Toán 11 bài 3: Phép đối xứng trục

Trong chương trình Toán lớp 11, bài học Phép đối xứng trục là một phần lý thuyết quan trọng giúp học sinh phát triển tư duy hình học và khả năng giải quyết các bài toán hình học phẳng. Phép đối xứng trục không chỉ là khái niệm lý thuyết mà còn là nền tảng vững chắc cho những kiến thức tiếp theo, đặc biệt là trong việc phân tích và giải quyết các bài toán liên quan đến đối xứng, tọa độ và đồ thị.

Bài viết này sẽ giới thiệu chi tiết về định lý phép đối xứng trục, các tính chất quan trọng và phương pháp áp dụng hiệu quả trong các bài tập Toán 11. Nếu bạn đang tìm kiếm cách hiểu rõ hơn về chủ đề này và cải thiện kỹ năng làm bài Toán, đây chính là bài viết bạn không thể bỏ qua!

1. Định nghĩa Phép đối xứng trục

Cho đường thẳng \(d\). Phép biến hình biến mỗi điểm \(M\) thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm \(M\) không thuộc \(d\) thành \(M\) sao cho \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MM'\), được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng \(d\) hay phép đối xứng trục \(d\).

Phép đối xứng trục \(d\) thường được kí hiệu là \(Đ_d\)

Nếu hình \(H'\) là ảnh của hình \(H\) qua \(Đ_d\) thì ta còn nói \(H\)đối xứng với \(H'\) qua \(d\), hay \(H\) và \(H'\) đối xứng với nhau qua \(d\).

2. Nhận xét

+) Cho đường thẳng \(d\). Với mỗi điểm \(M\), gọi \(M''\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên đường thẳng \(d\). Khi đó

\(M' = Đ_dM)  \Leftrightarrow  \overrightarrow{M''M'} = -\overrightarrow{M''M}\)

+) \(M' = Đ_d(M)  \Leftrightarrow M = Đ_d(M')\)

3. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \(Ox\)

\(\left\{\begin{matrix} {x}'= x\\ {y}'= -y. \end{matrix}\right.\)

4. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục \(Oy\)

\(\left\{\begin{matrix} {x}'= -x\\ {y}'= y \end{matrix}\right.\)

5. Tính chất Phép đối xứng trục

+) Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

+) Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

6. Trục đối xứng của một hình

Đường thẳng \(d\) được gọi là trục đối xứng của hình \(H\) nếu phép đối xứng qua \(d\) biến \(H\) thành chính nó. Tức \(Đ_d (H') = H\)

Khi đó ta nói \(H\) là hình có trục đối xứng.

7. Bài tập minh họa Phép đối xứng trục có đáp án 

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình 2x − y + 1 = 0 và điểm A (3; 2). Tìm điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng ∆?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d qua A và vuông góc với ∆ có phương trình d: x + 2y − 7 = 0.

Gọi H = d ∩ ∆, tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

Theo giả thiết: Đ∆(A) = A’(x’; y’)

\(\left\{ \begin{matrix}2x - y + 1 = 0 \\x + 2y - 7 = 0\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x = 1 \\y = 3\end{matrix} \right.\ \begin{matrix}\end{matrix}\)

=> H là trung điểm của AA’

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x' = 2x_{H} - x_{A} \\ y' = 2y_{H} - y_{A} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x' = - 1 \\ y' = 4 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow A' = ( - 1;4)\)

Ví dụ: Cho phương trình đường thẳng \((d):\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = 5 - 2t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\) và tọa độ điểm \(A(1;2)\). Xác định tọa độ điểm \(A'\) đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \((d)\)?

A. \(A'\left( \frac{9}{5};\frac{12}{5} \right)\)        B. \(A'\left( - \frac{2}{5};\frac{6}{5} \right)\)          C. \(A'\left( 0;\frac{3}{5} \right)\)            D. \(A'\left( \frac{3}{5}; - 5 \right)\)

Hướng dẫn giải

Gọi H là chân đường cao kẻ từ điểm A đến đường thẳng (d) suy ra H(h; 5-2h)

Ta có: \(\overrightarrow{u_{d}} = (1; - 2);\overrightarrow{AH} = (h - 1;3 - 2h)\)

Vì \(AH\bot(d) \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{AH} = 0\)

\(\Leftrightarrow (h - 1) - 2(3 - 2h) = 0 \Leftrightarrow h = \frac{7}{5} \Rightarrow H\left( \frac{7}{5};\frac{11}{5} \right)\)

A’ là điểm đối xứng của A qua đường thẳng (d).

Suy ra H là trung điểm của AA’.

Vậy tọa độ điểm A’ là: \(\left\{ \begin{matrix} x_{A'} = 2x_{H} - x_{A} = 2.\frac{7}{5} - 1 = \frac{9}{5} \\ y_{A'} = 2y_{H} - y_{A} = 2.\frac{11}{5} - 2 = \frac{12}{5} \end{matrix} \right.\)

Vậy tọa độ điểm \(A'\left( \frac{9}{5};\frac{12}{5} \right)\)

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm \(A( - 4;8)\). Gọi \(B'\) đối xứng với điểm \(B\) qua \(C\), điểm \(I(5; - 4)\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên đường thẳng \(B'D\). Biết rằng tọa độ điểm \(C(a;b)\) thuộc đường thẳng \((d):2x + y + 5 = 0\). Khi đó:

A. \(a - b = - 3\)                 B. \(a - b = 1\)

C. \(a - b = 8\)                    D. \(a - b = 2\)

Hướng dẫn giải

Ta có: ADB’C là hình bình hành => AC // B’D

Mà \(BI\bot B'D \Rightarrow AC\bot BI\)

Tam giác BB’I vuông cân tại I => BC = CI

=> ACID là hình thang cân => \(\Delta ADC = \Delta CIA \Rightarrow AI\bot CI\)

=> CI đi qua điểm \(I(5; - 4)\) và có vecto pháp tuyến \(\frac{1}{3}\overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}(9; - 12) = (3; - 4)\)

Phương trình CI: \(3x - 4y - 31 = 0\)

\(\Rightarrow C = d \cap CI \Rightarrow C(1; - 7) \Rightarrow a - b = 8\)

Bài tiếp theo: Toán 11 Bài 4: Đối xứng tâm

------------------------------------------------------------

Như vậy, qua bài học về phép đối xứng trục trong Toán 11, bạn đã có cái nhìn sâu sắc hơn về khái niệm và các đặc điểm nổi bật của phép đối xứng. Việc nắm vững lý thuyết cũng như các bước giải bài tập giúp bạn không chỉ đạt được kết quả cao trong các bài kiểm tra mà còn rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích hình học. Hãy chắc chắn áp dụng các kỹ thuật và mẹo giải bài tập mà bài viết đã chia sẻ để có thể giải quyết những bài toán phức tạp một cách dễ dàng.

Đừng quên tham khảo thêm các bài viết lý thuyết khác trong chương trình Toán 11 để củng cố kiến thức toàn diện. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn làm chủ kiến thức về phép đối xứng trục và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi sắp tới!