VnDoc.com

Cách tính giới hạn vô định dạng vô cùng/vô cùng

Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tính giới hạn dạng ∞/∞ Toán 11

Giới hạn dạng vô cùng/vô cùng là một trong những dạng toán quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong chương trình Toán 11. Đây cũng là dạng bài dễ gây nhầm lẫn nếu học sinh chưa nắm rõ bản chất và phương pháp xử lý. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách tính giới hạn dạng vô định ∞/∞ bằng nhiều kỹ thuật khác nhau như chia bậc cao nhất, sử dụng hằng đẳng thức, khai triển hoặc biến đổi tương đương. Kèm theo đó là hệ thống bài tập Toán 11 có đáp án chi tiết giúp bạn luyện tập và nắm chắc phương pháp.

A. Cách tính giới hạn vô định ∞/ ∞

$L = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}$ $L = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}$ trong đó $P(x);Q(x) \rightarrow \infty$ $P(x);Q(x) \rightarrow \infty$, dạng này ta còn gọi là dạng vô định $\frac{\infty}{\infty}$ $\frac{\infty}{\infty}$.

với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.

– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.

– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.

Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn:

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty}x^{2k} = + \infty$ $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}x^{2k} = + \infty$ ; $\lim_{\substack{x \rightarrow + \infty \\ x \rightarrow - \infty}}x^{2k + 1} = + \infty( - \infty)$ $\lim_{\substack{x \rightarrow + \infty \\ x \rightarrow - \infty}}x^{2k + 1} = + \infty( - \infty)$.
$\lim_{\substack{x \rightarrow + \infty \\ x \rightarrow - \infty}}\frac{k}{x^{n}} = 0;(n > 0;k \neq 0)$ $\lim_{\substack{x \rightarrow + \infty \\ x \rightarrow - \infty}}\frac{k}{x^{n}} = 0;(n > 0;k \neq 0)$.
$\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = + \infty( - \infty) \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{k}{f(x)} = 0;(k \neq 0)$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = + \infty( - \infty) \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{k}{f(x)} = 0;(k \neq 0)$.

B. Ví dụ minh họa tính giới hạn vô cùng trên vô cùng

Ví dụ 1. $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5}{3x + 2}$ $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5}{3x + 2}$ bằng:

A. 0 B. 1 C. $\frac{5}{3}$ $\frac{5}{3}$ D. $+ \infty$ $+ \infty$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Cách 1: $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5}{3x + 2} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{5}{x}}{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}} = 0$ $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5}{3x + 2} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{5}{x}}{\frac{3x}{x} + \frac{2}{x}} = 0$

Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\frac{5}{3x + 2} + CACL + x = 10^{9}$ $\frac{5}{3x + 2} + CACL + x = 10^{9}$ và so đáp án (với máy casio 570 VN Plus)

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: $\left. \ \lim\frac{5}{3x + 2} \right|_{x \rightarrow 10^{9}}$ $\left. \ \lim\frac{5}{3x + 2} \right|_{x \rightarrow 10^{9}}$ và so đáp án.

Ví dụ 2. Giá trị đúng của $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1}$ là:

A. -1 B. 1 C. 7 D. $+ \infty$ $+ \infty$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ta có: $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1 + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{1}{x^{4}}} = 1$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^{4} + 7}{x^{4} + 1} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1 + \frac{7}{x^{4}}}{1 + \frac{1}{x^{4}}} = 1$

Ví dụ 3. Tìm giới hạn $C = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2x - \sqrt{3x^{2} + 2}}{5x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ $C = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{2x - \sqrt{3x^{2} + 2}}{5x + \sqrt{x^{2} + 1}}$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$ B. $- \infty$ $- \infty$ C. $\frac{2 - \sqrt{3}}{6}$ $\frac{2 - \sqrt{3}}{6}$ D. $0$

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ví dụ 4. $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^{2} - 1}{3 - x^{2}}$ $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^{2} - 1}{3 - x^{2}}$ bằng:

A. $- 2$ B. $- \frac{1}{3}$ $- \frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}$ D. $2$

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Cách 1: $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^{2} - 1}{3 - x^{2}} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2} - 1}} = 2$ $\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^{2} - 1}{3 - x^{2}} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{3}{x^{2} - 1}} = 2$

Cách 2: Bấm máy tính như sau $\frac{2x^{2} - 1}{3 - x^{2}} + CACL + x = 10^{9}$ $\frac{2x^{2} - 1}{3 - x^{2}} + CACL + x = 10^{9}$ và so đáp án.

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: $\left. \ \lim\frac{2x^{2} - 1}{3 - x^{2}} \right|_{x \rightarrow 10^{9}}$ $\left. \ \lim\frac{2x^{2} - 1}{3 - x^{2}} \right|_{x \rightarrow 10^{9}}$ và so đáp án.

Ví dụ 5. Cho hàm số $f(x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{2x^{4} + x^{2} - 3}}$ $f(x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{2x^{4} + x^{2} - 3}}$. Chọn kết quả đúng của $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x)$:

A. $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $0$ D. $+ \infty$ $+ \infty$

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Cách 1: $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}}} = 0$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\sqrt{\frac{\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}}} = 0$

Cách 2: Bấm máy tính như sau $\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{2x^{4} + x^{2} - 3}} + CALC + x = 10^{9}$ $\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{2x^{4} + x^{2} - 3}} + CALC + x = 10^{9}$ và so đáp án.

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: $\left. \ \lim\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{2x^{4} + x^{2} - 3}} \right|_{x \rightarrow 10^{9}}$ $\left. \ \lim\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{2x^{4} + x^{2} - 3}} \right|_{x \rightarrow 10^{9}}$ và so đáp án.

Ví dụ 6. $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + 3x}{\sqrt{2x^{2} + 3}}$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + 3x}{\sqrt{2x^{2} + 3}}$ bằng:

A. $\frac{- 3\sqrt{2}}{2}$ $\frac{- 3\sqrt{2}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ D. $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Cách 1: $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + 3x}{\sqrt{2x^{2} + 3}} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x^{2}} + 3}{- \sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}} = - \frac{3\sqrt{2}}{2}$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1 + 3x}{\sqrt{2x^{2} + 3}} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\frac{1}{x^{2}} + 3}{- \sqrt{2 + \frac{3}{x^{2}}}} = - \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Cách 2: Bấm máy tính như sau: $\frac{1 + 3x}{\sqrt{2x^{2} + 3}} + CACL + x = - 10^{9}$ $\frac{1 + 3x}{\sqrt{2x^{2} + 3}} + CACL + x = - 10^{9}$ và so đáp án.

Cách 3: Dùng chức lim của máy VNCALL 570ES Plus: $\left. \ \lim\frac{1 + 3x}{\sqrt{2x^{2} + 3}} \right|_{x \rightarrow - 10^{9}}$ $\left. \ \lim\frac{1 + 3x}{\sqrt{2x^{2} + 3}} \right|_{x \rightarrow - 10^{9}}$ và so đáp án.

Ví dụ 7. Tìm giới hạn $D = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[3]{1 + x^{4} + x^{6}}}{\sqrt{1 + x^{3} + x^{4}}}$ $D = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[3]{1 + x^{4} + x^{6}}}{\sqrt{1 + x^{3} + x^{4}}}$ :

A. $+ \infty$ $+ \infty$ B. $- \infty$ $- \infty$ C. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$ D. $1$

Hướng dẫn giải

Ta có: $D = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[3]{1 + x^{4} + x^{6}}}{\sqrt{1 + x^{3} + x^{4}}} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x^{2}\sqrt[3]{\frac{1}{x^{6}} + \frac{1}{x^{2}} + 1}}{x^{2}\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 1}} = 1$ $D = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[3]{1 + x^{4} + x^{6}}}{\sqrt{1 + x^{3} + x^{4}}} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x^{2}\sqrt[3]{\frac{1}{x^{6}} + \frac{1}{x^{2}} + 1}}{x^{2}\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 1}} = 1$

Ví dụ 8. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của $\lim_{x \rightarrow 0}x^{2}\cos\frac{2}{nx}$ $\lim_{x \rightarrow 0}x^{2}\cos\frac{2}{nx}$là:

A. Không tồn tại B. $0$ C. $1$ D. $+ \infty$ $+ \infty$

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Cách 1: $0 \leq \cos\frac{2}{nx} \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq \left| x^{2}\cos\frac{2}{nx} \right| \leq x^{2}$ $0 \leq \cos\frac{2}{nx} \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq \left| x^{2}\cos\frac{2}{nx} \right| \leq x^{2}$

Mà $\lim_{x \rightarrow 0}x^{2} = 0$ $\lim_{x \rightarrow 0}x^{2} = 0$ nên $\lim_{x \rightarrow 0}x^{2}\cos\frac{2}{nx} = 0$ $\lim_{x \rightarrow 0}x^{2}\cos\frac{2}{nx} = 0$

Cách 2: Bấm máy tính như sau: Chuyển qua chế độ Rad $x^{2}\cos\frac{2}{nx} + CACL + x = 10^{- 9} + n = 10$ $x^{2}\cos\frac{2}{nx} + CACL + x = 10^{- 9} + n = 10$ và so đáp án.

D. Bài tập tự rèn luyện có đáp án chi tiết

Bài tập 1. $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{2} - x + 3}}{2|x| - 1}$ $\lim_{x \rightarrow 1^{+}}\frac{\sqrt{x^{2} - x + 3}}{2|x| - 1}$ bằng:

A. $3$ B. $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ C. $1$ D. $+ \infty$ $+ \infty$

Bài tập 2. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^{4} + 8x}{x^{3} + 2x^{2} + x + 2}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^{4} + 8x}{x^{3} + 2x^{2} + x + 2}$ là:

A. $- \frac{21}{5}$ $- \frac{21}{5}$ B. $\frac{21}{5}$ $\frac{21}{5}$ C. $- \frac{24}{5}$ $- \frac{24}{5}$ D. $\frac{24}{5}$ $\frac{24}{5}$

Bài tập 3. Tìm giới hạn $E = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} - x + 1} - x \right)$ $E = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} - x + 1} - x \right)$:

A. $+ \infty$ $+ \infty$ B. $- \infty$ $- \infty$ C. $- \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2}$ D. $0$

Bài tập 4. Tìm giới hạn $F = \lim_{x \rightarrow - \infty}x\left( \sqrt{4x^{2} + 1} - x \right)$ $F = \lim_{x \rightarrow - \infty}x\left( \sqrt{4x^{2} + 1} - x \right)$:

A. $+ \infty$ $+ \infty$ B. $- \infty$ $- \infty$ C. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$D. $0$

Bài tập 5. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 4x^{5} - 3x^{3} + x + 1 \right)$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 4x^{5} - 3x^{3} + x + 1 \right)$ là:

A. $- \infty$ $- \infty$B. $0$C. $4$D. $+ \infty$ $+ \infty$

Bài tập 6. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của $\lim_{x \rightarrow + \infty}\sqrt{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}\sqrt{x^{4} - x^{3} + x^{2} - x}$ là:

A. $- \infty$ $- \infty$B. $0$C. $1$D. $+ \infty$ $+ \infty$

Bài tập 7. Tìm giới hạn $B = \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( x - \sqrt{x^{2} + x + 1} \right)$ $B = \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( x - \sqrt{x^{2} + x + 1} \right)$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$B. $- \infty$ $- \infty$C. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$D. $0$

Bài tập 8. Tìm giới hạn $B = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 3x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 1} \right)$ $B = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 3x + 1} - \sqrt{x^{2} - x + 1} \right)$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$B. $- \infty$ $- \infty$C. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$D. Đáp án khác

Bài tập 9. Tìm giới hạn $N = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt[3]{8x^{3} + 2x} - 2x \right)$ $N = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt[3]{8x^{3} + 2x} - 2x \right)$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$B. $- \infty$ $- \infty$C. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$D. $0$

Bài tập 10. Tìm giới hạn $H = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt[4]{16x^{4} + 3x + 1} - \sqrt{4x^{2} + 2} \right)$ $H = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt[4]{16x^{4} + 3x + 1} - \sqrt{4x^{2} + 2} \right)$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$B. $- \infty$ $- \infty$C. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$D. $0$

Bài tập 11. Tìm giới hạn $K = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - x} - 2x \right)$ $K = \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - x} - 2x \right)$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$B. $- \infty$ $- \infty$C. $- \frac{1}{2}$ $- \frac{1}{2}$D. $0$

Bài tập 12. Tìm giới hạn $A = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{3x^{2} + 5x + 1}{2x^{2} + x + 1}$ $A = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{3x^{2} + 5x + 1}{2x^{2} + x + 1}$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$B. $- \infty$ $- \infty$C. $\frac{3}{2}$ $\frac{3}{2}$D. $0$

Bài tập 13. Tìm giới hạn $B = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{a_{0}x^{n} + ... + a_{n - 1}x + a_{n}}{b_{0}x^{m} + ... + b_{m - 1}x + b_{m}};\left( a_{0}b_{0} \neq 0 \right)$ $B = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{a_{0}x^{n} + ... + a_{n - 1}x + a_{n}}{b_{0}x^{m} + ... + b_{m - 1}x + b_{m}};\left( a_{0}b_{0} \neq 0 \right)$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$B. $- \infty$ $- \infty$C. $\frac{4}{3}$ $\frac{4}{3}$D. Đáp án khác

Bài tập 14. Tìm giới hạn $A = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[3]{3x^{3} + 1} - \sqrt{2x^{2} + x + 1}}{\sqrt[4]{4x^{4} + 2}}$ $A = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{\sqrt[3]{3x^{3} + 1} - \sqrt{2x^{2} + x + 1}}{\sqrt[4]{4x^{4} + 2}}$?

A. $+ \infty$ $+ \infty$B. $- \infty$ $- \infty$C. $- \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ $- \frac{\sqrt[3]{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$D. $0$

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

----------------------------------

Qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ cách tiếp cận và xử lý giới hạn dạng vô cùng/vô cùng trong chương trình Toán 11. Việc nắm vững các kỹ thuật biến đổi sẽ giúp bạn giải nhanh, chính xác và tự tin hơn trong các bài kiểm tra và kỳ thi. Hãy tiếp tục luyện tập thêm các dạng bài để củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt cho những chủ đề giới hạn phức tạp hơn. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao!

Tải về

Chọn file muốn tải về: