Biến cố xung khắc là gì?

VnDoc xin mời các bạn cùng tham khảo tài liệu Công thức cộng xác suất cho hai biến cố Toán 11 được VnDoc.com tổng hợp và biên soạn. Mời thầy cô và các bạn học sinh cùng theo dõi bài viết dưới đây.

A. Biến cố xung khắc

Chú ý: Hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc khi và chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra (Hay hai biến cố không được xảy ra đồng thời).

Ví dụ: Một ban văn nghệ có 12 nữ và 8 nam. Chọn ngẫu nhiên 5 người để biểu diễn. Xét các biến cố sau:

M: “Trong 5 người được chọn, số nam lớn hơn 3”.

N: “Trong 5 người được chọn, số nữ nhỏ hơn 3”.

P: “Trong 5 người được chọn, số nam không vượt quá 3”.

Trong ba biến cố M, N, P hai biến cố nào xung khắc với nhau?

Hướng dẫn giải

Biến cố M và biến cố P là hai biến cố xung khắc với nhau.

B. Cộng xác suất

Công thức cộng xác suất 

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

Hệ quả: Nếu hai biến cố \(A;B\) xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

C. Chứng minh hai biến cố xung khắc 

Ví dụ: Xét các biến cố A, B liên quan đến cùng một phép thử thỏa mãn \(P(A) = 0,4,P(B) = 0,5\) và \(P(A \cup B) = 0,6\). Hỏi hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)

\(\Leftrightarrow P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)\)

\(\Leftrightarrow P(A \cap B) = 0,4 + 0,5 - 0,6 = 0,3\)

Suy ra \(A \cap B \neq \varnothing\). Vậy hai biến cố A và B không xung khắc.

Ví dụ: Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Tính xác suất của các biến cố:

a) Cả 4 viên bi lấy ra cùng màu.

b) Trong 4 viên bi lấy ra có ít nhất 3 viên bi xanh.

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố “Cả 4 viên bi lấy ra có cùng màu xanh”, B là biến cố “Cả 4 viên bi lấy ra cùng màu đỏ”.

Vì chỉ có 3 viên bi màu vàng nên \(A \cup B\) là biến cố “Cả 4 viên bi lấy ra có cùng màu”.

Do A và B là hai biến cố xung khắc nên

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{C_{4}^{4}}{C_{12}^{4}} + \frac{C_{5}^{4}}{C_{12}^{4}} = \frac{2}{165}\)

b) Gọi C là biến cố “Có 3 viên bi xanh trong 4 viên lấy ra”. Khi đó \(A \cup C\) là biến cố “Có ít nhất 3 viên bi xanh trong 4 viên bi lấy ra”. Do A và C là hai biến cố xung khắc nên:

\(P(A \cup C) = P(A) + P(C)\)

\(= \frac{C_{4}^{4}}{C_{12}^{4}} + \frac{C_{4}^{3}.C_{8}^{1}}{C_{12}^{4}} = \frac{1}{15}\)