Tập nghiệm của bất phương trình

Tập nghiệm của bất phương trình môn Toán lớp 10 vừa được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tìm tập nghiệm của bất phương trình 

1. Bất phương trình

Trước hết ta xét đến định nghĩa bất phương trình một ẩn

• Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình.
• Nếu với giá trị x =a, f(a) > 0 là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng a nghiệm đúng bất phương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của bất phương trình.

Trong nhiều tài liệu người ta cũng gọi tập nghiệm của bất phương trình là nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ Bất phương trình 4.x + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi số thực x > -0.5. Tập nghiệm của bất phương trình là { x ∈ R | x > -0.5 } = (0.5; $\mathrm{\infty }$)

Phân loại bất phương trình:

• Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k.
• Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phép khai căn
• Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa biến trên lũy thừa.
• Các bất phương trình logarit là các bất phương trình có chứa hàm logarit (chứa biến trong dấu logarit).

2. Cách xét dấu tam thức bậc hai

3. Cách giải bất phương trình

Các dạng bất phương trình chứa căn

Cách giải bất phương trình chứa căn

2. Bài toán giải bất phương trình lớp 10

Bài tập 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\sqrt{x^2-5x-6}+2x^2>10x+15$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $x^2-5x-6⩾0\iff x\in \left(-\mathrm{\infty };-1\right]\cup \left[6;+\mathrm{\infty }\right)$

Bất phương trình tương đương:
$\begin{array}{c}\sqrt{x^2-5x-6}+2x^2>10x+15\hfill \\ \iff \sqrt{x^2-5x-6}>-2x^2+10x+15\hfill \\ \iff \sqrt{x^2-5x-6}>-2\left(x^2-5x-6\right)+3(\ast )\hfill \end{array}$
Đặt $\sqrt{x^2-5x-6}=t;\left(t⩾0\right)$ (**)

$\begin{array}{c}(\ast )\iff t>-2t^2+3\hfill \\ \iff 2t^2+t-3>0\hfill \\ \iff t\in \left(-\mathrm{\infty };-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)\hfill \end{array}$

Kết hợp với điều kiện (**) $\Rightarrow t\in \left[1;+\mathrm{\infty }\right)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \sqrt{x^2-5x-6}⩾1\iff x^2-5x-6⩾1\hfill \\ \Rightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty };{\displaystyle \frac{5-\sqrt{53}}{2}}\right]\cup \left[{\displaystyle \frac{5+\sqrt{53}}{2}};+\mathrm{\infty }\right)\hfill \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x\in \left(-\mathrm{\infty };\frac{5-\sqrt{53}}{2}\right]\cup \left[\frac{5+\sqrt{53}}{2};+\mathrm{\infty }\right)$

Bài tập 2: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: $\frac{x^2-4}{x^2-6x+8}⩽0$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định x² – 6x + 8 ≠ 0 ⟺ x ≠ 2, x ≠ 4

$\frac{x^2-4}{x^2-6x+8}⩽0\iff \frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}⩽0\iff \frac{x+2}{x-4}⩽0$

Lập bảng xét dấu ta có:

Từ bảng xét dấu ta kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ [ -2 ; 4)

Bài tập 3: Giải bất phương trình: (x² + 3x + 1)(x² + 3x – 3) ≥ 5 (*)

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = $\mathbb{R}$

Đặt x² + 3x – 3 = t ⟹ x² + 3x + 1 = t + 4

Bất phương trình (*) ⟺ t(t+4) ≥ 5

⟺ t² + 4t – 5 ≥ 0

⟺ t ∈ (-∞; -5] ∪ [1; +∞)

$\begin{array}{c}\Rightarrow [\begin{array}{c}{x}^2+3x-3⩽-5\\ x^2+3x-3⩾1\end{array}\iff [\begin{array}{c}{x}^2+3x+2⩽0\\ x^2+3x-4⩾0\end{array}\hfill \\ \iff [\begin{array}{c}x\in \left[-2;-1\right]\\ x\in \left(-\mathrm{\infty }-4\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)\end{array}\Rightarrow x\in \left(-\mathrm{\infty }-4\right]\cup \left[1;+\mathrm{\infty }\right)\hfill \end{array}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ (-∞; -4] ∪ [1; +∞)

Bài tập 4: Giải bất phương trình: $\sqrt{5x+1}-\sqrt{4x-1}\le 3\sqrt{x}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{c}5x+1\ge 0\\ 4x-1\ge 0\\ x\ge 0\end{array}$ $\iff \{\begin{array}{c}x\ge {\displaystyle \frac{-1}{5}}\\ x\ge {\displaystyle \frac{1}{4}}\\ x\ge 0\end{array}\iff x\ge \frac{1}{4}$

Bất phương trình tương đương: $\sqrt{5x+1}\le 3\sqrt{x}+\sqrt{4x-1}$

$\iff 5x+1\le 9x+4x-1+6\sqrt{x(4x-1)}$

$\iff 3\sqrt{x(4x-1)}\ge 1-4x$ luôn đúng với điều kiện đề bài

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $x\ge \frac{1}{4}$

Bài tập 5: Giải bất phương trình: $\frac{1-\sqrt{1-4x^2}}{x}<3$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{c}1-4x^2\ge 0\\ x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\in [{\displaystyle \frac{-1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}]\\ x\ne 0\end{array}$

Cách 1: Sử dụng nhân liên hợp:

Bất phương trình $\iff \frac{(1-\sqrt{1-4x^2})(1+\sqrt{1-4x^2})}{x(1+\sqrt{1-4x^2})}<3$

$\iff 4x<3(1+\sqrt{1-4x^2})$

$\iff 3\sqrt{1-4x^2}>4x-3\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}4x-3<0\\ 1-4x^2\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}4x-3\ge 0\\ 9(1-4x^2)>(4x-3{)}^2\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}x<{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ x\in [{\displaystyle \frac{-1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}]\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x\ge {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ 0<x<{\displaystyle \frac{6}{13}}\end{array}\end{array}$kết hợp điều kiện$\iff \{\begin{array}{c}x\in [{\displaystyle \frac{-1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}]\\ x\ne 0\end{array}$

Cách 2: Xét các trường hợp điều kiện:

Trường hợp 1: Với $\frac{-1}{2}\le x<0$

Ta có:

Bất phương trình $\iff \sqrt{1-4x^2}<1-3x$

$\iff \{\begin{array}{c}1-3x>0\\ 1-4x^2<(1-3x{)}^2\end{array}\iff \frac{-1}{2}\le x<0$

Trường hợp 2: Với $0<x\le \frac{1}{2}$

Bất phương trình $\iff \sqrt{1-4x^2}<1-3x$

$\iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}1-3x<0\\ 1-4x^2\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}1-3x\ge 0\\ 1-4x^2>(1-3x{)}^2\end{array}\end{array}\iff 0<x\le \frac{1}{2}$

Bài tập 6: Giải bất phương trình: $\sqrt{2(x^2-1)}\le x+1$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $x^2-1\ge 0\iff x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }(-1,1)$

Bất phương trình $\iff \{\begin{array}{c}x+1\ge 0\\ 2(x^2-1)<(x+1{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge -1\\ x\in (3,-1)\end{array}$

Kết hợp với điều kiện đề bài $\Rightarrow x\in [1,3)$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $x\in [1,3)$

3. Bài tập bất phương trình

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x²- 4 > 0

Câu 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x² – 4x + 4 > 0.

Câu 3: Tập nghiệm S = (-4; 5) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

Câu 4: Cho biểu thức: f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và ∆ = b² – 4ac. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A. Khi ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ $\mathbb{R}$.

B. Khi ∆ = 0 thì f(x) trái dấu với hệ số a với mọi $x\ne \frac{-b}{2a}$.

C. Khi ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\ne \frac{-b}{2a}$.

D. Khi ∆ > 0 thì f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ $\mathbb{R}$.

Câu 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: -x² + 2017x + 2018 > 0

Câu 6: Giải các bất phương trình sau:

a. $4x^2-x+1>0$	b. $x^2-x-6⩽0$
c. $-3x^2+x+4⩾0$	d. $\left(-x^2+3x-2\right)\left(x^2-5x+6\right)⩾0$

Câu 7: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:

a. $\frac{1}{x^2-4}<\frac{3}{3x^2+x-4}$	b. $\frac{x^2+3x-1}{2-x}>-x$
c. $\frac{3x-47}{3x-1}>\frac{4x-47}{2x-1}$	d. $x+\frac{9}{x+2}⩾4$
e. $\frac{x^2+x+2}{2x-1}>0$	f. $\frac{\left(x^2-x+3\right)\left(x^2-3x+2\right)}{x^2-5x+6}>0$

Câu 8: Tập nghiệm S của bất phương trình 5x-1 = ≥ 5x/2 +3 là:

A. S = (+$\mathrm{\infty }$; 5)	B. S = (-$\mathrm{\infty }$;2)
C. S = (-5/2; +$\mathrm{\infty }$)	D. S = (20/23; + $\mathrm{\infty }$)

Câu 9: Bất phương trình $\frac{3x+5}{2}-1\le \frac{x+2}{3}+x$ có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn -10?

Câu 10: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x (2-x) ≥ x (7-x) - 6 (x-1) trên đoạn (-10;10) bằng:

Câu 11: Bất phương trình (m-1) x>3 vô nghiệm khi:

--------------------------------------------------------

Trên đây là tài liệu về Cách tìm tập nghiệm S của bất phương trình được VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc cùng tham khảo. Hy vọng với tài liệu này các bạn học sinh sẽ nắm chắc kiến thức vận dụng tốt vào giải bài tập từ đó học tốt môn Toán lớp 10.