Cấp số cộng

Công thức cấp số cộng

Công thức cấp số cộng Toán 11

I. Tổng hợp lí thuyết
II. Bài tập ví dụ minh họa

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Cấp số cộng môn Toán lớp 11. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải nhằm ôn tập củng cố kiến thức công thức cấp số cộng, cách tính từng số hạng trong CSC, tính tổng n số hạng đầu CSC có hướng dẫn chi tiết dễ hiểu, giúp các bạn sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Cấp số cộng Toán 11

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Tổng hợp lí thuyết

1.Cấp số cộng là gì?

Định nghĩa: Dãy số (U_n) được xác định bởi: _{$\left( {{U}_{n}} \right)=\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=a \\ {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+d \\ \end{matrix}\left( n\in \mathbb{N}* \right) \right.$}thì dãy số này được gọi là cấp số cộng. d là công sai.

2. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Cấp số cộng bắt đầu là phần tử u₁ và công sai là d thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức: u_{n + 1} = u₁ + (n - 1)d

$\Rightarrow d=\frac{{{u}_{n+1}}-{{u}_{1}}}{n-1}$ $\Rightarrow d=\frac{{{u}_{n+1}}-{{u}_{1}}}{n-1}$

3. Tính chất của cấp số cộng

Ba số hạng u_{n - 1}, u_n, u_{n + 1} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi _{${{u}_{n}}=\frac{{{u}_{n-1}}+{{u}_{n+1}}}{2}$}

4. Công thức tính tổng n số hạng đầu của CSC

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng được gọi là tổng riêng thứ n xác định bởi công thức:

$S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}$ $S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+...+{{u}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}$

Chứng minh:

S_n = u₁ + u₁ + d + u₁ + 2d + .... + u₁ + (n - 1)d (1)

Mặt khác:

S_n = u_n - (n - 1)d + u_n - (n - 2)d + ... + u_n - d + u_n (2)

Lấy (1) cộng (2)

⇒ 2S_n = n(u₁ + u_n)

$\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$ $\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}$

$\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}=\frac{n\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}$ $\Rightarrow S_n=\frac{n\left(u_1+u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}=\frac{n\left(2u_1+\left(n-1\right)d\right)}{2}$

5.Chú ý

a. Dãy số (U_n) là một cấp số cộng, công sai d ⇒ u_{n + 1} - u_n = d không phụ thuộc vào n

b. Ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng ⇒ b = (a + c)/2

c. Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết bài toán qua u₁, d.

II. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Dãy số (U_n) có phải cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai?

a. u_n = 2n + 3

b. ${{u}_{n}}=\frac{2}{n}$ ${{u}_{n}}=\frac{2}{n}$

c. ${{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}$ ${{u}_{n}}=\frac{n+1}{n}$

Hướng dẫn giải

a.Ta có: u_{n + 1} - u_n = 2(n + 1) + 3 - (2n + 3) = 2 = d là hằng số. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 2

b. Ta có: u_{n + 1} - u_n= $\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}=\frac{2}{n\left( n+1 \right)}$ $\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n}=\frac{2}{n\left( n+1 \right)}$ ≠ hằng số, phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số đã cho không phải là cấp số cộng.

c. Ta có: u_{n + 1} - u_n = $\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n\left( n+1 \right)}$ $\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n}=\frac{1}{n\left( n+1 \right)}$ phụ thuộc vào n nên dãy số đã cho không là cấp số cộng.

Ví dụ 2: Tam giác ABC có 3 góc _{$\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}$} theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và _{$\widehat{C}=5\widehat{A}$}. Xác định các góc tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Từ giải thiết bài toán đã cho ta có :

$\left\{ \begin{matrix} \begin{align} & \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C=180} \\ & \widehat{A}+\widehat{C}=2\widehat{B} \\ \end{align} \\ \widehat{C}=5\widehat{A} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{A}={{20}^{0}} \\ \widehat{B}={{60}^{0}} \\ \widehat{C}={{100}^{0}} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \begin{align} & \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C=180} \\ & \widehat{A}+\widehat{C}=2\widehat{B} \\ \end{align} \\ \widehat{C}=5\widehat{A} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \widehat{A}={{20}^{0}} \\ \widehat{B}={{60}^{0}} \\ \widehat{C}={{100}^{0}} \\ \end{matrix} \right.$

Ví dụ 3: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng -9 và tổng bình phương của chúng bằng 29

Hướng dẫn giải

Gọi 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng là a, b, c.

Theo giả thiết đề bài ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} a+c=2b \\ a+b+c=-9 \\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=29 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=-3 \\ \left[ \begin{matrix} a=2\Rightarrow c=-8 \\ a=-4\Rightarrow c=-10 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a+c=2b \\ a+b+c=-9 \\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=29 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b=-3 \\ \left[ \begin{matrix} a=2\Rightarrow c=-8 \\ a=-4\Rightarrow c=-10 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right. \right.$

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (U_n) thỏa mãn: _{$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{5}}+3{{u}_{3}}-{{u}_{2}}=-21 \\ 3{{u}_{7}}-2{{u}_{4}}=-34 \\ \end{matrix} \right.$}

a. Tính số hạng thứ 100 của cấp số

b. Tính tổng của 15 số hạng đầu của cấp số công.

c. Tính S = u₄ + u₅ + ... + u₃₀

Hướng dẫn giải

Từ giải thiết đề bài ta có:

$\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+4d+3({{u}_{1}}+2d)-\left( {{u}_{1}}+d \right)=-21 \\ 3({{u}_{1}}+6d)-2({{u}_{1}}+3d)=-34 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=2 \\ d=-3 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}+4d+3({{u}_{1}}+2d)-\left( {{u}_{1}}+d \right)=-21 \\ 3({{u}_{1}}+6d)-2({{u}_{1}}+3d)=-34 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{u}_{1}}=2 \\ d=-3 \\ \end{matrix} \right.$

a. Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là: u₁₀₀ = u₁ + 99d = -295

b. Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng:

${{S}_{15}}=\frac{15\left( 2{{u}_{1}}+\left( 15-1 \right)d \right)}{2}=-285$ ${{S}_{15}}=\frac{15\left( 2{{u}_{1}}+\left( 15-1 \right)d \right)}{2}=-285$

c. S = u₄ + u₅ + ... + u₃₀ $=\frac{27\left( 2{{u}_{4}}+26d \right)}{2}$ $=\frac{27\left( 2{{u}_{4}}+26d \right)}{2}$ = -1242

_{------------------------------------------------------------}

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Cấp số cộng môn Toán lớp 11. Chắc hẳn qua bài viết bạn đọc đã nắm được những ý chính cũng như trau dồi được nội dung kiến thức của bài viết rồi đúng không ạ? Bài viết cho chúng ta thấy được lý thuyết về cấp số cộng và các bài tập về cấp số cộng. Hi vọng quua bài viết này bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 11 nhé. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Sinh học lớp 11, Vật lý lớp 11, Hóa học lớp 11, Giải bài tập Toán 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Ngoài ra, mời quý thầy cô và các bạn tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Chúc các bạn học sinh học tập tốt!

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

12.402

Bài trước

Bài sau