Xác định tham số để hàm số liên tục

Đây là tài liệu Xét tính liên tục của hàm số do VnDoc.com sưu tầm và biên soạn gửi tới quý phụ huynh và học sinh. Tài liệu xác định tham số để hàm số liên tục bao gồm những bài tập trọng tâm giúp các em củng cố, ôn tập kiến thức về hàm số liên tục hiệu quả. Chúc các bạn học tập thật tốt!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tìm m để hàm số liên tục

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và c là 1 điểm thuộc khoảng (a;b). Nếu giới hạn của hàm f(x) khi x tiến dần đến c bằng với giá trị f(c) thì ta nói rằng f(x) liên tục tại c.

Hàm số f(x) liên tục tại c khi và chỉ khi \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = f\left( c \right)

2. Hàm số liên tục trên khoảng

Nếu hàm f(x) liên tục với mọi giá trị α thuộc khoảng (a;b) thì ta nói rằng f(x) liên tục trên (a;b). Chú ý: rằng đồ thị hàm liên tục trên khoảng (a;b) được biểu diễn bởi “nét liền”.

3. Hàm số liên tục trên R

Hàm liên tục trên R là trường hợp riêng của hàm liên tục trên khoảng.

Các hàm mà ta công nhận nó liên tục trên R mà không cần chứng minh gồm: Hàm đa thức, hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, hàm phân thức có tập xác định R, hàm mũ.

4. Bài tập tìm m để hàm số liên tục

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y=\left\{ \begin{matrix}

\dfrac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}&\text{ khi x<2} \\

m{{x}^{2}}+x+1&\text{ khi x}\ge \text{2} \\

\end{matrix} \right. liên tục tại x = 2

Hướng dẫn giải

Ta có: \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}-1)(x+2)}{{{x}^{2}}+2x+4}=1

\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(m{{x}^{2}}+x+1)=4m+3=f(2)

Hàm số liên tục tại x = 2 \Leftrightarrow \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)

⇔ 4m + 1 = 1 ⇔ m = -0,5

Ví dụ 2: Tìm a để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra: y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}

x+2a &\text{khi x<0} \\

{{\text{x}}^{2}+x+1}&\text{ khi x}\ge 0 \\

\end{matrix} \right.tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x+2a)=2a

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x+1)=1

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì 2a = 1 hay a = 0,5

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra: y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}

\dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1}&\text{ khi x>1} \\

\dfrac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}&\text{ khi x}\le \text{1} \\

\end{matrix} \right. tại x = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1})=\frac{3}{8}

\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}=\frac{m}{2}

Để hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ \frac{m}{2}=\frac{3}{8} ⇒ m = \frac{3}{4}

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số sau: y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}

\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}&\text{ khi x>0} \\

\text{ 2}{{\text{x}}^{2}+3m+1 }&\text{khi x}\le 0 \\

\end{matrix} \right.liên tục trên R

Hướng dẫn giải

Với x > 0 ta có f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x} nên hàm số liên tục trên (0; +∞)

Với x< 0 ta cóf(x)=2{{x}^{2}}+3m+1 nên hàm số liên tục trên (-∞; 0)

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0

Ta có: f(0) = 3m + 1

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2{{m}^{2}}+3m+1)=3m+1

Do đó hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ 3m + 1 = 0,5 ⇔ m = \frac{-1}{6}

Vậy m=\frac{-1}{6} thì hàm số liên tục trên R

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số sau: y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}

\dfrac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}&\text{ khi x}\ne \text{1} \\

3m-2&\text{  khi x=1} \\

\end{matrix} \right.liên tục trên R

Hướng dẫn giải

Với x ≠ 1 ta có f(x)=\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1} nên hàm số liên tục trên khoảng R \ {1}

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

Ta có: f(1) = 3m - 2

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}

=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}}} \right)=2

Nên hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ 3m - 2 = 2 ⇔ m = \dfrac{4}{3}

Vậy m = \dfrac{4}{3} thì hàm số liên tục trên R

5. Bài tập tự luận tìm m để hàm số liên tục tại một điểm

Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}

\dfrac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}&\text{ khi x}\ne \text{3} \\

3m-2&\text{ khi x=3} \\

\end{matrix} \right.. Định m để hàm số liên tục tại x = 3

Bài 2: Cho hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}

\dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}&\text{ khi x}\ne 4 \\

m+2&\text{ khi x=4} \\

\end{matrix} \right.. Xác định m để hàm số liên tục tại x = 4

Bài 3: Cho hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}

\dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}-1}&\text{ khi x>2} \\

3m-4&\text{ khi x}\le \text{2} \\

\end{matrix} \right.. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2

Bài 4: Cho hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix}

\dfrac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}&\text{ khi x}\ne 2 \\

3m&\text{ khi x=2} \\

\end{matrix} \right.. Định m để hàm số liên tục tại x = 2.

-------------------------------------------------------------

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan đến bài học:

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Xác định tham số để hàm số liên tục môn Toán lớp 11. Mời quý phụ huynh và các bạn học sinh tham khảo thêm một số tài liệu khác như: Giải bài tập Toán lớp 11, Trắc nghiệm Giải Tích 11, Trắc nghiệm Hình học 11, ... được cập nhật liên tục trên VnDoc.com.

Đánh giá bài viết
2 7.505
0 Bình luận
Sắp xếp theo
Toán lớp 11 Xem thêm