Tập nghiệm của bất phương trình

Giải bất phương trình Toán 10

Tập nghiệm của bất phương trình môn Toán lớp 10 tổng hợp các dạng bài tập và hướng dẫn chi tiết về bất phương trình phổ biến trong các kì thi, bài kiểm tra trong chương trình trọng tâm Toán 10 nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, nâng cao kĩ năng tư duy bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tìm tập nghiệm của bất phương trình 

1. Tập nghiệm S của bất phương trình là gì?

Trước hết ta xét đến định nghĩa bất phương trình một ẩn

- Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực dưới một trong các dạng

f(x) < g(x), f(x) > g(x); f(x) ≥ g(x); f(x) ≤ g(x)

- Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình.

- Nếu với giá trị x =a, f(a) > 0 là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng a nghiệm đúng bất phương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của bất phương trình.

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm hay lời giải của bất phương trình, đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bất phương trình. Trong nhiều tài liệu người ta cũng gọi tập nghiệm của bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ Bất phương trình 4.x + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x > -0.5. Tập nghiệm của bất phương trình là { x ∈ R | x > -0.5 } = (0.5; \infty)

Phân loại bất phương trình:

- Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k.

- Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép khai căn

- Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến trên lũy thừa.

- Các bất phương trình logarit là các bất phương trình có chứa hàm logarit (chứa biến trong dấu logarit).

2. Bài tập ví dụ minh họa

Bài tập 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \sqrt {{x^2} - 5x - 6}  + 2{x^2} > 10x + 15

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: {x^2} - 5x - 6 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)

Bất phương trình tương đương:
\begin{matrix}
  \sqrt {{x^2} - 5x - 6}  + 2{x^2} > 10x + 15 \hfill \\
   \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 6}  >  - 2{x^2} + 10x + 15 \hfill \\
   \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 6}  >  - 2\left( {{x^2} - 5x - 6} \right) + 3\left( * \right) \hfill \\ 
\end{matrix}
Đặt \sqrt {{x^2} - 5x - 6}  = t;\left( {t \geqslant 0} \right) (**)

\begin{matrix}
  \left( * \right) \Leftrightarrow t >  - 2{t^2} + 3 \hfill \\
   \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 3 > 0 \hfill \\
   \Leftrightarrow t \in \left( { - \infty ; - \dfrac{3}{2}} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Kết hợp với điều kiện (**) \Rightarrow t \in \left[ {1; + \infty } \right)

\begin{matrix}
   \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 6}  \geqslant 1 \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 \geqslant 1 \hfill \\
   \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\dfrac{{5 - \sqrt {53} }}{2}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5 + \sqrt {53} }}{2}; + \infty } \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x \in \left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {53} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{5 + \sqrt {53} }}{2}; + \infty } \right)

Bài tập 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 6x + 8}} \leqslant 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định x2 – 6x + 8 ≠ 0 ⟺ x ≠ 2, x ≠ 4

\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 6x + 8}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x - 4}} \leqslant 0

Lập bảng xét dấu ta có:

Tập nghiệm của bất phương trình

Từ bảng xét dấu ta kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ [ -2 ; 4)

Bài tập 3: Giải bất phương trình: (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x – 3) ≥ 5 (*)

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = \mathbb{R}

Đặt x2 + 3x – 3 = t ⟹ x2 + 3x + 1 = t + 4

Bất phương trình (*) ⟺ t(t+4) ≥ 5

⟺ t2 + 4t – 5 ≥ 0

⟺ t ∈ (-∞; -5] ∪ [1; +∞)

\begin{matrix}
   \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} + 3x - 3 \leqslant  - 5} \\ 
  {{x^2} + 3x - 3 \geqslant 1} 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {{x^2} + 3x + 2 \leqslant 0} \\ 
  {{x^2} + 3x - 4 \geqslant 0} 
\end{array}} \right. \hfill \\
   \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  {x \in \left[ { - 2; - 1} \right]} \\ 
  {x \in \left( { - \infty  - 4} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)} 
\end{array}} \right. \Rightarrow x \in \left( { - \infty  - 4} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right) \hfill \\ 
\end{matrix}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (-∞; -4] ∪ [1; +∞)

3. Bài tập tự rèn luyện

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2- 4 > 0

A. S = (-2 ; 2).B. S = (-∞ ; -2) ∪ (2; +∞)
C. S = (-∞ ; -2] ∪ [2; +∞)D. S = (-∞ ; 0) ∪ (4; +∞)

Câu 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x2 – 4x + 4 > 0.

A. S = RB. S = R\{2}
C. S = (2; ∞)D. S =R\{-2}

Câu 3: Tập nghiệm S = (-4; 5) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. (x + 4)(x + 5) < 0B. (x + 4)(5x - 25) ≥ 0
C. (x + 4)(x + 25) < 0D. (x - 4)(x - 5) < 0

Câu 4: Cho biểu thức: f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) và ∆ = b2 – 4ac. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A. Khi ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ \mathbb{R}.

B. Khi ∆ = 0 thì f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x \ne \frac{{ - b}}{{2a}}.

C. Khi ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x \ne \frac{{ - b}}{{2a}}.

D. Khi ∆ > 0 thì f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ \mathbb{R}.

Câu 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: -x2 + 2017x + 2018 > 0

A. S = [-1 ; 2018]B. S = (-∞ ; -1) ∪ (2018; +∞)
C. S = (-∞ ; -1] ∪ [2018; +∞)D. S = (-1 ; 2018)

Câu 6: Giải các bất phương trình sau:

a. 4{x^2} - x + 1 > 0b. {x^2} - x - 6 \leqslant 0
c. - 3{x^2} + x + 4 \geqslant 0d. \left( { - {x^2} + 3x - 2} \right)\left( {{x^2} - 5x + 6} \right) \geqslant 0

Câu 7: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:

a. \frac{1}{{{x^2} - 4}} < \frac{3}{{3{x^2} + x - 4}}b. \frac{{{x^2} + 3x - 1}}{{2 - x}} >  - x
c. \frac{{3x - 47}}{{3x - 1}} > \frac{{4x - 47}}{{2x - 1}}d. x + \frac{9}{{x + 2}} \geqslant 4
e. \frac{{{x^2} + x + 2}}{{2x - 1}} > 0

f. \frac{{\left( {{x^2} - x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)}}{{{x^2} - 5x + 6}} > 0

Câu 8: Tập nghiệm S của bất phương trình 5x-1 = ≥ 5x/2 +3 là:

A. S = (+\infty; 5)

B. S = (-\infty;2)

C. S = (-5/2; +\infty)

D. S = (20/23; + \infty)

Câu 9: Bất phương trình \frac{3x+5}2-1\leq\frac{x+2}3+x có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn -10

A. 4

B. 5

C. 9

D. 10

Câu 10: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x (2-x) ≥ x (7-x) - 6 (x-1) trên đoạn (-10;10) bằng:

A. 5

B. 6

C. 21

D. 40

Câu 11: Bất phương trình (m-1) x>3 vô nghiệm khi

A. m≠1

B. m<1

C. m=1

D. m>1

--------------------------------------------------------

Trên đây là Cách tìm tập nghiệm S của bất phương trình VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10. Chúc các bạn học tốt và nhớ thường xuyên tương tác để cập nhật được nhiều bài tập hay bổ ích nhé!

Đánh giá bài viết
2 6.252
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Chuyên đề Toán 10 Xem thêm