Xác suất của biến cố Toán 11
Xác suất của biến cố môn Toán 11
Xác suất của biến cố là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chuyên đề Tổ hợp xác suất lớp 11. Việc hiểu và vận dụng đúng xác suất không chỉ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán Toán 11 mà còn là nền tảng để tiếp cận các vấn đề xác suất phức tạp hơn trong các kỳ thi đại học và các môn học nâng cao. Trong chuyên đề này, học sinh sẽ làm quen với các khái niệm về biến cố, không gian mẫu, cũng như cách tính xác suất của các biến cố khác nhau trong các tình huống thực tế.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích chi tiết về xác suất của biến cố, cách xác định xác suất trong không gian mẫu và các phương pháp tính xác suất phổ biến nhất. Bài viết sẽ giúp bạn nắm vững lý thuyết và áp dụng vào các bài tập thực tế, từ đó nâng cao khả năng giải quyết các bài toán xác suất trong chương trình Toán 11.
- Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12
- Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức Hình học 11
- Trắc nghiệm Toán lớp 11 theo từng chương
Xác xuất của biến cố
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Tổng hợp lí thuyết
1. Định nghĩa cổ điển của xác suất
Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu 
\(\Omega\) là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô tả bằng \({{\Omega }_{A}}\subset \mathbb{Q}\). Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức:
\(P\left( A \right)=\frac{\left| {{\Omega }_{A}} \right|}{\left| \Omega \right|}=\)Số kết quả thuận lợi cho A / Số kết quả có thể xảy ra
Chú ý: Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất \({{\Omega }_{A}}\) với A nên ta có: \(P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( \Omega \right)}\)
\(P\left( \Omega \right)=1,P\left( \varnothing \right)=0,0\le P\left( A \right)\le 1\)
2. Định nghĩa thống kê của xác suất
Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A. Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:
P(A) = Số lần xuất hiện của biến cố A : N
3. Phương pháp xác định không gian mẫu và biến cố
Để xác định không gian mẫu và biến cố ta thường sử dụng các cách sau:
- Cách 1: Liệt kê các phần tử của không gian mẫu và biến cố rồi chúng ta đếm.
- Cách 2: Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.
4. Tính chất của xác suất
Định lý:
- P(∅) = 0, P(Ω) = 1
- 0 ≤ P(A) ≤ P(Ω), với mọi biến cố A
- Nếu A, B xung khắc thì: P(A∪B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất)
Hệ quả: Với mọi biến cố \(A\) và \(\overline{A}\) là biến cố đối của \(A\), ta có:
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
5. Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất
- Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B độc lập nếu việc xảy ra biến cố A không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B.
- Quy tắc nhân xác suất: Nếu A và B và hai biến cố độc lập thì \(P(A.B) = P(A).P(B)\)
II. Bài tập ví dụ minh họa tính xác suất của biến cố
Ví dụ 1: Trong một chiếc hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của :
1. Không gian mẫu.
2. Các biến cố:
A: “ 4 viên bi lấy ra đó có đúng 2 viên bi màu trắng”.
B: “ 4 viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.
C: “ 4 viên bi lấy ra có đủ 3 màu”.
Hướng dẫn giải
1. Ta có: \(n\left( \Omega \right)=C_{24}^{4}=10626\)
2. Số cách chọn 4 viên bi có đúng 2 viên màu trắng là: \(C_{10}^{2}C_{14}^{2}=4095\)
Số cách chọn 4 viên bi mà không có viên bi đỏ nào là: \(C_{18}^{4}\)
Vậy số cách chọn 4 viên bi mà có ít nhất 1 viên bi đỏ là: \(C_{24}^{4}-C_{18}^{4}=7566\)
Số cách chọn 4 viên bi mà chỉ có 1 màu là: \(C_{6}^{4}+C_{8}^{4}+C_{10}^{4}=295\)
Số cách chọn 4 viên bi có đúng 2 màu là: \(C_{14}^{4}+C_{18}^{4}+C_{16}^{4}-2(C_{6}^{4}+C_{8}^{4}+C_{10}^{4})=5291\)
Số cách lấy 4 viên bi có đủ 3 màu là: 10626 – 295 – 5291 = 5040
Ví dụ 2: Xét phép thử tung con súc sắc có 6 mặt 2 lần. Tính số phần tử sau:
a. Xác định không gian mẫu
b. Các biến cố:
A: “ Số chấm xuất hiện ở cả 2 lần tung giống nhau”.
B: “ Tổng số chấm xuất hiện ở 2 lần tung chia hết cho 3”.
C: “ Số chấm xuất hiện ở lần một lớn hơn số chấm xuất hiện ở lần thứ hai”.
Hướng dẫn giải
a. Không gian mẫu gồm bộ \(\left( m,n \right)\), trong đó \(m,n\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\)
m nhận 6 giá trị , n có 6 giá trị nên có 6.6 = 36 bộ \(\left( m,n \right)\)
Vậy \(\Omega =\left\{ \left( m,n \right):m,n=1,2,3,4,5,6 \right\}\Rightarrow n\left( \Omega \right)=36\)
b. Ta có: \(A:\left\{ \left( 1,1 \right),\left( 2,2 \right),\left( 3,3 \right),\left( 4,4 \right),\left( 5,5 \right),\left( 6,6 \right) \right\}\Rightarrow n\left( A \right)=6\)
Ta có: \(\left( m,n \right),m,n\in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}, m+n\vdots 3\)
Ta có các cặp số có tổng chia hết cho 3 là: \(\left( 1,2 \right),\left( 1,5 \right),\left( 2,4 \right),\left( 3,3 \right),\left( 3,6 \right),\left( 4,5 \right)\)
Đối với mỗi cặp số trừ cặp \(\left( 3,3 \right)\) ta đều được 1 cặp số thỏa mãn chia hết cho 3 \(\Rightarrow n\left( B \right)=11\)
Số cặp mà \(m>n\) là:
\(\left(2,1\right),\left(3,2\right),\left(3,1\right),\left(4,3\right),\left(4,2\right),\left(4,1\right),\left(5,4\right),\left(5,3\right)\)\(,\left(5,2\right),\left(5,1\right),\left(6,1\right),\left(6,2\right),\left(6,3\right),\left(6,4\right),\left(6,5\right)\)
\(\Rightarrow n\left( C \right)=15\).
Ví dụ 3. Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.
a. Mô tả không gian mẫu.
b. Tính xác suất của các biến cố
A: “Số lần gieo không vượt quá ba”
B: “Số lần gieo là năm”
C: “Số lần gieo là sáu”
Hướng dẫn giải
a. Không gian mẫu \(\mathrm{\Omega} =
\left\{ N,\ SN,\ SSN,\ SSSN,\ SSSSN,\ SSSSN,\ SSSSS
\right\}\)\(\Omega =\){N, SN, SSN, SSSN, SSSSN, SSSSSN, SSSSSS}
\(\Rightarrow n(\Omega) = 7\)
b. Ta có:
\(A = \left\{ N,\ SN,\ SSN
\right\}\), \(n(A) = 3 \Rightarrow P(A)
= \frac{3}{7}\)
\(B = \left\{ SSSSN \right\}\), \(n(B) = 1 \Rightarrow P(A) =
\frac{1}{7}\)
\(C = \left\{ SSSSSN,\ SSSSSS
\right\}\), \(n(C) = 2 \Rightarrow P(C)
= \frac{2}{7}\)
Ví dụ 4. Sáu bạn, trong đó có bạn H và K, được xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc. Tính xác suất sao cho:
a. Hai bạn H và K đứng liền kề nhau.
b. hai bạn H và K không đứng liền kề nhau.
Hướng dẫn giải
Không gian mẫu Ω gồm các hoán vị của 6 bạn. Do đó: n(Ω) = 6!. Do việc xếp là ngẫu nhiên Ω gồm các kết quả đồng khả năng.
a. Kí hiệu: A là biến cố “H và K đứng liền nhau”,
B là biến cố “H đứng ngay trước K”
C là biến cố “K đứng ngay trước H”
Rõ ràng B và C xung khắc và A = B ∪ C.
Tính n(B):
Xếp H và 4 bạn khác thành hàng, có 5! Cách. Trong mỗi cách xếp như vậy, xếp bạn K ngay sau H, có 1 cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: n(B) = 5! x 1 = 5
Tương tự: n(C) = 5!
Do đó P(A) = P(B) + P(C) = \(\frac{5!}{6!}
+ \frac{5!}{6!} = \frac{1}{3}\)
b. Ta thấy \(\overline{A}\) là biến cố: “H và K không đứng liền nhau”. Vậy:
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 -
\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Ví dụ 5. Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:
a. Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
b. Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
Hướng dẫn giải
+ Không gian mẫu \(n(\mathrm{\Omega}) =
2.2.2 = 8\)
+ Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:
\(\overline{A}\): “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”
Và ta có \(\overline{A} = \left\{ SSS
\right\} \Rightarrow n\left( \overline{A} \right) = 1 \Rightarrow
P\left( \overline{A} \right) = \frac{1}{8} \Rightarrow P(A) = 1 -
\frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)
+ Tương tự ta có: \(\overline{B} = \left\{
SSS,\ NNN \right\}\), \(n(\overline{B})
= 2 \Rightarrow P(\overline{B}) = \frac{1}{4} \Rightarrow P(B) =
\frac{3}{4}\)
III. Bài tập tự luyện tính xác suất của biến cố
Bài tập 1. Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến cố sau:
a. Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một chấm”
b. Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11”
Bài tập 2. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:
a. Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
b. Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.
Bài tập 3. Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.
Bài tập 4. Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.
a. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Đáp án bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1
+ Không gian mẫu \(\Omega = \{(i,j)|i,j \in
\left\{ 1,\ 2,\ \ldots,6 \right\}\} \Rightarrow n(\Omega) = 6.6 =
36\)
a) Ta có biến cố đối \(\overline{A} =
\{\left\{ (i,j) \middle| i,j \in \left\{ \ 2,\ \ldots,6 \right\}
\right\} \Rightarrow n\left( \overline{A} \right) = 25\)
\(P(\overline{A}) = \frac{25}{36}
\Rightarrow P(A) = \frac{11}{36}\)
b) Ta có:
\(\overline{B} = \left\{ (5;6),\ (6;5),\
(6;6) \right\}\)
\(P(\overline{B}) = \frac{3}{36} =
\frac{1}{12} \Rightarrow P(B) = \frac{11}{12}\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
----------------------------------------------------------------------------
Tóm lại, xác suất của biến cố là một khái niệm cực kỳ quan trọng trong chuyên đề Tổ hợp xác suất lớp 11, giúp bạn giải quyết nhiều bài toán trong chương trình Toán học và các kỳ thi. Việc hiểu rõ các biến cố, không gian mẫu, và cách tính xác suất sẽ giúp bạn tự tin hơn trong việc áp dụng lý thuyết vào thực tế, đồng thời xây dựng nền tảng vững chắc cho các chủ đề xác suất trong các lớp học nâng cao sau này.
Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn cái nhìn sâu sắc về xác suất của biến cố và cách tính toán chính xác trong các tình huống khác nhau. Để nắm vững hơn các kiến thức trong Tổ hợp xác suất lớp 11, bạn có thể tham khảo thêm các bài viết và ví dụ chi tiết trên website của chúng tôi. Đừng ngần ngại để lại câu hỏi nếu bạn có thắc mắc hoặc cần thêm sự trợ giúp!
