Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố
Xác suất của biến cố
Chào mừng các bạn đến với bài học Toán 11: Xác suất của biến cố. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá các khái niệm cơ bản về xác suất của biến cố, một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Các bạn sẽ được học về lí thuyết xác suất của biến cố và áp dụng nó vào các bài tập thực tế, giúp nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi. Lí thuyết và Bài tập Xác suất của biến cố được VnDoc biên soạn bao gồm hướng dẫn lý thuyết và đáp án chi tiết cho từng bài tập giúp các bạn học sinh luyện tập và hiểu rõ hơn về phần Tổ hợp - Xác suất. Cùng theo dõi để hiểu rõ hơn về cách tính xác suất và các phương pháp giải quyết hiệu quả!
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A. Lí thuyết Xác suất của biến cố
1.Xác suất của biến cố
a. Định nghĩa cổ điển của xác suất
- Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu 
\(\Omega\) là một tập hữu hạn. giả sử A là một biến cố được mô tả bằng \({{\Omega }_{A}}\subset \Omega\). Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A) cho bởi công thức:
\(P(A)=\frac{{{\Omega }_{A}}}{\Omega }\) = Số kết quả thuận lợi cho A / Số kết quả có thể xảy ra
\(P({{\Omega }_{A}})=1,P\left( \varnothing \right)=0,0\le P\left( A \right)\le 1\)
b. Định nghĩa thống kê của xác suất
- Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Tiến hành lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A. Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:
P(A) = số lần xuất hiện của biến cố A : N
2. Quy tắc cộng xác suất
- Nếu A và B xung khắc thì:
\(P\left( A+B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)\)
Mở rộng quy tắc cộng xác suất
- Cho n biến cố \({{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},....,{{A}_{n}}\) đôi một xung khắc. Khi đó:
\(P\left( {{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup {{A}_{3}}\cup ...\cup {{A}_{n}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)+P\left( {{A}_{2}} \right)+...+P\left( {{A}_{n}} \right)\)
- Với mọi biến cố A ta có: \(P\overline{\left( A \right)}=1-P\left( A \right)\)
- Giả sử A và B là 2 biến tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó:
\(P\left( A\cup B \right)=P\left( A \right)+P\left( B \right)+P\left( AB \right)\)
3. Quy tắc nhân xác suất
- Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B).
4. Bài tập ví dụ minh họa tính xác suất của biến cố
Bài 1: Gieo ngẫu nhiên một xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
\(A\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất lớn hơn 4";
\(B\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai nhỏ hơn 4";
\(C\): "Số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ nhất nhỏ hơn 4".
Trong các biến cố trên, hãy:
a) Tìm cặp biến cố xung khắc;
b) Tìm cặp biến cố độc lập.
Lời giải
a) Cặp biến cố xung khắc là \(A\ và\
C\), vì nếu \(A\) xảy ra thì \(C\) không thể xảy ra, và ngược lại, nếu \(C\) xảy ra thì \(A\) không thể xảy ra.
b) Cặp biến cố độc lập là \(A\ và\
B\), vì xảy ra hay không xảy ra biến cố \(A\) không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố \(B\), và ngược lại, xảy ra hay không xảy ra biến cố \(B\) cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố \(A\).
Bài 2: Một hộp có 12 viên bi có cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng.
Lời giải
Có \(n(\Omega) = C_{12}^{5} =
792\)
Xét biến cố \(A\): "Trong 5 viên bi được chọn không có viên bi màu vàng nào".
\(\Rightarrow n(A) = C_{7}^{5} = 21\)
Xét biến cố \(B\): "Trong 5 viên bi được chọn có 1 viên bi màu vàng, 4 viên bi màu xanh"
\(\Rightarrow n(B) = C_{5}^{1}.C_{7}^{4} =
175\)
Xét biến cố \(M\): "Trong 5 viên bi được chọn có ít nhất 2 viên bi màu vàng".
Xét biến cố \(\overline{M}\): "Trong 5 viên bi được chọn có nhiều nhất 1 viên bi màu vàng".
Có \(P\left( \overline{M} \right) =\frac{21 + 175}{792} = \frac{49}{198}\)
\(\Rightarrow P(M) = 1 - P\left(\overline{M} \right) = 1 - \frac{49}{198} =\frac{149}{198}\).
Bài 3: Hai bạn Việt và Nam cùng tham gia một kì thi trắc nghiệm môn Toán và môn Tiếng Anh một cách độc lập nhau. Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã đề khác nhau và các môn khác nhau thì mã đề cũng khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho học sinh một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai bạn Việt và Nam có chung đúng một mã đề thi trong kì thi đó.
Lời giải
Giả sử xác suất để Việt và Nam chọn cùng một mã đề là \(\frac{1}{N}\), với \(N\) là tổng số mã đề khác nhau. Vậy xác suất để Việt chọn một mã đề và Nam chọn cùng mã đề đó là \(\frac{1}{N}\), và xác suất để cả hai chọn đúng mã đề là \(\frac{1}{N} \cdot
\frac{1}{N}\)
\(P = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} =
\frac{1}{36}\)
Bài 4: Trong một giải bóng đá có hai đội Tín Phát và An Bình ở hai bảng khác nhau. Mỗi bảng chọn ra một đội để vào vòng chung kết. Xác suất lọt qua vòng bảng của hai đội Tín Phát và \(An\) Bình lần lượt là 0,6 và 0,7. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) \(A\): "Cả hai đội Tín Phát và An Bình lọt vào vòng chung kết";
b) \(B\): "Có ít nhất một đội lọt vào vòng chung kết";
c) \(C\): "Chỉ có đội Tín Phát lọt vào vòng chung kết".
Lời giải
Xét các biến cố:
E: "Đội Tín Phát lọt vào vòng chung kết";
G: "Đội An Bình lọt vào vòng chung kết".
Vì hai đội ở hai bảng khác nhau nên hai biến cố \(E\) và \(G\) là hai biến cố độc lập, ta có: \(P(E) = 0,6\) và \(P(G) = 0,7\).
a) Vì \(A = E \cap G\) nên \(P(A) = P(E \cap G) = P(E).P(G)\)\(= 0,6 \cdot 0,7 =0,42\).
b) Vì \(B = E \cup G\) nên
\(P(B) = P(E \cup G) = P(E) + P(G) - P(E \cap G)\)\(=0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88.\)
c) Xét biến cố đối \(\overline{G}\) của biến cố \(G\).
Ta có: \(P\left( \overline{G} \right) = 1 - P(G) = 1 - 0,7
= 0,3\).
Vì \(E\) và \(\overline{G}\) là hai biến cố độc lập và \(C = E \cap \overline{G}\) nên
\(P(C) = P\left( E \cap \overline{G}\right) = P(E) \cdot P\left( \overline{G} \right)\)\(= 0,6 \cdot 0,3 =0,18.\)
B. Giải bài tập Toán 11
Trong Sách giáo khoa Toán lớp 11, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 11. Mời các bạn học sinh tham khảo:
C. Giải Vở Bài tập Toán 11
Sách bài tập Toán 11 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
D. Bài tập xác suất của biến cố
Bên cạnh việc giải bài tập sách giáo khoa và giải bài tập Toán 11 VnDoc biên soạn tài liệu bài tập xác suất của biến cố gồm những bài tập ví dụ minh họa có hướng dẫn chi tiết có nội dung bài tập đa dạng giúp bạn đọc định hướng tư duy logic, cải thiện kĩ năng làm bài tập phục vụ cho các kì thì, kiểm tra sắp tới.
-------------------------------------------------
Hy vọng qua bài học "Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố", các bạn đã nắm vững các kiến thức quan trọng về xác suất và biến cố. Việc hiểu rõ các lý thuyết và áp dụng chúng vào bài tập thực tế không chỉ giúp các bạn giải quyết tốt các bài toán mà còn nâng cao khả năng tư duy logic. Đừng quên ôn tập thường xuyên để củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Chúc các bạn học tốt và luôn tự tin khi làm bài!
