Công thức Nhị thức Newton đầy đủ

Trong đại số tổ hợp và giải tích, Công thức Nhị thức Newton là một trong những kiến thức nền tảng, thường xuyên được ứng dụng trong việc khai triển lũy thừa của tổng hai số. Công thức này không chỉ xuất hiện trong chương trình toán phổ thông mà còn đóng vai trò quan trọng trong các kỳ thi học sinh giỏi, toán quốc tế hay các lĩnh vực khoa học máy tính, xác suất – thống kê. Vậy công thức Nhị thức Newton đầy đủ là gì? Làm sao để vận dụng chính xác vào từng dạng bài tập? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu chi tiết công thức, ý nghĩa, cách ghi nhớ nhanh, cũng như các ví dụ minh họa dễ hiểu giúp bạn tiếp cận chủ đề một cách hiệu quả và logic nhất.

I. Nhị thức Newton 

1. Tổ hợp là gì?

Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu: _{\(C_{n}^{k}\)} là số tổ hợp chập k của n phần tử _{\(\left( 0\le k\le n \right)\)}. Ta có định lí, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

2. Công thức Nhị thức Newton

a. Định lí:

b. Hệ quả

c. Nhận xét

Trong khai triển Newton _{\({{\left( a+b \right)}^{n}}\)} có tính chất sau:

- Gồm n + 1 phần tử.

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n.

- Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .

- Các hệ số có tính đối xứng _{\(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},\left( 0\le k\le n \right)\)}.

- Số hạng tổng quát: _{\({{T}_{k+1}}=C_{n}^{k}{{a}^{b-k}}{{b}^{k}}\).}

3. Các công thức liên quan đến khai triển nhị thức Newton

• \({{\left( x+1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{x}^{n}}+C_{n}^{1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{2}{{x}^{n-2}}+...+C_{n}^{k}{{x}^{n-k}}+...C_{n}^{n-1}x+C_{n}^{n}\)
• \({{\left( 1+x \right)}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}+...+C_{n}^{k}{{x}^{k}}+...C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{x}^{n}}\)
• \({{\left( x-1 \right)}^{n}}=C_{n}^{0}-C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}{{x}^{2}}-...+{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n}^{k}{{x}^{k}}+...+{{\left( -1 \right)}^{n-1}}C_{n}^{n-1}{{x}^{n-1}}+{{\left( -1 \right)}^{n}}C_{n}^{n}{{x}^{n}}\)
• \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\)
• \(C_{n}^{k}+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1},\left( n\ge 1 \right)\)
• \(k.C_{n}^{k}=\frac{k.n!}{k!\left( n-k \right)!}==\frac{n.\left( n-1 \right)!}{\left( n-k \right)!.\left( k-1 \right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
• \(\frac{1}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{k.n!}{\left( k+1 \right).k!\left( n-k \right)!}=\frac{n.\left( n-1 \right)!}{\left( n+1 \right)\left( n-k \right)!\left( k+1 \right)!}=\frac{1}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}\)

4. Một số công thức thường dùng trong các bài tập

• \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\)
• \(C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_{n}^{k}\)
• \(k.C_{n}^{k}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
• \(\frac{1}{k+1}.C_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}\)
• \({{2}^{n}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n}\)
• \({{2}^{n-1}}=C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+{{C}_{n}}^{4}+...+C_{n}^{2\left[ \frac{n}{2} \right]}\)
• \({{2}^{n-1}}=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{{}}+...+C_{n}^{2\left[ \frac{n-1}{2} \right]+1}\)

5. Công thức Newton mở rộng

• \(C_{n}^{k}+2C_{n}^{k+1}+C_{n}^{k+2}=C_{n+2}^{k+2}\)
• \(C_{n}^{k}+3C_{n}^{k+1}+3C_{n}^{k+2}+C_{n}^{k+3}=C_{n+3}^{k+3}\)

6. Dấu hiệu sử dụng nhị thức Newton

a. Chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có: \(\sum\limits_{i=1}^{n}{C_{n}^{1}}\).

b. Biểu thức có \(\sum\limits_{i=1}^{n}{i\left( i-1 \right)C_{n}^{i}}\) thì dùng đạo hàm.

c. Biểu thức có \(\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( i+k \right)C_{n}^{i}}\) thì ta nhân hai vế với \({{x}^{k}}\) rồi lấy đạo hàm.

d. Biểu thức có \(\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}^{k}}.C_{n}^{i}}\) thì ta chọn giá trị x = a thích hợp.

e. Biểu thức có \(\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{i-1}.C_{n}^{i}}\) ta lấy tích phân xác định trên [a; b] thích hợp.

7. Tam giác Pascal

n=0                                            1

n=1                                   1              1

n=2                         1                2                1

n=3             1                   3              3                 1

n=4  1                   4                6                4                1

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1

- Nếu biết hàng thứ n thì hàng thứ n + 1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

II. Bài tập nhị thức Newton

Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

\({{\left( a+2b \right)}^{5}}\)

\({{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)

\({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}\)

Hướng dẫn giải

a. Khai triển Newton của

_{\({{\left( a+2b \right)}^{5}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{\left( 2b \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{5}{C_{5}^{k}{{a}^{5-k}}{{.2}^{k}}.{{b}^{k}}}\)}

\({{\left( a+2b \right)}^{5}}=C_{5}^{0}{{a}^{5}}+C_{5}^{1}{{a}^{4}}2b+...+C_{5}^{5}32{{b}^{5}}\).

b. Khai triển Newton của _{\({{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=\sum\limits_{k=0}^{6}{C_{6}^{k}{{a}^{6-k}}{{\left( \sqrt{2} \right)}^{k}}}\)}

\({{\left( a-\sqrt{2} \right)}^{6}}=C_{6}^{0}{{a}^{6}}+C_{6}^{1}{{a}^{5}}.\sqrt{2}+C_{6}^{2}{{a}^{4}}.2+...+C_{6}^{6}.{{\left( \sqrt{2} \right)}^{6}}\).

c. Khai triển Newton của

\({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.{{\left( \frac{-1}{x} \right)}^{k}}}\)

\(=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{x}^{10-k}}.\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{{{x}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}.{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{10-2k}}}}\).

Ví dụ 2: Tìm hệ số của _{\({{x}^{7}}\)} trong khai triển biểu thức (1 - 2x)¹⁰_.

Hướng dẫn giải

Ta có:

_{\(f\left( x \right)={{\left( 1-2x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.1}^{10-k}}{{\left( -2x \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{n}^{k}.{{\left( -2 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}}\)}

Số hạng chứa _{\({{x}^{7}}\)} trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa _{\({{x}^{7}}:\)} \(C_{10}^{7}.{{\left( -2 \right)}^{7}}=-15360\).

Ví dụ 3: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau: _{\({{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{n}}\)}biết rằng: \(C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,x>0\)

Hướng dẫn giải

Ta có: _{\(C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n-2}=78,n>2\)}

\(\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(n-n+1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( n-2+2 \right)!}=78\)

\(\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-1 \right)!(1)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!\left( 2 \right)!}=78\)

\(\Leftrightarrow n+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=78\Leftrightarrow {{n}^{2}}+n-156=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} n=12\left( TM \right) \\ n=-13\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.\).

Do đó biểu thức khai triển là:

_{\({{\left( {{x}^{3}}-\frac{2}{x} \right)}^{12}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{12-k}}{{\left( -\frac{2}{x} \right)}^{k}}}\)}

_{\(=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-3k}}.{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{12}{C_{12}^{k}.{{x}^{36-4k}}.{{\left( -2 \right)}^{k}}}\)}

Số hạng không chứa x ứng với k: 36 - 4k = 0 => k = 9

Số hạng không chưa x là: _{\(C_{12}^{9}.{{\left( -2 \right)}^{9}}=-112640\).}

Ví dụ 4: Xét khai triển: _{\({{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}\):}

a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.

b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.

c. Xác định hệ số của \({{x}^{4}}\) trong khai triển.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\({{\left( 2x+\frac{1}{x} \right)}^{20}}=\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{\left( 2x \right)}^{20-k}}{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{k}}=}\sum\limits_{k=0}^{20}{C_{20}^{k}{{2}^{20-k}}{{x}^{20-2k}}}\)

Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là: 20 - 2k = 0 => k = 10_.

Số hạng không chứa x trong khai triển là: _{\(C_{20}^{10}{{.2}^{10}}\).}

Số hạng chứa _{\({{x}^{4}}\)} trong khai triển ứng với k là: 20 - 2k = 4 => k = 8_.

Vậy số hạng chứa _{\({{x}^{4}}\)} trong khai triển có hệ số là: \(C_{20}^{8}{{.2}^{12}}\).

Ví dụ 5: Tính tổng: _{\(S=\frac{1}{2}C_{n}^{0}-\frac{1}{4}c_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}-\frac{1}{8}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{2\left( n+1 \right)}C_{n}^{n}\).}

Hướng dẫn giải

Ta có:

_{\(S=\frac{1}{2}\left( C_{n}^{0}-\frac{1}{2}c_{n}^{1}+\frac{1}{3}C_{n}^{3}-\frac{1}{4}C_{n}^{4}+...+\frac{\left( -1 \right)}{n+1}C_{n}^{n} \right)\)}

Vì _{\(\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n}^{k}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{k}}}{k+1}C_{n+1}^{k+1}\)}

\(\Leftrightarrow S=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\sum\limits_{k=0}^{n}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k+1}}\)

\(=\frac{-1}{2\left( n+1 \right)}\left( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{{{\left( -1 \right)}^{k}}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0}} \right)=\frac{1}{2\left( n+1 \right)}\)

Ví dụ. Khai triển nhị thức Newton \(\left( x^{2} - y \right)^{5}\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left( x^{2} - y \right)^{5} = \sum_{k = 0}^{5}{C_{5}^{k}.\left( x^{2} \right)^{5 - k}.( - y)^{k}}\)

\(= C_{5}^{0}.\left( x^{2} \right)^{5} + C_{5}^{1}.\left( x^{2} \right)^{4}( - y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} \right)^{3}( - y)^{2}\)

\(+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} \right)^{2}( - y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} \right)^{1}( - y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} \right)^{0}( - y)^{5}\)

= x¹⁰ - 5x^8y + 10x⁶y² - 10x⁴y³ + 5x²y⁴ - y⁵

Ví dụ. Tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của (2x - 3)⁵.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\((2x - 3)^{5} = C_{5}^{0}(2x)^{5}.( - 3)^{0} + C_{5}^{1}.(2x)^{4}.( - 3)^{1}\)

\(+ ... + C_{5}^{4}.(2x)^{1}.( - 3)^{4} + C_{5}^{5}.(2x)^{0}.( - 3)^{5}\)

\(= C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.x^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.x^{4}\)

\(+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.x + C_{5}^{5}.( - 3)^{5}\)

Cho \(x = 1\) ta được:

\((2.1 - 3)^{5} = C_{5}^{0}2^{5}.( - 3)^{0}.1^{5} + C_{5}^{1}.2^{4}.( - 3)^{1}.1^{4}\)\(+ ... + C_{5}^{4}.2.( - 3)^{4}.1 + C_{5}^{5}.( - 3)^{5} = - 1\)

Vậy tổng hệ số trong khai triển đã cho bằng -1.

Ví dụ. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton \(\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right)^{n},(x > 0)\). Biết rằng \(C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(C_{n}^{0} + 3C_{n}^{1} + 9C_{n}^{2} + ... + 3^{n}.C_{n}^{n} = 256\)

\(\Leftrightarrow (1 + 3)^{n} = 256 \Leftrightarrow 4^{n} = 256 \Leftrightarrow n = 4\)

Xét khai triển \(\left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right)^{n},(x > 0)\)

Số hạng tổng quát \(C_{4}^{k}.\left( x^{2} \right)^{4 - k}.\left( \frac{1}{x^{2}} \right)^{k} = C_{4}^{k}.x^{8 - 4k}\)

Số hạng không chứa x ứng với 8 - 4k = 0 => k = 2

Suy ra số hạng không chứa x là \(C_{4}^{2} = 6\).

Ví dụ. Tìm hệ số của x³ trong khai triển f(x) = (1 + x)³ + (1 + x)⁴ + (1 + x)⁵ thành đa thức?

Hướng dẫn giải

Số hạng chứa x³ trong khai triển (1 + x)³  là x³

Số hạng chứa x³ trong khai triển (1 + x)⁴ là \(C_{4}^{3}x^{3} = 4x^{3}\)

Số hạng chứa x³ trong khai triển (1 + x)⁵ là \(C_{5}^{3}x^{3} = 10x^{3}\)

Do đó tổng các số hạng chứa x³ trong khai triển đã cho là: 

x³ + 4x³ + 10x³ = 15x³

Vậy hệ số cần tìm là 15.

Ví dụ. Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển P(x) = (x +2)⁵ - (x - 3)⁴ thành đa thức?

Hướng dẫn giải

Số hạng chứa  x³  trong khai triển  (x +2)⁵  là \(C_{5}^{2}.2^{2}.x^{3} = 40x^{3}\)

Số hạng chứa  x³  trong khai triển (x - 3)⁴ là \(C_{4}^{1}.( - 3)^{1}.x^{3} = - 12x^{3}\)

Do đó số hạng chứa  x³  trong khai triển P(x) = (x +2)⁵ - (x - 3)⁴ đã cho là:  

x³ + 4x³ + 10x³ = 15x³

Vậy số hạng ần tìm là \(52x^{3}\).

Ví dụ: Biết rằng khai triển nhị thức Newton \((m + 2)^{n - 3}\) với \(n\mathbb{\in N},n > 3;m \neq - 2\) có tất cả 6 số hạng. Hãy xác định \(n\)?

Hướng dẫn giải

Vì trong khai triển nhị thức Newton \((m + 2)^{n - 3}\) đã cho có tất cả 6 số hạng nên n -3 = 5 => n = 8 

Vậy n = 8 là giá trị cần tìm.

Ví dụ: Khai triển biểu thức \(\left( x^{2} - 5y \right)^{5}\) ta được:

A. \(- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}\)

B. \(- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}\)

C. \(- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}\)

D. \(- x^{10} + 25x^{8}y - 250x^{6}y^{2} + 1250x^{4}y^{3} - 3125x^{2}y^{4} + 3125y^{5}\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\left( x^{2} - 5y \right)^{5}\)

\(= C_{5}^{0}.\left( x^{2} \right)^{5} + C_{5}^{1}\left( x^{2} \right)^{4}.( - 5y) + C_{5}^{2}.\left( x^{2} \right)^{3}.( - 5y)^{2}\)

\(+ C_{5}^{3}.\left( x^{2} \right)^{2}.( - 5y)^{3} + C_{5}^{4}.\left( x^{2} \right)^{1}.( - 5y)^{4} + C_{5}^{5}.\left( x^{2} \right)^{0}.( - 5y)^{5}\)

 =-x¹⁰ + 25x⁸y - 250x⁶y² + 1250x⁴y³ -3125x³y⁴ + 3125y⁵

Ví dụ: Biết hệ số của \(x^{2}\) trong khai triển nhị thức Newton của \((1 - 3x)^{n};\left( n\mathbb{\in N} \right)\) là \(135\). Xác định giá trị \(n\)?

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ k +1  trong khai triển \((1 - 3x)^{n}\) là:

\(T_{k + 1} = C_{n}^{k}.( - 3)^{k}.x^{k}\) với \(1 \leq k \leq n\) và \(n,k \in \mathbb{N}^{*}\)

Số hạng chứa \(x^{2}\) ứng với k = 2

Ta có:

\(C_{n}^{2}.( - 3)^{2} = 135 \Leftrightarrow C_{n}^{2} = 15\)

\(\Leftrightarrow \frac{n!}{2!(n - 2)!} = 15 \Leftrightarrow n(n - 1) = 30\)

\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} n = 6(TM) \\ n = - 5(L) \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy n = 6 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Xác định số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức \(\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} \right)^{5};(x \neq 0)\)?

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức \(\left( x^{3} - \frac{1}{x^{2}} \right)^{5};(x \neq 0)\) là:

\(C_{5}^{k}.\left( x^{3} \right)^{5 - k}.\left( - \frac{1}{x^{2}} \right)^{k} = C_{5}^{k}.( - 1)^{k}.x^{15 - 5k}\)

Số hạng không chứa x khi và chỉ khi 15 - 5k = 0 => k = 3

Suy ra số hạng không chứa x là: \(C_{5}^{3}.( - 1)^{3} = - 10\).

Vậy -10 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

III. Bài tập ứng dụng Nhị thức Newton tính tổng dãy số 

Ví dụ 1: Tính tổng của dãy: \(S = \frac{1}{2}.C_{n}^{0} - \frac{1}{4}C_{n}^{1} + \frac{1}{6}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{2(n + 1)}.C_{n}^{n}\).

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{matrix} S = \frac{1}{2}.C_{n}^{0} - \frac{1}{4}C_{n}^{1} + \frac{1}{6}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{2(n + 1)}.C_{n}^{n} \\ \end{matrix}\)

\(= \frac{1}{2}\left( C_{n}^{0} - \frac{1}{2}C_{n}^{1} + \frac{1}{3}C_{n}^{3} + ... + \frac{( - 1)^{n}}{n + 1}.C_{n}^{n} \right)\)

Ta có: \(\frac{( - 1)^{k}}{k + 1}.C_{n}^{k} = \frac{( - 1)^{k}}{n + 1}.C_{n + 1}^{k + 1}\) nên suy ra:

\(S = \frac{1}{2(n + 1)}\sum_{k = 0}^{n}{( - 1)^{k}C_{n + 1}^{k + 1}}\)

\(= \frac{- 1}{2(n + 1)}.\left( \sum_{k = 0}^{n + 1}{( - 1)^{k}C_{n + 1}^{k}} - C_{n + 1}^{0} \right) = \frac{1}{2(n + 1)}\)

Ví dụ 2: Tính tổng của dãy: \(S = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}.3^{n - 3} + ... + nC_{n}^{n}\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(S = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}.3^{n - 3} + \ldots + nC_{n}^{n}\)

\(= 3^{n}\sum_{k = 1}^{n}{k.C_{n}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}}\)

Do \(kC_{k}^{n}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k} = n.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}.C_{n - 1}^{k - 1},k \geq 1\)

\(\Leftrightarrow S = 3^{n}\sum_{k = 1}^{n}{k.C_{n}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}} = 3^{n}.n.\sum_{k = 1}^{n}{C_{n - 1}^{k - 1}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k}}\)

\(= 3^{n - 1}.n.\sum_{k = 1}^{n - 1}{C_{n - 1}^{k}.\left( \frac{1}{3} \right)^{k} = 3^{n - 1}.n.\left( 1 + \frac{1}{3} \right)^{n - 1} = n.4^{n - 1}}\)

Ví dụ 2: Chứng minh rằng \(\sin x + sin2x + sin3x + ... + \sin nx = \frac{\sin\frac{nx}{2}.sin\frac{(n + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\) với \(x \neq k2\pi,n \geq 1\)

Hướng dẫn giải

Với \(n = 1\) ta có \(VT = \sin x,VP = \frac{\sin\frac{x}{2}.sinx}{\sin\frac{x}{2}} = \sin x = VT \Rightarrow (1)\)đúng

Giả sử (1) đúng với \(n = k \geq 1\) tức là:

\(\sin x + sin2x + sin3x + ... + \sin kx = \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\) (2)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\) tức là:

sinx + sin2x + sin3x + ... + sinkx + sin (k + 1)x

\(= \frac{\sin\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{(k + 2)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\)

Tức là:

sinx + sin2x + sin3x + ... + sinkx + sin (k + 1)x

\(= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} + \sin(k + 1)x\)

\(= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2} + \sin\left\lbrack (k + 1)x \right\rbrack.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\)

\(= \frac{\sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k + 1)x}{2} + 2sin\frac{(k + 1)x}{2}.cos\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}\)

\(= \sin\frac{(k + 1)x}{2}.\left\lbrack \frac{\sin\frac{kx}{2} + 2.cos\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} \right\rbrack\)

\(= \frac{\sin\frac{(k + 1)x}{2}.sin\frac{(k + 2)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}} = VP \Rightarrow dpcm\)

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi \(x \neq k2\pi,n \geq 1\).

IV. Bài tập tự luyện Nhị thức Newton

Bài tập 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

(1 + 2x)20	\({{\left( x+\frac{1}{3x} \right)}^{11}}\)
\({{\left( \sqrt{x}-4x+6 \right)}^{8}}\)	(n + 2m)7

Bài tập2: Xét khai triển _{\({{\left( 3{{x}^{2}}+\frac{1}{x} \right)}^{30}}\)}

a. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.

b. Hệ số của số hạng chứa \({{x}^{6}}\) trong khai triển.

c. Số hạng thứ 11 trong khai triển.

Bài tập 3: Tính tổng: _{\(S=C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+C_{2n}^{4}+C_{2n}^{6}+...+C_{2n}^{2n}\)}

Bài tập 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển (1 + x)³ⁿ là 64. Số hạng không chứa x trong khai triển _{\({{\left( 2nx+\frac{1}{2nx} \right)}^{2n}}.\)}

Bài tập 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển (1 + x)ⁿ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7:15.

Bài tập 6. Khai triển biểu thức (x + 1)⁴ ta thu được kết quả:

A. x4 + 4x2 + 6x2 + 4x + 1	B. x4 + x2 + 6x2 + x + 1
C. 4x4 + 6x2 + 6x2 + 6x + 1	D. 6x4 + 4x2 + 2x2 + 4x + 1

Bài tập 7. Khai triển (x + 3y)⁴ thành đa thức ta được biểu thức gồm mấy số hạng?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Bài tập8. Chọn đáp án đúng khi khai triển nhị thức \((3x - 2y)^{4}\) ?

A. 81x4 - 216x3y + 216x2y2 - 96xy3 + 16y4	B. 81x4 + 216x3y - 216x2y2 + 96xy3 - 16y4
C. 81x4 + 216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4	D. 81x4 - 24x3y -36 x2y2 - 24xy3 + 2y4

Bài tập 9. Biết hệ số của \(x^{2}\) trong khai triển nhị thức Newton của \((1 - 3x)^{n};\left( n\mathbb{\in N} \right)\) là \(135\) . Xác định giá trị \(n\) ?

A. n = 6	B. n = 4
C.n = 7	D. n = 5

Bài tập 10: Tính tổng các dãy sau:

a. \(A = \left( C_{n}^{0} \right)^{2} + \left( C_{n}^{1} \right)^{2} + \left( C_{n}^{2} \right)^{2} + ... + (C_{n}^{n})^{2}\)

b. \(B = C_{n}^{1}3^{n - 1} + 2C_{n}^{2}3^{n - 2} + 3C_{n}^{3}3^{n - 3} + .... + nC_{n}^{n}\)

Bài tập 11: Tính tổng các dãy cho dưới đây:

a. \(D = C_{n}^{0}.C_{n}^{k} + C_{n}^{2}.C_{n - 1}^{k - 1} + ... + C_{n}^{k}C_{n - k}^{0},0 \leq k \leq n\)

b. \(E = C_{n}^{1} + 2C_{n}^{2} + 3C_{n}^{3} + ... + nC_{n}^{n}\)

------------------------------------------------------------

FAQ

Công thức Nhị thức Newton đầy đủ gồm những nội dung nào?

Một tài liệu đầy đủ về Nhị thức Newton thường bao gồm:

• Công thức tổng quát.
• Ý nghĩa của các hệ số nhị thức.
• Cách xác định số hạng tổng quát.
• Phương pháp tìm hệ số của một số hạng.
• Cách tìm số hạng chứa lũy thừa theo yêu cầu.
• Các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao kèm đáp án chi tiết.

Làm thế nào để xác định số hạng tổng quát trong khai triển Nhị thức Newton?

Để xác định số hạng tổng quát, học sinh cần nhận biết vị trí của số hạng trong khai triển, xác định đúng số mũ của từng biến và áp dụng hệ số nhị thức tương ứng. Đây là dạng bài xuất hiện rất phổ biến trong các bài kiểm tra.

Tam giác Pascal có liên quan gì đến Nhị thức Newton?

Tam giác Pascal giúp xác định nhanh các hệ số nhị thức trong khai triển mà không cần tính trực tiếp tổ hợp. Đây là công cụ hữu ích giúp rút ngắn thời gian làm bài và hạn chế sai sót khi khai triển biểu thức.

Những dạng bài tập nào thường gặp về Nhị thức Newton?

Các dạng bài tiêu biểu gồm:

• Khai triển nhị thức.
• Tìm số hạng tổng quát.
• Tìm hệ số của một số hạng.
• Tìm số hạng chứa một lũy thừa xác định.
• Chứng minh đẳng thức bằng Nhị thức Newton.
• Vận dụng Nhị thức Newton vào các bài toán tổ hợp và đại số.

Học sinh thường mắc lỗi gì khi giải bài toán Nhị thức Newton?

Một số lỗi phổ biến là:

• Xác định sai vị trí số hạng.
• Nhầm hệ số tổ hợp.
• Sai số mũ của các biến.
• Khai triển thiếu hoặc thừa số hạng.
• Không rút gọn kết quả trước khi kết luận.

Nhị thức Newton có ứng dụng trong những nội dung nào?

Ngoài việc khai triển biểu thức, Nhị thức Newton còn được sử dụng trong các bài toán về tổ hợp, xác suất, chứng minh đẳng thức, tính tổng, biến đổi đại số và là nền tảng cho nhiều chuyên đề Toán ở lớp 11 và lớp 12.

Chuyên đề Nhị thức Newton có xuất hiện trong các kỳ thi không?

Có. Đây là chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 10 và thường xuất hiện trong các bài kiểm tra định kỳ, đề học kỳ, đề đánh giá năng lực và các kỳ thi học sinh giỏi.

Làm thế nào để học tốt công thức Nhị thức Newton?

Học sinh nên nắm vững công thức tổng quát, hiểu ý nghĩa của từng thành phần trong khai triển, luyện tập theo từng dạng bài và thường xuyên kiểm tra lại số mũ, hệ số sau khi hoàn thành lời giải.

-----------------------------------

Nắm vững công thức Nhị thức Newton đầy đủ sẽ giúp bạn dễ dàng xử lý các bài toán khai triển lũy thừa, tính toán nhanh hệ số, và vận dụng linh hoạt trong các dạng toán tổ hợp, đại số và giải tích. Đây không chỉ là công cụ hữu ích trong học tập mà còn là nền tảng quan trọng nếu bạn định hướng theo các ngành kỹ thuật, công nghệ, tài chính hay khoa học dữ liệu. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng công thức vào các bài tập thực tế để củng cố kiến thức một cách vững chắc. Đừng quên lưu lại bài viết này như một “bí kíp” học toán hữu ích giúp bạn tự tin hơn trong các kỳ thi quan trọng.