Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng Toán 10

Phương trình tham số của đường thẳng Toán 10

1. Vecto chỉ phương
2. Phương trình tham số của đường thẳng
3. Bài tập ví dụ minh họa
4. Bài tập tự luyện

Phương trình tham số của đường thẳng vừa được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết được tổng hợp các nội dung trọng tâm: phương trình tham số, phương trình chính tắc, vecto chỉ phương, hệ số góc, ... trong chương trình Hình học môn Toán 10, nhằm giúp các bạn nắm vững kiến thức cơ bản, từ đó vận dụng vào việc giải bài tập. Chúc các bạn ôn tập hiệu quả! Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về bài viết dưới đây nhé.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 10, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Phương trình tham số của đường thẳng

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

1. Vecto chỉ phương

- Cho đường thẳng d, vecto _{$\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$} gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng d nếu có giá song song hoặc trùng với d.

- _{$\overrightarrow{u}$} là vecto chỉ phương của đường thẳng d thì _{$k\overrightarrow{u}$} cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng d.

- Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến vuông góc với nhau hay nói cách khác vecto chỉ phương của d là _{$\overrightarrow{u}\left( a,b \right)$} thì vecto pháp tuyến là _{$\overrightarrow{n}\left( -b,a \right)$}.

2. Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x₀; y₀) nhận _{$\overrightarrow{u}(a,b)$} làm vecto chỉ phương, Ta có:

$B\left( x,y \right)\in d\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-{{x}_{0}}=at \\ y-{{y}_{0}}=bt \\ \end{matrix} \right.$ $B\left( x,y \right)\in d\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-{{x}_{0}}=at \\ y-{{y}_{0}}=bt \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x={{x}_{0}}+at \\ y={{y}_{0}}+bt \\ \end{matrix} \right., {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0, t\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x={{x}_{0}}+at \\ y={{y}_{0}}+bt \\ \end{matrix} \right., {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0, t\in \mathbb{R}$

- Đường thẳng d đi qua điểm A(x₀; y₀), nhận _{$\overrightarrow{u}(a,b)$} là vecto chỉ phương, phương trình chính tắc của đường thẳng là _{$\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}$} với (a; b ≠ 0)

- Nếu _{$M\in \Delta \Leftrightarrow M\left( {{x}_{0}}+at,{{y}_{0}}+at \right)$}

3. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a. Phương trình đi qua điểm A(1; 2) nhận _{$\overrightarrow{u}\left( 1,-1 \right.)$} làm vecto pháp tuyến.

b. Phương trình đi qua điểm B(0; 1) vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1.

c. Phương trình song song với đường thẳng 4x + 3y - 1 = 0 và đi qua điểm M( 0, 1).

Hướng dẫn giải

a. Gọi điểm M(x, y) thuộc d ta có:

$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-1=t \\ y-2=-t \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.$ $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x-1=t \\ y-2=-t \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x=1+t \\ y=2-t \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x=1+t \\ y=2-t \\ \end{matrix} \right.$

Phương trình chính tắc là: _{$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}$}

b. Ta có đường thẳng y = 2x + 1 có vecto pháp tuyến _{$\overrightarrow{n}=\left( 2,-1 \right)$}

Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 2x + 1 nên VTPT _{$\overrightarrow{n}$} của y = 2x + 1 là VTCP _{$\overrightarrow{u}$} của d $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=\left( -2,1 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}=\left( -2,1 \right)$

Ta có phương trình tham số của d là: _{$\left\{ \begin{matrix} x=0+2t \\ y=1-t \\ \end{matrix} \right.$}

Phương trình chính tắc của d là: _{$\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}$}

c. Do d song song với đường thẳng 4x + 3y - 1 = 0

$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -3,4 \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( -3,4 \right)$

Phương trình tham số của d là: $\left\{ \begin{matrix} x=-3t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x=-3t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.$

Phương trình chính tắc của d là: _{$\frac{x}{-3}=\frac{y-1}{4}$}

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng d đi qua 2 điểm A(-1;1), B(2; -1).

b. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng _{$\Delta :\left\{ \begin{matrix} x=3t \\ y=1+2t \\ \end{matrix} \right.$}

Hướng dẫn giải

a. Ta có đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B nên d nhận _{$\overrightarrow{AB}=\left( 3,-2 \right)$} làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{ \begin{matrix} x=-1+3t \\ y=1-2t \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x=-1+3t \\ y=1-2t \\ \end{matrix} \right.$

Phương trình chính tắc của đường thẳng là: $\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}$ $\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}$

b. Ta có d song song với _{$\Delta \Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3,2 \right)$}

Phương trình tham số của đường thẳng d là: _{$\left\{ \begin{matrix} x=3t \\ y=2t \\ \end{matrix} \right.$}

Phương trình chính tắc của d là: _{$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$}

Ví dụ 3: Cho 3 điểm A(-2; 1), B(-1; 5), C(-2; -3)

a. Viết phương trình tham số AB, AC.

b. Viết phương trình tham số đường trung trực cạnh BC.

c. Viết phương trình đường thẳng song song với AB và đi qua trung điểm của BC.

Hướng dẫn giải

a. Phương trình đường thẳng AB nhận _{$\overrightarrow{AB}=\left( 1,4 \right)$} làm vecto pháp tuyến

Phương trình tham số AB là: _{$\left\{ \begin{matrix} x=-2+t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.$} và phương trình chính tắc của d là: $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{4}$ $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{4}$

Tương tự với đường thẳng AC có phương trình tham số là: _{$\left\{ \begin{matrix} x=-2 \\ y=-3-4t \\ \end{matrix} \right.$}

b. Đường trung trực của BC đi qua trung điểm của BC và nhận _{$\overrightarrow{BC}=\left( -1,-8 \right)$} làm vecto pháp tuyến. Vậy vecto chỉ phương của đường thẳng trung trực là _{$\overrightarrow{u}\left( 8,-1 \right)$}

Gọi M là trung điểm của BC khi đó: _{$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{M}}=\dfrac{-1-2}{2}=\dfrac{-3}{2} \\ {{y}_{M}}=\dfrac{5-3}{2}=1 \\ \end{matrix} \right.$}

Phương trình tham số đường trung trực BC là: _{$\left\{ \begin{matrix} x=\dfrac{-3}{2}+8t \\ y= 1-t \\ \end{matrix} \right. \\$}

c. Do đường thẳng d tìm song song với AB nên _{$\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{AB}}}=\left( 1,4 \right)$}

Theo câu b, trung điểm của BC là _{$M\left( -\frac{3}{2},1 \right)$}

Vậy phương trình tham số của d là: _{$\left\{ \begin{matrix} x=-\dfrac{3}{2}+t \\ y=1+4t \\ \end{matrix} \right.$}

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết

a) Đi qua 2 điểm A(-3,2), B (5,-4). Tính diện tích tam giác được tạo bởi đường thẳng và 2 trục tọa độ.

b) Đi qua A (3,1) song song với đường thẳng y = -2x + m -1

Hướng dẫn giải

a. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B nên ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = - 3a + b} \\ { - 4 = 5a + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - \frac{3}{4}; - \frac{1}{4}} \right)$ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2 = - 3a + b} \\ { - 4 = 5a + b} \end{array}} \right. \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( { - \frac{3}{4}; - \frac{1}{4}} \right)$

Vậy PT tổng quát cần tìm là: $y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$ $y = - \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Ox là: $y = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \Rightarrow A\left( { - \frac{1}{3};0} \right)$ $y = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \Rightarrow A\left( { - \frac{1}{3};0} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( { - \frac{1}{3};0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \overrightarrow {OA} = \left( { - \frac{1}{3};0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \frac{1}{3}$

Giao điểm của đường thẳng với trục Oy là: $x = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{4} \Rightarrow B\left( {0; - \frac{1}{4}} \right)$ $x = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{4} \Rightarrow B\left( {0; - \frac{1}{4}} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {OB} = \left( {0; - \frac{1}{4}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \overrightarrow {OB} = \left( {0; - \frac{1}{4}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}$ $\Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}$

b. Gọi phương trình tổng quát là: y = ax + b

Do đường thẳng song song với y = -2x + m -1

⇒ a = -2

Phương trình đường thẳng trở thành y = -2x + b

Mà đường thẳng qua điểm A(3; 1)

⇒ 1 = 3.(-2) + b

⇒ b = 7

Vậy phương trình tổng quát là: y = -2x + 7

4. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(-1; 5), C(2; 3)

a. Viết phương trình tham số các cạnh AB, BC, AC.

b. Viết phương trình đường trung tuyến AM, CP với M, P lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB.

c. Viết phương trình tham số đường cao AH.

d. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC.

e. Đường thẳng đi qua B và vuông góc với y = 2x - 3.

Bài 2: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) trong các trường hợp sau:

a. Đường thẳng đi qua 2 điểm A(-2; 0), B(1; 3).

b. Đường thẳng đi qua M(3; -2) song song với đường thẳng 2x + 5y - 4 = 0.

c. Đường thẳng có hệ số góc k = 1 đi qua điểm D(-1; -1).

d. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng x - y - 1 = 0.

Bài 3:

1. Cho 3 điểm A(-4;1), B(0;2), C(3;-1).

a) Viết phương trình tham số của các đường thẳng AB, BC, CA.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Viết phương trình tham số của đường thẳng AM.

2. Cho tam giác ABC có A(1;4); B(-9;0); C(7;1)

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB, BC, CA.

b) Viết phương trình tham số đường trung tuyến của tam giác ABC.

Bài 4: Cho 2 đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4 - 3t} \\ {y = - 1 + 2t} \end{array}} \right.;\left( {{d_2}} \right):x + 2y - 1 = 0$ $\left( {{d_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 4 - 3t} \\ {y = - 1 + 2t} \end{array}} \right.;\left( {{d_2}} \right):x + 2y - 1 = 0$

a) Tìm tọa độ giao điểm A của d₁ và d₂

b) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của:

+ Đường thẳng đi qua A và vuông góc với d₁

+ Đường thẳng đi qua A và song song với d₂

_{--------------------------------------------------------}

Trên đây là Phương trình tham số của đường thẳng VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài học rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được khái niệm vecto chỉ phương, phương trình tham số của đường thẳng, bên cạnh đó còn một số bài tập ví dụ minh họa... Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 10 nhé. Ngoài ra để giúp bạn đọc có thêm nhiều tài liệu học tập hơn nữa, VnDoc mời độc giả cùng tham khảo thêm tài liệu học tập các môn được chúng tôi biên soạn và tổng hợp tại các mục sau: Tiếng anh lớp 10, Vật lí lớp 10, Ngữ văn lớp 10,...

Để giúp bạn đọc có thể giải đáp được những thắc mắc và trả lời được những câu hỏi khó trong quá trình học tập. VnDoc.com mời bạn đọc cùng đặt câu hỏi tại mục hỏi đáp học tập của VnDoc. Chúng tôi sẽ hỗ trợ trả lời giải đáp thắc mắc của các bạn trong thời gian sớm nhất có thể nhé.

Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm tài liệu học tập dưới đây nhé:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

8

26.693

Bài trước

Bài sau