Biến cố xung khắc là gì?

Biến cố xung khắc là một khái niệm quan trọng trong xác suất lớp 11, thường xuất hiện khi áp dụng công thức cộng xác suất trong các bài toán thực tế. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn dễ nhầm lẫn giữa biến cố xung khắc và biến cố độc lập, dẫn đến sai sót khi làm bài.

Việc hiểu rõ bản chất và dấu hiệu nhận biết biến cố xung khắc sẽ giúp bạn áp dụng công thức chính xác và giải bài nhanh hơn. Trong bài viết này, bạn sẽ được hệ thống lại kiến thức từ cơ bản đến nâng cao kèm theo bài tập có đáp án chi tiết.

A. Biến cố xung khắc

Chú ý: Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra (Hay hai biến cố không được xảy ra đồng thời).

Ví dụ: Một ban văn nghệ có 12 nữ và 8 nam. Chọn ngẫu nhiên 5 người để biểu diễn. Xét các biến cố sau:

M: “Trong 5 người được chọn, số nam lớn hơn 3”.

N: “Trong 5 người được chọn, số nữ nhỏ hơn 3”.

P: “Trong 5 người được chọn, số nam không vượt quá 3”.

Trong ba biến cố M, N, P hai biến cố nào xung khắc với nhau?

Hướng dẫn giải

Biến cố M và biến cố P là hai biến cố xung khắc với nhau.

B. Cộng xác suất

C. Chứng minh hai biến cố xung khắc

Ví dụ: Xét các biến cố A, B liên quan đến cùng một phép thử thỏa mãn P(A) = 0,4; P(B) = 0,5 và P(A ∪ B) = 0,6. Hỏi hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

<=> P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

<=> P(A ∩ B) = 0,4 + 0,5 - 0,6 = 0,3

Suy ra A ∩ B ≠ ∅. Vậy hai biến cố A và B không xung khắc.

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Tính xác suất của các biến cố:

a) Cả 4 viên bi lấy ra cùng màu.

b) Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 3 viên bi xanh.

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố “Cả 4 viên bi lấy ra có cùng màu xanh”, B là biến cố “Cả 4 viên bi lấy ra cùng màu đỏ”.

Vì chỉ có 3 viên bi màu vàng nên A ∪ B là biến cố “Cả 4 viên bi lấy ra có cùng màu”.

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

b) Gọi C là biến cố “Có 3 viên bi xanh trong 4 viên lấy ra”. Khi đó là biến cố “Có ít nhất 3 viên bi xanh trong 4 viên bi lấy ra”. Do A và C là hai biến cố xung khắc nên:

P(A ∪ C) = P(A) + P(C)

---------------------------------------------

Hiểu rõ biến cố xung khắc là gì sẽ giúp bạn sử dụng đúng công thức cộng xác suất và tránh những lỗi sai phổ biến trong quá trình làm bài. Đây là nền tảng quan trọng để giải các bài toán xác suất từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình Toán 11.

Khi luyện tập thường xuyên với các dạng bài có đáp án, bạn sẽ dần hình thành tư duy nhận diện nhanh và áp dụng linh hoạt trong nhiều tình huống khác nhau. Đồng thời, việc kết hợp lý thuyết với thực hành sẽ giúp bạn tăng độ chính xác và tốc độ làm bài rõ rệt. Hãy kiên trì ôn luyện để tự tin chinh phục mọi dạng toán liên quan đến biến cố xung khắc.