Xác định tham số để hàm số liên tục
Hàm số liên tục
Trong toán học, tính liên tục của hàm số là một khái niệm cơ bản và quan trọng, đặc biệt khi hàm số phụ thuộc vào các tham số. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách xác định tham số để hàm số liên tục tại mọi điểm hoặc tại các điểm đặc biệt, giúp bạn hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số và áp dụng hiệu quả vào giải toán, phân tích hàm số.
Xét tính liên tục của hàm số do VnDoc.com sưu tầm và biên soạn gửi tới quý phụ huynh và học sinh. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Tìm m để hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) và c là 1 điểm thuộc khoảng (a; b). Nếu giới hạn của hàm f(x) khi x tiến dần đến c bằng với giá trị f(c) thì ta nói rằng f(x) liên tục tại c.
Hàm số f(x) liên tục tại c khi và chỉ khi 
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = f\left( c \right)\)
Cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp giải: Để xét sự liên tục của hàm số \(y = f(x)\) tại điểm tại \(x_{0}\) ta thực hiện các bước:
Bước 1: Tính \(f\left( x_{0}
\right)\)
Bước 2: Tính \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}f(x)\) (trong nhiều trường hợp để tính \(\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)\) ta cần tính \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}^{-}}f(x)\) và \(\lim_{x
\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)\)
Bước 3: So sánh \(\lim_{x \rightarrow
x_{0}}f(x)\) và \(f\left( x_{0}
\right)\) rồi rút ra kết luận.
Chú ý: Hàm số không liên tục tại \(x_{0}\) thì được gọi là gián đoạn tại \(x_{0}\).
2. Hàm số liên tục trên khoảng
Nếu hàm f(x) liên tục với mọi giá trị α thuộc khoảng (a; b) thì ta nói rằng f(x) liên tục trên (a; b). Chú ý: rằng đồ thị hàm liên tục trên khoảng (a; b) được biểu diễn bởi “nét liền”.
Cách xét tính liên tục của hàm số trên khoảng
Phương pháp giải
- Để chứng minh hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.
- Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.
- Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào.
3. Hàm số liên tục trên R
- Hàm liên tục trên R là trường hợp riêng của hàm liên tục trên khoảng.
- Các hàm mà ta công nhận nó liên tục trên R mà không cần chứng minh gồm: Hàm đa thức, hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, hàm phân thức có tập xác định R, hàm mũ.
4. Bài tập tìm m để hàm số liên tục
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số \(y=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}&\text{ khi x<2} \\
m{{x}^{2}}+x+1&\text{ khi x}\ge \text{2} \\
\end{matrix} \right.\) liên tục tại x = 2
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}-1)(x+2)}{{{x}^{2}}+2x+4}=1\)
\(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(m{{x}^{2}}+x+1)=4m+3=f(2)\)
Hàm số liên tục tại x = 2 \(\Leftrightarrow \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)\)
⇔ 4m + 1 = 1 ⇔ m = -0,5
Ví dụ 2: Tìm a để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra: \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}
x+2a &\text{khi x<0} \\
{{\text{x}}^{2}+x+1}&\text{ khi x}\ge 0 \\
\end{matrix} \right.\)tại x = 0.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x+2a)=2a\)
\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x+1)=1\)
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì 2a = 1 hay a = 0,5
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra: \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1}&\text{ khi x>1} \\
\dfrac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}&\text{ khi x}\le \text{1} \\
\end{matrix} \right.\) tại x = 1
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1})=\frac{3}{8}\)
\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}=\frac{m}{2}\)
Để hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ \(\frac{m}{2}=\frac{3}{8}\) ⇒ m = \(\frac{3}{4}\)
Ví dụ 4: Tìm m để hàm số sau: \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}&\text{ khi x>0} \\
\text{ 2}{{\text{x}}^{2}+3m+1 }&\text{khi x}\le 0 \\
\end{matrix} \right.\)liên tục trên R
Hướng dẫn giải
Với x > 0 ta có \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\) nên hàm số liên tục trên (0; +∞)
Với x< 0 ta có\(f(x)=2{{x}^{2}}+3m+1\) nên hàm số liên tục trên (-∞; 0)
Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0
Ta có: f(0) = 3m + 1
\(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}\)
\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2{{m}^{2}}+3m+1)=3m+1\)
Do đó hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ 3m + 1 = 0,5 ⇔ m = \(\frac{-1}{6}\)
Vậy \(m=\frac{-1}{6}\) thì hàm số liên tục trên R
Ví dụ 5: Tìm m để hàm số sau: \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}&\text{ khi x}\ne \text{1} \\
3m-2&\text{ khi x=1} \\
\end{matrix} \right.\)liên tục trên R
Hướng dẫn giải
Với x ≠ 1 ta có \(f(x)=\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\) nên hàm số liên tục trên khoảng R \ {1}
Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1
Ta có: f(1) = 3m - 2
\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\)
\(=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}}} \right)=2\)
Nên hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ 3m - 2 = 2 ⇔ m = \(\dfrac{4}{3}\)
Vậy m = \(\dfrac{4}{3}\) thì hàm số liên tục trên R.
Ví dụ 6: Tìm các giá trị của \(m\) để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
| a) \(f(x) =
\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{x^{2} - x - 2}{x - 2}\ \ \ \ \ khi\ x \neq - 2 \\
m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = - 2\ \ \\
\end{matrix} \right.\) |
b) \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x^{2} + x\ \ \ \ \ \ khi\ x < 1\ \ \ \ \ \ \ \\
2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\
mx + 1\ \ \ \ \ khi\ x > 1\ \ \\
\end{matrix} \right.\) |
Hướng dẫn giải
a. Hàm số \(f(x)\) liên tục với \(\forall x \neq 2\) .
Do đó \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R \Leftrightarrow}f(x)\) liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \lim_{x
\rightarrow 2}f(x) = f(2)\) \((1)\)
Ta có
\(\lim_{x \rightarrow 2}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow
2}\frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)}\)
\(= \lim_{x \rightarrow 2}(x + 1) = 2 + 1
= 3;f(2) = m\)
Khi đó \((1) \Leftrightarrow 3 = m
\Leftrightarrow m = 3\) .
b. Ta có:
\(\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 1^{+}}(mx + 1) = m + 1\)
\(\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + x \right) = 1 + 1 = 2;f(1) =
2\)
Từ yêu cầu bài toán
\(\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow
1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = f(1) \Leftrightarrow m + 1
= 2 \Leftrightarrow m = 1.\)
Ví dụ 7. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
m^{2}x^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 2 \\
(1 - m)x\ \ \ khi\ x > 2 \\
\end{matrix} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
Hướng dẫn giải:
Tập xác định \(D\mathbb{= R}\)
Hàm số liên tục trên mỗi khoảng \(( -
\infty;2);(2; + \infty)\)
Khi đó hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2\)
Hay \(\lim_{x \rightarrow 2}f(x) =
f(2)\)
\(\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 2^{-}}f(x) = f(2)\ \ (*)\)
Ta lại có:
\(f(2) = 4m^{2}\)
\(\lim_{x \rightarrow 2^{+}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 2^{+}}\left\lbrack (1 - m)x \right\rbrack = 2(1 -
m)\)
\(\lim_{x \rightarrow 2^{-}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 2^{-}}\left( m^{2}x^{2} \right) = 4m^{2}\)
Khi đó \((*) \Leftrightarrow 4m^{2} = 2(1 -
m)\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = 1 \\
m = \frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\)
Vậy có hai giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Ví dụ 8: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} - 3x + 2}{|x - 1|}\ \ \ khi\ x \neq 1 \\
m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\
\end{matrix} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \(( - \infty;1),(1; + \infty)\). Khi đó hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi nó liên tục tại \(x = 1\), tức là ta cần có:
\(\lim_{x \rightarrow 1}f(x) =
f(1)\)
\(\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 1^{-}}f(x) = f(1)\ \ (*)\)
Ta lại có:
\(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
x - 2\ \ \ khi\ x > 1 \\
m\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1 \\
2 - x\ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 1^{+}}(x - 2) = - 1\)
\(\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x
\rightarrow 1^{-}}(2 - x) = 1\)
Khi đó \((*)\) không thỏa mãn với mọi \(m\mathbb{\in R}\)
Vậy không tồn tại giá trị nào của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
5. Bài tập tự luận tìm m để hàm số liên tục tại một điểm
Bài 1: Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}&\text{ khi x}\ne \text{3} \\
3m-2&\text{ khi x=3} \\
\end{matrix} \right.\). Định m để hàm số liên tục tại x = 3
Bài 2: Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}&\text{ khi x}\ne 4 \\
m+2&\text{ khi x=4} \\
\end{matrix} \right.\). Xác định m để hàm số liên tục tại x = 4
Bài 3: Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}-1}&\text{ khi x>2} \\
3m-4&\text{ khi x}\le \text{2} \\
\end{matrix} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2
Bài 4: Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}
\dfrac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}&\text{ khi x}\ne 2 \\
3m&\text{ khi x=2} \\
\end{matrix} \right.\). Định m để hàm số liên tục tại x = 2.
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{x^{2} - 5x + 6}{\sqrt{4x - 3} - x}\ \ \ khi\ x > 3 \\
1 - a^{2}x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x \leq 3 \\
\end{matrix} \right.\) liên tục tại \(x = 3\).
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số \(f(x)
= \left\{ \begin{matrix}
1 - \cos x\ \ \ khi\ x \leq 0 \\
\sqrt{x + 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > 0 \\
\end{matrix} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(f(x)\) liên tục tại \(x = 0\) B. \(f(x)\) liên tục trên \(( - \infty;1)\)
C. \(f(x)\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\) D. \(f(x)\) gián đoạn tại \(x = 1\)
Bài 7. Cho hàm số \(f(x) = \left\{
\begin{matrix}
\frac{x^{2}}{x}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x < 1,x \neq 0 \\
\begin{matrix}
0\ \ \ \ \ \ khi\ x = 0 \\
\sqrt{x}\ \ \ khi\ x \geq 1 \\
\end{matrix} \\
\end{matrix} \right.\). Hàm số \(f(x)\) liên tục tại:
A. Mọi điểm thuộc \(\mathbb{R}\) B. Mọi điểm trừ \(x = 0\)
C. Mọi điểm trừ \(x = 1\) D. Mọi điểm trừ \(x = 0,x = 1\)
-------------------------------------------------------------
Như vậy, việc xác định tham số để hàm số liên tục là bước quan trọng giúp bạn đảm bảo tính chất liên tục và mượt mà của hàm số. Hy vọng qua bài viết, bạn đã nắm rõ cách tìm tham số phù hợp để hàm số không bị gián đoạn. Đừng quên luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng giải các bài toán liên quan đến hàm số nhé!
