Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất

Cực trị trong không gian Oxyz

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Bài tập viết phương trình đường thẳng cực trị Oxyz

Trong chương trình Toán 12, dạng toán viết phương trình đường thẳng để khoảng cách đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất là một chuyên đề quan trọng thuộc hình học không gian Oxyz. Đây là dạng bài kết hợp giữa phương trình đường thẳng và bài toán cực trị trong không gian, đòi hỏi học sinh nắm vững phương pháp tọa độ và kỹ thuật biến đổi linh hoạt.

Bài tập 1. Trong không gian cho mặt phẳng $(\alpha):x + y + z - 3 = 0$ và điểm . Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(\alpha)$ và

a) $\Delta$ đi qua và khoảng cách từ đến $\Delta$ lớn nhất, nhỏ nhất;

b) $\Delta$ đi qua và khoảng cách giữa $\Delta$ và $d:\frac{x - 2}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{- 1}$ lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng $(\alpha)$ có $\overrightarrow{n} = (1;1;1)$ là VTPT

Gọi $\overrightarrow{u} = (a;b;c)$ là VTCP của $\Delta$ , do $\Delta \subset (P)$

$\Rightarrow a + b + c = 0 \Rightarrow c = - a - b$ (1)

a) Ta có: $\overrightarrow{AM} = (0; - 1; - 2)$ $\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (c + 2b;2a; - a)$

Do đó:

$d(A;\Delta) = \frac{\left|\left\lbrack \overrightarrow{u}.\overrightarrow{AM} \right\rbrack\right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \sqrt{\frac{(c + 2b)^{2} +5a^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$= \sqrt{\frac{(b - a)^{2} +5a^{2}}{a^{2} + b^{2} + (a + b)^{2}}}$ $= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{b^{2} - 2ab + 6a^{2}}{b^{2} + 2ab + b^{2}}}$

Nếu $a = 0 \Rightarrow d(A;\Delta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , với $a \neq 0$ đặt $t = \frac{b}{a};t\mathbb{\in R}$

Xét hàm số $f(t) = \frac{t^{2} - 2t + 6}{t^{2} + t + 1}$ , khảo sát hàm số ta tìm được

$f(t) = f\left( - \frac{2}{3} \right) = 10;minf(t) = f(4) = \frac{2}{3}$

Khoảng cách từ đến $\Delta$ lớn nhất khi $t = - \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{b}{a} = - \frac{2}{3}$ , chọn $b = - 2 \Leftrightarrow a = 3;c = - 1$ , suy ra phương trình đường thẳng: $\Delta:\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$

Khoảng cách từ đến $\Delta$ nhỏ nhất khi $t = 4 \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 4$ , chọn $b = 4 \Leftrightarrow a = 1;c = - 5$ , suy ra phương trình đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{4} = \frac{z - 1}{- 5}$ .

b. Đường thẳng đi qua và có $\overrightarrow{u_{1}} = (1;2; - 1)$ là VTCP

$\overrightarrow{MN} = (1; - 1; - 1);\left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{u_{1}} \right\rbrack = (2a + b; - b;2a - b)$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u};\overrightarrow{u_{1}} \right\rbrack.\overrightarrow{MN} = 3b$

Do đó: $d(\Delta;d) = \frac{\left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{u_{1}}\right\rbrack.\overrightarrow{MN}}{\left| \left\lbrack\overrightarrow{u};\overrightarrow{u_{1}} \right\rbrack \right|}$

$=\frac{3|b|}{\sqrt{(2a + b)^{2} + b^{2} + (2a - b)^{2}}}$ $= 3\sqrt{\frac{b^{2}}{4a^{2} + 3b^{2}}} \leq \sqrt{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $a = 0 \Rightarrow c = - b \Rightarrow \overrightarrow{u} = b(0;1; - 1)$

Vậy phương trình $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{matrix} \right.$ .

Bài tập 2. Lập phương trình đường thẳng đi qua và cắt đường thẳng $d:\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$ sao cho:

a) Khoảng cách từ đến đường thẳng là lớn nhất, nhỏ nhất;

b) Khoảng cách giữa và $\Delta:\frac{x - 5}{2} = \frac{y}{- 2} = \frac{z}{1}$ là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Giả sử cắt tại điểm thì $M( - 1 + 2t;t;2 - t);t\mathbb{\in R}$

$\overrightarrow{AM} = (2t - 1;t + 1; - t)$ là VTCP của đường thẳng .

a. Ta có $\overrightarrow{AB} = (2;2; - 1)$ nên $\Leftrightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (1 - t;1;4 - 2t)$

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là

$d(B;d) = \frac{\left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AM} \right\rbrack}{\left| \overrightarrow{AM} \right|} = \sqrt{\frac{5t^{2} - 18t + 18}{6t^{2} - 2t + 2}} = \sqrt{f(t)}$

Ta có $f(t) = \frac{5t^{2} - 18t + 18}{6t^{2} - 2t + 2}$ nên $f'(t) = \frac{98t(t - 2)}{\left( 6t^{2} - 2t + 2 \right)^{2}}$

Từ đó ta tìm được $\left\{ \begin{matrix} \max f(t) = f(0) = 18 \\ \min f(t) = f(2) = \frac{1}{11} \end{matrix} \right.$

Do đó:

$\min d(B;d) = \frac{1}{\sqrt{11}}$ đạt được khi $t = 2 \Rightarrow \overrightarrow{AM} = (3;3; - 2)$ nên phương trình đường thẳng cần tìm $d:\frac{x}{3} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{- 2}$

$\max d(B;d) = 3\sqrt{2}$ đạt được khi $t = 0 \Rightarrow \overrightarrow{AM} = ( - 1;1; - 1)$ nên phương trình đường thẳng cần tìm $d:\frac{x}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{- 1}$

b. $\Delta$ đi qua và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}} = (2; - 2;1)$

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}},\overrightarrow{AM} \right\rbrack = (t - 1;4t - 1;6t);\overrightarrow{AN} = (5;1; - 2)$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng là:

$d(\Delta;d) = \frac{\left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}},\overrightarrow{AM} \right\rbrack.\overrightarrow{AN}}{\left| \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}},\overrightarrow{AM} \right\rbrack \right|} = \frac{| - 6 - 3t|}{\sqrt{(t - 1)^{2} + (4t - 1)^{2} + (6t)^{2}}}$

$= 3.\sqrt{\frac{(2 + t)^{2}}{53t^{2} - 10t + 2}} = 3.\sqrt{f(t)};f(t) = \frac{(2 + t)^{2}}{53t^{2} - 10t + 2}$

Vì $f'(t) = \frac{6(t + 2)(4 - 37t)}{\left( 53t^{2} - 10t + 2 \right)^{2}}$ nên $f'(t) = 0 \Leftrightarrow t = - 2;t = \frac{4}{37}$

Từ đó ta tìm được $\max f(t) = f\left( \frac{4}{37} \right)$ , khi đó $\overrightarrow{AM} = - \frac{1}{37}(29; - 41;4)$

Vậy đường thẳng có phương trình là $d:\frac{x}{29} = \frac{y + 1}{- 41} = \frac{z - 2}{4}$ .

🔍 Để thuận tiện cho việc học tập và lưu trữ, mời bạn tải tài liệu tham khảo bên dưới.

-------------------------------------------------------------

Dạng toán viết phương trình đường thẳng để khoảng cách đạt cực trị là nội dung quan trọng trong hình học tọa độ Oxyz lớp 12. Khi nắm vững phương pháp xử lý và rèn luyện qua bài tập có lời giải, học sinh sẽ tự tin chinh phục các câu hỏi vận dụng cao trong đề

Luyện tập mở rộng

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: