Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng Toán 10

Phương trình tham số của đường thẳng tổng hợp các nội dung trọng tâm: phương trình tham số, phương trình chính tắc, vecto chỉ phương, hệ số góc, ... trong chương trình Hình học môn Toán 10, nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng vào việc giải bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Phương trình tham số của đường thẳng

I. Tổng hợp lí thuyết 

1. Vecto chỉ phương

- Cho đường thẳng d, vecto \overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0} gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu có giá song song hoặc trùng với d.

- \overrightarrow{u} là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì k\overrightarrow{u} cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

- Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau hay nói cách khác vecto chỉ phương của d là \overrightarrow{u}\left( a,b \right) thì vecto pháp tuyến là \overrightarrow{n}\left( -b,a \right).

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) nhận \overrightarrow{u}(a,b) làm vecto chỉ phương, Ta có:

B\left( x,y \right)\in d\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-{{x}_{0}}=at \\ y-{{y}_{0}}=bt \\ \end{matrix} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x={{x}_{0}}+at \\ y={{y}_{0}}+bt \\ \end{matrix} \right., {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0, t\in \mathbb{R}

- Đường thẳng d đi qua điểm A\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right), nhận \overrightarrow{u}(a,b) là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là \frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b} với (a,b\ne 0)

- Nếu M\in \Delta \Leftrightarrow M\left( {{x}_{0}}+at,{{y}_{0}}+at \right)

II. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a. Phương trình đi qua điểm A\left( 1,2 \right) nhận \overrightarrow{u}\left( 1,-1 \right.) làm vecto pháp tuyến.

b. Phương trình đi qua điểm B\left( 0,1 \right) vuông góc với đường thẳng y=2x+1.

c. Phương trình song song với đường thẳng 4x+3y-1=0 và đi qua điểm M( 0, 1)

Hướng dẫn giải

a. Gọi điểm M(x, y) thuộc d ta có:

\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-1=t \\ y-2=-t \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{matrix} x=1+t \\ y=2-t \\ \end{matrix} \right.

Phương trình chính tắc là: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}

b. Ta có đường thẳng y=2x+1 có vecto pháp tuyến \overrightarrow{n}=\left( 2,-1 \right)

Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y=2x+1 nên VTPT \overrightarrow{n} của y=2x+1 là VTCP \overrightarrow{u} của d \Rightarrow \overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=\left( -2,1 \right)

Ta có phương trình tham số của d là: \left\{ \begin{matrix} x=0+2t \\ y=1-t \\ \end{matrix} \right.

Phương trình chính tắc của d là: \frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}

c. Do d song song với đường thẳng 4x+3y-1=0

\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -3,4 \right)

Phương trình tham số của d là: \left\{ \begin{matrix} x=-3t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.

Phương trình chính tắc của d là: \frac{x}{-3}=\frac{y-1}{4}

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A\left( -1,1 \right),B\left( 2,-1 \right)

b. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng \Delta :\left\{ \begin{matrix} x=3t \\ y=1+2t \\ \end{matrix} \right.

Hướng dẫn giải

a. Ta có đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B nên d nhận \overrightarrow{AB}=\left( 3,-2 \right) làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x=-1+3t \\ y=1-2t \\ \end{matrix} \right.

Phương trình chính tắc của đường thẳng là: \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}

b. Ta có d song song với \Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3,2 \right)

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \left\{ \begin{matrix} x=3t \\ y=2t \\ \end{matrix} \right.

Phương trình chính tắc của d là: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}

Ví dụ 3: Cho 3 điểm A\left( -2,1 \right),B\left( -1,5 \right),C\left( -2,-3 \right)

a. Viết phương trình tham số AB, AC

b. Viết phương trình tham số đường trung trực cạnh BC

c. Viết phương trình đường thẳng song song với AB và đi qua trung điểm của BC

Hướng dẫn giải

a. Phương trình đường thẳng AB nhận \overrightarrow{AB}=\left( 1,4 \right) làm vecto pháp tuyến

Phương trình tham số AB là: \left\{ \begin{matrix} x=-2+t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right. và phương trình chính tắc của d là: \frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{4}

Tương tự với đường thẳng AC có phương trình tham số là: \left\{ \begin{matrix} x=-2 \\ y=-3-4t \\ \end{matrix} \right.

b. Đường trung trực của BC đi qua trung điểm của BC và nhận \overrightarrow{BC}=\left( -1,-8 \right) làm vecto pháp tuyến. Vậy vecto chỉ phương của đường thẳng trung trực là \overrightarrow{u}\left( 8,-1 \right)

Gọi M là trung điểm của BC khi đó: \left\{ \begin{matrix} {{x}_{M}}=\dfrac{-1-2}{2}=\dfrac{-3}{2} \\ {{y}_{M}}=\dfrac{5-3}{2}=1 \\ \end{matrix} \right.

Phương trình tham số đường trung trực BC là: \left\{ \begin{matrix} x=\dfrac{-3}{2}+8t \\ y= 1-t \\ \end{matrix} \right. \\

c. Do đường thẳng d tìm song song với AB nên \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\left( 1,4 \right)

Theo câu b, trung điểm của BC là M\left( -\frac{3}{2},1 \right)

Vậy phương trình tham số của d là: \left\{ \begin{matrix} x=-\dfrac{3}{2}+t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.

III. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC có A\left( -2,1 \right),B\left( 1,-5 \right),C\left( 2,3 \right)

a. Viết phương trình tham số các cạnh AB, BC, AC

b. Viết phương trình đường trung tuyến AM, CP với M, P lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB.

c. Viết phương trình tham số đường cao AH

d. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC

e. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với y = 2x -3

Bài 2: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng đi qua 2 điểm A\left( -2,0 \right),B\left( 1,3 \right)

b. Đường thẳng đi qua M\left( 3,-2 \right) song song với đường thẳng 2x+5y-4=0

c. Đường thẳng có hệ số góc k = 1 đi qua điểm D\left( -1,-1 \right)

d. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng x-y-1=0

Trên đây là Phương trình tham số của đường thẳng VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Ngoài ra VnDoc mời độc giả tham khảo thêm tài liệu ôn tập một số môn học: Tiếng anh lớp 10, Vật lí lớp 10, Ngữ văn lớp 10,...

Đánh giá bài viết
1 45
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Chuyên đề Toán 10 Xem thêm