \infty)$ $\Leftrightarrow m \leq 3 x^{2} - 6 x + 4; \forall x \in (2; + \infty)$

Xét hàm số $g(x) = 3x^{2} - 6x + 4$ $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 4$ trên khoảng $(2; + \infty)$ $(2; + \infty)$ .

Ta có: $g^{'} (x) = 6 x - 6; g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $m \leq g(x);;\forall x \in (2; + \infty) \Leftrightarrow m \leq 4$ $m \leq g (x);; \forall x \in (2; + \infty) \Leftrightarrow m \leq 4$

Vậy $m \leq 4$ $m \leq 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ. Hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3} + \frac{m}{2}x^{2} + x + 6$ $y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{m}{2} x^{2} + x + 6$ đồng biến trên nửa khoảng $\lbrack 1; + \infty)$ $[1; + \infty)$ khi nào?

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{'} = x^{2} + m x + 1$

Để hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng $\lbrack 1; + \infty)$ $[1; + \infty)$ khi đó:

$\Leftrightarrow y$ $\Leftrightarrow y^{'} \geq 0; \forall x \in [1; + \infty)$

$\Leftrightarrow x^{2} + mx + 1 \geq 0;\forall x \in \lbrack 1; + \infty)$ $\Leftrightarrow x^{2} + m x + 1 \geq 0; \forall x \in [1; + \infty)$

$\Leftrightarrow m \geq - x - \frac{1}{x};\forall x \in \lbrack 1; + \infty)$ $\Leftrightarrow m \geq - x - \frac{1}{x}; \forall x \in [1; + \infty)$

Xét hàm số $g(x) = - x - \frac{1}{x}$ $g (x) = - x - \frac{1}{x}$ trên nửa khoảng $\lbrack 1; + \infty)$ $[1; + \infty)$ ta có:

$g^{'} (x) = - 1 + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}}$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ x = - 1 \end{matrix}$

Bảng biến thiên của hàm số $g(x) = - x - \frac{1}{x}$ $g (x) = - x - \frac{1}{x}$ trên nửa khoảng $\lbrack 1; + \infty)$ $[1; + \infty)$ là:

Từ bảng biến thiên suy ra $\max_{\lbrack 1; + \infty)}g(x) = g(1) = - 2$ $max_{[1; + \infty)} g (x) = g (1) = - 2$

Vậy $m \geq g(x);\forall x \in \lbrack 1; + \infty)$ $m \geq g (x); \forall x \in [1; + \infty)$ khi và chỉ khi $m \geq - 2$ $m \geq - 2$ .

Ví dụ. Xác định điều kiện của tham số m để hàm số $y = f(x) = - x^{3} + 3x^{2} + (2m - 1)x - 1$ $y = f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + (2 m - 1) x - 1$ nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D\mathbb{= R}$ $D = R$

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x + 2 m - 1$

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$

$y^{'} \leq 0; \forall x \in (0; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\Leftrightarrow 2m \leq 3x^{2} - 6x + 1;\forall x \in (0; + \infty)$ $\Leftrightarrow 2 m \leq 3 x^{2} - 6 x + 1; \forall x \in (0; + \infty)$

Xét hàm số $g(x) = 3x^{2} - 6x + 1$ $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ trên $(0; + \infty)$ $(0; + \infty)$ ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\min_{(0; + \infty)}g(x) = - 2$ $min_{(0; + \infty)} g (x) = - 2$

Do đó $\Leftrightarrow 2m \leq \min_{(0; + \infty)}g(x) \Leftrightarrow 2m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 1$ $\Leftrightarrow 2 m \leq min_{(0; + \infty)} g (x) \Leftrightarrow 2 m \leq - 2 \Leftrightarrow m \leq - 1$

Vậy $m \leq - 1$ $m \leq - 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

C. Tìm tham số m để hàm phân thức đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Xét hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ . TXĐ $D\mathbb{= R}\left\{ \frac{- d}{c} \right\}$ $D = R {\frac{- d}{c}}$ ta có: $y^{'} = \frac{a d - b c}{(c x + d)^{2}}$

Nếu $a d = b c$ thì hàm số đã cho suy biến thành hàm hằng.

Do đó:

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow ad - bc > 0$ $\Leftrightarrow a d - b c > 0$ .
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó $\Leftrightarrow ad - bc < 0$ $\Leftrightarrow a d - b c < 0$ .
Hàm số đồng biến trên miền $D = (i;j) \Leftrightarrow y$ $D = (i; j) \Leftrightarrow y^{'} > 0; \forall x \in (i; j) \Leftrightarrow {\begin{matrix} a d - b c > 0 \\ - \frac{d}{c} \notin (i; j) \end{matrix}$
Hàm số nghịch biến trên miền $D = (i;j) \Leftrightarrow y$ $D = (i; j) \Leftrightarrow y^{'} < 0; \forall x \in (i; j) \Leftrightarrow {\begin{matrix} a d - b c < 0 \\ - \frac{d}{c} \notin (i; j) \end{matrix}$

Ví dụ. Xác định giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{x + 5}{x + m}$ $y = \frac{x + 5}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 8)$ $(- \infty; - 8)$ ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m \right\}$ $D = R ∖ {- m}$

Hàm số $y = \frac{x + 5}{x + m}$ $y = \frac{x + 5}{x + m}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 8)$ $(- \infty; - 8)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} y^{'} > 0; \forall x \in (- \infty; - 8) \\ x \neq - m \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \dfrac{m - 5}{(x + m)^{2}} > 0;\forall x \in ( - \infty; - 8) \\ - m \notin ( - \infty; - 8) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} \frac{m - 5}{(x + m)^{2}} > 0; \forall x \in (- \infty; - 8) \\ - m \notin (- \infty; - 8) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ - m \geq - 8 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > 5 \\ m \leq 8 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 5 < m \leq 8$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} m > 5 \\ - m \geq - 8 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m > 5 \\ m \leq 8 \end{matrix} \Leftrightarrow 5 < m \leq 8$

Vậy đáp án cần tìm là $(5;8\rbrack$ $(5; 8]$ .

Ví dụ. Có tất cả bao nhiêu các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{2x + 4}{x - m}$ $y = \frac{2 x + 4}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 4)$ $(- \infty; - 4)$ ?

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m \right\}$ $D = R ∖ {m}$

Ta có: $y^{'} = \frac{- 2 m - 4}{(x - m)^{2}}$

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - \infty; - 4)$ $(- \infty; - 4)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix} m \geq - 4 \\ - 2m - 4 > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq - 4 \\ m < - 2 \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} m \geq - 4 \\ - 2 m - 4 > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m \geq - 4 \\ m < - 2 \end{matrix}$

Vì $m\mathbb{\in Z \Rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3 \right\}$ $m \in Z \Rightarrow m \in {- 4; - 3}$

Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ. Cho hàm số $y = \frac{m^{2}x + 5}{2mx + 1}$ $y = \frac{m^{2} x + 5}{2 m x + 1}$ với $m$ là tham số. Gọi $S$ là tập hợp các số nguyên $m \in \lbrack - 2020;2020\rbrack$ $m \in [- 2020; 2020]$ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ $(3; + \infty)$ . Xác định số phần tử của tập hợp $S$ ?

Hướng dẫn giải

Xét $m = 0 \Rightarrow y = 5$ $m = 0 \Rightarrow y = 5$ là hàm hằng nên hàm số không nghịch biến. Vậy $m = 0$ không thỏa mãn.

Xét $m \neq 0$ $m \neq 0$

Tập xác định $D = \left( - \infty; - \frac{1}{2m} \right) \cup \left( - \frac{1}{2m}; + \infty \right)$ $D = (- \infty; - \frac{1}{2 m}) \cup (- \frac{1}{2 m}; + \infty)$

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ $(3; + \infty)$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} y$ ${\begin{matrix} y^{'} = \frac{m^{2} - 10 m}{(2 m x + 1)^{2}} < 0 \\ - \frac{1}{2 m} \leq 3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m^{2} - 10 m < 0 \\ \frac{6 m + 1}{2 m} \geq 0 \end{matrix}$

$\left\{ \begin{matrix} y$ ${\begin{matrix} y^{'} = \frac{m^{2} - 10 m}{(2 m x + 1)^{2}} < 0 \\ - \frac{1}{2 m} \leq 3 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m^{2} - 10 m < 0 \\ \frac{6 m + 1}{2 m} \geq 0 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 0 < m < 10 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - \dfrac{1}{6} \\ m > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 < m < 10$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} 0 < m < 10 \\ [\begin{matrix} m \leq - \frac{1}{6} \\ m > 0 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow 0 < m < 10$

Mà $\left\{ \begin{matrix} m\mathbb{\in Z} \\ m \in \lbrack - 2020;2020\rbrack \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} m \in Z \\ m \in [- 2020; 2020] \end{matrix}$ nên $m \in \left\{ 1;2;3;...;9 \right\}$ $m \in {1; 2; 3; . . .; 9}$

Vậy tập hợp S có tất cả 9 giá trị.

Ví dụ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 8x} - 4}{\sqrt{x^{2} - 8x} + m}$ $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 8 x} - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x} + m}$ nghịch biến trên $(- 1; 0)$ ?

Hướng dẫn giải

Đặt $t = \sqrt{x^{2} - 8x}$ $t = \sqrt{x^{2} - 8 x}$

Điều kiện xác định $x^{2} - 8x \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq 0 \\ x \geq 8 \\ \end{matrix} \right.$ $x^{2} - 8 x \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x \leq 0 \\ x \geq 8 \end{matrix}$

Xét hàm $t = \sqrt{x^{2} - 8x};x \in ( - 1;0)$ $t = \sqrt{x^{2} - 8 x}; x \in (- 1; 0)$ ta có:

$t^{'} = \frac{2 x - 8}{2 \sqrt{x^{2} - 8 x}} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x}} < 0; \forall x \in (- 1; 0)$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số $t = \sqrt{x^{2} - 8x}$ $t = \sqrt{x^{2} - 8 x}$ nghịch biến trên khoảng $(- 1; 0)$ và $t \in (0;3)$ $t \in (0; 3)$

Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y = \frac{t - 4}{t + m}$ $\Leftrightarrow y = \frac{t - 4}{t + m}$ đồng biến trên $(0; 3)$

Điều kiện xác định $D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - m \right\}$ $D = R ∖ {- m}$

Ta có: $y^{'} = \frac{m + 4}{(t + m)^{2}}; \forall x \in D$

Để hàm số đồng biến trên $(0; 3)$ thì

$\left\{ \begin{matrix} y$ ${\begin{matrix} y^{'} > 0 \\ - m \notin (0; 3) \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m + 4 > 0 \\ [\begin{matrix} - m \leq 0 \\ - m \geq 3 \end{matrix} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > - 4 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 0 \\ m \leq - 3 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 4 < m \leq - 3 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} m > - 4 \\ [\begin{matrix} m \geq 0 \\ m \leq - 3 \end{matrix} \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 4 < m \leq - 3 \\ m \geq 0 \end{matrix}$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in ( - 4; - 3\rbrack \cup \lbrack 0; + \infty)$ $m \in (- 4; - 3] \cup [0; + \infty)$ .

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{2cotx + 1}{\cot x + m}$ $y = \frac{2 c o t x + 1}{\cot x + m}$ đồng biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} \right)$ $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ ?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định $\cot x \neq - m$ $\cot x \neq - m$

Ta có:

$y^{'} = \frac{- \frac{2}{\sin^{2} x} (\cot x + m) + \frac{1}{\sin^{2}} (2 \cot x + 1)}{{(\cot x + m)}^{2}}$

$= \dfrac{1 - 2m}{\sin^{2}x.\left( \cot x + m \right)^{2}}$ $= \frac{1 - 2 m}{\sin^{2} x . {(\cot x + m)}^{2}}$

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( \frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2} \right)$ $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{matrix} y$ ${\begin{matrix} y^{'} > 0 \\ - m \notin (0; 1) \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 1 - 2 m > 0 \\ [\begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \end{matrix} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \in ( - \infty; - 1\rbrack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} \right)$ $\Leftrightarrow [\begin{matrix} m \leq - 1 \\ m \geq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m \in (- \infty; - 1] \cup [0; \frac{1}{2})$

Vậy đáp án cần tìm là $m \in ( - \infty; - 1\rbrack \cup \left\lbrack 0;\frac{1}{2} \right)$ $m \in (- \infty; - 1] \cup [0; \frac{1}{2})$ .

-------------------------------------

Sau khi đã cùng nhau tìm hiểu về Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng , bây giờ chúng ta hãy cùng nhau củng cố lại kiến thức bằng một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé!

Bài tập Toán 12: Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

7

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê
Ngày: 20/03/2025

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Tìm tham số m để hàm số đồng biến nghịch biến trên khoảng

532,9 KB 19/03/2025 4:11:00 CH

File Word
19/03/2025 4:29:09 CH

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!