Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng vừa được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết được tổng hợp các nội dung trọng tâm: phương trình tham số, phương trình chính tắc, vecto chỉ phương, hệ số góc, ... trong chương trình Hình học môn Toán 10, nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng vào việc giải bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả! Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Phương trình tham số của đường thẳng

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

1. Vecto chỉ phương

- Cho đường thẳng d, vecto _{\(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}\)} gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu có giá song song hoặc trùng với d.

- _{\(\overrightarrow{u}\)} là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì _{\(k\overrightarrow{u}\)} cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau hay nói cách khác vecto chỉ phương của d là _{\(\overrightarrow{u}\left( a,b \right)\)} thì vecto pháp tuyến là _{\(\overrightarrow{n}\left( -b,a \right)\).}

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Nếu _{\(M\in \Delta \Leftrightarrow M\left( {{x}_{0}}+at,{{y}_{0}}+at \right)\)}

Ví dụ. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(M( - 1;2),N(2;3)\)?

Hướng dẫn giải

Vectơ chỉ phương: \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{MN} = (3;1)\)

Đường thẳng đi qua điểm \(N(2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (3;1)\) nên có phương trình tham số là: \(\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 2 + 3t \\ y = 3 + t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\).

Ví dụ. Xác định phương trình tham số của đường thẳng \(d\). Biết rằng \(d\) đi qua điểm \(A(1;2)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (2022;2023)\)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua điểm \(M\left( x_{0};y_{0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow{u} = \left( u_{1};u_{2} \right)\) làm vectơ chỉ phương sẽ có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{matrix} x = x_{0} + u_{1}t \\ y = y_{0} + u_{2}t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\).

Áp dụng với dữ kiện bài toán trên ta được: \(\left\{ \begin{matrix} x = 1 + 2022t \\ y = 2 + 2023t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\).

3. Bài tập viết phương trình đường thẳng

Hướng dẫn giải

a. Gọi điểm M(x, y) thuộc d ta có:

\(\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-1=t \\ y-2=-t \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.\)\(\left\{ \begin{matrix} x=1+t \\ y=2-t \\ \end{matrix} \right.\)

Phương trình chính tắc là: _{\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}\)}

b. Ta có đường thẳng y = 2x + 1 có vecto pháp tuyến _{\(\overrightarrow{n}=\left( 2,-1 \right)\)}

Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 nên VTPT _{\(\overrightarrow{n}\)} của y = 2x + 1 là VTCP _{\(\overrightarrow{u}\)} của d \(\Rightarrow \overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=\left( -2,1 \right)\)

Ta có phương trình tham số của d là: _{\(\left\{ \begin{matrix} x=0+2t \\ y=1-t \\ \end{matrix} \right.\)}

Phương trình chính tắc của d là: _{\(\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}\)}

c. Do d song song với đường thẳng 4x + 3y - 1 = 0

\(\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -3,4 \right)\)

Phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{matrix} x=-3t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.\)

Phương trình chính tắc của d là: _{\(\frac{x}{-3}=\frac{y-1}{4}\)}

Hướng dẫn giải

a. Ta có đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B nên d nhận _{\(\overrightarrow{AB}=\left( 3,-2 \right)\)} làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là:  \(\left\{ \begin{matrix} x=-1+3t \\ y=1-2t \\ \end{matrix} \right.\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng là: \(\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}\)

b. Ta có d song song với _{\(\Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3,2 \right)\)}

Phương trình tham số của đường thẳng d là: _{\(\left\{ \begin{matrix} x=3t \\ y=2t \\ \end{matrix} \right.\)}

Phương trình chính tắc của d là: _{\(\frac{x}{3}=\frac{y}{2}\)}

Hướng dẫn giải

a. Phương trình đường thẳng AB nhận _{\(\overrightarrow{AB}=\left( 1,4 \right)\)} làm vecto pháp tuyến

Phương trình tham số AB là: _{\(\left\{ \begin{matrix} x=-2+t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.\)} và phương trình chính tắc của d là: \(\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{4}\)

Tương tự với đường thẳng AC có phương trình tham số là: _{\(\left\{ \begin{matrix} x=-2 \\ y=-3-4t \\ \end{matrix} \right.\)}

b. Đường trung trực của BC đi qua trung điểm của BC và nhận _{\(\overrightarrow{BC}=\left( -1,-8 \right)\)} làm vecto pháp tuyến. Vậy vecto chỉ phương của đường thẳng trung trực là _{\(\overrightarrow{u}\left( 8,-1 \right)\)}

Gọi M là trung điểm của BC khi đó: _{\(\left\{ \begin{matrix} {{x}_{M}}=\dfrac{-1-2}{2}=\dfrac{-3}{2} \\ {{y}_{M}}=\dfrac{5-3}{2}=1 \\ \end{matrix} \right.\)}

Phương trình tham số đường trung trực BC là: _{\(\left\{ \begin{matrix} x=\dfrac{-3}{2}+8t \\ y= 1-t \\ \end{matrix} \right. \\\)}

c. Do đường thẳng d tìm song song với AB nên _{\(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\left( 1,4 \right)\)}

Theo câu b, trung điểm của BC là _{\(M\left( -\frac{3}{2},1 \right)\)}

Vậy phương trình tham số của d là: _{\(\left\{ \begin{matrix} x=-\dfrac{3}{2}+t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.\)}

Hướng dẫn giải

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = - 3a + b} \\ { - 4 = 5a + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - \frac{3}{4}; - \frac{1}{4}} \right)\)

Vậy PT tổng quát cần tìm là: \(y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\)

Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: \(y = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \Rightarrow A\left( { - \frac{1}{3};0} \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( { - \frac{1}{3};0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{1}{3}\)

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: \(x = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{4} \Rightarrow B\left( {0; - \frac{1}{4}} \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {OB} = \left( {0; - \frac{1}{4}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}\)

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1

⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)

⇒ 1 = 3.(-2) + b

⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB} = (3 - m;3 - 2m) \\ \overrightarrow{AC} = (4;4) \\ \end{matrix} \right.\)

Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) cùng phương với nhau.

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{3 - m}{4} = \frac{3 - 2m}{4} \Leftrightarrow m = 0\)

Vậy m = 0 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng.

4. Bài tập tự luyện Phương trình đường thẳng

Câu 1. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại \(A( - 2\ ;\ 0)\) và \(B(0\ ;\ 3)\) là:

A. \(2x - 3y + 4 = 0\).         B. \(3x - 2y + 6 = 0\).

C. \(3x - 2y - 6 = 0\).          D. \(2x - 3y - 4 = 0\).

Câu 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(2; - 1)\) và \(B(2;5)\) là:

A. \(x + y - 1 = 0.\)     B. \(2x - 7y + 9 = 0.\)     C. \(x + 2 = 0.\)       D. \(x - 2 = 0.\)

Câu 3. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(3; - 7)\) và \(B(1; - 7)\) là:

A. \(y - 7 = 0.\)        B. \(y + 7 = 0.\)         C. \(x + y + 4 = 0.\)      D. \(x + y + 6 = 0.\)

Câu 4. Cho tam giác \(ABC\) có \(A(1;1),\ B(0; - 2),\ C(4;2).\) Lập phương trình đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A.\)

A. \(x + y - 2 = 0.\)      B. \(2x + y - 3 = 0.\)      C. \(x + 2y - 3 = 0.\)     D. \(x - y = 0.\)

Câu 5. Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A(1; - 4)\) và \(B(5;2)\) có phương trình là:

A. \(2x + 3y - 3 = 0.\)               B. \(3x + 2y + 1 = 0.\)

C. \(3x - y + 4 = 0.\)               D. \(x + y - 1 = 0.\)

Câu 6. Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A(4; - 1)\) và \(B(1; - 4)\) có phương trình là:

A. \(x + y = 1.\)        B. \(x + y = 0.\)      C. \(y - x = 0.\)     D. \(x - y = 1.\)

Câu 7. Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A(1; - 4)\) và \(B(1;2)\) có phương trình là:

A. \(y + 1 = 0.\)      B. \(x + 1 = 0.\)      C. \(y - 1 = 0.\)      D. \(x - 4y = 0.\)

Câu 8. Đường trung trực của đoạn \(AB\) với \(A(1; - 4)\) và \(B(3; - 4)\) có phương trình là :

A. \(y + 4 = 0.\)      B. \(x + y - 2 = 0.\)      C. \(x - 2 = 0.\)       D. \(y - 4 = 0.\)

Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(2; - 1),\ B(4;5)\) và \(C( - 3;2)\). Lập phương trình đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(A.\)

A. \(7x + 3y - 11 = 0.\)         B. \(- 3x + 7y + 13 = 0.\)

C. \(3x + 7y + 1 = 0.\)          D. \(7x + 3y + 13 = 0.\)

Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(2; - 1),\ B(4;5)\) và \(C( - 3;2).\) Lập phương trình đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(B.\)

A. \(3x - 5y - 13 = 0.\)           B. \(3x + 5y - 20 = 0.\)

C. \(3x + 5y - 37 = 0.\)           D. \(5x - 3y - 5 = 0.\)

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(2; - 1),\ B(4;5)\) và \(C( - 3;2).\) Lập phương trình đường cao của tam giác \(ABC\) kẻ từ \(C.\)

A. \(x + y - 1 = 0.\)      B. \(x + 3y - 3 = 0.\)      C. \(3x + y + 11 = 0.\)     D. \(3x - y + 11 = 0.\)

Câu 12. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(3; - 1)\) và \(B(1;5)\) là:

A. \(- x + 3y + 6 = 0.\)           B. \(3x - y + 10 = 0.\)

C. \(3x - y + 6 = 0.\)             D. \(3x + y - 8 = 0.\)

Đáp án bài tập tự luyện

Câu 1. Ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} A( - 2;0) \in Ox \\ B(0;3) \in Oy \end{matrix} \right.\) \(\overset{\rightarrow}{}AB:\frac{x}{- 2} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x - 2y + 6 = 0.\) Chọn B.

Câu 2. Ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} A(2; - 1) \in AB \\ {\overrightarrow{u}}_{AB} = \overrightarrow{AB} = (0;6) \rightarrow {\overrightarrow{n}}_{AB} = (1;0) \end{matrix} \right.\)\(\overset{\rightarrow}{}AB:x - 2 = 0.\) Chọn D.

Câu 3. Ta có:

\(\left\{ \begin{matrix} A(3; - 7) \in AB \\ {\overrightarrow{u}}_{AB} = \overrightarrow{AB} = ( - 4;0) \rightarrow {\overrightarrow{n}}_{AB} = (0;1) \end{matrix} \right.\)\(\overset{\rightarrow}{}AB:y + 7 = 0.\) Chọn B.

Câu 4.

Gọi M là trung điểm của BC. Ta cần viết phương trình đường thẳng AM.

Ta có : \(\left\{ \begin{matrix} B(0; - 2) \\ C(4;2) \end{matrix} \right.\ \rightarrow M(2;0) \rightarrow {\overrightarrow{u}}_{AM} = \overrightarrow{AM} = (1; - 1)\)

\(\rightarrow {\overrightarrow{n}}_{AM} = (1;1) \rightarrow AM:x + y - 2 = 0.\) Chọn A.

✨ Bài viết chỉ trích dẫn một phần nội dung, mời bạn tải tài liệu đầy đủ để nắm trọn kiến thức.

_{--------------------------------------------------------}

Qua chuyên đề phương trình tham số của đường thẳng, học sinh không chỉ nắm được cách biểu diễn đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ mà còn hiểu rõ mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương, điểm đi qua và phương trình tham số. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết hiệu quả các bài toán về vị trí tương đối của đường thẳng, giao điểm, cũng như chuyển đổi linh hoạt sang phương trình tổng quát trong chương trình Toán 10.

Việc thành thạo phương trình tham số của đường thẳng sẽ giúp người học tiếp cận các dạng bài nâng cao một cách tự tin, đặc biệt trong các bài toán vận dụng và vận dụng cao. Nếu biết khai thác đúng bản chất, học sinh có thể rút ngắn thời gian làm bài, hạn chế sai sót và nâng cao kết quả học tập trong các kỳ kiểm tra, thi học kỳ và thi chuyển cấp.