Ứng dụng của hàm số liên tục môn Toán lớp 11

Chứng minh phương trình có nghiệm lớp 11

Ứng dụng của hàm số liên tục

I. Phương pháp
II. Ví dụ minh họa
III. Bài tập tự luyện

VnDoc.com xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Ứng dụng của hàm số liên tục môn Toán lớp 11. Các bài tập hàm số liên tục trên một tập này sẽ giúp các bạn ôn tập củng cố nội dung trọng tâm chương trình Đại số lớp 11 về cách chứng minh phương trình có nghiệm đúng, tìm số nghiệm của phương trình, ... Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Ứng dụng của hàm số liên tục

I. Phương pháp

Để chứng minh phương trình _{$f(x) = 0$} có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số _{$y = f(x)$} liên tục trên D và có 2 số _{$a,b\in D$} sao cho _{$f\left( a \right)f\left( b \right)<0$}
Để chứng minh phương trình _{$f(x) = 0$} có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau nằm trong D sao cho _{$f({{a}_{t}}).f({{a}_{t+1}})<0$}

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh các phương trình sau có đúng một nghiệm:

$a) {{x}^{5}}+3x+1=0$ $a) {{x}^{5}}+3x+1=0$

$b) {{x}^{3}}+2x=4+3\sqrt{3-2x}$ $b) {{x}^{3}}+2x=4+3\sqrt{3-2x}$

Hướng dẫn

a) Xét hàm số _{$y={{x}^{5}}+3x+1$} là hàm số liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$

Mặt khác, _{$f(0)=1,f(-1)=-1\Rightarrow f(-1)f(0)<0$}

Nên phương trình _$f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc _{$\left( -1,0 \right)$}

Giả sử phương trình có 2 nghiệm _{${{x}_{1}},{{x}_{2}}$}

Khi đó :

$f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=0$ $f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})=0$

$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}^{5}-{{x}_{2}}^{5} \right)+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}^{5}-{{x}_{2}}^{5} \right)+3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=0$

$\Leftrightarrow ({{x}_{1}}-{{x}_{2}})\frac{\left( {{x}_{1}^{4}}+{{x}_{1}^{3}}{{x}}+{{x}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}^{3}}+{{x}_{2}^{4}}+3 \right)}{P}=0\text{ (*)}$ $\Leftrightarrow ({{x}_{1}}-{{x}_{2}})\frac{\left( {{x}_{1}^{4}}+{{x}_{1}^{3}}{{x}}+{{x}_{1}^{2}}{{x}_{2}^{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}^{3}}+{{x}_{2}^{4}}+3 \right)}{P}=0\text{ (*)}$

$P={{\left( {{x}^{2}}_{1}+\frac{1}{2}{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}_{2}+\frac{1}{4}{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}+\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}{{x}^{2}}_{2}+3>0$ $P={{\left( {{x}^{2}}_{1}+\frac{1}{2}{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}_{2}+\frac{1}{4}{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}+\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}{{x}^{2}}_{2}+3>0$

Nên (*) _{$\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$}

Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm

b) Điều kiện: _{$x\le \frac{3}{2}$}

Phương trình _{$\Leftrightarrow {{x}^{3}}+2x-3\sqrt{3x-2}-4=0$}

Ta có hàm số $f(x)={{x}^{3}}+2x-3\sqrt{3x-2}-4$ $f(x)={{x}^{3}}+2x-3\sqrt{3x-2}-4$ liên tục trên khoảng _{$\left( -\infty ,\frac{3}{2} \right]$}

Ta có: _{$f\left( 0 \right)<0,f\left( \frac{3}{2} \right)>0\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( \frac{3}{2} \right)<0$}

Nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

Giả sử phương trình có 2 nghiệm a, b

$f(a)-f(b)=0$

$\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+2+\frac{6}{\sqrt{3-2a}+\sqrt{3-2b}} \right)=0$ $\Leftrightarrow \left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+2+\frac{6}{\sqrt{3-2a}+\sqrt{3-2b}} \right)=0$

Do ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+2+\frac{6}{\sqrt{3-2a}+\sqrt{3-2b}}$ ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+2+\frac{6}{\sqrt{3-2a}+\sqrt{3-2b}}$

_{$={{\left( a+\frac{b}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{b}^{2}}}{4}+2+\frac{6}{\sqrt{3-2a}+\sqrt{3-2b}}>0$} với _{$\forall a,b <\frac{3}{2}$}

$\Rightarrow a=b$ $\Rightarrow a=b$

Vậy phuơng trình có đúng một nghiệm

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: _{${{x}^{3}}-3x+1=0$}

Hướng dẫn:

Xét hàm số: _{$f(x)={{x}^{3}}-3x+1$}, hàm số liên tục trên R

Ta có: _{$f(-2)=-1,f(0)=1,f(1)=-1,f(2)=3$}

$f(-2).f(0)<0$

$f(0).f(1)<0$

$f(1).f(2)<0$

Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt trên 3 khoảng _{$\left( -2,0 \right),\left( 0,1 \right),\left( 1,2 \right)$}

Mà f(x) là hàm số bậc 3 có tối đa 3 nghiệm

Vậy phương trình f(x) = 0 có tối đa 3 nghiệm.

Ví dụ 3: Tìm tất cả các hàm số _{$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$} liên tục x = 0 thỏa mãn _{$f(3x)=f(x)$}.

Hướng dẫn

Ta có: _{$f(x)=f\left( \frac{x}{3} \right)=f\left( \frac{x}{{{3}^{2}}} \right)=...=f\left( \frac{x}{{{3}^{n}}} \right)$}

Do _{$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{3}^{n}}}=0,\forall x\in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( x \right)=f\left( 0 \right)=const$}

Vậy f là hàm hằng

III. Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm: _{$2x-6\sqrt[3]{1-x}-3=0$}.

Bài tập 2: Chứng minh phương trình: _{$\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}=m$} luôn có nghiệm với mọi m.

Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình: _{${{x}^{5}}-5{{x}^{2}}+4x+1=0$} có 5 nghiệm trên khoảng $\left( -2,3 \right)$ $\left( -2,3 \right)$.

Bài tập 4: Cho phương trình: _{$\left( 1-{{m}^{2}} \right){{x}^{5}}-3x-1=0$} luôn có nghiệm với mọi m.

Trên đây VnDoc đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu Ứng dụng của hàm số liên tục. Mời quý phụ huynh và các bạn học sinh tham khảo thêm một số tài liệu khác như: Giải bài tập Toán lớp 11, Trắc nghiệm Giải Tích 11, Trắc nghiệm Hình học 11, ... được cập nhật liên tục trên VnDoc.com.

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Hàm số liên tục lớp 11

Xét hàm số liên tục tại một điểm

Xét hàm số liên tục trên một tập

Xác định tham số để hàm số liên tục

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

3.452

Bài trước

Bài sau