VnDoc.com

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Bất phương trình chứa tham số lớp 10

Bài trước

Tải về

Bài sau

Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R

A. Cách tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
B. Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
C. Bài tập tự rèn luyện tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R môn Toán lớp 10 vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại

A. Cách tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ $R$ . Nghĩa là _{$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a < 0 \\ Δ ⩽ 0 \end{matrix}$}
f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ $R$ . Nghĩa là _{$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a > 0 \\ Δ ⩽ 0 \end{matrix}$}
f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ $R$ . Nghĩa là _{$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a < 0 \\ Δ < 0 \end{matrix}$}
f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ $\mathbb{R}$ $R$ . Nghĩa là _{$\Leftrightarrow {\begin{matrix} a > 0 \\ Δ < 0 \end{matrix}$}

B. Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x² + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực?

Hướng dẫn giải

Đặt (m - 1)x² + 2mx - 3 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ $x > \frac{3}{2}$ $x > \frac{3}{2}$ (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a > 0 \\ Δ < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {4{m^2} + 12m - 12 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)} \end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} m - 1 > 0 \\ 4 m^{2} + 12 m - 12 < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m > 1 \\ m \in (\frac{- 3 - \sqrt{21}}{2}; \frac{- 3 + \sqrt{21}}{2}) \end{matrix} \Leftrightarrow m \in \emptyset$

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ $R$ .

Ví dụ 2: Xác định tất cả các giá trị tham số m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ $R$ .

a) (m - 3)x² + (m + 1)x + 2 < 0

b) (m - 1)x² + (m - 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m - 3)x² + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a < 0 \\ Δ < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} m - 3 < 0 \\ m^{2} - 6 m + 25 < 0 \end{matrix}$

Ta có: m² - 6m + 25 = (m - 3)² + 16 ≥ 16,∀m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ $R$

b. Đặt (m - 1)x² + (m - 3)x + 4 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} \\ {\Delta < 0} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} a > 0 \\ Δ < 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} \\ {{m^2} - 6m + 25 < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} \\ {m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)} \end{array}} \right.} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} m - 1 > 0 \\ m^{2} - 6 m + 25 < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} m > 1 \\ m \in (11 - 4 \sqrt{6}; 11 + 4 \sqrt{6}) \end{matrix}$ $\Leftrightarrow m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)$ $\Leftrightarrow m \in (11 - 4 \sqrt{6}; 11 + 4 \sqrt{6})$

Vậy $m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)$ $m \in (11 - 4 \sqrt{6}; 11 + 4 \sqrt{6})$ thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ $R$ .

Ví dụ 3: Cho bất phương trình: $\frac{{2m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 7m + 9}}{{{x^2} + 1}} \geqslant 1$ $\frac{2 m x^{2} + 2 (m - 1) x + 7 m + 9}{x^{2} + 1} ⩾ 1$ . Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 9}{x^{2} + 1} \geq 1$ $\frac{2 m x^{2} + 2 (m - 1) x + 7 m + 9}{x^{2} + 1} \geq 1$

$\Leftrightarrow \frac{2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 9}{x^{2} + 1} - 1 \geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{2 m x^{2} + 2 (m - 1) x + 7 m + 9}{x^{2} + 1} - 1 \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 9}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \geq 0$ $\Leftrightarrow \frac{2 m x^{2} + 2 (m - 1) x + 7 m + 9}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \geq 0$

$\Leftrightarrow 2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 9 - \left( x^{2} + 1 \right) \geq 0$ $\Leftrightarrow 2 m x^{2} + 2 (m - 1) x + 7 m + 9 - (x^{2} + 1) \geq 0$

$\Leftrightarrow (2m - 1)x^{2} + 2(m - 1)x + 7m + 8 \geq 0(*)$ $\Leftrightarrow (2 m - 1) x^{2} + 2 (m - 1) x + 7 m + 8 \geq 0 (*)$

Nếu m = 1/2 thì (*) trở thành $- x + \frac{23}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{23}{2}$ $- x + \frac{23}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{23}{2}$

Suy ra (*) không thỏa mãn với mọi x thuộc R

Nếu m khác 1/2 (*) đúng với mọi x thuộc R

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2m - 1 > 0 \\ \Delta$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} 2 m - 1 > 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \dfrac{1}{2} \\ (m - 1)^{2} - (2m - 1)(7m + 8) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} m > \frac{1}{2} \\ (m - 1)^{2} - (2 m - 1) (7 m + 8) \leq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \dfrac{1}{2} \\ 13m^{2} + 11m - 9 \geq 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} m > \frac{1}{2} \\ 13 m^{2} + 11 m - 9 \geq 0 \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m > \dfrac{1}{2} \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \geq \dfrac{- 11 + \sqrt{589}}{26} \\ m \leq \dfrac{- 11 - \sqrt{589}}{26} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow {\begin{matrix} m > \frac{1}{2} \\ [\begin{matrix} m \geq \frac{- 11 + \sqrt{589}}{26} \\ m \leq \frac{- 11 - \sqrt{589}}{26} \end{matrix} \end{matrix}$ $\Rightarrow m \geq \frac{- 11 + \sqrt{589}}{26}$ $\Rightarrow m \geq \frac{- 11 + \sqrt{589}}{26}$

Vậy $m \geq \frac{- 11 + \sqrt{589}}{26}$ $m \geq \frac{- 11 + \sqrt{589}}{26}$ thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực.

C. Bài tập tự rèn luyện tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

Bài 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc $\mathbb{R}$ $R$ : (m - 5)x² - 2x + m + 1 > 0

Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x

a. ${x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 4 > 0$ $x^{2} + 2 (m - 1) x + m + 4 > 0$	b. ${x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m + 7 > 0$ $x^{2} + (m + 1) x + 2 m + 7 > 0$
c. $m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 < 0$ $m x^{2} + (m - 1) x + m - 1 < 0$	d. $\left( {m + 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4 > 0$ $(m + 2) x^{2} - 2 (m - 1) x + 4 > 0$

Bài 3: Tim m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.

a. ${x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2\left( {{m^2} - 2x + 2} \right) > 0$ $x^{2} - 2 (m - 2) x + 2 (m^{2} - 2 x + 2) > 0$

b. $m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 \leqslant 0$ $m x^{2} + (m - 1) x + m - 1 ⩽ 0$

c. $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right) + 3\left( {m - 2} \right) \geqslant 0$ $(m - 1) x^{2} - 2 (m + 1) + 3 (m - 2) ⩾ 0$

Bài 4: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² - (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.

Bài 5: Tìm m để phương trình: (m² + m + 1)x² + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Bài 6: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:

a. 5x² - x + m > 0	b. mx² - 10x - 5 < 0
c. m(m+2)x² - 2mx + 2 > 0	d. (m + 1)x² - 2(m - 1)x + 3m - 3 < 0

Bài 8: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R ; (m-5)x² - 2x + m + 1 >0

Bài 9: Tìm các tham số m để bất phương trình: $(m - 1)x^{2} + (2 - m)x - 1 > 0$ $(m - 1) x^{2} + (2 - m) x - 1 > 0$ có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (1; 2).

Bài 10: Tìm tham số m để bất phương trình: $3(m - 2)x^{2} + 2(m + 1)x + m - 1 < 0$ $3 (m - 2) x^{2} + 2 (m + 1) x + m - 1 < 0$ có nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc khoảng (-1; 3).

Bài 11: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình $x^{2} - 2mx + 4 > 0$ $x^{2} - 2 m x + 4 > 0$ có nghiệm đúng với mọi $\forall x \in ( - 1;\frac{1}{2})$ $\forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ .

Bài 12: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình:

$f(x) = - (m^{2} + 2)x^{2} - 2mx + 1 - m > 0$ $f (x) = - (m^{2} + 2) x^{2} - 2 m x + 1 - m > 0$

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng $(2; - \infty)$ $(2; - \infty)$ .

Bài 13: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình:

$f(x) = 2mx^{2} - (1 - 5m)x + 3m + 1 > 0$ $f (x) = 2 m x^{2} - (1 - 5 m) x + 3 m + 1 > 0$

có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng $(- 2; 0)$ .

---------------------------------------------------------------

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan đến bài học:

Trên đây là Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x VnDoc.com giới thiệu tới quý thầy cô và bạn đọc. Hi vọng qua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 10.

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

43

250.855

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bọ Cạp

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x

283,1 KB

Tải xuống Word
164,5 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!