Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Tìm tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R
Bạn đang học chương trình Toán lớp 10 và gặp phải bài toán liên quan đến bất phương trình chứa tham số? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x – một dạng bài quen thuộc nhưng cũng rất dễ gây nhầm lẫn nếu không nắm vững phương pháp. Đây là nội dung thuộc chuyên đề bất phương trình chứa tham số lớp 10, thường xuyên xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi học kỳ. Hãy cùng khám phá cách giải nhanh, chính xác và tối ưu nhất để chinh phục dạng toán này nhé!
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại
A. Cách tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)
- f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈
\(\mathbb{R}\) . Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.\) - f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \\
{\Delta \leqslant 0}
\end{array}} \right.\)
- f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0} \\
{\Delta < 0}
\end{array}} \right.\)
- f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ \(\mathbb{R}\). Nghĩa là \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \\
{\Delta < 0}
\end{array}} \right.\)
B. Tìm tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực?
Hướng dẫn giải
Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)
TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ \(x > \frac{3}{2}\) (Loại)
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \\
{\Delta < 0}
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m - 1 > 0} \\
{4{m^2} + 12m - 12 < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m > 1} \\
{m \in \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {21} }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt {21} }}{2}} \right)}
\end{array} \Leftrightarrow m \in \emptyset } \right.} \right.\)
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).
Ví dụ 2: Xác định tất cả các giá trị tham số m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).
| a) (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0 | b) (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 > 0 |
Hướng dẫn giải
a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)
TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)
TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3
Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a < 0} \\
{\Delta < 0}
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m - 3 < 0} \\
{{m^2} - 6m + 25 < 0}
\end{array}} \right.\)
Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\)
b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)
TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a > 0} \\
{\Delta < 0}
\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m - 1 > 0} \\
{{m^2} - 6m + 25 < 0}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m > 1} \\
{m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)}
\end{array}} \right.} \right.\)\(\Leftrightarrow m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)\)
Vậy \(m \in \left( {11 - 4\sqrt 6 ;11 + 4\sqrt 6 } \right)\) thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\).
Ví dụ 3: Cho bất phương trình: \(\frac{{2m{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 7m + 9}}{{{x^2} + 1}} \geqslant 1\). Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực?
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\frac{2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m +
9}{x^{2} + 1} \geq 1\)
\(\Leftrightarrow \frac{2mx^{2} + 2(m -
1)x + 7m + 9}{x^{2} + 1} - 1 \geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{2mx^{2} + 2(m -
1)x + 7m + 9}{x^{2} + 1} - \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \geq
0\)
\(\Leftrightarrow 2mx^{2} + 2(m - 1)x + 7m
+ 9 - \left( x^{2} + 1 \right) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow (2m - 1)x^{2} + 2(m -
1)x + 7m + 8 \geq 0(*)\)
Nếu m = 1/2 thì (*) trở thành \(- x +
\frac{23}{2} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{23}{2}\)
Suy ra (*) không thỏa mãn với mọi x thuộc R
Nếu m khác 1/2 (*) đúng với mọi x thuộc R
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2m - 1 > 0 \\
\Delta' \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > \dfrac{1}{2} \\
(m - 1)^{2} - (2m - 1)(7m + 8) \leq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > \dfrac{1}{2} \\
13m^{2} + 11m - 9 \geq 0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > \dfrac{1}{2} \\
\left\lbrack \begin{matrix}
m \geq \dfrac{- 11 + \sqrt{589}}{26} \\
m \leq \dfrac{- 11 - \sqrt{589}}{26} \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\) \(\Rightarrow
m \geq \frac{- 11 + \sqrt{589}}{26}\)
Vậy \(m \geq \frac{- 11 +
\sqrt{589}}{26}\)thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc tập số thực.
Ví dụ 4: Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(m^{2}(x - 1) + x - 3 < 0\) nghiệm đúng \(\forall x \in \lbrack - 5;2\rbrack\) là:
A. Vô số B. 1 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(m^{2}(x - 1) + x - 3 < 0\)
\(\Leftrightarrow \left( m^{2} + 1
\right)x - m^{2} - 3 < 0\)
Đặt \(f(x) = \left( m^{2} + 1 \right)x -
m^{2} - 3\)
\(f(x) < 0;\forall x \in \lbrack -
5;2\rbrack\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
f( - 5) < 0 \\
f(2) < 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 6m^{2} - 8 < 0 \\
m^{2} - 1 < 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 6m^{2} - 8 < 0 \\
m^{2} < 1 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow |m| < 1 \Leftrightarrow - 1
< m < 1\)
Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là giá trị \(m =
0\).
Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\frac{- x^{2} + 2x - 5}{x^{2} - mx +
1} \leq 0\) nghiệm đúng \(\forall
x\mathbb{\in R}\).
A. \(m\mathbb{\in R}\) B. \(m \in ( - 2;2)\)
C. \(m \in \left[ { - 2;2} \right]\) D. \(m \in ( - \infty; - 2\rbrack \cup \lbrack 2; +
\infty)\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(f(x) = - x^{2} + 2x - 5\) có \(\Delta' < 0;a < 0\) nên \(f(x) < 0;\forall x\mathbb{\in
R}\).
Do đó \(\frac{- x^{2} + 2x - 5}{x^{2} - mx
+ 1} \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} - mx + 1 > 0\).
\(\Leftrightarrow\) Bất phương trình \(\frac{- x^{2} + 2x - 5}{x^{2} - mx + 1} \leq
0\) nghiệm đúng \(\forall x\mathbb{\in
R \Leftrightarrow}x^{2} - mx + 1 > 0\) nghiệm đúng \(\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\Delta =
m^{2} - 4 < 0\).
\(\Leftrightarrow m^{2} < 4
\Leftrightarrow - 2 < m < 4\).
C. Bài tập tự rèn luyện tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
Bài 1: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc \(\mathbb{R}\): (m - 5)x² - 2x + m + 1 > 0
Bài 2: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x
| a. \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 4 > 0\) |
b. \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m + 7 > 0\) |
| c. \(m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 < 0\) |
d. \(\left( {m + 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 4 > 0\) |
Bài 3: Tim m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.
a. \({x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 2\left( {{m^2} - 2x + 2} \right) > 0\)
b. \(m{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 \leqslant 0\)
c. \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right) + 3\left( {m - 2} \right) \geqslant 0\)
Bài 4: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² - (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.
Bài 5: Tìm m để phương trình: (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
Bài 6: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:
| a. 5x2 - x + m > 0 | b. mx2 - 10x - 5 < 0 |
| c. m(m+2)x2 - 2mx + 2 > 0 | d. (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 < 0 |
Bài 8: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R ; (m-5)x² - 2x + m + 1 >0
Bài 9: Tìm các tham số m để bất phương trình: \((m -
1)x^{2} + (2 - m)x - 1 > 0\)có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (1; 2).
Bài 10: Tìm tham số m để bất phương trình:\(3(m -
2)x^{2} + 2(m + 1)x + m - 1 < 0\) có nghiệm đúng với mọi giá trị x thuộc khoảng (-1; 3).
Bài 11: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình \(x^{2} -
2mx + 4 > 0\) có nghiệm đúng với mọi \(\forall x \in ( - 1;\frac{1}{2})\).
Bài 12: Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình:
\(f(x) = - (m^{2} + 2)x^{2} - 2mx + 1 - m
> 0\)
Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng \((2; - \infty)\).
Bài 13: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình:
\(f(x) = 2mx^{2} - (1 - 5m)x + 3m + 1 >
0\)
có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng \(( -
2;0)\).
---------------------------------------------------------------
Trên đây là hướng dẫn chi tiết cách tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x trong chương trình Toán lớp 10, thuộc chuyên đề bất phương trình chứa tham số. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm được phương pháp giải cụ thể, các bước lập luận logic cũng như những lưu ý quan trọng để tránh sai sót. Đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kỹ năng và tăng tốc độ giải nhanh hơn trong các kỳ thi. Nếu bạn thấy bài viết hữu ích, hãy chia sẻ cho bạn bè và theo dõi thêm nhiều chủ đề học tập thú vị khác tại website của chúng tôi!
