Xác định tham số để hàm số liên tục

Tìm m để hàm số liên tục

Hàm số liên tục

Tìm m để hàm số liên tục
1. Hàm số liên tục tại một điểm
2. Hàm số liên tục trên khoảng
3. Hàm số liên tục trên R
4. Bài tập tìm m để hàm số liên tục
5. Bài tập tự luận tìm m để hàm số liên tục tại một điểm

Xét tính liên tục của hàm số do VnDoc.com sưu tầm và biên soạn gửi tới quý phụ huynh và học sinh. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Tìm m để hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và c là 1 điểm thuộc khoảng (a;b). Nếu giới hạn của hàm f(x) khi x tiến dần đến c bằng với giá trị f(c) thì ta nói rằng f(x) liên tục tại c.

Hàm số f(x) liên tục tại c khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f\left( x \right) = f\left( c \right)$ $lim_{x \to c} f (x) = f (c)$

Cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Phương pháp giải: Để xét sự liên tục của hàm số $y = f (x)$ tại điểm tại $x_{0}$ $x_{0}$ ta thực hiện các bước:

Bước 1: Tính $f\left( x_{0} \right)$ $f (x_{0})$

Bước 2: Tính $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$ $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ (trong nhiều trường hợp để tính $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$ $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ ta cần tính $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ và $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$ $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$

Bước 3: So sánh $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$ $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ và $f\left( x_{0} \right)$ $f (x_{0})$ rồi rút ra kết luận.

Chú ý: Hàm số không liên tục tại $x_{0}$ $x_{0}$ thì được gọi là gián đoạn tại $x_{0}$ $x_{0}$ .

2. Hàm số liên tục trên khoảng

Nếu hàm f(x) liên tục với mọi giá trị α thuộc khoảng (a; b) thì ta nói rằng f(x) liên tục trên (a; b). Chú ý: rằng đồ thị hàm liên tục trên khoảng (a; b) được biểu diễn bởi “nét liền”.

Cách xét tính liên tục của hàm số trên khoảng

Phương pháp giải

Để chứng minh hàm số $y = f (x)$ liên tục trên một khoảng, đoạn ta dùng các định nghĩa về hàm số liên tục trên khoảng, đoạn và các nhận xét để suy ra kết luận.
Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà không nói rõ gì hơn) thì ta hiểu phải xét tính liên tục trên tập xác định của nó.
Tìm các điểm gián đoạn của hàm số tức là xét xem trên tập xác định của nó hàm số không liên tục tại các điểm nào.

3. Hàm số liên tục trên R

- Hàm liên tục trên R là trường hợp riêng của hàm liên tục trên khoảng.

- Các hàm mà ta công nhận nó liên tục trên R mà không cần chứng minh gồm: Hàm đa thức, hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, hàm phân thức có tập xác định R, hàm mũ.

4. Bài tập tìm m để hàm số liên tục

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số _{$y = {\begin{matrix} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} - 8} & khi x<2 \\ m x^{2} + x + 1 & khi x \geq 2 \end{matrix}$} liên tục tại x = 2

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$lim_{x \to 2^{-}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} - 8} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{(x^{2} - 1) (x + 2)}{x^{2} + 2 x + 4} = 1$}

$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,(m{{x}^{2}}+x+1)=4m+3=f(2)$ $lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{+}} (m x^{2} + x + 1) = 4 m + 3 = f (2)$

Hàm số liên tục tại x = 2 _{$\Leftrightarrow lim_{x \to 2^{+}} f (x) = lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2)$}

⇔ 4m + 1 = 1 ⇔ m = -0,5

Ví dụ 2: Tìm a để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra: $y=f(x)=\left\{ \begin{matrix} x+2a &\text{khi x<0} \\ {{\text{x}}^{2}+x+1}&\text{ khi x}\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$ $y = f (x) = {\begin{matrix} x + 2 a & khi x<0 \\ x^{2} + x + 1 & khi x \geq 0 \end{matrix}$ tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(x+2a)=2a$ $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} (x + 2 a) = 2 a$

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{2}}+x+1)=1$ $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} (x^{2} + x + 1) = 1$

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì 2a = 1 hay a = 0,5

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại các điểm chỉ ra: _{$y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt{3 x + 1} - 2}{x^{2} - 1} & khi x>1 \\ \frac{m (x^{2} - 2)}{x - 3} & khi x \leq 1 \end{matrix}$} tại x = 1

Hướng dẫn giải

Ta có: _{$lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (\frac{\sqrt{3 x + 1} - 2}{x^{2} - 1}) = \frac{3}{8}$}

$\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{m({{x}^{2}}-2)}{x-3}=\frac{m}{2}$ $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} \frac{m (x^{2} - 2)}{x - 3} = \frac{m}{2}$

Để hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ $\frac{m}{2}=\frac{3}{8}$ $\frac{m}{2} = \frac{3}{8}$ ⇒ m = $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{4}$

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số sau: _{$y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} & khi x>0 \\ 2 x^{2} + 3 m + 1 & khi x \leq 0 \end{matrix}$}liên tục trên R

Hướng dẫn giải

Với x > 0 ta có _{$f (x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$} nên hàm số liên tục trên (0; +∞)

Với x< 0 ta có_{$f (x) = 2 x^{2} + 3 m + 1$} nên hàm số liên tục trên (-∞; 0)

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 0

Ta có: f(0) = 3m + 1

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}$ $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \frac{1}{2}$

$\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(2{{m}^{2}}+3m+1)=3m+1$ $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} (2 m^{2} + 3 m + 1) = 3 m + 1$

Do đó hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ 3m + 1 = 0,5 ⇔ m = $\frac{-1}{6}$ $\frac{- 1}{6}$

Vậy $m=\frac{-1}{6}$ $m = \frac{- 1}{6}$ thì hàm số liên tục trên R

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số sau: _{$y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt[3]{x - 2} + 2 x - 1}{x - 1} & khi x \neq 1 \\ 3 m - 2 & khi x=1 \end{matrix}$}liên tục trên R

Hướng dẫn giải

Với x ≠ 1 ta có _{$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 2} + 2 x - 1}{x - 1}$} nên hàm số liên tục trên khoảng R \ {1}

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

Ta có: f(1) = 3m - 2

$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{x-2}+2x-1}{x-1}$ $lim_{x \to 1} f (x) = lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x - 2} + 2 x - 1}{x - 1}$

$=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{2}}-x\sqrt[3]{x-2}+\sqrt[3]{{{(x-2)}^{2}}}} \right)=2$ $= lim_{x \to 1} (1 + \frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} - x \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}) = 2$

Nên hàm số liên tục tại x = 1 ⇔ 3m - 2 = 2 ⇔ m = $\dfrac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$

Vậy m = $\dfrac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$ thì hàm số liên tục trên R.

Ví dụ 6: Tìm các giá trị của $m$ để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

a) $f(x) = \left\{ \begin{matrix} \dfrac{x^{2} - x - 2}{x - 2}\ \ \ \ \ khi\ x \neq - 2 \\ m\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = - 2\ \ \\ \end{matrix} \right.$

f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} k h i x \neq - 2 \\ m k h i x = - 2 \end{matrix}

b) $f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{2} + x\ \ \ \ \ \ khi\ x < 1\ \ \ \ \ \ \ \\ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\ mx + 1\ \ \ \ \ khi\ x > 1\ \ \\ \end{matrix} \right.$

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + x k h i x < 1 \\ 2 k h i x = 1 \\ m x + 1 k h i x > 1 \end{matrix}

Hướng dẫn giải

a. Hàm số $f (x)$ liên tục với $\forall x \neq 2$ $\forall x \neq 2$ .

Do đó $f (x)$ liên tục trên $\mathbb{R \Leftrightarrow}f(x)$ $R \Leftrightarrow f (x)$ liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 2}f(x) = f(2)$ $x = 2 \Leftrightarrow lim_{x \to 2} f (x) = f (2)$ $(1)$

Ta có

$\lim_{x \rightarrow 2}f(x) = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = \lim_{x \rightarrow 2}\frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)}$ $lim_{x \to 2} f (x) = lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 1)}{(x - 2)}$

$= \lim_{x \rightarrow 2}(x + 1) = 2 + 1 = 3;f(2) = m$ $= lim_{x \to 2} (x + 1) = 2 + 1 = 3; f (2) = m$

Khi đó $(1) \Leftrightarrow 3 = m \Leftrightarrow m = 3$ $(1) \Leftrightarrow 3 = m \Leftrightarrow m = 3$ .

b. Ta có:

$\lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}}(mx + 1) = m + 1$ $lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (m x + 1) = m + 1$

$\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\left( x^{2} + x \right) = 1 + 1 = 2;f(1) = 2$ $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} (x^{2} + x) = 1 + 1 = 2; f (1) = 2$

Từ yêu cầu bài toán

$\Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow 1^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = f(1) \Leftrightarrow m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1.$ $\Leftrightarrow lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} f (x) = f (1) \Leftrightarrow m + 1 = 2 \Leftrightarrow m = 1.$

5. Bài tập tự luận tìm m để hàm số liên tục tại một điểm

Bài 1: Cho hàm số _{$y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{3 - x}{\sqrt{x + 1} - 2} & khi x \neq 3 \\ 3 m - 2 & khi x=3 \end{matrix}$}. Định m để hàm số liên tục tại x = 3

Bài 2: Cho hàm số _{$y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{x + 5}}{x - 4} & khi x \neq 4 \\ m + 2 & khi x=4 \end{matrix}$}. Xác định m để hàm số liên tục tại x = 4

Bài 3: Cho hàm số _{$y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{x - 2}{\sqrt{x - 1} - 1} & khi x>2 \\ 3 m - 4 & khi x \leq 2 \end{matrix}$}. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2

Bài 4: Cho hàm số _{$y = f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2} & khi x \neq 2 \\ 3 m & khi x=2 \end{matrix}$}. Định m để hàm số liên tục tại x = 2.

-------------------------------------------------------------

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan đến bài học:

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Xác định tham số để hàm số liên tục môn Toán lớp 11. Bài viết đã gửi tới bạn đọc nội dung để tìm m để hàm số liên tục. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 11 nhé. Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm mục Giải bài tập Toán lớp 11, Trắc nghiệm Giải Tích 11, Trắc nghiệm Hình học 11

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

17

75.962

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Nguyễn Thị Huê

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Xác định tham số để hàm số liên tục

203,6 KB

Tải xuống Word
116,6 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!