Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R
Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R môn Toán lớp 10 vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại
Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)
- f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈
\(\mathbb{R}\) . Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.\) - f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta \leqslant 0} \end{array}} \right.\)
- f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)
- f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)
Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)
TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ \(x > \frac{3}{2}\) (Loại)
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {4{m^2} + 12m - 12 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)} \end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.} \right.\)
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).
Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).
a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0
b. (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 > 0
Hướng dẫn giải
a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)
TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)
TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3
Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0}
\end{array}} \right.\)
Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\)
b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)
TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)\)
Vậy \(m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)\) thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).
Bài tập tự rèn luyện
Bài 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\): (m - 5)x² - 2x + m + 1 > 0
Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x
| a. \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 4 > 0\) | b. \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m + 7 > 0\) |
| c. \(m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 < 0\) | d. \(\left( {m + 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4 > 0\) |
Bài 3: Cho bất phương trình: \(\frac{{2m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 7m + 9}}{{{x^2} + 1}} \geqslant 1\)
Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).
Bài 4: Tim m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.
a. \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2\left( {{m^2} - 2x + 2} \right) > 0\)
b. \(m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 \leqslant 0\)
c. \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right) + 3\left( {m - 2} \right) \geqslant 0\)
Bài 5: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² - (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.
Bài 6: Tìm m để phương trình: (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
Bài 7: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:
a. 5x2 - x + m > 0
b. mx2 - 10x - 5 < 0
c. m(m+2)x2 - 2mx + 2 > 0
d. (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 < 0
Bài 8: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R ; (m-5)x² - 2x + m + 1 >0
---------------------------------------------------------------
Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan đến bài học:
Trên đây là Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 10.
