Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Lớp 11 Toán 11

Xác định tham số để hàm số liên tục

Tìm m để hàm số liên tục
Tải về

Hàm số liên tục

Xét tính liên tục của hàm số do VnDoc.com sưu tầm và biên soạn gửi tới quý phụ huynh và học sinh. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tìm m để hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và c là 1 điểm thuộc khoảng (a;b). Nếu giới hạn của hàm f(x) khi x tiến dần đến c bằng với giá trị f(c) thì ta nói rằng f(x) liên tục tại c.

Hàm số f(x) liên tục tại c khi và chỉ khi \mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = f\left( c \right)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = f\left( c \right)\)

2. Hàm số liên tục trên khoảng

Nếu hàm f(x) liên tục với mọi giá trị α thuộc khoảng (a;b) thì ta nói rằng f(x) liên tục trên (a;b). Chú ý: rằng đồ thị hàm liên tục trên khoảng (a;b) được biểu diễn bởi “nét liền”.

3. Hàm số liên tục trên R

Hàm liên tục trên R là trường hợp riêng của hàm liên tục trên khoảng.

Các hàm mà ta công nhận nó liên tục trên R mà không cần chứng minh gồm: Hàm đa thức, hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, hàm phân thức có tập xác định R, hàm mũ.

4. Bài tập tìm m để hàm số liên tục

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}&\text{ khi x<2} \\ m{{x}^{2}}+x+1&\text{ khi x}\ge \text{2} \\ \end{matrix} \right.\(y=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}&\text{ khi x<2} \\ m{{x}^{2}}+x+1&\text{ khi x}\ge \text{2} \\ \end{matrix} \right.\) liên tục tại x = 2

Hướng dẫn giải

Ta có: \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}-1)(x+2)}{{{x}^{2}}+2x+4}=1\(\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}-5{{x}^{2}}+4}{{{x}^{3}}-8}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}-1)(x+2)}{{{x}^{2}}+2x+4}=1\)

\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(m{{x}^{2}}+x+1)=4m+3=f(2)\(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(m{{x}^{2}}+x+1)=4m+3=f(2)\)

Hàm số liên tục tại x = 2 \Leftrightarrow \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)\(\Leftrightarrow \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)\)

⇔ 4m + 1 = 1 ⇔ m = -0,5

Ví dụ 2: Tìm a để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra: y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} x+2a &\text{khi x<0} \\ {{\text{x}}^{2}+x+1}&\text{ khi x}\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} x+2a &\text{khi x<0} \\ {{\text{x}}^{2}+x+1}&\text{ khi x}\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\)tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x+2a)=2a\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x+2a)=2a\)

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x+1)=1\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x+1)=1\)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì 2a = 1 hay a = 0,5

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra: y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1}&\text{ khi x>1} \\ \dfrac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}&\text{ khi x}\le \text{1} \\ \end{matrix} \right.\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1}&\text{ khi x>1} \\ \dfrac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}&\text{ khi x}\le \text{1} \\ \end{matrix} \right.\) tại x = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1})=\frac{3}{8}\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{\sqrt{3x+1}-2}{{{x}^{2}}-1})=\frac{3}{8}\)

\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}=\frac{m}{2}\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}=\frac{m}{2}\)

Để hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ \frac{m}{2}=\frac{3}{8}\(\frac{m}{2}=\frac{3}{8}\) ⇒ m = \frac{3}{4}\(\frac{3}{4}\)

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số sau: y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}&\text{ khi x>0} \\ \text{ 2}{{\text{x}}^{2}+3m+1 }&\text{khi x}\le 0 \\ \end{matrix} \right.\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}&\text{ khi x>0} \\ \text{ 2}{{\text{x}}^{2}+3m+1 }&\text{khi x}\le 0 \\ \end{matrix} \right.\)liên tục trên R

Hướng dẫn giải

Với x > 0 ta có f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}\) nên hàm số liên tục trên (0; +∞)

Với x< 0 ta cóf(x)=2{{x}^{2}}+3m+1\(f(x)=2{{x}^{2}}+3m+1\) nên hàm số liên tục trên (-∞; 0)

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0

Ta có: f(0) = 3m + 1

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}\(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}\)

\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2{{m}^{2}}+3m+1)=3m+1\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2{{m}^{2}}+3m+1)=3m+1\)

Do đó hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ 3m + 1 = 0,5 ⇔ m = \frac{-1}{6}\(\frac{-1}{6}\)

Vậy m=\frac{-1}{6}\(m=\frac{-1}{6}\) thì hàm số liên tục trên R

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số sau: y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}&\text{ khi x}\ne \text{1} \\ 3m-2&\text{ khi x=1} \\ \end{matrix} \right.\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}&\text{ khi x}\ne \text{1} \\ 3m-2&\text{ khi x=1} \\ \end{matrix} \right.\)liên tục trên R

Hướng dẫn giải

Với x ≠ 1 ta có f(x)=\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\(f(x)=\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\) nên hàm số liên tục trên khoảng R \ {1}

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

Ta có: f(1) = 3m - 2

\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}\)

=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}}} \right)=2\(=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}}} \right)=2\)

Nên hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ 3m - 2 = 2 ⇔ m = \dfrac{4}{3}\(\dfrac{4}{3}\)

Vậy m = \dfrac{4}{3}\(\dfrac{4}{3}\) thì hàm số liên tục trên R

5. Bài tập tự luận tìm m để hàm số liên tục tại một điểm

Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}&\text{ khi x}\ne \text{3} \\ 3m-2&\text{ khi x=3} \\ \end{matrix} \right.\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}&\text{ khi x}\ne \text{3} \\ 3m-2&\text{ khi x=3} \\ \end{matrix} \right.\). Định m để hàm số liên tục tại x = 3

Bài 2: Cho hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}&\text{ khi x}\ne 4 \\ m+2&\text{ khi x=4} \\ \end{matrix} \right.\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}&\text{ khi x}\ne 4 \\ m+2&\text{ khi x=4} \\ \end{matrix} \right.\). Xác định m để hàm số liên tục tại x = 4

Bài 3: Cho hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}-1}&\text{ khi x>2} \\ 3m-4&\text{ khi x}\le \text{2} \\ \end{matrix} \right.\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}-1}&\text{ khi x>2} \\ 3m-4&\text{ khi x}\le \text{2} \\ \end{matrix} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2

Bài 4: Cho hàm số y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}&\text{ khi x}\ne 2 \\ 3m&\text{ khi x=2} \\ \end{matrix} \right.\(y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{\sqrt[3]{4x}-2}{x-2}&\text{ khi x}\ne 2 \\ 3m&\text{ khi x=2} \\ \end{matrix} \right.\). Định m để hàm số liên tục tại x = 2.

-------------------------------------------------------------

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan đến bài học:

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Xác định tham số để hàm số liên tục môn Toán lớp 11. Bài viết đã gửi tới bạn đọc nội dung để tìm m để hàm số liên tục. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 11 nhé. Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm mục Giải bài tập Toán lớp 11, Trắc nghiệm Giải Tích 11, Trắc nghiệm Hình học 11

Chia sẻ, đánh giá bài viết
17
73.533 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Tìm thêm: hàm số liên tục xét tính liên tục của hàm số hàm số liên tục lớp 11
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
    Toán 11
    Tải xuống

    Tham khảo thêm

    🖼️

    Gợi ý cho bạn

    Xem thêm
    🖼️

    Toán 11

    Xem thêm